Luận văn thạc sĩ toán một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc 2

Ch ng minh... Ch ng minh... Ch ng minh.. Khi n là hi n nhiên.. ta suy ra đi u ph i ch ng minh... Khi đó ta vi t... Ch ng minh... Ch ng minh... Gi i các ph ng trình nghi m nguyên sau:...

Trang 1

M C L C Trang

2.6 Ph ng trình d ng 2

0

x  py n  ……… 43

CH NG 3 M T S PH NG PHÁP GI I PH NG TRỊNH NGHI M NGUYÊN B C HAI PH THÔNG 3.1 Ph ng pháp phân tích……….45

3.2 Ph ng pháp s d ng tính ch t chia h t và chia có d ………48

3.3 Ph ng pháp s d ng b t đ ng th c………49

3.4 Ph ng pháp xu ng thang (lùi vô h n)………51

3.5 Ph ng pháp tham s ……… 53

3.6 Ph ng pháp quy n p ….……….54

Bài t p đ ngh ………57

H ng d n ho c đáp s ……… 58

K T LU N ……… 62

TÀI LI U THAM KH O ………63

L i m đ u

Ph ng trình và bài toán v i nghi m nguyên là m t đ tài lí thú c a S

h c và i s , là m t trong nh ng d ng toán lâu đ i nh t c a Toán h c

Ph ng trình nghi m nguyên đ c nghiên c u t th i Diophant th k

th III, nó vô cùng đa d ng và th ng không có quy t c gi i t ng quát M i bài toán, v i s li u riêng c a nó, đòi h i m t cách gi i riêng Thông qua vi c

gi i ph ng trình nghi m nguyên, các nhà toán h c đã tìm ra nh ng tính ch t sâu s c c a s nguyên, s h u t , s đ i s Gi i ph ng trình nghi m nguyên

đã đ a đ n s ra đ i c a liên phân s , lý thuy t đ ng cong eliptic, lý thuy t

x p x Diophant, th ng d b c hai…

Trong các kì thi h c sinh gi i T nh, Qu c gia, Qu c t , ph ng trình nghi m nguyên v n th ng xuyên xu t hi n d i các hình th c khác nhau và luôn đ c đánh giá là khó do tính không m u m c c a nó

M c đích chính c a lu n v n là nêu ra m t s l p ph ng trình nghi m nguyên b c hai và cách gi i cho t ng d ng Bên c nh đó lu n v n c ng đ a ra

m t s ph ng pháp th ng dùng đ gi i ph ng trình nghi m nguyên b c hai ph thông

N i dung c a lu n v n g m ba ch ng:

Ch ng 1: Ki n th c chu n b

Ch ng 2: M t s l p ph ng trình nghi m nguyên b c hai

Ch ng 3: M t s ph ng pháp gi i ph ng trình nghi m nguyên b c hai

ph thông

Trang 5

Lu n v n này đ c hoàn thành v i s h ng d n và ch b o t n tình c a PGS.TS Nguy n Công Minh – Tr ng i h c s ph m Hà N i Th y đã dành nhi u th i gian h ng d n và gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t quá trình làm lu n v n Tôi xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n Th y

Tôi xin c m n S N i V , S giáo d c và ào t o t nh B c Giang,

Tr ng THPT Ph ng S n, t Toán Tin tr ng THPT Ph ng S n đã t o

đi u ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa h c này

Tôi xin g i t i các th y cô khoa Toán Tin, Phòng Sau i h c & Qu n

lí Khoa h c Tr ng i h c Th ng Long, c ng nh các th y giáo, cô giáo tham gia gi ng d y khóa cao h c 2014 – 2016 l i c m n sâu s c v công lao

d y d trong quá trình giáo d c, đào t o c a nhà tr ng

ng th i tôi xin c m n t i t p th l p Cao h c Toán CTM3-BG

Tr ng i h c Th ng Long đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p

và làm lu n v n này

Tuy nhiên do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n v n th c

s nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong đ c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a các th y cô và đ c gi quan tâm đ n lu n v n này

Hà N i, tháng 05 n m 2016

Tác gi

Hoàng V n N ng

CH NG 1 KI N TH C CHU N B

Trong ch ng này trình bày các ki n th c c b n v th ng d b c hai bao

g m: Kí hi u Legendre và các tính ch t, lu t thu n ngh ch b c hai và áp d ng trong vi c tính kí hi u Legendre (xem 2 ) Trình bày các v n đ v bi u di n

x a p có nghi m N u ng c l i, ta nói a là b t th ng d b c hai

p

th ng d b c hai theo modulo p

nh ngh a 1.2 Gi s p là s nguyên t l , a là s nguyên không chia h t

  n u a là b t th ng d b c hai theo modulo p

nh lý 1.2 (Tiêu chu n Euler) Gi s p là s nguyên t l , a là s nguyên

d ng không chia h t cho p Khi đó

1

2 (mod )

pa

( 1)

pp

( 1)

pp

 

 

 

v i p, q là các s nguyên t l nh lý này th ng đ c s d ng trong vi c tính toán v i các kí hi u Legendre ch ng minh lu t thu n ngh ch b c hai

ta d a vào hai b đ sau đây

B đ 1.2 (B đ Gauss) Gi s p là s nguyên t l , a là s nguyên không chia h t cho p N u s là s các th ng d bé nh t c a các s nguyên a a,2 , ,

12

pa



l n h n

2

p , thì

( 1)s

ap

p

s p u p u 1,  2, ,p u v v s, , , ,1 2 vtđ u nh h n

12

p nên ta ch c n ch ng t r ng chúng không đ ng d nhau modulo p

Hi n nhiên p u  i  p uj(mod )p và vi vj(mod )p , n u i j; vì n u không ta suy ra mana(mod )p , hay mn(mod )p , đi u này không x y ra

Trang 9

V y thì

1( )( ) ( ) !

p s

 

 

 

B đ 1.3 N u p là s nguyên t l và a là s l không chia h t cho p thì

1 2

(mod 2).

p j

jasp

p

j

ja p s

ap

2 2( 1)

Nh v y nhóm th nh t có s c p là:

1 2 1

p j

qjp

p j

pjq

 

Trang 13

L i gi i Theo lu t thu n ngh ch b c hai ta có:

13 1 17 1

1.2 Bi u di n s nguyên d ng thƠnh t ng c a các bình ph ng

1.2.1 Bi u di n s nguyên d ng thƠnh t ng hai s chính ph ng

B đ 1.4 N u p là s nguyên t không có d ng 4k+3 thì có các s nguyên x,

y sao cho 2 2

x y  p

Ch ng minh Khi p , ta có 2 2 1  Gi s p là s nguyên t d ng 2 12

4k+ 1 Do (-1) là th ng d b c hai mod p nên có s nguyên x, 0 < x < p đ

  V y tm N u t , thì 0 a2 b2 tm , kéo theo 0 a  b 0

Th thì x y 0(mod )m Nh ng x2 y2 mp, nên 2

|

m mp, hay m p| , đi u này không x y ra vì 0 m  p 

nh lý 1.6 S nguyên d ng n là t ng c a hai s chính ph ng khi và ch

khi m i th a s nguyên t d ng 4k c a n xu t hi n v i s 3 m ch n trong

khai tri n n thành tích các th a s nguyên t

Ch ng minh Gi s ng c l i là có th a s nguyên t p (mod 4) c a n có 3

s m l 2j+1 và 2 2

nx  t d = (x,y),a = x/d, b = y/d, y m n d / 2, thì (a,b) = 1 và m a  Gi s 2 b2 k

p là l y th a l n nh t c a p chia h t d Th thì m chia h t cho p2 j 2 k 1 v i 2j-2k+ 1 là s nguyên d ng, v y p|m Nh ng

Vì p|m nên p a| 2(1z2) Nh ng ( , ) 1a p  nên p|1z2 , hay z2  1(mod ).p

và đi u này không x y ra khi p (mod 4) 3

Gi s phân tích c a n không có th a s nguyên t d ng 4k v i s 3 m l Khi đó ta có n t u 2 trong đó u không có th a s nguyên t d ng 4k 3

Theo b đ 1.4 m i th a s nguyên t không có d ng 4 k  3, đ u là t ng c a hai s chính ph ng và h th c

xy và z t (mod 2) Khi đó các s (xy) / 2;(x y) / 2;(z t ) / 2;(z t ) / 2 đ u là các s nguyên và

đi u này vô lý v i gi thi t v tính nh nh t c a m

Bây gi gi s m là s l G i a, b, c, d là các s nguyên sao cho:

ax(mod m), b (mod m), y cz(mod m), d (mod m) và t

Z cx dy az bt   m; T(dx cy bz at   ) /m là các s nguyên

Ch ng minh Khi n là hi n nhiên Khi 1 n thì n là tích c a các s nguyên 1

t Theo b đ 1.5 và b đ 1.6 ta suy ra đi u ph i ch ng minh

 0 1 2  0

1 2 3

1

1

; , , ,

111

1n

n

n

aaa

g i là liên phân s h u h n có đ dài n V i m i k , n Ck a a a0; ,1 2, ,ak

đ c g i là gi n phân th k c a liên phân s đã cho

nh ngh a 1.4 Cho a a a0, 1, 2, là dãy vô h n các s nguyên v i ai 0,i1

nh ngh a 1.5 Ta g i liên phân s vô h n  a a a0; ,1 2,  là tu n hoàn

n u dãy  an tu n hoàn k t m t ch s nào đó t c là: T n t i các s nguyên

d ng m và k sao cho v i m i nm ta có an an k s nguyên d ng k

đ c g i là chu kì c a liên phân s  a a a0; ,1 2,  Khi đó ta vi t

pCq



 Tính ch t 3 V i m i k1,2, ,n, thì p qk k1 p qk1 k  ( 1)k1.

 Tính ch t 4 Gi s  C là dãy gi n phân c a liên phân s h u hk n đ

dài n : a a a0; ,1 2, ,an Khi đó ta có m i liên h sau:

1 1

 Tính ch t 9 S vô t  có bi u di n liên phân s tu n hoàn khi và ch khi

nó là s vô t b c hai (t c  là nghi m c a m t tam th c b c hai v i h s nguyên)

 Tính ch t 10 N u d là s không chính ph ng thì bi u di n liên phân s

B đ 2.1 Cho d là s vô t , khi đó t n t i vô s c p s nguyên d ng (p; q):

2

1pd

pd

q q

B đ 2.2 T n t i vô s c p s nguyên d ng ( ; )p q sao cho:

Ch ng minh Gi s d là s không chính ph ng T b đ 2.1 t n t i vô s

c p s nguyên d ng ( ; )x y sao cho : 2 2

Trang 25

x dy x dy  kXét tích

Ta có mâu thu n V y ( ; )u v là nghi m nguyên d ng c a (2.1).

nh lý 2.2 (Công th c nghi m) Kí hi u ( ; )a b là nghi m nh nh t c a

x dy  a db

Trang 27

o l i gi s (x ;y) là nghi m b t kì c a (2.1) Ta ch ng minh t n t i n *

đ xx yn;  yn Vì d không chính ph ng nên đi u này t ng đ ng t n t i

T đ nh lí trên ta th y vi c tìm nghi m c a ph ng trình (2.1) quy v vi c tìm nghi m nh nh t ( ; )a b c a nó Cách đ n gi n nh t là th tr c ti p : Thay l n

l t y1, 2,3 vào bi u th c 1 dy 2 cho t i khi nào đ c s chính ph ng thì d ng l i Vì ph ng trình (2.1) có nghi m nên ch c ch n quá trình này s

d ng l i sau b phép th Khi đó nghi m nh nh t là ( ; )a b v i a 1db2.Tuy nhiên n u nghi m nh nh t (a;b) v i b l n thì cách th này không kh thi Ch ng h n v i ph ng trình 2 2

x  y  thì nghi m nh nh t là : ( ; )a b (1766319049;226153980)

Sau đây ta s trình bày m t thu t toán s d ng liên phân s đ tìm nghi m

nh nh t ( ; )a b c a ph ng trình (2.1)

nh lý 2.3 Cho ph ng trình 2 2

1

x dy  (2.1) + Bi u di n d thành liên phân s

1 2

; , , , n, 2

d  a a a a a+ N u chu kì n là s ch n ta tính gi n phân th n 1

Trang 29

1 1

1.n n

n

pC

n

pC

7 2

12

7 2 7 1

13

13

7 1 7 1

12

7 1 7 1

13

111





V y (2.7) không có nghi m (nguyên d ng)

N u d có c nguyên t d ng p4k , gi s 3  x y là nghi; m Khi đó

x  py  G i  a b là nghi; m ph ng trình x2  py2  , t c là 1 2 2

Ti p theo ta ch ng minh ( ; )u v là nghi m nh nh t c a (2.7) Gi s ( ;x y1 1) là nghi m nh nh t c a (2.7) Theo ch ng minh trên ta có

x dy   có nghi m khi và ch khi trong bi u

di n d thành liên phân s d a a a; ,1 2, ,an, 2a chu kì n là s l Trong

n

pC

cho ta t t c các nghi m nguyên d ng c a ph ng trình

Ch ng minh Gi s (x yn; n) cho b i công th c trên Khi đó

 có nghi m nghi m duy nh t (18;5)

Suy ra (18;5) là nghi m nh nh t c a ph ng trình đã cho và t p h p nghi m

ph ng trình đã cho là  x ; y , xác đ nh b i công th c:

2 3 Ph ng trình 2 2 2

x  y  zXét ph ng trình 2 2 2

x  y z (2.9) hay còn g i là ph ng trình Pitago (xem

 5 ) B ba s nguyên d ng( ; ; )x y z th a mãn ph ng trình đ c g i là b

ba Pitago B ba Pitago ( ; ; )x y z đ c g i là nguyên th y n u ( ; ; ) 1x y z  Sau đây ta s đi tìm t p h p t t c các b ba Pitago, ngh a là tìm t t c các nghi m nguyên d ng c a ph ng trình đã cho

B đ 2.3 N u ( ; ; )x y z là b ba Pitago nguyên th y thì ( , )x y ( , )x z ( , )y z 1

2z

  (mod 4) mâu thu n V y ,x y không cùng tính

Ch ng minh D th y ( ; ; )x y z cho b i công th c trên thì x2 y2  z2

x  y  v i z z1 z0 i u này mâu thu n v i tính nh nh t c a z0

+ (x y z02, 02, 0) 1

Gi s y0 ch n x0 l khi đó ta có

2 2 2 0

2 0

2 2 0

2 22

1( , ) 1b m   a a , 2 2

x  y  v i n n là s nguyên d ng

N u n là s nguyên t thì ph ng trình có nghi m khi và ch khi n4k 3

v i k

N u n là h p s thì ph ng trình có nghi m khi và ch khi m i c nguyên t

c a n d ng 4k có l y th a ch n trong phân tích tiêu chu n 3

Ví d 2.4 Gi i các ph ng trình nghi m nguyên d ng sau:

a x2  y2 18818

xyxyxy

x  y z   luôn có nghi m nguyên t n

Ví d 2.5 Gi i các ph ng trình nghi m nguyên sau:

Trang 43

Ch ng minh Ta có x2  py n  0 x2  py n x2 n(mod ).p 

Nh v y đ ch ng minh ph ng trình trên có nghi m nguyên ho c không có

nghi m nguyên ta ch vi c tính kí hi u Legendre n

  thì ph ng trình đã cho vô nghi m

Ví d 2.6 Gi i các ph ng trình nghi m nguyên sau:

8 2

Mà x2  50(mod17)x2 1(mod17) ph ng trình đ ng d này có hai nghi m là x 1(mod17)

V y ph ng trình đã cho có hai h nghi m nguyên là :

2

17 15017

x txy

x txy

Do 2011 là s nguyên t nên c nguyên c a 2011 ch có th là  1, 2011.

T đó suy ra các nghi m nguyên (x ;y) c a ph ng trình là : (1006; 1005); (1006; -1005); (-1006; -1005); (-1006; 1005)

ph ng trình N u hai v c a ph ng trình cùng chia cho m t s mà đ c hai

s d khác nhau thì ph ng trình đó không có nghi m nguyên Ph ng pháp này t ra r t hi u qu khi c n ch ng minh m t ph ng trình nghi m nguyên

a Do ,x y nguyên nên x2 a(mod8);y2 b(mod8), v i a b, là các s 0,1,4

Vì th v i m i ,x y nguyên ta có x2 y2 c(mod8) đây c là các s 0;1;2;

4;5 Mà 8z 6 6(mod8) V y ph ng trình trên không có nghi m nguyên

b Ta có:

2

9x 2 y  y 9x 2 y y(  1)

y  khi đó 2

2(x1)  ta đ c 18 x2,x 4 V y ph ng trình đã cho có các nghi m là: (2;1);(2; 1);( 4;1);( 4; 1).   

3.3 Ph ng pháp s d ng b t đ ng th c

Trong khi gi i các ph ng trình nghi m nguyên r t c n đánh giá mi n giá tr

c a các bi n, n u s giá tr mà bi n s có th nh n không nhi u thì ta có th dùng ph ng pháp th tr c ti p đ ki m tra đánh giá đ c mi n giá tr

c a bi n s c n v n d ng linh ho t các tích ch t chia h t, đ ng d , b t đ ng

th c…

Ví d 3.4 Gi i các ph ng trình nghi m nguyên sau:

a x2 6xy13y2 4(25y2)

c Ta có

3.4 Ph ng pháp xu ng thang ( lùi vô h n )

Ph ng pháp này dùng đ ch ng minh m t ph ng trình ( , , , ) 0f x y z  nào

đó ngoài nghi m t m th ng x    thì không còn nghi m nào y z 0khác Ph ng pháp này đ c di n gi i nh sau : B t đ u b ng vi c gi s

( ;x y z; ; ) là nghi m c a ph ng trình ( , , , ) 0f x y z  Nh nh ng bi n

đ i; suy lu n s h c ta tìm đ c m t b nghi m khác ( ;x y z1 1; ; )1 có quan h

v i b nghi m đ u tiên b i m t t s k nào đó ch ng h n x0 kx y1, 0 ky1,

R i l i tìm đ c b nghi m ( ;x y z2 2; 2; ) th a mãn x1kx y2, 1 ky2, Quá trình c ti p t c d n đ n x y z0, 0, 0, chia h t cho k v i s s là m t s t nhiên tùy ý i u này x y ra khi và ch khi x0  y0 z0   0

Ví d 3.5 Gi i các ph ng trình nghi m nguyên sau:

a x2  y2 3 z2

d n đ n: x y z0, 0, 0 đ u chia h t cho 3k

v i k tùy ý i u này x y ra khi và ch khi x0  y0 z0 0 V y ph ng trình đã cho có nghiêm nguyên duy nh t là: ( ; ; )x y z (0;0;0)

b Gi s ( ;x y0 0) là nghi m c a ph ng trình 2 2

x  y 

Ta có x02 5y02    đ t 0 x0 5 x0 5x1 thì (5 )x1 2 5y02  0 5x12 y02  0Suy ra y05 đ t 2 2

Trang 53

3 5 Ph ng pháp tham s

Ph ng pháp này th ng đ c áp d ng đ i v i nh ng ph ng trình có vô s nghi m nguyên mà các nghi m nguyên c a nó cùng ph thu c vào m t hay

V i ( , , ) 1x y z  , t ph ng trình ta suy ra , ,x y z đôi m t nguyên t cùng nhau, vì n u hai trong ba s có c chung là d thì s còn l i c ng chia h t cho d T z2 xy mà ( , ) 1x y  nên 2 2 *

xa y b a b N Suy ra z2 a b2 2

do đó z ab V y ta có xna y2, nb z2, nab v i n a b, , là s nguyên

d ng tùy ý sao cho ( , ) 1a b 

Th l i th y b s nguyên d ng ( ; ; )x y z có d ng trên là nghi m

V y t p h p t t c các nghi m nguyên d ng c a ph ng trình 2

xy là : z

2 2

Trang 55

L i gi i G i P n là m( ) nh đ ph ng trình (3.1) có ít nh t n nghi m t nhiên

V i n thì (2;0) là nghi m c1 a ph ng trình (3.1)

V i n 2 thì ph ng trình (3.1) có hai nghi m là (4;0) và (1;1)

V y P(1), P(2) đúng Ta th y, n u ( ;x y0 0) là nghi m c a ph ng trình (3.1) thì (2 ;2x0 y0) là nghi m c a ph ng trình