Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng (LV01806)

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Định lý giá trị trung bìnhxấp xỉ và ứng dụng không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tàikhác... Đặc biệt là việc mở rộng các kết quả đã biết đố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, 2015

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả

đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp, người thân,các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng sau đại học và cácthầy cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tất cả mọingười đã hỗ trợ tôi hoàn thành Luận văn này

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng

và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

Hà Nội, 15 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Hoàng Tuyết Nhung

Tôi xin cam đoan Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt đượctrong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS TrầnVăn Bằng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa Toán trường ĐHSP

Hà nội 2 và các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy

Trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn này tôi đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Định lý giá trị trung bìnhxấp xỉ và ứng dụng không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tàikhác

Hà Nội, 15 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Hoàng Tuyết Nhung

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 10

1.1 Một số khái niệm về không gian Banach 10

1.2 Hàm trên không gian Banach 12

1.3 Dưới vi phân Fréchet 15

1.4 Quy tắc tổng mờ 19

1.5 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng 28

2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng 30 2.1 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ 30

2.2 Ứng dụng 33

2.2.1 Tính Lipschitz 33

2.2.2 Tính đơn điệu theo nón và tính đơn điệu yếu 34

2.2.3 Tính tựa lồi và tính lồi 36

2.2.4 Tính đơn điệu cực đại 39

dom(f ) miền hữu hiệu của f

epi(f ) trên đồ thị của f

f′(x) đạo hàm của f tại x

∇2f (x) ma trận Hessian của f tại x

E∗ không gian liên hợp của E

intA phần trong của A

A,clA bao đóng của A

f′(x) đạo hàm Fréchet của f tại x

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi cácnhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiệnkhông trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liêntục

Cho tới nay đã có khá nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã đượcđưa ra và thường được gọi với cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phânsuy rộng Clarke, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Cácđạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra Tuynhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìmhiểu và khai thác Đặc biệt là việc mở rộng các kết quả đã biết đối với đạohàm cổ điển sang cho các đạo hàm suy rộng này (xem [3],[4],[6],[7]).Các định lý giá trị trung bình cổ điển (Định lý Rolle, Lagrange, Cauchy)

là những kết quả quan trọng của Giải tích toán học Đó là những “câycầu” kết nối các tính chất của hàm số khả vi với đạo hàm Năm 1988, D.Zagrodny [7] đã đưa ra một kết quả mở rộng của định lý giá trị trung bình

cho các hàm không khả vi và gọi là định lý giá trị trung bình xấp xỉ Kếtquả đó được coi là một trong những công cụ then chốt (theo đánh giá củaJ.M Borwein và Q J Zhu [4]) có vai trò tương đương với qui tắc tổng mờ

và nguyên lý cực trị, để nghiên cứu các hàm không trơn

Được sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài nghiêncứu:

”Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng của nótrong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm số không trơn như: tínhLipschitz, tính đơn điệu, tính lồi,

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Tìm hiểu về dưới vi phân Fréchet và các tính chất của dưới vi phân.-Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ

-Tìm hiểu khả năng ứng dụng của định lý giá trị trung bình xấp xỉ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

- Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đềtài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và giải tích

không trơn.

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống về khái niệm dưới vi phân Fréchet, đính

lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về khônggian Banach, hàm trên không gian Banach, dưới vi phân Fréchet, qui tắctổng mờ và bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng

1.1 Một số khái niệm về không gian Banach

Trong luận văn này, khi nói tới không gian Banach chúng ta luôn hiểu

đó là một không gian Banach thực, thường kí hiệu làX, với chuẩnk.kX

hay đơn giản là k.k Cho X là không gian Banach Kí hiệu hình cầu đơn

vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X lần lượt là các tập hợp

BX := {x ∈ X : kxk ≤ 1}, SX := {x ∈ X : kxk = 1}

Ví dụ 1.1 ([4]) Ta có:

1 Không gian tuyến tính Rk với chuẩn kxk = Pk

i=1|x(i)| là không gianBanach

2 Cho Ω ⊂ Rk là tập con đo được Lebesgue Khi đó không gian tuyến

tính Lp(Ω) (1 ≤ p < ∞) tất cả các hàm số thực đo được x = x(t)

trên Ω sao cho RΩ|x(t)|pdt < ∞ với chuẩn kxk = R

Ω|x(t)|pdt
1/p

làkhông gian Banach Không gian tuyến tính L∞(Ω) tất cả các hàm sốthực đo đượcx = x(t) trên Ω sao cho esssupΩ|x(t)| < +∞ với chuẩn

kxk = supΩ|x(t)| là không gian Banach.

3 Không gian tuyến tính lp (1 ≤ p < ∞) tất cả các dãy số thực x =

(x(i))sao cho chuỗi P∞

i=1|x(i)|p hội tụ với chuẩnkxk =

là không gian Banach

4 Không gian tuyến tính C[a, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, b] với chuẩn kxk = max

Với không gian định chuẩn X, kí hiệu X∗ là tập hợp tất cả các phiếmhàm tuyến tính liên tục trên X và gọi là không gian đối ngẫu của X Nếu

x∗ ∈ X∗ và x ∈ X thì giá trị của x∗ tại x được kí hiệu là hx∗, xi

Định lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78) Không gian đối ngẫu X∗ củakhông gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi

Ví dụ 1.3 ([1], trang 108, 110) Không gian đối ngẫu của Lp(Ω), lp (1 <

p < ∞) lần lượt là không gian Lq(Ω), lq với q là số mũ liên hợp của p, tức

là 1/p + 1/q = 1 Đặc biệt không gian đối ngẫu của L1(Ω), l1 tương ứng

là L∞(Ω), l∞

Định nghĩa 1.4 Không gian liên hợp của không gian X∗ gọi là khônggian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X∗∗ Nhưvậy X∗∗ = (X∗)∗

Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,nếu X = X∗∗

Ví dụ 1.6 ([1, 6]) Các không gian Lp(Ω), lp (1 < p < ∞) là các khônggian phản xạ

Theo Định lý 1.2, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.Định nghĩa 1.7 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu nó cómột tập con đếm được trù mật

Ví dụ 1.8 ([6], trang 103) Các không gian Lp (1 ≤ p < ∞), C[a, b] là

không gian tách được; các không gian L∞(Ω), l∞ không tách được

1.2 Hàm trên không gian Banach

Cho X, Y là các không gian Banach, f : X → Y là một ánh xạ.

Định nghĩa 1.9 Ánh xạf được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là khảvi) tại x∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tụcA : X∗ → Y∗

nênk.k2 là hàm khả vi Fréchet tại mọi x ∈ H Theo quy tắc đạo hàm hàmhợp ta có k.k khả vi tại mọi x 6= 0 và

Dkxk = x

kxk, x 6= 0.

Định lý 1.12 (Smulyan, [7], Định lý 1.4, trang 3) Cho (X,k.k) là khônggian Banach với không gian đối ngẫu X∗ Khi đó chuẩn k.k khả vi Fréchettại x ∈ SX khi và chỉ khi với mọi dãy fn, gn ∈ SX ∗, fn(x)→ 1 và gn(x)→

Định lý 1.14 ([7], Hệ quả 3.3, trang 51) Cho X là không gian Banachtách được Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi X∗

tách được

Ví dụ 1.15 Các không gian Lp(Ω) (1 < p < ∞) là không gian cóchuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó táchđược.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều cóchuẩn tương đương trơn Fréchet

1.3 Dưới vi phân Fréchet

Từ đây về sau ta luôn giả thiết X là không gian Banach có chuẩn tươngđương trơn Fréchet và trên X ta luôn giả thiết chuẩn nói đến là chuẩn trơnFréchet Do vậy, ta nói X là không gian có chuẩn trơn Fréchet Hơn nữachúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng, tức là có giá trị trong

R := R∪ {+∞}

Cho hàm f : X →R Ta gọi

domf :={x ∈ X : f(x) ∈ R},epif := {(x, λ) ∈ X ×R : x ∈ X, λ ≥ f(x)}

tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.

Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf 6= ∅

Định nghĩa 1.16 ([6], trang 10) Hàm f : X → R được gọi là nửa liêntục dưới (l.s.c.) nếu với mọi λ ∈ R, tập {x ∈ X : f(x) ≤ λ} là tập đóng.Định lý 1.17 ([6], trang 10) Cho X là không gian Banach, f là hàmchính thường trên X Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là tươngđương

a) Hàm f nửa liên tục dưới

b) Trên đồ thị epif là tập đóng trong X ×R

c) Với mọi x ∈ X, với mọi ε > 0 đều tồn tại một lân cận V của x saocho f (y) > f (x)− ε với mọi y ∈ V.

d) Với mọi dãy (xn) hội tụ tới x trong X ta đều có lim infn →∞f (xn) ≥

f (x)

e) Nếu f1, f2 nửa liên tục dưới thì f1 + f2 cũng nửa liên tục dưới

f) Nếu (fi)i ∈I là một họ các hàm l.s.c thì f (x) = supi∈I fi(x) cũng l.s.c g) Nếu f l.s.c và E ⊂ X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất trên

Định nghĩa 1.19 ([4], trang 4, Định nghĩa 1.3) Cho f : X → R là hàml.s.c, S ⊂ X là tập con đóng Ta nói, f là dưới khả vi Fréchet với dưới đạohàm Fréchet x∗ tại x nếu tồn tại C1 - hàm, lõm g sao cho ∇g(x) = x∗ và

f − g đạt cực tiểu địa phương tại x Tập mọi dưới đạo hàm Fréchet gọi làdưới vi phân Fréchet của f tại x và ký hiệu là D−f (x)

Nón pháp Fréchet của S tại x là tập hợp

N (S, x) := D−δS(x),

trong đó δS là hàm chỉ của tập S, xác định bởi

δS(x) :=



0, nếu x ∈ S,+∞, nếu x 6∈ S

Định lý 1.20 ([4], trang 5) Cho X là không gian Banach với chuẩn trơnFréchet, f là hàm l.s.c trên X Khi đó x∗ ∈ D−f (x) khi và chỉ khi

lim inf

khk→0

f (x + h)− f(x) − hx∗, hi

Nhận xét 1.21 Khái niệm dưới vi phân trong Định nghĩa 1.19 được gọi

là định nghĩa theo nghĩa nhớt Định lý 1.20 cho thấy, trong lớp không gianBanach với chuẩn trơn Fréchet thì định nghĩa đó tương đương với địnhnghĩa dưới vi phân theo giới hạn trong [4] Do vậy theo [6] chúng ta córất nhiều tính chất của dưới vi phân Fréchet, mối liên hệ của dưới vi phânFréchet và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux, dưới viphân Clarke, Chẳng hạn

i) Nếu f khả vi Fréchet tại x thì D−f (x) = {Df(x)};

ii) Nếu f lồi trên X thì

D−f (x) = {x∗ ∈ X∗ : f (y)− f(x) − hx∗, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ X}

Ví dụ 1.22 i) Cho hàm f (x) = |x|, x ∈ R Khi đó, tại x > 0 thì

f khả vi nên D−f (x) = {Df(x)} = {1}; tại x < 0 thì f khả vi nên

D−f (x) = {Df(x)} = {−1} Tại x = 0 hàm f không khả vi Do f lồinên ta có thể sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính dưới vi phân Cụ thể

D−f (0) = {p ∈R : |y| − py ≥ 0, ∀y ∈ R}

Chọn y = −1 và y = 1 ta suy ra −1 ≤ p ≤ 1 Với p ∈ [−1, 1] ta luôn có

py ≤ |py| ≤ |y| nên D−f (0) = [−1, 1]

ii) Tương tự ta có nếu X là không gian Hilbert và f (x) = kxk thì tacũng có

D−f (x) =

(n

x kxk

f (u) < ε + inf

Khi đó tồn tại C1- hàm lồi g trên X và v ∈ X sao cho:

i) Hàm x 7→ f(x) + g(x) đạt cực tiểu toàn cục tại x = v

là cực tiểu của hàm nhiễu f + g mà giá trị của f tại đó (f (v)) vẫn khôngthay đổi so với f (u) theo nghĩa

inf

X f ≤ f(v) < ε + inf

1.4 Quy tắc tổng mờ

Để phát triển các công cụ của giải tích qua khái niệm dưới vi phân, ta

có thể dựa trên một kết quả mang tính chất nền tảng đó là quy tắc tổng

mờ Quy tắc này có hai phiên bản: không địa phương và địa phương Kíhiệu đường kính của tập S ⊂ X là số

diam(S) := sup{kx − yk : x, y ∈ S}

Định lý 1.25 (Quy tắc tổng mờ không địa phương, [4], trang 6, Định lý2.1) Cho f1, , fN : X →R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dướivới

Nhận xét 1.26 Các điều kiện f1, , fN : X → R là các hàm bị chặndưới và

lim

η →0inf {f1(y1) + f2(y2) : ky1 − y2k ≤ η} < ∞

Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự nhưtrong quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường Tuy nhiên, kết quả(1.1) chỉ cho chúng ta biết các điểm xn là gần nhau, điều này khác vớiquy tắc tổng mờ địa phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần vớiđiểm cực tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung) Lưu ý rằng, kết quả(1.1) còn cho phép ta kiểm soát "cỡ" của các dưới đạo hàm tham gia trongtổng Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng Kết luận (1.2) cho ta điểmtựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới Trong các ứng dụng, điềunày thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm

xn Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau

Ví dụ 1.27 (Tính trù mật của tập các điểm dưới khả vi) Cho f : X → R

là một hàm nửa liên tục dưới, x ∈ domf và ε ∈ (0, 1) Áp dụng Định lý

2.1 đối với f1 = f + δx+B X và f2 = δ{x} ta có: tồn tại x1 và x2 sao cho

kx1− x2k < ε, 0 ∈ D−f1(x1) + D−δ{x}(x2) + εBX ∗ và

f1(x1) + δ{x}(x2) < f (x) + ε

Bất đẳng thức cuối suy ra x2 = x và do đó x1 phải thuộc phần trong của

x + BX nên D−f1(x1) = D−f (x1) Chứng tỏ, dom(D−f ) trù mật trong

domf

Đây là một kết quả khá mạnh Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm tựđộng là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các khônggian trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật

Tiếp theo ta đề cập tới quy tắc tổng mờ địa phương, một kết quả quantrọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng cácquy tắc tính dưới vi phân Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địaphương cần phải có các giả thiết bổ sung

Định nghĩa 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [4], trang 8, Định nghĩa 2.4).Cho f1, , fN : X →R là các hàm nửa liên tục dưới và E là một tập conđóng của X Ta nói bộ (f1, , fn) là nửa liên tục dưới đều trên E nếu

cực tiểu được nới lỏng.

Định lý 1.31 (Quy tắc tổng mờ địa phương yếu, [4], trang 10, Định

lý 2.7) Cho f1, , fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới Giả sử

x∗ ∈ D−(PN

n=1fn)(x) Khi đó với bất kì ε > 0 và bất kì lân cận yếu ∗ V

của 0 trong X∗, đều tồn tại xn ∈ x + εB, x∗n ∈ D−fn(xn), n = 1, , N saocho |fn(xn)− fn(x)| < ε, kx∗

theo dãy Điều này được khẳng định qua ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1.33 Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều và lấy mộtdãy ek trong X sao cho kekk = 1 và kek − elk ≥ 1/2 khi k 6= l Đặt

A := {ek/l : k, l = 1, 2, } ∪ {0},

B := {(ek + e1/k)/l : k, l = 1, 2, } ∪ {0}

Khi đó cả A và B đều là các tập con đóng và A ∩ B = 0 Đặt f1 := δA

và f2 := δB Ta chứng tỏ rằng, với bất kì η > 0, (f1, f2) không là nửa liêntục dưới đều địa phương trên ηB Thật vậy, nếu l là một số nguyên saocho 2/l < η và cho x1r = er/l; x2r = (er+ e1/r)/l thì kx1r − x2rk → 0 và

f1(x1r) = f2(x2r) = 0∀r Nếu ur là dãy sao cho kxnr− urk → 0, n = 1, 2

thì ta phải có ur 6= 0 với r đủ lớn Vì thế có ít nhất một trong hai giá trị

Ví dụ 1.34 Lấy X := l2 và ek là một cơ sở trực chuẩn trong X Khi

đó x ∈ X có thể biểu diễn duy nhất x = P∞

k=1x(k)ek Đặt Pn(x) :=

Pn

k=1x(k)ek, ta có kPm(x)k ≤ kPn(x)k với m ≤ n, nói riêng kPnk ≤ 1

với mọi n

Do xk → 0 khi k → ∞ nên kxk∞ := max{|xk(k)| : 1 ≤ k < ∞} tồn

tại Hơn nữa, với k0 sao cho |x(k0)| = kxk∞, ta có

|x(k0)| = kPk 0 +1(x)− Pk 0(x)k ≤ 2 kxk

Do vậy k · k∞ là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 2

Đặt Fn = {x : kxk ≤ 3, x(i) ≥ 0 và x(i) = 0 khi i mod 3 6= 0 và khi

Rõ ràng domf1 ∩ domf2 = {0} nên theo tính duy nhất của biểu diễnqua cơ sở suy ra f1+ f2 đạt cực tiểu tại 0 Từ định nghĩa ta thấy f1 và f2

đều bị chặn dưới bởi −7 vì k · k∞ là Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng

Nếu x 6= 0 thì kn 6→ ∞ Thật vậy, nếu kn → ∞ thì với mỗi i ta có

xn(i) → 0 khi n→ ∞ vì xn(i) = 0 với mọi i ≤ 3kn− 1