Luận văn thạc sĩ toán cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ thông

32 Ch ngă2:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGă CLIT .... 36 Ch ngă3:ăH ăTH NGăBĨIăTOÁNă I NăHÌNHă NGăD NGăC CăVĨă IăC CăTRONGăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG ..... 1.4.2 .ăGiaoăc aăđ ngăb căhaiăv iăđ ngă

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

-

TR NăCHỂUăNGUYểN

TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

Hà N i – N m 2016

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

-

Tr năChơuăNguyênăậ C00451

TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

Chuyên ngành: Ph ngăphápătoánăs ăc p

Mã s : 60.46.01.13

Ng i h ng d n khoa h c: PGS.TSKH S ă CăQUANG

Hà N i – N m 2016

L IăC Mă N

Lu n v n này đ c hoàn thành t i tr ng i h c Th ng Long d i s

h ng d n khoa h c c a PGS.TSKH S c Quang Tôi xin g i l i c m n

đ n Ban Giám hi u, các Th y Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đ i h c và các phòng ban liên quan trong Tr ng i h c Th ng Long đã t n tình giúp đ và

t o đi u ki n thu n l i cho tôi trong quá trình h c t p và nghiên c u

c bi t, tôi xin chân thành c m n Th y h ng d n khoa h c c a mình

là PGS.TSKH S c Quang đã t n tình h ng d n và giúp đ tôi trong quá trình nghiên c u và hoàn thi n lu n v n ng th i tôi xin đ c g i l i c m

n đ n toàn th gia đình, ng i thân và các b n l p cao h c Toán K3 Tr ng

i h c Th ng Long đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p và nghiên c u

Vì đi u ki n công tác và th i gian có h n cùng v i kh i l ng ki n th c

l n nên lu n v n khó tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi kính mong các Th y,

Cô cùng các b n đ c ti p t c góp ý ki n đ lu n v n đ c hoàn thi n h n

Xin chân thành c m n!

M CăL C

L IăC Mă N 1

M CăL C 2

M ă U 5

Ch ngă1:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGăX ă NH 6

1.1 Không gian x nh 6

1.2 T s kép và hàng đi m đi u hòa 8

1.3 Ánh x x nh 13

1.3.1 nh ngh a 12

1.3.2 Tính ch t c a ánh x x nh 14

1.4 Siêu m t b c hai trong không gian x nh 2  P R 16

1.4.1 nh ngh a 16

1.4.2 Giao c a đ ng b c hai v i đ ng th ng 17

1.4.3 D ng chu n t c c a siêu m t b c hai trong không gian x nh th c 18

1.5 i m liên h p qua siêu m t b c hai trong 2  P R 19

1.6 Nguyên t c đ i ng u 23

1.7 Các đ nh lý c đi n c a hình h c x nh 24

1.8 Mô hình afin c a m t ph ng x nh: 30

1.8.1 Mô hình afin c a m t ph ng x nh: 30

1.8.2 M t s nh n xét: 31

1.8.3 M t s khái ni m đ i ng u trong P 2: 32

Ch ngă2:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGă CLIT 35

2.1 Phép ngh ch đ o 35

2.2 ng tròn tr c giao 36

2.3 C c và đ i c c 36

Ch ngă3:ăH ăTH NGăBĨIăTOÁNă I NăHÌNHă NGăD NGăC CăVĨă IăC CăTRONGăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG 39

3.1 Các bài toán v quan h vuông góc, song song: 39

3.2 Các bài toán v tính đ ng quy, th ng hàng: 43

K TăLU N 53

DANH M CăTĨIăLI UăTHAMăKH O 54

M ă U

C c và đ i c c là m t công c m nh và thú v đ nghiên c u hình h c ph thông V i khái ni m c c và đ i c c, chúng ta có th đ a ra cách nhìn khá

nh t quán đ i v i m t s d ng toán đ c tr ng (quan h vuông góc, th ng hàng, đ ng quy, ) b c THPT, chúng ta xem xét khái ni m c c và đ i c c

đ i v i đ ng tròn, đ i v i 3 đ ng cô-níc ho c v i c p đ ng th ng Tuy nhiên hi n nay, vi c v n d ng các ki n th c v c c và đ i c c vào nghiên c u

và gi i quy t các bài toán hình h c ph thông ch a đ c quan tâm và khai thác trong ch ng trình sách giáo khoa, nh ng nó l i n m trong ph m vi ki n

th c c a các đ thi h c sinh gi i môn Toán tr ng THPT Vì v y tôi l a

ch n nghiên c u đ tài “C c, đ i c c và ng d ng trong d y hình h c ph thông”

M c đích c a chúng tôi trong lu n v n nh m trình bày ph ng pháp s

d ng c c và đ i c c đ gi i quy t bài toán hình h c ph thông Chúng tôi s

đ a ra h ng gi i quy t m t s d ng bài toán hình h c s c p b ng cách s

d ng ki n th c v c c và đ i c c mà các ph ng pháp thông th ng m t nhi u công s c m i gi i quy t đ c V i mong mu n nh v y, tôi hy v ng

lu n v n có th là m t tài li u tham kh o cho các h c sinh ph thông và các

đ ng nghi p giáo viên Toán THPT và THCS đ ti p c n các bài toán hình h c

s c p theo m t h ng m i

Lu n v n đ c chia ra làm 3 ch ng Trong Ch ng 1, chúng tôi s trình bày các ki n th c v c c và đ i c c trong m t ph ng x nh Chúng tôi s dành Ch ng 2 đ trình bày c c và đ i c c trong m t ph ng Euclid Ch ng

3 là ch ng cu i c a lu n v n s dành đ trình bày h th ng m t s d ng bài

t p hình h c s c p đ c gi i b ng ph ng pháp s d ng c c, đ i c c

Không gian x nh trên tr ng s th c R liên k t v i không gian véc t ¡ n

đ c g i là không gian x nh th c n chi u, kí hi u là n 

P R Trong lu n v n này, chúng ta xét đ n không gian x nh th c 2 chi u 2 

P R

nhăngh aă1.1.2ă(Ph ng trong không gian x nh 2

P ) Cho không gian x

P đ c g i là h đi m đ c l p n u h rvéc-t đ i di n cho chúng là h véc-t đ c l p tuy n tính trong 3

R H đi m không đ c l p g i là

h đi m ph thu c

Theo đ nh ngh a đó, trong 2

P h ch có m t đi m là h đ c l p, h g m hai

đi m là h đ c l p n u hai đi m đó phân bi t, h g m ba đi m đ c l p n u ba

đi m đó không th ng hàng H g m 4 đi m tr lên luôn luôn là h đi m ph thu c

nhăngh aă1.1.4ă(M c tiêu x nh) M t t p h p có th t g m 4 đi m c a

di n c a m c tiêu x nh đã cho

nhăngh aă1.1.5ă(T a đ đi m đ i v i m t m c tiêu x nh) Trong không

1.2.ăT ăs ăképăvƠăhƠngăđi măđi uăhòa

Trong không gian x nh 2 

P R cho 4 đi m th ng hàng A B C D , , , trong đó ba

đi m A B C , , đôi m t không trùng nhau Ta g i a b c d , , , là các véc-t l n l t

đ i di n cho các đi m A B C D , , , thì các véc-t đó thu c m t không gian véc-t

2 chi u, trong đó a b , đ c l p tuy n tính Khi đó có các s k1, l1 và k2, l2 sao cho

nhălýă1.2.2 (M t s tính ch t c a t s kép) N u 4 đi m A B C D , , , th ng hàng và phân bi t thì:

i) Khi hoán v 2 đi m đ u v i nhau, ho c 2 đi m cu i v i nhau thì t s kép

tr thành s ngh ch đ o

ii) Khi hoán v đ ng th i 2 đi m đ u v i nhau và 2 đi m cu i v i nhau, t s kép không thay đ i

iii) Khi hoán v c p đi m đ u v i c p đi m cu i, t s kép không thay đ i

iv) Khi hoán v 2 đi m gi a v i nhau, ho c hoán v đi m đ u và đi m cu i

nên c p đi m A B , c ng chia đi u hòa hai đi m C D , B i th , ta còn nói c p

đi m A B , và c p đi m C D , liên hi p đi u hòa Ta c ng nói A B C D , , , là m t hàng đi m đi u hòa

nhăngh aă1.2.4ă(Chùm đ ng th ng) Trong không gian x nh 2 

nhălýă1.2.5ă(T s kép c a b n đ ng th ng thu c m t chùm) Cho 4 đ ng

th ng U V W Z , , , thu c m t chùm trong đó U V W , , đôi m t phân bi t N u d là

đ ng th ng c t 4 đ ng th ng đó l n l t t i A B C D , , , (không c t giá c a chùm) thì t s kép c a 4 đi m đó không ph thu c vào v trí c a đ ng th ng

i m A U B V  ,  nên ta có    U t A  0,   V t B  0, ngoài ra đi m A B ,

là phân bi t nên ta c ng có    U t B  0,   V t A  0 i m C n m trên đ ng

th ng AB nên ph i có  C  k A1    l B1 , m t khác C c ng n m trên W nên

   W t C  0 hay p U 1  q V 1   k A 1    l B 1  0. i u này suy ra

               

p k U A  q l V B  p l U B  q k V A  , hay p l U 1 1   t B  q k V 1 1   t A  0 T k t qu này ta có th l y s

       

k  p U B l   q V A

V y t s kép nói trên không ph thu c d nh lý đ c ch ng minh

Chúăý:ăT cách ch ng minh đ nh lí trên ta suy ra cách tìm t s kép c a chùm

4 đ ng th ng khi bi t t a đ c a chúng đ i v i m t m c tiêu nào đó nh sau:

m t c nh g i là hai đ nh đ i di n; đ ng th ng n i 2 đ nh đ i di n đ c g i

là đ ng chéo; giao c a hai đ ng chéo g i là đi m chéo

nhălíă1.2.8ă( nh lý hình b n c nh toàn ph n) Trong hình b n c nh toàn

ph n, hai đ ng chéo đi qua m t đi m chéo nào đó chia đi u hòa hai đ ng

th ng n i hai đi m chéo đó v i hai đ nh n m trên đ ng chéo th ba

Ch ng minh (hình v )

Gi s a b c d , , , là b n c nh c a hình b n c nh toàn ph n Các đ nh c a nó

là : P   a b Q c ,   d R a ,   d S b ,   c U ,   a c V b ,   d Các đi m chéo là: I  PQ  RS J ,  RS  UV K ,  UV  PQ Nh v y ta c n ch ng minh c p

đ ng th ng IJ IK , chia đi u hòa c p đ ng th ng IU IV , T c là

J K U V , , ,   1. Xét hình b n đ nh toàn ph n PQRS thì k t qu trên là hi n nhiên

1.3 Ánhăx ăx ă nh

Cho các Kkhông gian x nh P, , Vp  và P',p ', V'

1.3.1 nhăngh aă(Ánh x x nh) M t ánh x f :PP' đ c g i là ánh x

x nh n u có ánh x tuy n tính  :VV' sao cho n u véc-t xV là đ i

di n cho đi m XP thì vec-t  ( ) x  V' là đ i di n cho đi m f x  P' Ngh a

là, n u p x  X thì p '  x  f X  Khi đó ta nói r ng ánh x tuy n tính

     Vì  đ n c u nên suy ra a  kb, t c là A và Btrùng nhau

c Ánh x x nh b o t n tính đ c l p và tính ph thu c c a m t h đi m

(do đ n c u tuy n tính b o t n s đ c l p tuy n tính và s ph thu c tuy n

tính c a h vec-t ) T đó suy ra: Ánh x x nh b o t n các khái ni m:

x  thì f M  có đ i di n là  x N u ' :VV'c ng là đ i di n cho ánh

x x nh f thì v i m i vec-t xV, các vec-t  x và ' x  cùng đ i di n cho m t đi m c a P' nên  x  kx' x Do  và ' đ u là đ n c u tuy n tính nên ta suy ra kx không ph thu c vào x

nhăngh aă1.3.3ă(Phép bi n đ i x nh) Ánh x x nh f :PP' là song ánh khi và ch khi P và P' có cùng s chi u Khi đó, f đ c g i là đ ng c u

x nh, hai không gian P và P' đ c g i là đ ng c u

c a không gian x nh P Nhóm x nh c a P đ ng c u v i nhóm th ng

GL V kId kV  , v i V là không gian vec-t liên k t v i P

c) N u trong không gian x nh 2

P cho hai m c tiêu x nh S S S E 0 , 1 , 2 ;  và

trên tr ng s th c R, t c là ph ng trình có d ng

2 ij , 0

x

x x x

x Ax  , (2)

trong đó t

x là ma tr n chuy n v c a ma tr n x, còn 0 là kí hi u cho ma tr n

g m 1 dòng 1 c t g m 1 s 0

Ma tr n Ađ c g i là ma tr n c a siêu m t b c hai  S đ i v i m c tiêu đã

cho N u det A  0 t c ma tr n Akhông suy bi n thì siêu m t b c hai  S đ c

g i là không suy bi n Ng c l i, n u det A  0 thì siêu m t b c hai  S đ c

g i là suy bi n

Ta th ng g i siêu m t b c hai trong không gian x nh 2 

P R là đ ng

b c hai Hai đ ng b c hai  S và  S ' v i các ma tr n A và A ' t ng ng

đ c xem là trùng nhau khi và ch khi có s th c k  0 sao cho A kA  ' Khái

ni m đ ng b c hai là m t khái ni m x nh

1.4.2 ăGiaoăc aăđ ngăb căhaiăv iăđ ngăth ng Trong không gian x nh

 

2

P R cho đ ng b c hai  S và đ ng th ng Q Ta ch n m c tiêu x nh

S S S E 0 , 1 , 2 ;  sao cho 2 đi m S S 0 , 1 n m trên Q Khi đó ph ng trình Q là

x  (1)

Gi s khi đó ph ng trình c a  S là

2 ij , 0

- N u các s đó không đ ng th i b ng 0 thì  S ' là m t siêu m t b c hai trong không gian x nh 1 chi u Q Nh v y giao đó ho c là m t đi m ho c

là hai đi m phân bi t

1.4.3 ăD ngăchu năt căc aăsiêuăm tăb căhaiătrongăkhôngăgianăx ă nhăth c

Trong 2 

P R đ i v i m c tiêu đã ch n, cho siêu m t  S có ph ng trình

0 t

M i siêu m t b c hai có đúng m t ph ng trình chu n t c Siêu m t b c hai

 S trong tr ng h p đó g i là siêu m t b c hai có ch s p q ,  Ta có đ nh lý phân lo i siêu m t b c hai nh sau

nhălý 1.4.5 Hai siêu m t b c hai  S 1 và S 2 trong không gian x nh th c

là t ng đ ng khi và ch khi ph ng trình chu n t c c a chúng gi ng nhau

1.5 ă i măliênăh păquaăsiêuăm tăb căhaiătrongăP 2 R

Trong P 2 R v i m c tiêu đã ch n, cho siêu m t b c hai  S có ph ng trình t 0

x Ax  , và hai đi m Y  ( y 0 : y 1 : y 2 ) và Z  ( z 0 : z z 1 : 2 )

nhăngh aă1.5.1 ( i m liên h p) i m Y đ c g i là liên h p v i đi m Z

đ i v i  S n u y Azt  0, trong đó y và z l n l t là ma tr n c t t a đ c a

đi m Y và đi m Z

Khi đó ta c ng có z Ayt  0, nên đi m Z c ng liên h p v i đi m Y đ i v i

 S Nh v y ta nói hai đi m Y và Z liên h p v i nhau đ i v i  S c bi t

đi m Y liên h p v i chính nó đ i v i  S khi và ch khi Y n m trên S

nhălí 1.5.2 Gi s hai đi m phân bi t Y và Z liên h p v i nhau đ i v i siêu m t b c hai  S trong không gian x nh 2 

k l 1 2  k l 2 1   M t A N  0

Vì M N , là hai đi m phân bi t c a  S nên    M t A N  0, (vì n u

0 ) ( ) ( M tA N  thì c đ ng th ng MNs n m trên S) suy ra k l1 2 k l2 1 0 V y

nhălí 1.5.3 Trong 2 

P R cho siêu m t b c hai  S và đi m Y T p h p t t

c nh ng đi m liên h p v i Y đ i v i  S ho c là m t đ ng th ng trong

Y  y y y i m X  ( x 0 : x x 1 : 2 ) liên h p v i Y đ i v i siêu m t b c hai

 S khi và ch khi y Axt  0, hay

2 ij , 0

- N u h s c a xj trong ph ng trình (1) không đ ng th i b ng 0, hay ma

nhăngh aă1.5.4ă(C c và đ i c c qua siêu m t b c hai) N u t p h p các

đi m liên h p đ i v i đi m Y đ i v i siêu m t b c hai (S) là m t đ ng th ng thì đ ng th ng đó đ c g i là đ ng th ng đ i c c c a đi m Y và kí hi u là

Y* Ng c l i, đi m Y đ c g i là đi m đ i c c c a đ ng th ng Y*

i m Y đ c g i là đi m kì d c a siêu m t b c hai (S) n u Y liên h p v i

m i đi m c a P 2 R đ i v i (S) Nh v y đi m kì d c a (S) ph i n m trên (S)

vì đi m kì d liên h p v i chính nó H n n a ch có siêu m t b c hai suy bi n

m i có đi m kì d Th t v y, t a đ c a đi m kì d là nghi m c a h ph ng trình

2 ij 0

0, 0,1, 2 i

B i v y, n u (S) có đi m kì d thì h ph ng trình đó có nghi m không t m

th ng, do đó detA=0, hay (S) suy bi n

nhăngh aă1.5.5 (Ti p tuy n và ti p đi m) N u đi m Y n m trên siêu m t

b c hai  S nh ng không ph i là đi m kì d c a  S thì đ ng th ng đ i c c

c a nó khi và ch khi (X)tA= (U)t hay A(X)= (U), do đó (X)=A-1(U) đ c xác

đ nh duy nh t

nhăngh a 1.5.6 ( ng th ng liên h p) Hai đ ng th ng U và V đ c g i

là liên h p v i nhau qua siêu m t b c hai không suy bi n (S) khi hai đi m đ i

c c c a chúng liên h p v i nhau qua (S)

Cácătínhăch tă:

a) Hai đ ng th ng liên h p v i nhau qua siêu m t b c hai không suy bi n (S) khi và ch khi đ ng th ng này đi qua đi m đ i c c c a đ ng th ng kia

Th t v y, cho hai đ ng th ng U,V có đi m đ i c c đ i v i (S) l n l t là U*

và V* Khi đó U liên h p v i V qua (S) khi và ch khi U* và V*là hai đi m liên

h p qua S Vì U g m nh ng đi m liên h p v i U*nên U đi qua V* T ng t

Khi đó ta nói U thu c V, ho c V thu c U Ch ng h n, n u đi m A n m trên

đ ng th ng a thì ta nói: “đi m A thu c đ ng th ng a”, ho c nói: “đ ng

th ng a thu c đi m A” Nh v y, t “ thu c” đ ng ngh a v i m t trong các

t “n m trên”, “đi qua”, “ch a”, “ch a trong”

V i cách hi u nh v y, ta có th nói r ng: Phép đ i x gi nguyên quan h liên thu c gi a các ph ng, có ngh a là n u U thu c V thì  U thu c  V

nhă ngh aă 1.6.1ă (M nh đ đ i ng u) Gi s M là m t m nh đ nào đó trong m t ph ng x nh 2

P nói v các ph ng và các quan h liên thu c gi a

chúng N u trong m nh đ đó các t “0 – ph ng” đ c thay b ng các t

“1– ph ng” và ng c l i, các t khác gi nguyên thì đ c m nh đ m i *

M

g i là m nh đ đ i ng u

T tính ch t c a phép đ i x , ta có k t qu sau đây g i là nguyên t c đ i

m t 1 – ph ng thu c hai 0 – ph ng phân bi t cho tr c” Khi đó, m nh đ đ i

ng u c a nó s là: “Có m t và ch m t 0 – ph ng thu c hai 1 – ph ng phân

bi t cho tr c”, hay phát bi u cách khác : “ Hai đ ng th ng phân bi t luôn

c t nhau t i m t đi m duy nh t” C p m nh đ đ i ng u trên đây đ u đúng

1.7.ăCácăđ nhălýăc ăđi năc aăhìnhăh căx ă nh

nhăngh aă1.7.1ă(Hình sáu đ nh) T p h p g m 6 đi m phân bi t có th t

nhălýă1.7.2ă( nh lý Pascal) N u m t hình 6 đ nh có 6 đ nh n m trên m t

đ ng ôvan (còn g i là hình sáu đ nh n i ti p đ ng ôvan) thì giao đi m c a các c nh đ i di n n m trên m t đ ng th ng

Ch ng minh (hình v )

f M  A f A  A f A  N f R  Q, h n th , f là phép chi u xuyên tâm

vì A 3 là đi m t ng Do v y các đ ng th ng MA A N QR 2 , 4 , đ ng quy Nói cách khác P Q R , , th ng hàng

Chúăý:ăCácătr ngăh păđ căbi tăc aăđ nhălýăPascal

là hình sáu đ nh A A A A A A 1 2 3 4 5 5 Khi đó l p lu n trong ch ng minh c a đ nh lí Pascal v n đúng n u c nh A A 5 6 đ c thay b ng ti p tuy n c a ôvan t i đ nh

i v i hình b n đ nh ABCD n i ti p ôvan (S), n u ta xem nó là tr ng h p

đ c bi t c a hình sáu đ nh AABBCD thì s có ba đi m sau đây th ng hàng: giao đi m c a ti p tuy n t i A v i c nh BC, giao đi m hai c nh AB và CD, giao đi m c a ti p tuy n t i B v i c nh AD

(Hình 3)

C ng v i hình b n đ nh ABCD nói trên, n u ta xem nó là tr ng h p đ c

bi t c a hình sáu đ nh AABCCD ho c ABBCDD thì s đ c k t qu sau:

H ăqu ă1.7.4 N u m t hình b n đ nh ABCD n i ti p m t đ ng ôvan thì

giao đi m các c p c nh đ i di n và giao đi m các c p c nh đ i di n và giao

đi m các ti p tuy n t i các c p đ nh đ i di n là b n đi m th ng hàng (Các

c p c nh đ i di n là : AB và CD, AD và BC, các c p đ nh đ i di n là A và C,

B và D)

(Hình 4)

i v i hình ba đ nh ABC n i ti p m t đ ng ôvan, n u ta xem nó là

tr ng h p đ c bi t c a hình sáu đ nh AABBCC thì đ c k t qu sau đây:

H ăqu ă1.7.5 N u m t hình ba đ nh n i ti p m t đ ng ôvan thì giao đi m