Nguyên lí biến phân trên không gian metric nón (LV01804)

Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm bấtđộng trong lớp không gian này đã lần lượt được công bố.Năm 2012, Seong Hoon Cho và Jong Sook Bae đã công bố kết quả về sự mở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng Sự giúp đỡ và hướng dẫntận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn

đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn

đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đốivới thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận vănnày

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Ngô Mạnh Hùng

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.Tôi xin cam đoan luận văn: “Nguyên lý biến phân trên khônggian metric nón” do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của TS Hà ĐứcVượng.

Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông tin tríchdẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Ngô Mạnh Hùng

Bảng kí hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Không gian metric 6

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric 7

1.3 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland 12

Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón 19

2.1 Các định nghĩa và ví dụ 19

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón 22

2.3 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nón 34 Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1974, I Ekeland đã chứng minh định lý về sự tồn tại điểm cựctiểu xấp xỉ của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian metric đầy đủ.Tức là với không gian metric đầy đủ (X, d), hàm ϕ : X → (−∞, +∞] lànửa liên tục dưới và bị chặn dưới Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ Xsao cho ∀y ∈ X, y 6= xε ta có:

về điểm bất động của ánh xạ co trong lớp không gian này

Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm bấtđộng trong lớp không gian này đã lần lượt được công bố.

Năm 2012, Seong Hoon Cho và Jong Sook Bae đã công bố kết quả

về sự mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland trên không gian metricnón qua bài báo “Variational Principles on Cone Metric Spaces”

Năm 2013, cũng chính tác giả Seong Hoon Cho đã công bố kếtquả về sự mở rộng định lý điểm bất động Caristi trên không gian metricnón qua bài báo “Some Generalizations of Caristi’s Fixed Point Theoremwith Applications”

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Nguyên lý biến phân trênkhông gian metric nón, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, tôichọn đề tài nghiên cứu:

“Nguyên lý biến phân trên không gian metric nón”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metricnón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric, không gian metric nón, nguyên

lý biến phân Ekeland trong không gian metric và nguyên lý biến phânEkeland trong không gian metric nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về Nguyên lý biến phân trong không gian metric nón dựatrên 3 bài báo:

1 “Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive pings” của Huang Long Guang và Zhang Xian

Map-2 “Variational Principles on Cone Metric Spaces” của Seong HoonCho và Jong Sook Bae

3 “Some Generalizations of Caristi’s Fixed Point Theorem with plications” của Seong Hoon Cho

Ap-5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm và lýthuyết điểm bất động

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn là bài tổng quan về Nguyên lý biến phân trong không gianmetric nón Luận văn được trình bày với hai chương nội dung

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về khônggian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metric đầy

đủ Tiếp theo chúng tôi trình bày về Định lý Caristi và nguyên lý biếnphân Ekeland trong không gian metric

Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric nónTrong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về nón,không gian metric nón và các ví dụ minh họa Sau đó là sự hội tụ trongkhông gian metric nón, dãy Cauchy trong không gian metric nón, khônggian metric nón đầy đủ và cuối cùng là Nguyên lý biến phân Ekelandtrong không gian metric nón.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metricđầy đủ và cuối cùng là Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X 6= ∅ cùngvới một ánh xạ d : X × X → R , thỏa mãn các điều kiện sau:

1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; (tiên đề đồng nhất)2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (tiên đề đối xứng)

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X; (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X

Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y

Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên

đề metric

Không gian metric được ký hiệu là (X, d)

Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:

Ta sẽ gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên R.

Ví dụ 1.1.2

Cho C[a,b] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] , ta đặt

d(x, y) = max

a≤t≤b |x(t) − y(t)|

với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b]

Khi đó (C[a,b], d) là một không gian metric

với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b]

Khi đó (C[a,b], d) là một không gian metric

Nhận xét 1.1.1

Trên cùng một tập hợp X, ta có thể trang bị các metric khác nhau vànhận được các không gian metric khác nhau

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂ X,điểm x0 ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến điểm x0 khi n → ∞ nếuvới ∀ε > 0,

∃n0 ∈ N∗, với ∀n ≥ n0 thì d(xn, x0) < ε Hay lim

n→∞d(xn, x0) = 0

Ký hiệu lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0, n → ∞

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} trong X

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂ Xđược gọi là dãy Cauchy, nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0 thìd(xn, xm) < ε hay

|1 − 1|dt

=

1

4 + 1 n

Z

1 4

|xn(t) − xm(t)|dt

Vì |xn(t) − xm(t)| ≤ 1, ∀m, n ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1] nên ta có

1

4 + 1 n

Z

1 4

|xn(t) − xm(t)|dt ≤

1

4 + 1 n

Z

1 4

Do đó {xn} là dãy Cauchy trong (C[0,1], d) 

Định nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian

metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.2 Không gian Euclide Rk2 là không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.2.3 Không gian C[a,b] với metric d(x, y) = max

a≤t≤b |x(t) − y(t)| làkhông gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.2.4 Cho X là tập hợp tất cả các hàm số x(t) liên tục trên

R, sao cho x(t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụ thuộc vàotừng hàm số x(t))

Với hai hàm số bất kỳ x(t), y(t) ∈ X ta đặt

d(x, y) = d(x(t), y(t)) = max

t∈R |x(t) − y(t)| Khi đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ

t2 + 1 − 1

(n + p)2 + 1 với n < |t| ≤ n + p

0 với |t| > n + pnên ta có

n2 + 1 = 0 nên ta suy ra limn→∞d(xn+p, xn) = 0

Vậy {xn} là dãy Cauchy trong X

Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng phảnchứng

Giả sử X là không gian metric đầy đủ Khi đó {xn} hội tụ tới x0 ∈ X,nghĩa là tồn tại x0 ∈ X sao cho

n→∞ |x(t) − xe 0(t)| = 0 hay x(t) = xe 0(t), ∀t ∈ R.

Vậy x0(t) /∈ X là điều mâu thuẫn

Chứng tỏ tồn tại dãy Cauchy trong (X, d) mà không hội tụ đến phần tửtrong (X, d) Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ 

1.3 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland

Định nghĩa 1.3.1 [3] Với hai không gian tôpô X và Y , ánh xạ

T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) tại

x0 ∈ X nếu với mọi tập mở G chứa T x0 đều tồn tại lân cận U của x0

sao cho

T (U ) ⊂ GNếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ X, thì T là nửa liêntục trên trên X

Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục dưới (lower semicontinuous) tại x0 ∈ Xnếu với mọi tập mở G mà G ∩ T x0 đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho

T (U ) ∩ G 6= ∅

Nếu ánh xạ T nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ X thì T là nửa liên

tục dưới trên X.

Định nghĩa 1.3.2 [3] Cho X là không gian tôpô, x0 ∈ X Ánh xạ

T : X → R được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 nếu với mọi ε > 0,tồn tại lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈ U ta có

T x > T x0 − εHàm số T được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọiđiểm thuộc miền xác định

Nhận xét 1.3.1 Hàm số T là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với mọi

α ∈ R, tập mức dưới {x ∈ X : T x ≤ α} là một tập đóng

Định lý 1.3.1 [2] (Caristi, 1976) Cho (X, d) là không gian metric đầy

đủ, hàm ϕ : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Ánh

xạ T : X → X thỏa mãn:

d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X (1.3.1)Khi đó, T có điểm bất động trong X

Chứng minh

Trước khi chứng minh định lý này, chúng ta sẽ chỉ rằng mọi ánh xạ

co T đều thỏa mãn điều kiện (1.3.1)

Thật vậy, với mọi x ta có

d(x, T x) = d(x, T x)

1 − k − kd(x, T x)

1 − k .

Mặt khác, ta lại có

d(T x, T (T x)) ≤ kd(x, T x),

Ta đặt hàm số ϕ(x) = d(x, T x)

1 − k .Hiển nhiên ϕ(x) là hàm liên tục nên ϕ(x) nửa liên tục dưới

Khi đó ta có

d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x)

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý Caristi

Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:

x ≺ y khi và chỉ khi d(x, y) ≤ ϕ(x) − ϕ(y)

Dễ kiểm tra ≺ chính là một quan hệ thứ tự và ϕ là một hàm khôngtăng theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu x ≺ y thì ϕ(y) ≤ ϕ(x)

Ta sẽ chứng minh rằng trong (X, ≺ ) tồn tại phần tử cực đại v.Lấy x1 ∈ X tùy ý và đặt

S(x1) = {y ∈ X : x ≺ y}

= {y ∈ X : d(x, y) ≤ ϕ(x1) − ϕ(y1)}

= {y ∈ X : d(x1, y) + ϕ(y) ≤ ϕ(x1)}

Vì d liên tục và ϕ nửa liên tục dưới nên S(x1) là tập đóng

Đặt a1 = inf {ϕ(y) : y ∈ S(x1)} Khi đó, tồn tại x2 ∈ S(x1) mà

ϕ(x2) ≤ a1 + 1

Lại đặt S(x2) = {y ∈ S(x2) : x2 ≺ y} Khi đó,

S(x2) là tập đóng và S(x2) ⊂ S(x1)

Đặt a2 = inf {ϕ(y) : y ∈ S(x2)} Khi đó tồn tại x3 ⊂ S(x2) mà

ϕ(x3) ≤ a2 + 1

2.Tiếp tục quá trình trên, chúng ta sẽ nhận được dãy {xn} với ba tínhchất sau:

Thật vậy, vì v ≺ w nên x1 ≺ w, vậy w ∈ S(x1) Vì v ≺ w nên x2 ≺ w,

mà w ∈ S(x1) nên w ∈ S(x2) Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được

Cuối cùng ta chỉ ra rằng v là điểm bất động của T

Theo giả thiết, ta có

d(v, T v) ≤ ϕ(v) − ϕ(T v)

Khi đó, theo định nghĩa của thứ tự trên X ta có v ≺ Tv Nhưng vì v làcực đại nên ta phải có v = Tv

Định lý 1.3.2 [2] (Ekeland, 1974) Cho (X, d) là không gian metric đầy

đủ và ϕ : X → (−∞, +∞] là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới

Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ X sao cho với mọi y ∈ X và khác xε

Để chứng minh sự tương đương giữa định lý Caristi và định lý Ekeland,

ta chỉ cần chỉ ra rằng từ định lý Ekeland suy ra được định lý Caristi

Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong

không gian metric nón

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nónchuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong khônggian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón,không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ, sự hội tụ trongkhông gian metric nón và các khái niệm về nón chính quy, nón đầy đủ

và nón liện tục Cuối cùng là nguyên lý biến phân Ekeland trong khônggian metric nón

bởi nón P như sau:

x ≤p y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P,

x <p y nếu x ≤p y và x 6= y,

x p y nếu y − x ∈ int P,trong đó int P là phần trong của nón P

Định nghĩa 2.1.3 [4] Cho E là không gian Banach thực, P là mộtnón trong E Nón P được gọi là nón chuẩn tắc (normal cone) nếu cómột số K > 0 sao cho ∀x, y ∈ E ta có

0 ≤p x ≤p y ⇔ kxk ≤ K kyk

Số thực dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là hằng sốchuẩn tắc (normal constant) của P Khi đó ta cũng nói P là nón chuẩntắc với hằng số K

Ví dụ 2.1.1 Cho E = R2 là không gian Banach thực và tập hợp

P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2.Khi đó P là một nón trong E

Thật vậy, hiển nhiên P 6= ∅ và P 6= {0}

nên nó cũng là không gian tuyến tính thực.

Khi đó (X, dp) là không gian metric nón

Thật vậy, ta kiểm tra lần lượt 3 điều kiện

Vậy dp là một metric nón và ta có (X, dp) là không gian metric nón.

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.2.1 [4].Cho (X, dp) là một không gian metric nón, {xn}

là một dãy trong X và x ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ (hội tụ nón)tới x nếu với mọi c ∈ E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho

dp(xn, x) p c, với mọi n ≥ N

Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy {xn} và ta ký hiệu lim

n→∞xn = xhoặc xn → x (n → ∞)

Định lý 2.2.1 [4].Cho (X, dp) là một không gian metric nón, P là mộtnón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Cho dãy {xn} ⊂ X Khi đó{xn} hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi

Định lý 2.2.2 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón, P là một

nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Cho {xn} là một dãy trong X

Nếu {xn} hội tụ tới x và {xn} hội tụ tới y, thì x = y Có nghĩa là giới

hạn của {xn} là duy nhất

Chứng minh

Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: Nếu q thuộc P và q ≤p ε với

mọi ε thì q = 0 Thật vậy, cố định c thuộc P với 0 ≤p c Khi đó, từ giả

thiết suy ra q ≤p c

m với mọi số nguyên dương m Do đó

c

m − q ∈ P vớimọi m Vì c

m − q hội tụ tới −q trong E và P là đóng nên −q ∈ P Suy

ra q = 0 Điều khẳng định được chứng minh

Với mọi c ∈ E, 0 ≤p c và lim

dp(xn, x) ≤p c

2, ∀n > N2.Suy ra c

Ta suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y.

Ta đã biết đối với không gian metric (X, d) thì dãy {xn} trong X hội tụtới x khi và chỉ khi d(xn, x) → 0 Định lý sau đây sẽ trình bày một tính

Định lý 2.2.3 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón và {xn}

là một dãy trong X Nếu {xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũnghội tụ tới x

Chứng minh

Với mỗi c ∈ E mà 0 ≤p c, tồn tại N ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥

N, dp(xn, x) ≤p c Với mọi k > N thì nk > k > N, nên

k −(dp(xn, yn) − dp(x, y))k = kdp(xn, yn) − 2c − dp(x, y) + 2ck

≤ kdp(xn, yn) − 2c − dp(x, y)k + k2ck

kdp(xn, yn) − dp(x, y))k ≤ ε.

Vậy lim

Bây giờ ta trình bày khái niệm dãy Cauchy trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.2.2 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón Dãy{xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ E thỏa mãn 0 p c, tồntại số tự nhiên N sao cho

dp(xm, xn) p c, với mọi m, n ≥ N

Định nghĩa 2.2.3 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón Nếumọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X, thì X được gọi là không gian metricnón đầy đủ

Khi đó (X, dp) là không gian metric nón đầy đủ.

Định lý 2.2.5 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón, P là mộtnón chuẩn tắc và {xn} là một dãy trong X

Khi đó {xn} là dãy Cauchy khi và chỉ khi lim

m,n→∞dp(xn, xm) = 0

Chứng minh

Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong X Gọi K là hằng số chuẩn tắc của

P Với mọi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0 ≤p c và K kck < ε Khi đó, từ{xn} là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho

Ngược lại, giả sử rằng dp(xn, xm) → 0 (n, m → ∞) Với mọi c ∈ E mà

0 ≤p c, tồn tại ε > 0 sao cho kxk < δ thì c − x ∈ int(P ) (do int(P ) làtập mở) Với δ > 0 xác định như trên tồn tại N sao cho

kdp(xn, xm)k <pδ, với mọi m, n > N