skkn kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân để giúp các em học sinh cùng các thầy cô phần nàotháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với các bài toán liên quan tới khai triển nhị thức Niu-tơn kh

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

a) Vài nét sơ lược về đề tài, thực trạng hiện nay

- Các bài toán về tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp là một nội dung quan trọngtrong chương trình Toán lớp 11

- Những năm gần đây, trong đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, dạngtoán đó xuất hiện thường xuyên

- Kiến thức được trang bị trong SGK về phần tổ hợp và khai triển nhị thức Nui – tơn còn đơngiản, sơ sài

- Mặc dù đây là bài toán cơ bản nhưng đã gây khó khăn cho không ít học sinh vì tính chất khaitriển khá phức tạp và việc phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải còn nhiều hạn chế

- Khảo sát tại một số trường THPT qua các đợt thi học kì, thi thử ĐH, học sinh thường khônglàm được câu hỏi về tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp

b) Vai trò của bài tập trong dạy học Toán ở nhà trường THPT

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phảithực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắchay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toánhọc Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậyvai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên ba bình diện này:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang

những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, nhữngbài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy họcmôn Toán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả

kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ;

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người laođộng mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên

hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung chonhững tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để

người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác.Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động vàbằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương phápdạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểmtra, Đặc biệt là mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khảnăng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,

Hệ thống câu hỏi và bài tập là một hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức

mới Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “Cái thu hoạch chính đối với học sinh không phải là những kiến thức mới (đối với họ) đó vì kiến thức mới do học sinh tự tìm ra, hoặc là rất thứ yếu, hoặc nếu có một tầm quan trọng nào đó thì khi lên các lớp trên họ sẽ được học kỹ hơn, hệ thống hơn, mà cái đáng quý là qua lao động tìm tòi, sáng tạo, họ nhuyễn dần với một kiểu tư duy mà lâu nay nhà trường ít dạy cho họ và cùng với sự nhuyễn dần đó là lòng tự tin vào khả năng sáng tạo của mình, lòng ham muốn tìm tòi, phát minh”.

Như vậy, thông qua việc giải hệ thống bài tập cực trị hình học được sắp xếp phù hợp, học sinh sẽđược rèn luyện các kỹ năng, kỹ xảo giải bài tập; rèn luyện các thao tác tư duy như tương tự hóa, đặcbiệt hóa, khái quát hóa, ; rèn luyện tính linh hoạt, tính mềm dẻo trong tư duy; nâng cao khả năng tựphân tích, tự tổng hợp và tự đánh giá một vấn đề Từ đó, giúp cho học sinh có hứng thú trong họctập, phát triển tư duy sáng tạo và góp phần bỗi dưỡng năng lực tự học cho bản thân

Từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân để giúp các em học sinh cùng các thầy cô phần nàotháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với các bài toán liên quan tới khai triển nhị thức Niu-tơn khi các

kỳ thi đang đến gần, chúng tôi đã thực hiện sáng kiến “Kinh nghiệm dạy học giải bài toán tính tổng

và chứng minh các đẳng thức tổ hợp” nhằm giải quyết được phần nào khó khăn cho học sinh khi

tiếp cận dạng toán này

2 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tìnhhuống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy nhưtương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em nắm bắt đượccách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài

Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo viên về thựctrạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông.

- Đánh giá, thống kê kết quả học sinh thi đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi theo từng năm học

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung đề tài gồm 3 chương

Chương 1 Một số kinh nghiệm và giải pháp thực hiện đề tài.

Chương 2 Bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG I MỘT SỐ KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Để giải được bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp cần lưu ý cho học sinhmột số vấn đề sau:

 Hiểu rõ ý nghĩa của kí hiệu k

n

C ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn a b n, đặc điểm của các

số hạng trong khai triển đó

 Hiểu và vận dụng linh hoạt một số tính chất thường gặp của tổ hợp:

 Xác định được số hạng tổng quát của tổng

a) Nếu số hạng tổng quát chứa tích các tổ hợp ta thường sử dụng 2 khai triển Niu-tơn, xét tích

và đồng nhất hoặc sử dụng trực tiếp định nghĩa k

n

C là số các chọn k phần tử trong n phần tử (bàitoán đếm)

b) Nếu số hạng tổng quát chỉ chứa 1 tổ hợp thì ta thường sử dụng 1 khai triển Niu-tơn

Khi lựa chọn khai triển phù hợp ta cần chú ý phân tích số hạng chứa tổ hợp ở một số điểm sau:

- Quan sát chỉ số trên của các tổ hợp:

+ Nếu các số hạng chứa các tổ hợp có chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp, chỉ số dưới làkhông đổi thì ta thường sử dụng khai triển đầy đủ của nhị thức Niu – tơn

+ Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng không đổi dấu tathường sử dụng kết hợp hai khai triển Niu – tơn a b n và a b n

+ Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng đổi dấu ta phải sửdụng số phức trong khai triển liên quan đến i 2 1

+ Nếu các chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị, 4 đơn vị, 5 đơn vị, ta sửdụng số phức trong khai triển Khi đó cần nắm được tính chất sau về số phức

Nếu z cos2 isin2

) thì ta sử dụng trực tiếp khai triển a b n với lựa chọn , ,a b n hợp lí.

+ Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp xuất hiện các số tự nhiên liên tiếp tăng dần, hoặc tích các

số tự nhiên liên tiếp (nhưng không thay đổi về số mũ) (Ví dụ: k; 1 k; ; 2 k; 3 k;

C

k  ; 2

k n

C

k  ; 1

k n

k C

k  ; 1  2

k n

C

k k ) ta sử dụng tính chất

1 1

với 0 k n  để biến đổi đưa về dạng khai triển a b n hoặc sử dụng tích phân

- Quan sát chỉ số dưới của các tổ hợp

+ Nếu chỉ số dưới của tổ hợp không thay đổi thì đó là số mũ trong khai triển nhị thức

+ Nếu trong số hạng có tổ hợp mà chỉ số dưới thay đổi, ta cần khai triển tường minh công

n C

n k k



 để qui về các tổ hợp có chỉ số dưới không thay đổi

 Giải bài toán theo nhiều cách để so sánh thấy được ưu, nhược điểm của từng cách giải (Ví dụ như

ở đây trong các bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân thì học sinh có thể dễ dàng sángtạo ra các bài toán mới)

II Giải pháp tiến hành thực hiện

- Xây dựng hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn

đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tựhóa, tổng quát hóa … các bài toán

- Lựa chọn bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, từng thời điểm khác nhau (Ví dụ: Đối với học sinh lớp 11, nếu mới bắt đầu học khai triển nhị thức Niu-tơn ta chỉ dừng lại ở Ví dụ 27.2, nhưng không hướng dẫn học sinh cách sử dụng đạo hàm… đối với học sinh lớp 12 ôn thi THPT

QG ta hướng dẫn các em sử dụng tích phân và số phức trong khai triển).

- Hướng dẫn học sinh phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải khi gặp dạng toán trên

+ Dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp

+ Dựa và khai triển Nhị thức Niu – tơn.

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động nhóm, các nhóm tự đề xuất đưa ra các bài tập tương tự

và nêu cách giải trong quá trình học chủ đề này

CHƯƠNG II BÀI TOÁN TÍNH TỔNG VÀ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

I Tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp.

A – Kiến thức chuẩn bị

- Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và k*,1 k n Mỗi một tập con có k phần

tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A

- Trước hết ta để ý hệ số đứng trước trước các tổ hợp lần lượt là 1, 2, 1 có thể viết lại dướidạng C C C20, 21, 22.

- Xét hai tập B và C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có 2 phần tử Đặt

A B C  Khi đó S chính là số cách chọn k của tập A, nên S C n k2

- Xét hai tập B và C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có 3 phần tử Đặt A B C 

- Để chọn ra k phần tử của A, ta có thể thực hiện theo một trong các phương án sau:

Nhận xét: Trong các Ví dụ trên nếu bài toán cho dưới dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp thì

các chỉ số dưới của các tổ hợp giúp ta định hướng được việc chọn số phần tử của hai tập hợp B và

C Tuy nhiên nếu bài toán cho dưới dạng tính tổng k 4 k 1 6 k 2 4 k 3 k 4

Tổng quát, ta có bài toán sau:

m n

C  + Nếu lấy theo A và B thì số cách lấy là 0 k 1 k 1 k 0

2 Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát trong tổng) để đưa tổng cần tính về dạng

cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn

3 Ứng dụng đạo hàm trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có

Thông thường ta áp dụng khai triển

Với số hạng có lũy thừa x thì k  x k ' k x k 1

 , tức là sau khi đạo hàm cấp 1 ta được hệ số tựnhiên là k tương ứng với hệ số tổ hợp C Nếu hệ số tự nhiên tương ứng với n k k

n

C là k l k  thì taphải tạo ra lũy thừa x k l bằng cách nhân hai vế với x trước khi đạo hàm Ngoài ra, nếu hệ số tự l

nhiên là tích của hai số thì ta áp dụng đạo hàm cấp hai

4 Ứng dụng tích phân trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có

dạng C a b n k n k k

mà có xuất hiện thêm hệ số hữu tỉ (không phải lũy thừa, không là số nguyên) thì taphải sử dụng tích phân kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn Việc sử dụng tích phân của khai triển

nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính Trong đó đặc biệtchú ý đến mẫu của hệ số hữu tỉ và hệ số tổ hợp C tương ứng n k

Thông thường ta áp dụng khai triển

 , tức là sau khi tích phân ta được hệ số hữu

tỉ có mẫu là k 1 tương ứng với hệ số tổ hợp k

k l   k thì ta phải tạo ra lũy thừa k l

x  bằng cách nhân hai vế với l

x trước khi đạo hàm.

Ngoài ra, ta nhìn vào dạng của tử số của số hạng hữu tỉ để chọn cận u v; phù hợp

5 Ứng dụng số phức trong khai triển: Các bài toán về ứng dụng số phức trong khai triển nhị thức

Niu – tơn vẫn là những bài toán mới đối với học sinh Dấu hiệu nhận diện tập trung chủ yếu vào sựthay đổi chỉ số trên của các tổ hợp và sự thay đổi về dấu của các số hạng trong tổng

Thông thường ta sử dụng bài toán sau:

Nếu z cos2 isin2

Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng k3n k

Phân tích: Vì chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng S là chẵn, 1 S lẻ nên xuất hiện tổng đầy đủ các số2

hạng của khai triển nhị thức ta xét S1S2 và S1 S2 để tạo ra hệ phương trình ẩn số là S S 1, 2

Nhận xét: Qua các ví dụ trên thấy

- Hệ số đứng trước các tổ hợp là các lũy thừa của một hoặc hai cơ số được viết dưới dạng tănghoặc giảm về số mũ

- Chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần

- Chỉ số dưới của các tổ hợp quyết định số mũ trong khai triển nhị thức

- Nếu chỉ số trên hơn kém nhau 2 đơn vị (nghĩa là chỉ chứa chỉ số trên là số lẻ hoặc chẵn) thìxét thêm một tổng mới (chỉ chứa chẵn hoặc lẻ) để được 1 tổng đủ của khai triển Niu – tơn

Vì vậy, chỉ cần hướng dẫn học sinh lựa chọn , ,a b n hợp lí trong công thức khai triển nhị thức

Niu-tơn là giải quyết được bài toán và đưa ra các bài toán tương tự

 Ví dụ 8.2 Tính 1 2 2 3 3 4 4 n

S C  C  C  C  nC Phân tích: Vì các số hạng trong tổng S đều có dạng k

- Trong ví dụ trên ta thấy hệ số của các tổ hợp bằng chỉ số trên của tổ hợp trong từng số hạng

- Nếu nhân hai vế của đẳng thức (1) với x rồi lấy đạo hàm hai vế ta sẽ được đẳng thức có chứa các k

số hạng mà hệ số của các tổ hợp hơn chỉ số trên của các tổ hợp k đơn vị

+ Nhân hai vế của (1) với x ta có k   0 1 1 2 2

+ Nhân hai vế của (2) với x ta được 1 n 1 1 2 2 2 3 3 3 n n

 sẽ giúp đưa các bài toán về dạng cơ

bản của khai triển nhị thức Niu – tơn Tuy nhiên, nếu viết lại công thức đó dưới dạng 1

- Tìm số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng S?

- Sử dụng biến đổi thích hợp cố định các hệ số đứng trước tổ hợp trong các số hạng của tổng S?

11

Qua các ví dụ trên ta thấy đối với học sinh lớp 11, việc xác định được số hạng tổng quát trongtổng các tổ hợp là rất quan trọng Ta xét tiếp các ví dụ sau:

 là 1

2 2

n n

C 

 (1)+ Mặt khác, hệ số của x n 1 trong khai triển

1

n n

Ta có lời giải cho Ví dụ 28.2

Nếu x 1 trong (*) ta được 2n 0 1 n 1 n

Tương tự đối với (2) và (4).

Ta có lời giải cho Ví dụ 29.2

 Xét Ví dụ 30.2, ta thấy khoảng cách giữa hai chỉ số trên liên tiếp là 3 nên ta xét số phức

Ta có lời giải cho Ví dụ 30.2

 Xét Ví dụ 31.2, ta thấy khoảng cách giữa hai chỉ số trên liên tiếp là 6 nên ta xét số phức

Đặt cos2 sin2 cos sin

Ta có lời giải cho Ví dụ 31.2 Tương tự, yêu cầu học sinh về làm Ví dụ 32.2.

 Lấy đạo hàm 2 vế của (*) ta được

Cộng (16) với (17) ta được 1 3 3 5 5 2n 2

n n

n

Ta có lời giải cho Ví dụ 33.2

 Lấy tích phân 2 vế của (*) với cận từ 0 đến z ta có

Ta có lời giải cho Ví dụ 34.2

 Ta thấy các chỉ số trên của hai số hạng liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị

Ta có lời giải cho Ví dụ 35.2

 Tương tự, ta có thể vừa lấy đạo hàm vừa lấy tích phân sẽ được những đẳng thức đẹp!

Nhận xét:

- Trong Ví dụ 7.2 ta thấy khoảng cách giữa các chỉ số trên bằng 4 nên ta có thể giải tương tự

các bài toán trên với số phức cos2 sin2 1

z  i  

- Trong Ví dụ 29.2 ta thấy khoảng cách giữa các chỉ số trên bằng 4 nên ta có thể giải tương tự

các bài toán trên với số phức cos2 sin2

z  i  i

III Bài tập tự luyện

Bài tập 9 (Trích đề thi HSG lớp 12 - Ninh Bình, Vòng 2 năm học 2010 - 2011)

Cho m n, là các số tự nhiên và 1 m n  Chứng minh rằng

1 1 1

i n

Bài tập 10 (Trích đề thi HSG lớp 11 - Hà Tĩnh, năm học 2012 - 2013)

1 x 1 x x  x  1 x

1 x x x  x a a x a x a x  a x a) Tính tổng a0a2a4 a4042110

b) Chứng minh đẳng thức sau:

2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011