Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy schwarz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- Trần thị Minh Ngọc DẠNG HẰNG ĐẲNG THỨC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ Luận văn thạc sĩ khoa học Hà Nội, tháng 12/2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Trần thị Minh Ngọc

DẠNG HẰNG ĐẲNG THỨC CỦA BẤT ĐẲNG

THỨC CAUCHY - SCHWARZ

Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà Nội, tháng 12/2011.

Lời cảm ơn

Sau hai năm nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên –

Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với đề tài: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz”

Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu

sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo, tận

tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện và phong phú hơn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người Chúc tất cả mọi người sức khỏe và thành đạt!!!

Mục lục

Lời cảm ơn i

Mục lục iii

Mở đầu 1

Phần 1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế 3

1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3

1.2 Bất đẳng thức AM-GM 5

1.3 Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế 8

Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 25

Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất 25

1.1 Các định lý 25

1.2 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số 30

1.3 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lượng giác 45

Bài 2 Dạng hằng đẳng thức thứ 2 57

2.1 Các định lý 57

2.2 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số 63

2.3 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lượng giác 65

Bài 3 Một số ví dụ mở rộng 72

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

Mở đầu

Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu và phát triển

Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các bất đẳng thức khác hoặc trong hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày

một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi

kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thức mới và lạ Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại

số hoặc lượng giác

Luận văn gồm 2 phần:

Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài

Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức

Cauchy-Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một

số mở rộng

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011

Học viên

Trần thị Minh Ngọc

Phần 1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi

quốc gia, quốc tế

1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với ai R b , i R ( i  1, ) n , chứng minh rằng

2

2 2

a b a b



    

Chứng minh

Cách 1 (Sử dụng đẳng thức Lagrange)

Từ đẳng thức

2

a b a b a b a b

     

Suy ra

2

2 2

a b a b



     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2

1 2

n n

a a a

b  b   b

Cách 2 (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2)

Xét hàm số

2

f x x a x a b b a x b

Ta có f x   0 với mọi giá trị của x

Nếu 2

1

0

n i i

a





  ai=0  i 1,n thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Áp dụng tính chất của hàm bậc 2 khi 2

1

0

n i i

a





2

2 2

a b a b

    

2

2 2

a b a b

     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2

1 2

n n

a a a

b  b   b

Cách 3 (Áp dụng bất đẳng thức trung bình)

Ta có 1 2 2

2 x k  y k x y k k  k 1,n Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được

 2 2

1 2

x y x y

,

A a B b

k

a x A

k

b y B

1 1

1

x y

 

Và thu được

1

1

n

k k k

x y AB







2 2 2 2

a b A B a b

k

a A

x y

b B

   k

1.2 Bất đẳng thức AM-GM

Trong luận văn này, ta cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau:

Với a a1, 2, , an là các số thực không âm, ta luôn có:

1

1 1

a a

n  

  

1

n

i

a a a a





Chứng minh

Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, trong đó cách chứng minh quen thuộc nhất như sau:

Cách 1:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số không âm thì sẽ đúng với 2n

số không âm

2

n  n  n  

2

1 2

1 1

1 2

n

a a

n  

Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với n  2k Bất đẳng thức AM – GM sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây:

Nếu bất đẳng thức đúng với nk thì cũng đúng với nk1

Thật vậy:

1 1

1 1

1 1

k

a a k



 

   

a a k a

Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra:

1

k

Cách 2:

Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với nk2, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

1

nk

Ta có:

1

1

1 1

k

i

k a a k









Theo giả thiết quy nạp ta thu được:

 1 1 1

1

1

i k

k a a S

k















Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi nk1 ta cần chứng minh:

1 1 1

1

1

1

i

i i

k a a

a k

 







  



Ký hiệu:

1

1 1

,

i





Ta thu được:

1

k    k  

k     

k

              

                    

Bất đẳng thức đúng vì   ,  0

Các trường hợp riêng:

2 2

2

0 2

a b

ab a b



    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2

a b

a b  ab a b

khi ab

3

3

, , :

3

a b c

a b c     abc

  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

abc

4

3 3 3

, , :

3

a b c

a b c   abc

a b c

1.3 Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế

Bài 1 (Poland, 1996)

Cho n 2 và a a1, 2, ,a nR với

1

1

n i i

a





1, 2, , n

x x x R mà

1

1

n i i

x





2 1

2 2

n

i i

i j

n a x

x x



Chứng minh

Nếu

1

1

n i i

x





2

2

1 1

x x x x

minh tương đương với:

2 1

1

n i

x

n     a

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh rằng:

2 2

1 1

i

x

a

Bài 2 (Rumania 1996)

Cho x x1, 2, , xn1 là những số thực không âm với x1 x2  xn  xn1 Chứng

x x  x x  x x

Chứng minh

1

( ) ( 1)

n

i



  



Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

1

n

i

x x  x n x 





Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra ta có điều phải chứng minh

Bài 3 (Autria-Poland 1996)

Nếu w, x, y, z là những số thực thỏa mãn w x y z 0 và

2 2 2 2

1

w x y z  Chứng minh rằng  1 wxxy yzzw0

Chứng minh

Bất đẳng thức bên phải wxxyyzzw(w y x)( z) (w y)20

Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy

wxxy yzzw  w y xz

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

wx  xy  yz  zw  w  x  y  z w  x  y  z 

Bài 4 (Rumania 1998)

Cho số nguyên dương n 2 và x y x y1, ,1 2, 2, , x yn, n là các số thực thỏa mãn

1 2 n 1 1 2 2 n n

x  x   x  x y  x y   x y Chứng minh rằng:

1 2

1 2

1 2

n

n

x x x

x x x

y y y

Chứng minh

1 2

, , , n

n

x x x

y y y

và

 x y1 1, , x yn nđể có

1

n

x1x2 x n2 1 2  

1 1 2 2

1 2

n n n

x x x

x y x y x y

y y y

x1x2 x n2  1 2  

1 2

1 2

n n

x x x

x x x

y y y

1 2

1 2

1 2

n

n

x x x

x x x

y y y

(đpcm)

Bài 5 (Iran 1998)

Cho x y z , , 1 và 1 1 1

2

x  y  z  Chứng minh rằng:

x y z  x  y  z

Chứng minh

Ta có:  

2

x 1 y 1 z 1 x y z

x y z

3 1 1 1 x y z

x y z

      

 x y z

Vậy ta có: x yz  x 1 y 1 z1 (đpcm)

Bài 6 (Ireland, 1999)

Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a  b c d 1 Chứng minh

rằng:

2 2 2 2

1 2

abbccd  d a

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

2

2 2 2 2

a b c d

a b b c c d d a

2 2 2 2

a b c d

a b b c c d d a

Bài 7 (Rumania 1999)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abbcca3abc Chứng minh rằng

3 3 3

a  b c a b c

Từ giả thiết abbcca3abc  1 1 1 3

a b c 

Mà ta có bất đẳng thức a b c 1 1 1 9

a b c

     

   ab c 3

Vậy ta có 3 a  b c  a b c2

2

3 1 3 1 3 1

2 2 2 2 2 2

a a b b c c

 3 3 3 1 1 1

a b c

a b c

 3 3 3

    a b c a3 b3 c3 (đpcm)

Bài 8 (Belarus, 1999)

Cho a b c  , , 0 Chứng minh rằng:

1

b c c a a b

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

b cc a a b ab ca bc ab ca bc 

 

2

1 3

a b c

ab bc ca

 

( do a b c23abbcca)

Bài 9 (Austria-Poland, 2000)

Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho xy z 1 Chứng minh

2 1x  1 y  1 z  1 x 1 y 1 z

Chứng minh

Đặt Ax2  y2z2,

Bxy yzzx,

2 2 2 2 2 2

C x y  y z  z x

D  xyz

Khi đó ta có: 1  A  2 B; B2  C  2 D

4 4 4 2 2

x  y z  A  C  B  B  C  C B D

Khi đó biểu thức ở giữa trở thành

3 2 A 2C4B8D1  2 2C8D2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0

Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2 B D   Bởi vậy ta phải chứng minh

2C8DBD hoặc B2B23D0

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A B  , vì vậy B1 2 BBA Vậy

ta cần chứng minh B2 3DCD0 Nhưng Cxyyz yzzxzxxyD có thể thu được từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bài 10 (IMO, 2001)

Chứng minh rằng với a b c , , là các số thực dương ta có:

Chứng minh

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

VT

a a bc b b ca c c ab

a b c

a a bc b b ca c c ab

 

Bài 11 (Short list IMO, 2001)

Cho x x1, , ,2 xn là các số thực, chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2

n

x  x x   x x x 

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz a b i i  a i2 b i2 với

a i 1 và 1

2 2 2

1 2

i

n

x b

x x x



Ta thu được

2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2

n b

x  x x   x x x 

Từ đó ta thu được b  i2 1

Để ý rằng với i 2,

2

2 2

2

i

b

  

2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2

i

x

x x x x x x



2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2

1 x x x i 1 x x x i

Với i 1 sử dụng bất đẳng thức

2

2 1

1 1

x b

x x

Cộng vế với các bất đẳng thức này ta được

2 2

1

n

i i

x b



Bài 12 (Czech and Slovak Republics, 2004)

Cho P x( )ax2bxc là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm Chứng minh

rằng với  x 0 ta luôn có: 1 2

( ) ( (1))

P x P P

x

 



 

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta nhận được:

1 ( )

P x P

x

 

 

 = 2 

2

1

ax bx c a bx c

x

2 2

a x a bx b c c a b c2 P(1)2

Bài 13 (UK 2005)

 

2

1 1 1

a b c

a b c

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

2 2 2

2 2 2

b c a abc

2 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b c a b c a

c a b abc

2 2 2

a b c a b c a b c

b c  a  c a b   b c  a

c ab vào 2 vế ta có:

2 2 2

a b c a b c a b c a b c

b c a c a b b c a c a b

             

2

1 1 1

a b c

a b c

          

Bài 14 (Litthuania, 2006)

Cho a b c , , là các số thực không âm Chứng minh rằng:

2

a bc b ca c ab ab bc ca

Chứng minh

Ta có: a2  bc  2 a bc2  2 ab ac nên ta có 2 1 1

2

a bc  ab ac

Vậy:

2

VT

ab ac bc ba cb ca

2 ab bc ca ab bc ca 2 ab bc ca

Bài 15 (Romania JBMO Team Selection Test 2007)

Giả sử a b c , , là các số thực dương thỏa mãn:

1

b c ca  a b 

Chứng minh rằng: a  b c abbcca

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

2 2

1

b c a b c a

b c b c b c a b c a

Tương tự như vậy ta có:

2 2

1

c a b c a b

c a c a c a b c a b

2 2

1

a b c a b c

a b a b a b c a b c

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta được: