Luận văn thạc sĩ toán học một số phương pháp spline để xấp xỉ và nội suy

Một trong hướng quan trọng của giải tích số là sử dụng phương pháp spline để nghiên cứu xấp xỉ và nội suy các hàm số, giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân thường, phương trình đạo

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2015

dưới sự giúp đỡ nhiệt tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích lệ để tôi vượt qua những khó khăn trong chuyên môn cũng như trong cuộc sống.

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thày Kính chúc thày và gia đình luôn mạnh khỏe

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Toán, Phòng Sau đại học và các thày cô trong Trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi ữân ưọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc, tổ Toán khoa Khoa học cơ bản Trường Cao đẳng Nghề Vĩnh Phúc đã tạo mọi điều kiện giúp đõ để tôi chuyên tâm nghiên cứu và hoàn thành tốt Luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Nguyễn Đức Duyệt

hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Văn Tuấn.

Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân ttọng và biết ơn

Một số kết quả trong luận văn được trích dẫn rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Nguyễn Đức Duyệt

M Ở Đ Ầ U 5

C H Ư Ơ N G 1 K IẾN TH Ứ C C H U Ẩ N B Ị • 7

2.2 Phương pháp spỉine bậc hai liên tục c 1 để xấp xỉ và nội suy 23

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, giải tích số là một ngành của toán học đang ngày càng phát triển mạnh mẽ Một trong hướng quan trọng của giải tích số là sử dụng phương pháp spline để nghiên cứu xấp xỉ và nội suy các hàm số, giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày định nghĩa hàm spline, B - spline Các tính chất cơ bản của hàm spline, B - Spline Các phương pháp spline để xấp xỉ và nội suy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hàm spline, xấp xỉ và nội suy

• Phạm vi nghiên cứu: ứ ng dụng một số phương pháp hàm spline để xấp

xỉ và nội suy

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phân tích, tổng họp và phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

• Cụ thể hóa các ứng dụng của hàm spline để xấp xỉ và nội suy Viết chương trình bằng phàn mềm Maple để minh họa cho từng phương pháp spline được nghiên cứu.

• Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học

CHƯƠNG 1 KIÉN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 M ột số kiến thứ c về giải tích hàm

1.1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu: ẫ , ệ , Ỷ , và trường K mà các phần tử được kí hiệu là: x,y, z ,

Giả sử ữên E có hai phép toán

c) Tồn tại 8 6 E sao cho: 6 + ã — ã + ỗ = ã, Va 6 £■;

d) Với mỗi ã tồn tại a' G E sao cho: ã + a' = a' + ã = ớ;

• Khi K = M thì E được gọi là không gian vectơ thực.

• Khi K = c thì E được gọi là không gian vectơ phức.

Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra c[a, b] là một không gian vectơ (/í = M).

Định nghĩa 1.1.2 Hệ vectơ (cQ, Vi = 1,2, , 71 gọi là độc lập tuyến tính nếu

Y i= i x t ã l = 0 kéo theo Xị = 0, Vi = 1 ,2 , , 71.

Hệ vectơ (õQ, Vi = 1,2, , 71 gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc

lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E là một không gian vectơ.

Một hệ vectơ trong E được gọi là hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều

biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì £ được gọi là không gian

vectơ hữu hạn chiều

Một hệ vectơ ừong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập

tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4 Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử

thì số phần tử ừong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ

Khi E là một K — không gian vectơ có số chiều 71 ta kí hiệu dimE = 71 Định nghĩa 1.1.5 Tập con w ^ ộ của một K — không gian vectơ E được gọi

là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E, nghĩa

là thỏa mãn các điều kiện sau

1) V a ,ß e w => ẵ + ß EW-,

2) Va <= w , Vx e K => x ã e w

1.1.2 Không gian Metric

Cho X là một tập tùy ý

Định nghĩa 1.1.6 Một metric trong X là một ánh xạ d\ X X X -» M của tích

X X X vào đường thẳng thực M, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) d ( x , y ) > 0, V x , y E X và d ( x , y ) = 0 <=> X = y;

2) d ( x , y ) = d ( ỵ , x ) , V x , y e X;

3) d(x, ỳ) < d(x, z) + d(z, ỳ), Vx, y , z G X (bất đẳng thức tam giác).

Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng cách (hay metric) trong X Các phần tử của một không gian metric gọi là các điểm của không gian ấy, số d{x, ỳ) gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.

Ví dụ 1.1.2 c[a, b] là một không gian metric vói khoảng cách

lim xn = a,

n-»00

hoặc xn -» a khi n -» 00

Định nghĩa 1.1.8 Dãy điểm (xn) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy)

trong không gian metric X nếu với mọi € > 0 cho trước, đều tồn tại một số n 0 sao cho vói mọi n > n 0 và m > n 0 ta đều có:

d(xn>xm) < £.

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.9 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.

Định nghĩa 1.1.10 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

A \X -» Y được gọi là liên tục tại x 0 E X nếu Ve > 0 ,3Ổ > 0 sao cho Vx E X thỏa mãn d{ọc,xữ') < 8 thì d(i4(x),i4(x0)) < £.

Định nghĩa 1.1.11 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

A \X -> Y được gọi là ánh xạ co nếu 3 a với a < 1 sao cho với Vx, x' 6 X ta đều có d(i4(x),i4(x')) < a d ( x , x ').

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co)

Giả sử X là một không gian metric đầy đủ V&A -.X -» X là một ánh xạ co của

X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm X* e X sao cho A(x*) =

1.1.3 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P(P = M hoặc p = C).

Định nghĩa 1.1.12 Một chuẩn, kí hiệu II II trong X là một ánh xạ đi từ X vào

M thỏa mãn các điều kiện:

1) 11*11 > O y x G X ;

2) \\x\\ = 0 khi và chỉ khi X = 6(0 là kí hiệu của phần tử không);

3) IIAxll = \Ả\ \\x\\,Vx € X, VẮ G P\

4) 11% + yll < \\x\\ + ||y||,V x,y e X;

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X E X Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo p thực hay phức).

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x , y E X, đặt d{x,ỳ ) = \\x — y II Khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa 1.1.13 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội

tụ đến x 0 e X nếu limn^00\\xn — x 0 II = 0 Khi đó ta kí hiệu limn^ 00 xn = x 0 hoặc xn -> XQ khi 71 —> 00

Định nghĩa 1.1.14 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là một

dãy cơ bản nếu

lim \\xm - x n \\ = 0.

m,n-> 00

Định nghĩa 1.1.15 Giả sử trong không gian định chuẩn X là một không gian metric đày đủ (với khoảng cách d ( x , y ) = \\x — yll) Khi đó X được gọi là

một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.16 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p Ánh

xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn

1) A (x + y) = Ax + Ay, Vx, y e X)

2) A{ax) = aAx,Vx e ^ , V a e p ;

• Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.

• Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.

• Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.17 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A

từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho \\Ax\\ < c||x||, với mọi X G X.

Định nghĩa 1.1.18 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu L(X, 7) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào h(X, Y) hai phép toán

1) Tổng của hai toán tử A,B G LỤ(, Y) là toán tử, kí hiệu A + B xác định bởi biểu thức (Ấ + B)(x) = Ax + Bx, Vx E X)

2) Tích vô hướng của a G p ợ = IR hoặc p = (C) với toán tử A G L(X, Y)

là toán tử, kí hiệu aA, được xác định bởi biểu thức (aA) (x) = a(Ax).

Dễ kiểm tra được rằng A + B 6 LỢ(, 7), aA 6 L Ợ , Y) và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập ILpC Y') trở thành một không gian tuyến tính trên trường p.

Định lý 1.1.3 Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y) là không gian

Banach

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.19 Cho không gian tuyến tính X trên trường P(P = M hoặc

p = (C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường p, kí hiệu ) thỏa mãn các tiên đề

Các phần tử X, y, z , gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, ý) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5) gọi là hệ

tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.20 Không gian tuyến tính X trên trường p cùng với một tích

vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.

Định lý 1.1.4 Cho X là một không gian tiền Hilbert Với mỗi X G X, ta đặt 11*11 = sj(.x > *)■ Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức

1) / / l à không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach vói chuẩn ||x|| = yj{pc, x) với X G X.

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Sổ gần đúng

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng số a là số gần đúng của a* nếu a không sai khác a* nhiều Đại lượng A = \a — a*\ phản ảnh mức độ sai lệch giữa a và a* gọi là sai số thật sự của a.

Định nghĩa 1.2.2 số Aa > 0 gọi là sai số tuyệt đối của a* nếu thỏa mãn điều

kiện

\a — a* \ < Aa, hay a — Âa < a* < a + Aa Bởi vậy Âa thỏa mãn điều kiện ữên càng nhỏ thì

độ sai lệch giữa a và a* càng ít.

Định nghĩa 1.2.3 số ổa = — gọi là sai số tương đối của a.

c) Nếu p — s -» — 00 (s -» +oo) thì a là số thập phân vô hạn.

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số ã gọn hơn và gần đúng nhất với a.

Kí hiệu ht = tị — ti_lf nếu hị = h = const thì các mốc nội suy t 0, t lt ,tn

gọi là các mốc nội suy cách đều

Định nghĩa 2.1.1 Một spline đa thức bậc ba ừên đoạn [a, b] với phân hoạch 7T là hàm số y = s( t) thỏa mãn hai điều kiện sau

A4/ ( x 0) = / ( x 4) - 4 /( x 3) + 6/ ( x 2) - 4 / ( x J + / ( x 0)

Hệ số của f ( x k) trong An/ ( x 0) là (— l ) fc c£ Hiển nhiên với các điểm nút cách đều Xị = x 0 + i h thì An/ ( x 0) của đa thức bậc 71 — 1 bằng 0.

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử n là một phân hoạch t 0 < t-L < ••• < tn,ĩi > 771 + 1 , n (E N*của [a, b\ Không gian

SmOO = {s(t) G c m ~1 [a, ft] Idegs(t)I(ti;ti+1) = m},

là không gian các hàm spline đa thức bậc 771 với các mốc nội suy của phân

hoạch n.

Khi đó s (t) được gọi là một spline đa thức bậc m.

2.1.2 Các tính chất

Không gian Sm (7r) ừong trường hợp m = 3 có nhiều ứng dụng, do vậy

chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của chúng

Mệnh đề 2.1.1 Không gian s 3 (7r) là không gian tuyến tính và không gian đó

chứa tất cả các đa thức có bậc bằng 3

Bài toán 1 Tồn tại duy nhất hàm số s (t) 6 s 3 (7r) thỏa mãn hệ điều kiện

■ s(tị) = f ( t ị ) , 0 < i < n

Khi đó, s (t) được gọi là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số / ( 0 - Xây

dựng sự tồn tại của hàm s ( t) vói các mốc nội suy cách đều tị = t ữ + l(b~a\

^ -Ị h 3 + 3 /i2(t í+i - t) + 3 /i(tí+1 - t ) 2 - 3 (t í+1 - t ) 3, t G [tỂ; t Ể+1]

(ti+2- t ) 2 , t e [ti+1; ti+2]

Hàm số Bị (t) liên tục khả vi hai lần trên M có dạng

Dễ thấy s là độc lập tuyến tính và B3 (n) là không gian n + 3 chiều.

Định lý 2.1.1 Có duy nhất hàm s (t) € B3 (n) ứiỏa mãn điều kiện của bài toán 1.

Chứng minh:

Giả sử s (t) € B3 (7r) thì

s ( t) = (t) + X q B M + ••• + xn+15 n+1(t).

Vì s (t) thỏa mãn bài toán 1 nên chúng ta có:

(to) = x- i B -i(to ) "I" X0B oO-o) "I" "I" Xn+1B n+i ( t 0) = / (to),

S(tt) = X_XB_X (ti) + X q B q (tị) + - + xn+1Bn+1 (tị) =

< S '( tn) = x i B i C O + x ữBữ(tn) + - + xn+1Bn+1(tn) =

Đây là hệ phương trình tuyến tính gồm 71 + 3 phương trình dạng Ax = b với

Vì G c2[a; ồ] nên g '( t) có 71 nghiệm y t thỏa mãn tị < y t < tị+1 đồng thòi t0, t n là hai nghiệm của g'(t) Như vậy g ' ( t ) có ít nhất 72 + 2 nghiệm do đó g " { t) có ít nhất 71 + 1 nghiệm Zị và Xị < Zị < y if 0 < i < 71 Nhưng g " { t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 ữên [tị) t i+1] với các điểm lưới của phân hoạch 7T, YÌ g " ( t ) nhận Z ị , i = 0,1,2, ,n là các nghiệm nên chúng ta suy ra g " ( t ) = 0 ữên [tị] tị+1].

Do đó g " ( t ) = 0 trên [t0; tn] từ đó chúng ta được g ( t ) = a t + /?.

Mà g ( t 0) = = 0 suy ra a = p = 0 hay g{t) = 0 trên [t0; tn].

Do đó s( t) = f ( t ) € 53(tt).

Hệ quả 2.1.1 s 3 (7r) là không gian tuyến tính 71 + 3 chiều với hệ cơ sở

Hệ quả 2.1.2 Tồn tại duy nhất một spline bậc ba s ( t ) là nghiệm của bài toán

1.

Hàm s(t) như vậy gọi là spline nội suy bậc ba của / ( t )

Định lý 2.1.3 Sai phân bậc n với các nút cách đều của đa thức p(x) bậc

72—1 bất kỳ luôn bằng 0, tức là

Chú ý 1 Định lý không đúng khi các nút không cách đều, chẳng hạn

Hàm Ft (x) là hàm khả vi liên tục hai lần trên toàn trục số nhưng không khả

với 771 = 1,2,3, mà (xỂ — t) 7 = 0, t > Xị suy ra /f(t) = 0 khi t < x 0 và

t > xm+1 Hơn nữa K(t) là tổng của 771 — 1 hàm số khả vi liên tục và K(t)

0, v t Ể [ x ữ) x 2]

(xz — t), Xx < t < x 2

h — (pc1 — t), x ữ < t < X1

0, v t ế [ x 0; x2].

2.1.3 Hàm spline bậc d thuộc c k [a; b ]

Định nghĩa 2.1.3 Cho đoạn [a; b], giả sử n là phân hoạch của đoạn [a; b]

n: a = t 0 < ti < ••• < tn = b.

Với d, k G N ta gọi hàm spline bậc d, khả vi liên tục k lần trên [a; b] là hàm

s (t) mà

s ( t) <= c k [a;b],s(i)\(ti_í;tù <= Pd [a-,bị ừong đó pd [a; b] là các đa thức có bậc là d.

Tập hợp các hàm spline bậc d thuộc c k [a; ồ]được kí hiệu là s d (n, k).

• s3 (n, 2) = 53 (ĩt) là không gian các đa thức spline bậc ba.

• s 3 ( tĩ , 1) = H3 (ĩĩ) là không gian gồm các đa thức Hermite bậc ba trên

từng đoạn

• S3 (n, 0) = L3 (n) là không gian gồm các đa thức Lagrange bậc ba trên

từng đoạn (không gian này chúng ta sẽ xét kỹ trong các mục sau)

Hàm s( t) G s d (n, k) với việc cố định d và k bất kỳ (/c > —1, k G TL ) là

nghiệm của phương trình vi phân

Dd+1s ( t ) = 0, trên (ti-iJ tị), 1 < i < 71.

s d (n, k) là tập gồm tất cả các hàm s( t) có đạo hàm liên tục đến cấp k thỏa

mãn phương trình vi phân

Dd+1s( t) = 0, trên (ti-iJ tị), 1 < i < 71.

Khi đó

Si(t) = cidt d + + ctl t + ci0f trên (ti-iJti) Như vậy, s ( t) là đa thức có bậc d trên từng đoạn xác định ữong c k [a; b].

Chúng ta gọi ^2m- 1 ( ti , 2m — 2) là một đa thức spline nội suy đến hàm / ( t )

và có bậc là 2m — 1 Kí hiệu

L g ự ) = Dmg ự ) ,

ưg(tì = (-1 )mc ms(t).

Vì s(x) là một đa ứiức có bậc là 2m — 1 ữên mỗi đoạn [Xi-iJ Xi\, 1 < i < n

Khi đó s (27n)(X) = 0 trên mỗi khoảng (%jj %i+1), suy ra

Г S(2m -2)ỊJ// _ s "-ị dx = ị s(2m~2ì [ f ” — s"]dx.

Nhưng

Từ / '( a ) = s'(a) và f ' ( b ) = s'(b) Tuy nhiên s (2m 1)(x) = ci trên

Ị [Lf — Ls]2dx = Ị ( f — s)Ư Lfdx.

Định lý được chứng minh trong cuốn sách [4] bản tiếng anh trang 99,100

2.2 Phương pháp spline bậc 2 liên tục c 1 để xấp xỉ và nội suy

2.2.1 Định nghĩa

Giả sử cho n + 1 điểm và các cặp giá tri ( x i í / o o ) , i = 0,1,2, ,71 Nếu

ữên từng đoạn một hàm spline liên tục vói dữ liệu cho trước minh họa như hình 1, thì trên mỗi đoạn đó hàm spline được định nghĩa bởi phương trình

S ị ( x) = dị + bịipc — x t) + Cị(x — X ị y

Hình 1

=* a0 + b0.h + c0 h 2 = a-L

=> bo = ь O i - a 0) - c0h = ^ ( / O i ) - / O o ) ) - c0h.

Với i = 2 ta có

•^2 (*2) — a2 (x2) = Ũ! + bi (*2 — *i) + Ci (x2 — Xl)2 = a-L + bi- h + q /i2,

di + b ^ h + q / i 2 = a 2

bi = I (a2 - a j - q /i = £ ( / 0 2) - / O i ) ) - q/i.

Vói i = 72 ta có

Cn - 1 - 2 / O n - i ) + / 0 n - 2 ) ) + c ^ h - c ^ h ]

= é ĩ ( / O n ) - 2 / O n - l ) + / O n - 2 ) ) +

cn—2 Cn - 1

^ ^n-1 ^2 (/(* n ) 2/"(Xn_i) + /"(^-71-2)) ^n—2 •

Suy ra Cj = ^ ( / O i - J - 2 /(* i) + / ( x i+1)) - Ci_!

Nếu trên các đoạn không đều hị = AXj, thì các tham số bị và Cj được xác

2.3 Phương pháp spline bậc ba liên tục C1 và sử dụng điểm

giữa để xấp xỉ và nội suy

2.3.1 Định nghĩa

Giả sử có 271 cặp (xỂ; / o o ) , i = 0,1, ■■■ ,271 trong đó y t = f(jXi) được minh

họa bằng hình 2

Giả sử AxỂ = x i+1 — Xị = h là một hằng số Khi đó một spline bậc ba được

định nghĩa trên mỗi đoạn bởi phương trình

S iU ) = dị + b iix - x 2i_2) + Ci(x - x 2i_2)(x - *2i - i ) + d ị(x - x 2i_2) 2(x - *2

i-i)-Hình 2

Giả sử có n + 1 số và cặp {xị-.ỹiXịỴ) như hình 1 Khi đó phương trình của

spline bậc ba ữên mỗi đoạn có dạng

Ta đi giải hệ điều kiện trên để tìm các tham số

• $ ( * ( ) = / ( * ( ) •