Luận văn thạc sĩ toán đa thức và phân thức hữu tỉ dành cho học sinh chuyên toán

4 Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt I VƠnhăđaăth căm tăbi n………..... Lu năv năăg mă2ăch ng: Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv đaăth căvƠăphơn

B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O

-

AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT DĨNHăCHOăH CăSINHăCHUYểN TOỄN

TịMăT TăLU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C

MĩăS :ă60ă46ă01ă13

Hà N i – N m 2016

M CăL C

Trang

M căl c……….……… 1

M ăđ u ……… 3

L iăc mă n ……… 4

Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt I VƠnhăđaăth căm tăbi n……… 5

I.1 a th c trong vành K X [ ] ……… 5

I.2 Tính ch t c a vành K X [ ] ……… 6

I.3 Phép đ o hàm……… ……… 6

I.4 Hàm đa th c……….……… 6

II S ăh cătrongăvƠnhăđaăth c……….………… 7

II.1 Phép chia có d ………. 7

II.2 a th c b t kh quy……… ……… 8

II.3 Phân tích đa th c( nhân t hóa đa th c)……… ……… 8

III Nghi măc aăđaăth c……… 9

III.1 Không đi m c a đa th c……….……… 9

III.2 Tính ch t c a không đi m và đ o hàm……… ……… 9

III.3 nh lý Berzout……….….……. 9

III.4 a th c n i suy Lagrange……….……… 9

IV Phơnăth căh uăt ……….……….……… 9

IV.1 Các đ nh ngh a……….……… 9

IV.2 Phép phân tích m t phân th c h u t ……… 10

IV.3 Các ph ng pháp phân tích m t phân th c h u t ……….……… 10

IV.4 ng d ng c a phép phân tích m t phân th c h u t ……… 10

Ch ngă2.ăCácăd ngătoánăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt

I BƠiătoánăs ăh căc aăđaăth căh ăs ănguyên……….………… 11

I.1 Bài toán v tính chia h t c a đa th c……….……… 11

I.2 Ch ng minh đa th c kh quy, b t kh quy……….………… 12

I.3 M t s bài toán v đa th c Chebyshev……… ……… 14

II Nghi măc aăđaăth c……… 14

II.1 Tìm nghi m c a đa th c……….……… 14

II.2 Tính ch t c a nghi m c a đa th c……….…….…… 15

II.3 Nghi m b i và đ o hàm c a đa th c…… ……… 18

III BƠiătoánăxácăđ nhăđaăth c……… ……… 19

III.1 Xác đ nh đa th c khi cho bi t nghi m c a đa th c…… …… ……… 19

III.2 Dùng ph ng pháp h s b t đ nh ……… ….

20 III.3 Tìm đa th c khi bi t m t s giá tr c a đa th c và đ o hàm…………. 21

IV Phơnăth căh uăt ……… ……… 23

IV.1 Phân tích phân th c h u t ……… ………. 23

IV.2 ng d ng c a phép phân tích phân th c h u t vào tính tích phân 23 Ph năIII:ăK tălu n ……….………

TƠiăli uăthamăkh o……….….………

M ă U

Trong ch ng trình môn Toán b c Ph thông, h c sinh đ c ti p c n v i

đa th c t b c THCS, đ n THPT chuyên Bài toán v đa th c và phân th c h u

t xu t hi n trong h u h t các cu c thi Hi n nay, các tài li u v đa th c c ng khá

đa d ng và phong phú Tuy nhiên, đa s đ u khó đ i v i các h c sinh m i b t

đ u ti p c n Vì v y tôi l a ch n các d ng toán đi n hình v đa th c và phân

th c h u t đ nghiên c u và ph c v cho h c sinh các l p chuyên toán ph thông

Lu năv năăg mă2ăch ng:

Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv đaăth căvƠăphơnăth căh uăt

Ch ngă2.ăCácăd ngătoán v đaăth căvƠăphơnăth căh uăt

Hà n i ngày 15 tháng 5 n m 2016

Tácăgi

Nguy nă căLai

L IăC Mă N

Lu n v n này đ c hoàn thành d i s h ng d n khoa h c c a ti n s Bùi Huy Hi n Em xin chân thành c m n Th y đã t n tâm, nh t tình h ng d n

em trong su t th i gian h c t p và làm lu n v n Tác gi c ng xin chân thành

c m n tr ng i h c Th ng Long, c m n các Th y, Cô giáo c a Nhà tr ng

đã nhi t tình gi ng d y cho em trong su t th i gian qua C m n các Th y, Cô giáo tr ng THPT Chuyên B c Giang đã giúp đ , t o đi u ki n cho tôi có nhi u

th i gian tham gia h c t p nâng cao trình đ C m n các b n h c viên l p Cao

h c Th ng Long khoá 03 đã giúp đ tôi trong c quá trình h c t p t i tr ng!

Hà n i ngày 15 tháng 5 n m 2016

Tácăgi

Nguy nă căLai

CH NGă1

TịMăT TăM TăS ăKI NăTH CăCHUNGă

V AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT

I ăVĨNHă AăTH CăM TăBI N

I.1 aăth cătrong vƠnhăK X [ ]

I 1.1.ă nhăngh a

I 1.1.1.ă nhăngh aă1

V i m i dãy  a n n thu c K , ta g i I  { n  , an  0}là giá c a  a n n

a th c m t bi n, có h t l y trong K là dãy  a n n b t k thu cK có giá h u

Cho các đa th c P  an n  K X [ ], Q  bn n  K X [ ] Ta g i đa th c h p

c a P và Q đ c vi t là P Q ho c P Q  và đ c xác đ nh theo công th c

 

0

N n n n

, ,

P   Q   P  Q P Q  P Q PQ  P Q

I.4.3.ă nhălỦ( nhălỦăTaylorăđ iăv iăđaăth c)

Cho đa th c P  [ ], X N  , th a mãn deg P  N ,   Ta có công th c

n N

n n

Là đ n Ánh khi và ch khi K vô h n

II ăS ăH CăTRONGăVĨNHă AăTH C

II 1.ăPhépăchiaăcóăd

II.1.1 nhăngh aătínhăchiaăh t

Cho A P , là hai đa th c trong K X [ ] và   K

Ta nói A chia h t P( trong K X [ ]) và ký hi u là A P, khi và ch khi t n t i đa

trong phép chia Euclide A cho B

II 1.4.ă nhăngh aă căchungăl nănh t(UCLN),ăB iăchungănh ănh t(BCNN)

II 1.5.ă Tínhă ch tă c aă că chungă l nă nh t(UCLN),ă B iă chungă nh ă

nh t(BCNN)

II.1.6 aăth cănguyênăt ăcùngănhau

II.1.7 Cácăđ nhălỦ vƠătínhăch t

Cho A B C P Q , , , , là các đa th c trong K X [ ] và   K

nhălỦ

H ăqu

M nhăđ

III ăNGHI MăC Aă AăTH C

III 1.ăKhôngăđi măc aăđaăth c

III 1.1.ă nhăngh a 1

Cho P  K X [ ], a  K Ta nói r ng là m t không đi m hay m t nghi m c a

P khi và ch khi P   0

III 1.2.ă nhăngh aă2

Cho P  K X [ ], a  K Ta nói r ng là không đi m c p b i không th p h n

k khi và ch khi  k

P X  

III 2.ăTínhăch tăc aăkhôngăđi m vƠ đ oăhƠm

III 2.1.ă nhălỦăViet

III 2.2.ă oăhƠmăv iănghi măc aăđaăth c

III 3.ă nhălỦăBerzout

III 4.ă aăth căn iăsuyăLagrange

nhălỦ

IV ăPHÂNăTH CăH UăT

IV.1 Cácăđ nhăngh a

IV 1.1.ă nhăngh aă1

IV 1.2.ă nhăngh aă2

IV 1.3.ă nhăngh aă3

IV 1.4.ă nhăngh aă4

IV 1.5.ăTínhăch t

IV 2.ăPhépăphơnătíchăm tăphơnăth căh uăt

IV.2.1 Cácăb ăđ

B ăđ ă1

B ăđ ă2

B ăđ ă3

B ăđ ă4

IV.2.2 ă nhăngh a.ă

IV.2.3 ă nhălỦ

IV.3 ăCácăph ngăphápăphơnătíchăm tăphơnăth căh uăt

CH NG 2

CỄCăD NGăTOỄN V AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT

I ăD NGă1.ăTệNHăCH T S ăH CăC Aă AăTH CăH ăS ăNGUYểN

I 1.ăBƠiătoánăv ătínhăchiaăh tăc aăđaăth c

I.2 ăCh ngăminhăđaăth căkh ăquy,ăb tăkh ăquy

BƠiătoánăI.2.1

Cho P x  [ ] x và có b c n l , nh n giá tr b ng 1 ho c  1 t i n giá tr

nguyên khác nhau Ch ng minh r ng P x  [ ] x b t kh quy trên [ ] x

BƠiătoánăI.2.7

Cho đa th c    2 2

7 6 n 13

P x  x  x  

Cho đa th c f x  trên [ ] x có b c n N u t n t i ít nh t 2 n  1 s nguyên,

phân bi t m sao cho f m  nguyên t thì f x  b t kh quy trên [ ] x

Cho n là s nguyên d ng Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ đa

th c P x  xn 4 kh quy trên [ ] x là n chia h t cho 4

Cho n  , n  4, ch ng minh r ng   3 2

5

n

P x  x  x  x   x b t kh quy trên [ ] x

I.3 ăM tăs ăbƠiătoánăv ăđaăth căChebyshev

Các bài toán v đa th c Chebyshev t ng đ i khó v i đa s h c sinh, v i

m c đích gi i thi u cho các h c sinh chuyên m i ti p c n v i đa th c nên tôi

ch n l c m t s bài toán th ng g p c a đa th c Chebyshev

II ăD NGă2.ăNGHI MăC Aă AăTH C

II 1.ăTìmănghi măc aăđaăth c

n nghi m d ng Hãy tìm t t c các nghi m c a đa th c trên

II 2.ăTínhăch tăc aănghi măc aăđaăth c

Cho P x là đa th c nguyên và P x  1 có nghi m nguyên là x 1, P x  2

có nghi m nguyên là x 2, P x  3 có nghi m nguyên là x3 Ch ng minh r ng

Cho đa th c P x  b c 4 có 4 nghi m d ng phân bi t Ch ng minh r ng đa

a a n

II 3.ăNghi măb iăvƠăđ oăhƠmăc aăđaăth c

BƠiătoánăII.3.1

P x  x  x  x  Q x  x  x  x  Ch ng minh r ng các đa th c đã cho có m t nghi m duy nh t và hãy tính t ng 2 nghi m

III ăD NGă3.ăBĨIăTOỄNăXỄCă NHă AăTH C

III.1 Xácăđ nhăđaăth căkhiăchoăbi tănghi măc a đaăth c

BƠiătoánăIII.1.1

Tìm t t c các đa th c P x  [ ] x nh n 3

x    làm nghi m Ch ng minh r ng deg P x  6

 1   2 1,

IV ăD NGă4.ăPHÂNăTH CăH UăT

IV 1.ăPhơnătíchăphơnăth căh uăt

x x



5 3

1 2

x F

2 5 1

x F x

2 1

x x F

0

2 5 1

K TăLU N

Lu n v n đã thu đ c nh ng k t qu sau:

c p đ khác nhau

Các bài toán trong lu n v n ch y u đ c trích ra t các tài li u ôn thi h c sinh gi i qu c gia, Qu c t , t các đ thi h c sinh gi i THPT qu c gia, Qu c t

và khu v c

chuyên Toán và có nhi u ph n, bài toán làm t i li u cho h c sinh chuyên trong

nh ng n m g n đây và thu đ c nh ng k t qu khá t t

Hi v ng lu n v n s là m t tài li u b ích cho giáo viên và h c sinh

chuyên Toán

Tácăgi

DANHăM CăCỄCăTĨIăLI UăTHAMăKH O

ti ng vi t), NXB i h c và trung h c chuyên nghi p, Hà N i 1979

Giáo d c 1999

[5] Nguy n V n M u, a th c đ i s và phân th c h u t NXB Giáo d c 2006

d c 2008

NXB Giáo d c 2008