BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nghiên cúu sinh BÙI TIẾN DŨNG CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Nghiên cúu sinh BÙI TIẾN DŨNG
CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ
ĐƯỢC CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học :
TS NGUYỄN THÀNH LONG PGS.TS NGUYỄN HỘI NGHĨA
TP HỒ CHÍ MINH – 2005
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác
Tác giả luận án
Trang 3Lời cảm ơn
Con xin ghi tạc công ơn sinh thành và dưỡng dục của Cha mẹ để con khôn lớn nên người
Tôi xin ghi ơn tất cả Quý Thầy, Cô đã dạy cho tôi từ thuở ấu thơ cho đến ngày tôi được thành đạt hôm nay
Kính gửi đến TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, cùng PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa, Ban Sau Đại Học của Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, lòng biết ơn và tất cả những tình cảm tốt đẹp nhất vì sự tận tụy dạy dỗ của Quý Thầy đã dành cho tôi, kể cả những nghiêm khắc cần thiết của Quý Thầy trong việc hướng dẫn cho tôi học tập và nghiên cứu khoa học, nhằm giúp tôi được nên người
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy phản biện độc lập luận án, Quý Thầy trong Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Bộ môn, Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Nhà nước, đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp cho tôi hoàn thành tốt đẹp luận án này
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô cùng các Chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, và ở Phòng Sau Đại học của Truờng Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất các thủ tục học tập và bảo vệ luận án tiến sỹ
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh cùng Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ Bản đã độâng viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất việc học tập, nghiên cứu khoa học Đặc biệt xin được cảm ơn Thạc sỹ Ninh Quang Thăng, Khoa Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản của Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh, người lãnh đạo, người anh, và là đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi, giúp đỡ rất nhiều cho tôi trong sự nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức để cho tôi tập trung hoàn thành được luận án tiến sỹ này
Sau cùng, tôi xin gửi tất cả những tình cảm yêu thương và lòng biết ơn đối với gia đình, nơi đã gửi gắm ở tôi niềm tin, nơi cho tôi những an lành và sức mạnh, nhờ đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án tiến sỹ của mình
Bùi Tiến Dũng
Trang 4
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong các ngành Khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, thường xuất hiện các bài toán biên phi tuyến rất phong phú và đa dạng Đây chính là nguồn đề tài không bao giờ cạn mà rất nhiều các nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu Hiện nay, với những thành tựu của Toán học hiện đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào nền tảng của Giải tích hàm đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó Tuy nhiên, nhìn một cách tổng quát, chúng ta vẫn chưa có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến Do đó còn rất nhiều các bài toán biên phi tuyến vẫn chưa giải hoặc giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó
Trong luận án này chúng tôi sẽ khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến nhiều vấn đề trong các ngành Khoa học ứng dụng Chẳng hạn các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi ( một dây hoặc một thanh đàn hồi) với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự
va chạm của một vật rắn với một thanh đàn nhớt tuyến tính trên một nền cứng hoặc một nền đàn nhớt với các ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Công cụ để khảo sát các bài toán biên trên được chúng tôi sử dụng và trình bày trong luận án là các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lý về điểm bất động, phương pháp tiệm cận
Ngoài phần tổng quan ở chương mở đầu, kết quả chính của luận án sẽ được trình bày trong hai chương sau:
Chương 1: Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
, 0
), 1 , 0 ( ),
, , , , , ( )
,
B
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
, (t) )
, 1 ( ), ( ) , 0 ( ) , 0
và điều kiện đầu
), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
Trang 5trong đó B f, u~0, u~1, g0, g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và h0 0 là hằng số cho trước Trong phương trình (0.1) các số hạng phi tuyến
)
,
(t u 2
B và f(x,t,u,u,u t, u 2) phụ thuộc vào tích phân
1
2 2
N
dx t x x
u t
Phương trình (0.1) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một dây đàn hồi (Kirchhoff [16]):
y
u
2
L
E P
L
ơÛ đây u là độ võng, là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu Tuy nhiên, trong nhiều tài liệu sau này ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vẫn gọi phương trình thuộc dạng (0.5) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier Thật ra giữa hai bài báo gốc của Kirchhoff (1876)[16] và của Carrier (1945)[7] có sự khác biệt, bởi vì chúng tôi tìm thấy trong [7] của Carrier đã công bố năm 1945 thì phương trình không phải thuộc dạng (0.5), mà lại là
, 0
, 0
, )
, (
0
2 1
P
L
trong đó P0 ,P1 là các hằng số dương
Trong một số trường hợp riêng của B và f, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình
(0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara, Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39] Trong hai công trình gần đây (xem [31, 32]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier
IR
, 0
, ),
, ( )
,
B
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu
Thay vì xét (0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng
Trang 6, 0
, ),
, ( ) , , ( )
) ( ,
B
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu, với
) (t 2 u x t 2dx u
Trong [37], các tác giả Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghiên cứu bài toán với phương trình sóng
, 0
), 1 , 0 ( ,
0 ) ( )
B
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến và điều kiện đầu
Trong [38], Tucsnak nghiên cứu bài toán
, 0 , 1 0
0, )
, (
1 0
2
y
u b a
, 0 , 0 ) , 1 ( )
, 1 ( , 0 ) , 0
), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
trong đó a0, b0, 0 là các hằng số cho trước Trong trường hợp này, bài toán (0.10) - (0.12) mô tả sự kéo giãn sợi dây
Trong [30] Medeiros đã khảo sát bài toán (0.1)-(0.3) với f f(u)bu2,
ở đây b là một hằng số dương cho trước, là một tập mở bị chận của IR3 Trong [15], Hosoya và Yamada đã xét bài toán với f f(u)uu, trong đó > 0, 0 là các hằng số cho trước
Trong [8] Dmitriyeva đã nghiên cứu bài toán
), (0, )
, ( ), , (
u tt t (0.13)
2 1 2
2
0
, 0
i
i i
v x
u
u trên , (0.14)
), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
trong đó, (0,)(0,), vectơ v (v1,v2) là pháp tuyến đơn vị trên biên hướng ra ngoài,
,
6
/
2
2
h
động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh
Trong [26], N.T Long và các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Trang 7), , 0 ( )
, ( ), , ( )
(
0 ,
v
u
u trên , (0.17)
), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
trong đó >0, >0, 0< < 1 là các hằng số cho trước và là một tập mở bị chận của IR n
Bằng cách tổng quát kết quả của [8, 26], các tác giả N.T Long và T.M Thuyết [27] đã xét bài toán
), , 0 ( )
, ( ), , ( ) , ( )
(
0 ,
v
u
u trên , (0.20)
)
(
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
Trong [9], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi 0 của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3) với B 1 liên kết với điều kiện biên thuần nhất Dirichlet
, 0 ) , 1 ( ) , 0 ( t u t
u (0.22)
ở đây số hạng phi tuyến có dạng f f1(t,u) Sau đó, trong [10] Alain P.N Định và N.T Long đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với B 1 và số hạng phi tuyến có dạng
f f1(t,u,u t) (0.23)
Trong [21] N.T Long và T.N Diễm đã khảo sát phương trình sóng phi tuyến
, 0
), 1 , 0 ( ), , , , , ( )
, , , ,
f u
liên kết với điều kiện đầu (0.3) và điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
0, ) , 0 ( ) , 1 ( ) , 0 ( ) , 0 ( t h0u t u t h1u t
trong đó h0, h 1 là các hằng số dương cho trước
Trong trường hợp f C2([0,1][0,)IR3) và 1([0,1] [0, ) 3),
kết quả thu được liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu đến cấp 2 theo một tham số đủ nhỏ Kết quả này tiếp tục được mở rộng trong [24] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff:
), , , , , ( )
, , , , (
)]
( ) ( [
1
2 1 2
0
t x t
x
xx x x
tt
u u u t x f u u u t x f
u u B u
B b u
(0.26)
Trang 8liên kết với điều kiện (0.3) và (0.22) trong đó b0 0 là hằng số cho trước và
0 , 0 ), (
),
1
Trong chương này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề:
Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi liên kết bài toán với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp và chứng minh sự tồn tại địa phương và duy nhất nghiệm của bài toán bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong chương này cũng như trong các bài báo [6, 10, 21, 23, 24, 33] không thể sử dụng trong các bài báo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]
Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu
) , , , , , ( ε ) , , , , , (
)]
, ( ε ) , ( [
2 1
2
2 1
2
x t x x
t x
xx x x
tt
u u u u t x f u
u u u t x f
u u t B u
t B u
(0.27)
và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uε(x,t) đến cấp N+1 theo một tham số bé
Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại địa phương và duy nhất nghiệm của bài toán (0.1) - (0.3) tương ứng với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
, 0
), 1 , 0 (
), , , , , , ( )
B
0 ) , 1 ( ) , 0 ( ) , 0 ( t h0u t u t
), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
trong đó B ,f, u~0, u~1 là các hàm cho trước Ở đây, số hạng phi tuyến ở vế phải của (0.28) xác định
Kế tiếp chúng tôi mở rộng việc khảo sát cũng với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff-Carrier nhưng lại liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất như sau:
, 0
), 1 , 0 ( ),
, , , , , ( )
,
B
, (t) )
, 1 ( ), ( ) , 0 ( ) , 0
), (
~ ) 0 , ( ), (
~ ) 0 ,
trong đó B f, u~0, u~1, g0, g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau Bằng việc đặt ẩn phụ thích hợp, chúng tôi đưa bài toán (0.31) - (0.33) về bài toán có điều kiện biên thuần nhất thuộc dạng
(0.28) - (0.30) với sự điều chỉnh lại các hàm B ,f, u~0, u~1 trong (0.28) - (0.30) thành các hàm
Trang 90, ~
~
,
~
,
~
v
v
f
f
f thì với các dữ kiện B~ ,~f, ~v0, ~v1 cho bài toán (0.31) - (0.33) cũng không áp dụng trực tiếp kết quả đã khảo sát cho bài toán (0.28) - (0.30) Điều này cho thấy rằng bài toán (0.28) - (0.30) là trường hợp riêng của bài toán (0.31) - (0.33), nhưng về kết quả thì lại là không Chính vì vậy, chúng tôi vẫn phải trình bày hai bài toán (0.1) - (0.3) tương ứng với hai điều kiện biên thuần nhất và không thuần nhất
Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu
) , , , , , ( ε ) , , , , , (
)]
, ( ε ) , ( [
2 1
2
2 1
2
x t x x
t x
xx x x
tt
u u u u t x f u
u u u t x f
u u t B u
t B u
0.34)
liên kết với (0.32) và (0.33) Khi đó với các giả thiết thích hợp về B f, u~0, u~1, g0, g1, chúng tôi thu được một nghiệm yếu uε(x,t) có khai triển tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số đủ nhỏ
Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận đến cấp cao hơn cho phương trình nhiễu
) , , , , , ( ε ) , , , , , (
)]
( ε ) ( [
2 2
2 1 2
x t x x
t x
xx x x
tt
u u u u t x f u
u u u t x f
u u B u
B
u
(0.35) liên kết với (0.29)
và (0.30) Chúng tôi thu được một nghiệm yếu uε(x,t) có khai triển tiệm cận đến cấp N+1 theo một tham số đủ nhỏ và các giả thiết thích hợp cho B ,f, u~0, u~1
Các kết quả này đã được công bố trong hai bài báo [d1, d2]
Chương 2: Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích
phân phi tuyến chứa giá trị biên Bài toán đặt ra là tìm một cặp hàm (u, P) thỏa
, 0
), 1 , 0 (
, 0 ) ,
f u
, 0 ) , 1 ( ), ( ) , 0 ( t P t u t
u x (0.37)
), ( ) 0 , ( ), ( ) 0 ,
trong đó f, u0, u1 là các hàm cho trước thỏa một số điều kiện nào đó sẽ được giả thiết sau Ẩn
hàm u(x,t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa một phương trình tích phân phi tuyến
Trang 10
t
ds s u s t K t
u H t g t P
0
)) , 0 ( , ( )) , 0 ( ( ) ( )
trong đó g, H và K là các hàm cho trước
Bài toán (0.36) - (0.39) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều kiểu điều kiện biên khác nhau tương ứng với các ý nghĩa cơ học nào đó, chẳng hạn như :
Trong [1], N.T An và N.Đ Triều và trong [20] N.T Long, Alain P.N Định đã xét bài toán
(0.36), (0.38) liên kết với điều kiện biên
, 0 ) , 1 ( ), ( ) , 0 ( t P t u t
u x (0.40)
trong đó ẩn hàm u(x,t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phương trình vi phân
thường
, 0
, ) , 0 ( )
( )
(
, ) 0 ( ' , ) 0
P (0.42)
ở đây 0, h 0, P0, P1 là các hằng số cho trước [1, 20]
Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) với
0
0
1
0 u P
, )
, (u u t Ku u t
f (0.43)
với K và là các hằng số dương cho trước Trong trường hợp này bài toán (0.36), (0.38), (0.41), (0.42) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính có một đầu đặt trên một nền cứng
Bằng việc giải bài toán (0.41), (0.42) ta thu được P(t) biểu thị theo P0, P1, , h, u tt(0,t) và sau khi tích phân từng phần, ta được
t
ds s u s t k t hu t g t P
0
) , 0 ( ) ( ) , 0 ( ) ( )
trong đó
sin )
(
, sin )) 0 ( (
1 cos
)) 0 ( (
)
t h
t k
t hu
P t
u h P t g
(0.45)
Bằng cách khử bớt một ẩn hàm P(t) thì điều kiện biên (0.37) có dạng