ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.. Cho
Trang 1Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng
Viết dạng mệnh đề: //( ) ( )
//
a P
d P
d a
⊂
⇔
Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a,
b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt
phẳng phải song song với a và b
Viết dạng mệnh đề:
( ); ( ) ( ) ( );
// //
//
a P b Q P Q
a b
a b
→∆
Tính chất để dựng thiết diện song song:
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một
mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆
phải song song với a
Viết dạng mệnh đề:
( ) ( ) ( ) ( )
//
//
a P
P Q
⊂ →∆
∩ = ∆
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt
phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm
trong (P) Viết dạng mệnh đề: ( ) a ( )P
d P
d a
∀ ⊂
⊥ ⇔
⊥
+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc
với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1 ; d 2 cùng
vuông góc với (P) thì d 1 // d 2
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1 ); (P 2 ) cùng vuông
góc với đường thẳng d thì (P 1 ) // (P 2 )
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với
một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó
đường thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong
(P)
CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Viết dạng mệnh đề:
( ) ( ) ( )
//
a P
d a
⊥
→
+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông
góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P)
vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’
Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC cân tại A Gọi
H là trực tâm tam giác ABC
a) Chưng minh rằng BH ⊥(SAC) và CH ⊥(SAB)
b) Gọi K là trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: SC⊥(HBK) và HK ⊥(SBC)
Lời giải:
a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH ⊥ AC
Mặt khác BH ⊥SA nên suy ra BH ⊥(SAC)
Tương tự ta có: CH AB CH (SAB)
⊥
⊥
b) Ta có : K là trực tâm tam giác SBC nên BK ⊥SC
Mặt khác BH ⊥(SAC)⇒BH ⊥SC do vậy SC⊥(BHK)
Ta có M là trung điểm của BC thì AM BC
⊥
⊥
⊥
⇒
⊥
Khi đó K là trực tâm tam giác SBC nên K
thuộc đường cao SM suy ra BC⊥HK
Mặt khác do SC ⊥(BHK)⇒SC⊥HK do vậy
HK ⊥ SBC dpcm
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABC là tam giác đều và hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng: AC⊥(SBD), AB⊥(SHC)
b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SD chứng minh rằng SC⊥(AMC)
Trang 3Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
a) Do ABCD là hình thoi nên ta có: AC⊥BD
Mặt khác ABC là tam giác đều nên H thuộc đoạn
BD do vậy SH ⊥AC từ đó suy ra AC⊥(SBD)
Do H là trọng tâm cũng là trực tâm tam giác đều
ABC nên CH ⊥ AB lại có AB⊥SH suy ra
AB⊥ SHC
b) Do AC⊥(SBD)⇒AC ⊥SD, mặt khác ta có:
AM ⊥SD từ đó suy ra SD⊥(ACM) (dpcm)
Câu 3: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AC, gọi E là điểm thuộc cạnh AB sao cho
4
AB= AE và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E Chứng minh rằng:
a) AB⊥(A HE' )
b) HF ⊥(A ABB' ')
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm của AB ta có CM ⊥ AB
(do tam giác ABC đều)
Khi đó E là trung điểm của AM do vậy HE là
đường trung bình của tam giác ACM nên
/ /
HE CM ⇒HE⊥ABlại có A H' ⊥AB nên suy
ra AB⊥(A HE' ) (dpcm)
b) Do AB⊥(A HE' )⇒ AB⊥HF mặt khác
'
HF ⊥A E do vậy HF⊥(A ABB' ') (dpcm)
Câu 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SB=SD
a) Chứng minh rằng AC⊥(SBD)
b) Kẻ AK ⊥SB K( ∈SB) Chứng minh rằng SB⊥(AKC)
Lời giải:
Trang 4a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Tam giác SBD có SB=SD
SBD
⇒∆ cân tại S ⇒SO⊥ BD
Mà AC ⊥BD⇒ AC⊥(SBD)
b) Ta có AC⊥(SBD)⇒ AC ⊥SB
Mà SB⊥ AK ⇒SB⊥(AKC)
Câu 5: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M
là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng BC⊥(SAM)
b) Kẻ AH ⊥SM H( ∈SM) Chứng minh rằng AH ⊥(SBC)
c) Gọi ( )P là mặt phẳng chứa AH và vuông góc với (SAC) cắt SC tại K Chứng minh rằng SC⊥( )P
Lời giải:
a) Ta có BC AM BC (SAM)
⊥
⊥
b) Vì BC ⊥(SAM)⇒ BC⊥ AH
Mà AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC)
c) Ta có (SAC) ( )∩ P = AK
AK
⇒ là hình chiếu của AH lên (SAC)
Mà AH vuông góc với SC
AK
⇒ vuông góc với SC ⇒SC⊥( )P
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB=2AD Tam giác SAB nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AD , M là hình chiếu của S nằm trên
4
a) Chứng minh rằng AC⊥(SDM)
b) Kéo dài DM cắt BC tại I Hạ CH ⊥SI H( ∈SI) Lấy điểm K trên cạnh SC sao cho 3
4
Chứng minh rằng BK ⊥(AHC)
Lời giải:
Trang 5Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
4
AC = AD+DC
1
4
1
Mà AC ⊥SM ⇒ AC ⊥(SDM)
4
4
SK
Vì AC⊥(SDM)⇒ AC⊥SI ⇒BK ⊥ AC ( )2 Từ ( )1 và ( )2 ⇒BK ⊥(AHC)
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD)
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥AI
Lời giải:
a) Ta có CD ⊥AD và CD ⊥SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa CD)
⇒ CD⊥ (SAD)
Tương tự, BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông) và BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa BD) ⇒ BD⊥
(SAC)
b) Theo a, CD⊥ (SAD) ⇒ CD⊥AK , (1)
Lại có AK ⊥SD, (2)
Từ (1) và (2) ta được AK⊥ (SCD)
Mà SC ⊂ (SCD) ⇒ AK⊥SC, (*)
Chứng minh tương tự ta cũng được AK⊥SC, (**)
Từ (*) và (**) ta được SC ⊥ (AHK) Do ( ) ( )
→
⊥
SC AHK AI AHK
SC AI AI AHK
Trang 6Do A ∈ (AHK) nên không thể xảy ra AI // (AHK), khi đó AI ⊂ (AHK), hay điểm I thuộc (AHK)
c) Ta nhận thấy BD ⊥ (SAC), nên để chứng minh HK ⊥ (SAC) ta sẽ tìm cách chứng minh BD // HK
Thật vây, do các tam giác SAB và SAD bằng nhau nên các đường cao AH và AK bằng nhau Khi đó,
∆SAH = ∆SAK ⇒ SH = SK →SH =SK ⇒HK//BD⇒HK⊥(SAC)
Mà AI ⊂ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC=a 2 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD
a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD)
b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD
Lời giải:
a) ∆ABC đều nên SH ⊥ AB, (1)
2
=
Mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH, (2)
Từ (1) và (2) ta có SH ⊥ (ABCD)
b) Theo a, SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC
Do HK là đường trung bình của ∆ABD nên HK // BD, mà BD ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC
Từ đó ta được, AC ⊥ (SHK), hay AC ⊥ SK
⊥
CK DH
CK SHD
Câu 9: [ĐVH] Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD
là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH ⊥ AC
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA Tính AM theo a
Lời giải:
Trang 7Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Do vậy tam giác SIJ vuông tại đỉnh S
Lại có: IJ CD CD ( )SIJ
⊥
⊥
Khi đó: SI CD SI (SCD)
⊥
⊥
trên ta cũng có SJ ⊥ (SAB)
b) Dựng SH ⊥IJ lại có SH ⊥CD⇒SH ⊥(ABCD)
⊥
⊥
2 3
;
IJ
Đặt CM =x ta có: BM AH.= ⇔0 (BC+CM) ( AI+IH)=BC IH. +CM AI.=0
2
0
Câu 10: [ĐVH] Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại
A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và
CC′
a) Chứng minh rằng CC′⊥ (MBD)
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD
Lời giải:
⊥
⊥
Do vậy CC'⊥(BMD)⇒CC'⊥BD
b)Dễ thấy BK ⊥CD Lại có
⊥
⊥
Mặt khác CC'⊥BD⇒BD⊥CK
Do vậy K là trực tâm tam giác BCD.
Trang 8Câu 11: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và BC= a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C
b) Kẻ SN vuông CD tại N Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN)
Lời giải:
a) Ta có: ABCM là hình vuông cạnh a do
2
CM = =a AD⇒∆ACD vuông tại
C
⊥
⊥
giác SCD vuông tại C
b) Kẻ SN ⊥CD⇒N ≡C ⇒ CD ⊥
(SAN)
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 9Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Câu 1: [ĐVH] Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBC)
b) (SAB) (⊥ ADE)
Lời giải:
a) Do ( ) ( )
⊥
⊥
Lại có: AC⊥BCsuy ra BC⊥(SAC) (⇒ SAC) (⊥ SBC)
b) Do BC⊥(SAC)⇒BC ⊥AD , lại có AD⊥SC
do vậy AD⊥(SBC)⇒AD⊥SB , mặt khác SB⊥AE nên
suy ra SB⊥(ADE) do vậy (SAB) (⊥ ADE) (dpcm)
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) là trọng tâm tam giác ABD Gọi E là hình chiếu của điểm B trên cạnh SA Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBD)
b) (SAC) (⊥ BDE)
Lời giải
CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 10a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD⊥ AC
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD⊥SH do vậy BD⊥(SAC)
Suy ra (SAC) (⊥ SBD)
b) Ta có: BD⊥(SAC)⇒SA⊥BD
Lại có BE⊥SA⇒SA⊥(BDE)
Do vậy (SAC) (⊥ BDE) (dpcm)
Câu 3: [ĐVH] Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB,
hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông góc của M trên A’C Chứng minh rằng:
a) (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) (A ACC' ') (⊥ A NB' )
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM ⊥ AB, lại có AB⊥A H' ⇒AB⊥(A MC' )
Do vậy (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) Do vậyAB⊥(A MC' )⇒ AB⊥ A C'
Lại có: A C' ⊥MN⇒A C' ⊥(ANB)
Do vậy (A ACC' ') (⊥ A NB' ) (dpcm)
Câu 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy
a) Chứng minh rằng (SAD) (⊥ SAB) (, SBC) (⊥ SAB)
b) Gọi I là trung điểm của SB Chứng minh rằng (ACI) (⊥ SBC)
c) Xác định J trên cạnh SA sao cho (BJD) (⊥ SAD)
Lời giải :
Trang 11Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
a) Gọi H là trung điễm của AB⇒SH ⊥ AB
⊥
⊥
Ta có AD AB AD (SAB)
⊥
⊥
mà AD⊂(SAD) (⇒ SAD) (⊥ SAB)
Ta có BC AB BC (SAB)
⊥
⊥
mà BC⊂(SBC) (⇒ SBC) (⊥ SAB)
b) SAB∆ đều⇒ AI ⊥SB ( )1
BC ⊥ SAB ⇒BC ⊥ AI
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒ AI ⊥(SBC)
mà AI ⊂(ACI) (⇒ ACI) (⊥ SBC)
c) Ta có AD⊥(SAB)⇒ AD⊥BJ
⇒ Để (BJD) (⊥ SAD) thì BJ ⊥SA⇒J là trung điễm của SA
Câu 5: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAC =600, 6
2
a
SA= và vuông góc với mặt phẳng đáy Chứng minh rằng:
a) (SDB) (⊥ SDC)
b) (SBC) (⊥ SAD)
Lời giải :
a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
⊥
⊥
Mà SD⊥OH ⇒SD⊥(BHC)⇒ BH ⊥SD ( )1
Trong tam giác vuông SAD ta có
2
6 3
3 3 2
SAD
a a
a
a
( )2
BH CH
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒BH ⊥(SCD) (⇒ SBD) (⊥ SCD)
b) Ta có BC AD BC (SAD) (SBC) (SAD)
⊥
⊥
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông ( 0 )
A= =D AB= AD= CD
SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng (SCM) (⊥ SAB)
b) Chứng minh rằng (SAC) (⊥ SDM)
Trang 12c) Gọi AD giao BC tại E Tìm K trên SE sao cho (AKC) (⊥ SEB)
Lời giải :
a) Ta có CM / /AD⇒CM ⊥ AB
Ta có : CM AB CM (SAB)
⊥
⊥
Mà CM ⊂(SCM) (⇒ SCM) (⊥ SAB)
Ta có : DM AC DM (SAC)
⊥
⊥
Mà DM ⊂(SDM) (⇒ SDM) (⊥ SAC)
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC)
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC)
Lời giải:
a) Kẻ SH ⊥ AC⇒SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥BC Kết hợp BC⊥AC⇒BC⊥(SAC) (⇒ SBC) (⊥ SAC) b) Theo câu a, BC⊥(SAC),AI∈(SAC)⇒BC⊥ AI
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI ⊥SC⇒AI ⊥(SBC) (⇒ ABI) (⊥ SBC)
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA ⊥ (ABCD) Gọi M,
MB DN Chứng minh rằng (SAM) ⊥ (SMN)
Lời giải:
Trang 13Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Ta có
5
5
Dẫn đến AN2 =AM2+MN2 ⇒AM ⊥MN Mà SA⊥(ABCD)⇒SA⊥MN
Kết hợp thu được MN ⊥(SAM) (⇒ SMN) (⊥ SAM)
Câu 9: [ĐVH] Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB=2a, AD=DC=a, (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với đáy, SA=a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM =x
(α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB)
a) Chứng minh SA⊥(ABCD)
b) Xác định (α)
Lời giải:
a) Ta có : (SAB) (∩ SAD)=SA
⊥
⊥
b) Do AD AB AD (SAB)
⊥
⊥
Điểm M thuộc AD do vậy MA⊥(SAB)
Khi đó: (EMA) (⊥ SAB)
Hay ( ) ( α ≡ EMA)
Trang 14Câu 10: [ĐVH] Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy (α) là mặt
phẳng qua A và vuông góc với SC ( ) α ∩SC=I
a) Xác định K =SO∩( ) α
b) Chứng minh (SBD) (⊥ SAC)
c) Chứng minh BD ( ) α
d) Xác định giao tuyến d của (SBD) và ( ) α Tìm thiết diện chóp và ( ) α
Lời giải:
Dựng AI ⊥SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N
Ta có: MN/ /BD⇒MN ⊥AC
Mặt khác MN/ /BD⊥SA⇒MN ⊥(SAC)⇒MN⊥SC
Lại có: AI ⊥SC⇒(AMIN)⊥SC
a) Điểm K = AI∩SO
b) Do BD AC BD (SAC) (SAC) (SBD)
⊥
⊥
c) Do BD/ /MN ⇒BD/ /( ) α
d) (SBD) ( )∩ α =MN và thiết diện là tứ giác AMIN
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 15Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3 TỔNG HỢP VỀ CHỨNG MINH VUÔNG GÓC
Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là
tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm của AB và CD
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)
b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ Chứng minh SH ⊥ AC và tính độ dài SH
c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM ⊥ SA Tính AM theo a
Câu 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a Ngoài ra SC ⊥ BD
a) Chứng minh tam giác SBC vuông
b) Tính theo a độ dài đoạn AD
c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0≤ ≤x a Tính độ dài đường cao DE của tam giác
BDM theo a và x Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất
Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a,
30
BAC= Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM
a) Chứng minh AH ⊥ BM
b) Đặt AM = x, với 0≤ ≤x 3 Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x Tìm x để khoảng cách này là
lớn nhất, nhỏ nhất
Câu 4: [ĐVH] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a cạnh bên AA’ = a và vuông góc với đáy
a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI ⊥ BC’
b) Gọi M là trung điểm của BB’ Chứng minh AM ⊥ BC’
c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ = a/4 và J là trung điểm của B’C’
Chứng minh AM ⊥ (MKJ)
Câu 5: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB = 2 3
3
a
a) Kẻ SH ⊥ (ABC) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Tính đọ dài SH theo a
c) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ (SAI)
d) Gọi ϕ là góc giữa SA và SH Tính ϕ
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác cân tại C có 0
120
BCD= SA ⊥đáy
a) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK)
b) Gọi C’ là giao điểm của SC với (AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a
Câu 7: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là giao điểm của AC và BD Kẻ CK ⊥
BD
CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
