Luận văn thạc sĩ toán học hàm lồi véc tơ và ứng dụng

Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú trọng rất nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của các lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ, đặc trưng của tính lồi được biểu diễn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN VĂN TUYỀN

HÀM L ồ i VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN VĂN TUYỀN

HÀM L ồ i VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ! TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TAN

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đõ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đõ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá ừình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Phan Văn Tuyền

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng

và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tín trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Phan Văn Tuyền

supxeií f ( x ) supremum của tập { f ( x ) \ x G K }

infjg# f ( x ) infimum của tập { f ( x ) \ x e K }

||:c|| Chuẩn của X ữong không gian định chuẩn X

£(Mn,K m) Không gian các ma trận cấp n X m

(x, y) Tích vô hướng của X, y ữong không gian Hilbert

d om (/) Miền xác định của /

e p i(/) Trên đồ thị của /

Mục lục • •

1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Hàm l ồ i 6

1.2 Tính liên t ụ c 7

1.3 Tính liên tục Lipschitz 9

1.4 Hàm liên h ợ p 9

1.4.1 Phép biến đổi Young-Fenchel 9

1.4.2 Tính chất của hàm liên h ợ p 10

1.5 Dưới vi phân 11

2 Hàm lồi vectơ và ứng dụng 17 2.1 Giới t h i ệ u 17

2.2 Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ t r ợ 19

2.3 Tính liên t ụ c 25

2.4 Các đặc trưng của hàm lồi v e c t ơ 32

2.5 Ánh xạ lùi x a 40

2.6 Một số ứng d ụ n g 50

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm lồi vectơ đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong tối ưu Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú trọng rất nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của các lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ, đặc trưng của tính lồi được biểu diễn thông qua phép vô hướng hóa và thông qua bậc một của hàm suy rộng Một trong những tính chất hữu ích của hàm lồi vectơ là tính liên tục Lipschitz cục bộ trên phần trong tương ứng của miền xác định của nó Tuy nhiên chúng ta cũng quan tâm đến điều kiện để tính liên tục vẫn đúng tại những điểm biên Trong tối

ưu, để có điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, chúng ta cần hoặc một điều kiện bậc hai hoặc một giả thuyết lồi Bên cạnh đó còn một phương pháp nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu dựa trên ánh xạ lùi xa Khó khăn trong

mở rộng và nghiên cứu ánh xạ lùi xa trong trường hợp vectơ là cấu trũc đa trị của ánh xạ này

Việc nghiên cứu các tính chất của hàm lồi véctơ được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và ứng dụng như: GS.TSKH Đinh Thế Lục; GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn; PGS.TS Phan Nhật lĩnh;

GS TSKH Do Sang Kim

Lý thuyết đối ngẫu của bài toán quy hoạch lồi véctơ cũng được xây dựng cho nhiều kết quả trong môn giải tích lồi cổ điển cũng được mở rộng cho trường hợp véctơ và ứng dụng của nó ưong các bài toán thực tế với lý

do đó tôi chọn đề tài

Hàm lồi vectơ và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày những kiến thức cơ bản trong giải tích lồi đặc biệt là các tính chất:

- Tính liên tục của hàm lồi vectơ

- Tính Lipschitz địa phương của hàm lồi vectơ

- Bài toán quy hoạch lồi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm, đọc các tài liệu liên quan đến hàm lồi và đưa ra một số ứng dụng của nó trong bài toán quy hoạch lồi

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất của hàm lồi vectơ và một số ứng dụng vào tối ưu vectơ

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kết quả trong giải tích lồi

vô hướng và tìm cách mở rộng các kết quả này cho trường hợp véctơ

6 Đóng góp mối của đề tài

Tổng quan về quy hoạch lồi vô hướng và mở rộng một số kết quả từ vô hướng sang vectơ và tìm ra ứng dụng

Hàm lồi vô hướng và ứng dụng

Trong những năm gần đây giải tích lồi là một trong những môn học phát triển và ứng dụng mạnh mẽ trong các bài toán vào thực tế như toán tối ưu, toán vận trù học, toán kinh tế và trong các ngành kỹ thuật Mục đích của chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, hàm lồi, các tính chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu Chương này được viết dựa trên tài liệu [1]

Ta nhắc lại, tập lồi được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.1 Tập A c X là tập lồi nếu Va, 6 e A, với mọi A £ [0,1] ta

có

Xa + (1 — X)b €E A.

[a, b] = {x £ A : X = Xa + (1 — A)&; о < A < 1}.

v í dụ Cấc đa giác lồi, đa diện lồi quen thuộc trong hình học sơ cấp 2

hoặc 3 chiều đề là các tập hợp lồi Tiếp theo là các khái niệm khác liên quan tói tập lồi

Định nghĩa 1.2 Cho Ả с X Khi đó

i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của А

Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:

1) Ả là tập lồi khi và chỉ khi A = coA;

2) co A là tập lồi nhỏ nhất chứa A;

3) cõA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;

4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = cõA.

Mệnh đề 1.1 Giả sử А С X là một tập lồi, khi đó

i) Phần trong ỉn tA và bao đóng A là các tập lồi;

ii) Với Xi G ỉn tA , x 2 G A thì [xi, x 2) с intA ;

iii) Nếu ỉn tA Ỷ 0 thì A = in t A, in t А = in t A.

Khái niệm tách các tập lồi đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tốiưu.

Định nghĩa 1.3 Cho các tập А, в с X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục / Ỷ 0 tách A và В nếu tồn tại một số а sao cho

(/, y) < OL < (/, x ) , với mọi X G A, với mọi y e B (1.1)Trong đó, (/, X) = f ( x ) là tích vô hưóng giữa X và X*.

Đỉnh lý 1.1 ([1], Định lí 1.2.2) Cho A và в là các tập lồi trong X ,

Ả п В — 0 hoặc in tA Ỷ 0 hoặc in tB Ỷ 0 Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f Ỷ 0, / G X tách A và B.

Hệ quả 1.1 Cho A và В là các tập lồi trong X , ỉn tA ф 0 khi đó Ả , в tách được nếu và chỉ nếu (ỉn tA ) f ì ổ = 0

Định lý 1.2 ([1], Định lí 1.2.3) Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian lồi địa phương X và x 0 Ệ A Khi đó tồn tại f G X*, f Ỷ 0 tách chặt Ả và

Nếu (1.2) xảy ra thực sự Ух Ỷ у thì / thực sự là lồi trên А

Định nghĩa 1.5 i) Trên đồ thị của hàm / được ký hiệu

ep*/ = { ( ĩ , ữ ) ẽ Ẩ x l sao cho X G A : f ( x ) < a;} ;

ii) Miền hữu hiệu của hàm / ký hiệu là dom ỉ

d o m f = {x e A : f ( x ) < +0 0} ;

iii) Hàm / được gọi là đóng nếu e p if là tập đóng trong I x E

iv) Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới tại X G X nếu

f ( x ) < lim inf f ( y) ;

y->x

у) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên tại X G X nếu

f { x ) > Ịimsup f { y) ;

y->x

vi) Hàm / được gọi là liên tục tại X e X nếu / là nửa liên tục trên và nửa

liên tục dưới tại X. Hàm / được gọi là hàm liên tục nếu nó đồng thời

vừa liên tục trên vừa liên tục dưới;

vii) Hàm / được gọi là liên tục trên X nếu / liên tục tại mọi X E X Mệnh đề 1.2 ([1]) Hàm f là đóng nếu và chỉ nếu

l e v ( f , a) = {x : f ( x) < a} ,

là tập đóng với ữ G i

Mệnh đề 1.3 ([1]) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới

Định lý sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục

Định lý 1.3 ([1], Định lý 1.3.5) Cho f là hàm lồi chính thường trên X Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

i) f bị chặn bên trong một lân cận của x ữ £ X ;

ii) f liên tục tại x ữ;

ỉỉỉ) i n t ( e p i f ) Ф 0 ;

iv) in t(dom f ) ^ 0 v à f liên tục trên int(dom f ) đồng thời

i n t ( e p i f ) = { ( x , a ) £ X X X : X £ i n t ( d o m f ) , f ( x) < a } .

1.3 Tính liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.7 Giả sử X là không gian định chuẩn với chuẩn được ký hiệu là II • II Hàm / : X —y R được gọi là Lipschitz địa phương tại X q g X nếu tồn tại lân cận и của x ữ và к > 0 sao cho

Vx,x' e и : If ( x ) — f(x' )\ < k\\x — x'\\ (1-3)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D с X nếu / Lips-

chitz địa phương tại mọi X G D.

Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz к trên tập D с X nếu

(1.3) đúng với mọi X G D.

Định lý 1.4 ([1]) Giả sử X là không gian định chuẩn, f là hàm lồi trên tập lồi mỏ D С X , f bị chặn trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc

D Khi đó f Lipschitz địa phương trên D.

Hệ quả 1.3 Giả sử f : D —»■ M là hàm lồi liên tục tại X Q thuộc tập lồi mở

D khi đó f Lipschitz địa phương trên D.

1.4 Hàm liên hợp

1.4.1 Phép biến đổi Young-Fenchel

Giả sử X là không gian lồi địa phương, X* là không gian liên hợp của X ,

f là hàm xác định trên X Ta có thể cho tương ứng hàm với một hàm lồi

như sau

Định nghĩa 1.8 Phép biến đổi Young-Fenchel của hàm / hay hàm liên

hợp với / được xác định trên X như sau

Định lý 1.6 ([1]) Giả sử X , Y là các không gian lồi địa phương, Ả : X —ỳ’

Y là phép đồng phôi tuyến tính, д là hàm xác định trên Y

Dưới đây ta liệt kê một số tính chất quan trọng của hàm liên hợp.

1 Giả sử / là hàm lồi chính thường đóng trên X Khi đó

f ( x ) = sup {h (x ) : h — affine liên tục, h < f }

2 Giả sử cõf là hàm chính thường Khi đó

Ta biết rằng trong trường hợp / khả vi tại x ữ G d omf , khi đó tại lân cận của x ữ, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó Đối với hàm

lồi, nói chung là không liên tục và không khả vi

Định nghĩa 1.9 Đạo hàm của hàm / theo phương d tại x 0 € X ký hiệu là

f ' ( x0, d) được xác định như sau

= }i / ( » + Ad) - / Ы

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±oo)

Định nghĩa 1.10 Cho D là một tập lồi không rỗng của I và lo ẽ D Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của D tại x ữ nếu tồn tại một

số Л > 0 sao cho x 0 + Xd G D.

Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại x ữ được ký hiệu là

T ( D , X o).

Nhận xét 1.3 Nếu / là hàm lồi chính thường trên X thì

i) f ' ( x Q, •) là hàm thuần nhất dương trên X tức là với mọi л > 0 thì

f ( x 0, Xd) = Xf ' ( x 0,d).

ii) Với mọi X G d o m f thì f ( x 0, •) là dưới tuyến tính.

Mệnh đề 1.5 ([1], Mệnh đề 1.5.1) Cho hàm f : X —¥ M là hàm lồi chính thường trên X khi có đạo hàm theo phương tại mọi điểm X o G d o m f đồng thời

/ v » , d ) = - /(* > ),

л> 0 л

Định nghĩa 1.11 i) Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu Vx G

K : VA > 0, Xx £ K

ii) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại Xo nếu K — x 0 là nón có đỉnh tại 0 iii) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi và

Vx, y £ K , Va, ß > 0 : a x + ßy £ K.

iv) Nếu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng.

v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi và gọi là nón lồi sinh bởi A ký hiệu K a -

Mệnh đề 1.6 ([1]) Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X Khi đó ỉ) Nếu f liên tục tại mọi điểm của u c X thì f liên tục tại mọi điểm của nón K ụ sinh bởi điểm u có thể trừ điểm 0,

ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên X

Định lý 1.8 Cho f : X —ì M là hàm lồi chính thường trên X liên tục tại các điểm của tập u c X Khi đó

i) Nếu tại d' e X thỏa mãn X + d' e u mà f ( x , d!) hữu hạn thì hàm

f ( x , •) liên tục tại mọi điểm của nón Ku- X sinh bởi tập u — X (có th ể

trừ điểm 0);

ii) Nếu f liên tục tại X thì f ( x , •) hữu hạn và liên tục trên X

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.6 ta chỉ cần chứng minh rằng liên

tục tại mọi điểm của tập u — X.

Trước hết ta chỉ ra rằng f ( x , •) là hàm chính thường Do I f ( x , d) I < +oo

nên X G dom f Từ Mệnh đề 1.5 ta nhận được

Do X + d2 £ d o m f nên f ' ( x , d 2) < +0 0 Vì yậy từ (1.6) ta suy ra

f ' (x, d' ) = — oo Điều này mâu thuẫn với điều kiện |/ ( x , d')\ < +0 0

0 Áp dụng Mệnh đề 1.6 ta nhận được khẳng định ii) □

Mệnh đề 1.7 Tại mỗi X G D ta có: T ( D , X ) là một nón lồi.

Mệnh đề 1.8 ([1]) Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng

ii) f ' (x, ■) là hàm thuần nhất dương, lồi khi domf ' ( x, ■) lồi.

Hê quả 1.5 f ( x , ■) là hàm thuần nhất dương lớn nhất xác định trên d o m f ( x , •)

Nếu tập d f ( x 0) Ỷ 0 ta nói rằng / khả vi dưới vi phân tại x ữ.

Mệnh đề 1.9 ([1], Mệnh đề 1.5.4) Cho hàm f lồi chính chính thường trên

X và X G dom f Khi đó các khẳng định sau là tương đương

Chương 2

Hàm lồi vectơ và ứng dụng

Hàm lồi vectơ có thể định nghĩa trong không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Để cho dễ hình dung, trong chương này ta chỉ trình bày các khái niệm và kết quả trong trường hợp hữu hạn chiều Bằng cách đưa ra định nghĩa của khái niệm toán tử C-xác định cho các toán tử từ M" vào R m trong đó, c c Mm là một nón lồi Đặc trưng bậc nhất qua tính đơn điệu,

qua đạo hàm theo hướng Tổng quát các khái niệm của ma trận nửa xác định dương cho ta đặc trưng cấp hai của tính lồi của các hàm lồi véc tơ Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là đủ cho một hàm vectơ lồi liên tục tương đối trên miền định nghĩa Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi

xa của các hàm lồi véc tơ được đưa ra bằng nghiên cứu các tính chất đó và

áp dụng vào chứng minh điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộc và không có ràng buộc

2.1 Giới thiệu

Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong tối ưu Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú trọng rất

nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ ([9]) Trong ([3], [4]), các đặc trưng của tính lồi được trình bày dưới dạng của đạo hàm tổng quát bậc nhất Nhưng gần như là không có kết quả nào về đặc trưng bậc hai Một trong những tính chất hữu ích của các hàm lồi vectơ là tính liên tục Lipschitz địa phương trên phần trong tương đối của miền xác định đó ([4]) Tuy nhiên ta cũng quan tâm đến các điều kiện theo đó tính liên tục vẫn còn đúng tại những điểm biên Trong tối ưu, để

có điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, chúng ta cần hoặc một điều kiện bậc hai hoặc một giả thuyết lồi Bên cạnh đó còn một phương pháp nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu dựa trên ánh xạ lùi xa ([5]) Cái khó trong việc mở rộng và nghiên cứu ánh xạ lùi xa trong trường hợp ánh xạ đa trị

Mục đích của chương này là trình bày các vấn đề liên quan đến hàm lồi vectơ Bằng cách giới thiệu các định nghĩa của khái niệm toán tử C-xác định cho các toán tử từ M" tới Mm, £(Mn, Mm) kí hiệu không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Mn tới Mm và c c Mm là một nón lồi Tổng quát khái

niệm của ma trận nửa xác định dương, ta chỉ ra đặc trưng cấp hai cho tính lồi của hàm vectơ khả vi liên tục hai lần Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là điều kiện đủ để hàm lồi vectơ liên tục Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi xa của các hàm lồi vectơ được đề xuất và nghiên cứu tính chất của ánh xạ này ta tìm ra các điều kiện tồn với các phương án tối ưu của các bài toán vectơ có ràng buộc Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh họa các kết quả

Các khái niệm và kết quả được viết dựa trên cơ sở của bài báo [9] của tác giả Phan Nhật Tĩnh và Do Sang Kim

2.2 Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ trợ

Chúng ta nhắc lại rằng một tập hợp с khác rỗng с с Mm được gọi là nón nếu t x E c , Vx € с , t > 0 Một nón с được gọi là nhọn nếu С п (—С) = {0} Ta nói tập в с Mm tạo thành nón с nếu с = {tb\ b £ B , t > 0} và ký hiệu с = сопБ Nón cực của nón с được xác định như tập C' := {£ G £(Mm, M") : £(ж) > 0, Va: G с } Та liệt kê ở đây

một số tính chất của nón từ ([2], [3]) mà sẽ được sử dụng ttong phần tiếp theo

Bổ đề 2.1 Cho С С Mm là một nón.

1 Nếu С đóng, lồi và nhọn thì int C' Ỷ

0-2 Giả sử nón С đóng và lồi Cho с G Mm Khi đó:

(i) с G С khi và chỉ khi £(c) > 0, V£ G ơ '\{ 0 } ;

(ii) Giả sử int С Ф 0 Khi đó с G int с khi và chỉ khỉ £(c) > 0, V£ G

niệm của sự hiệu quả.

Định nghĩa 2.1 ([3], Định nghĩa 2.1) Cho А с Mm là một tập khác rỗng

và cho a G A Ta nói rằng

i) a là một phần tử hữu hiệu lý tưởng của A đối với с nếu a -<c x , Vx €

A Tập các phần tử iđêan hiệu quả của A được ký hiệu bởi IM in(A |ơ) ii) a là một phần tử hữu hiệu Pareto của A đối với с nếu Vx e A, X -<c

a =ï a x - Tập hợp các phần tử hiệu quả của A được ký hiệu là

M in(A |ơ)

Ta chú ý rằng nếu IM in(A |ơ) khác rỗng thì М т (Л |С ) = 1М т(Л |С )

Thêm vào đó, nếu с nhọn, thì IM in(A\C) là tập chỉ có một phần tử Khái niệm Max và IMax được định nghĩa một cách tương tự Ta có — Min A =

M ax(—A).

Cho А с R m là một tập khác rỗng và cho a G м т Ta nói rằng a là một

cận trên của A đối với с nếu

X ữ, Vx G A.

Tập hợp các cận trên của A được ký hiệu bởi U b(Ẩ |ơ) Ta nói rằng A bị chặn trên nếu Ub(A|C) Ỷ 0 Khái niệm cận dưới được định nghĩa một

cách tương tự và tập các cận dưới được ký hiệu bằng Lb(A |ơ )

Định nghĩa 2.2 ([8], Định nghĩa 2.3) Cho А с Mm là một tập khác rỗng

và cho a E Mm Ta nói rằng

i) a là một điểm cận trên đúng lý tưởng của A đối với с nếu а £

iii) a là một điểm cận dưới đúng lý tưởng của A đối với с nếu a e IMax(Lb A\C), nghĩa là

Giống như trường hợp của Min và IMin, ta nên chú ý rằng nếu ISup(A |ơ)

khác rỗng thì ISup(^ỊC ) = su p (^ |C ) và thêm vào đó, nếu с nhọn thì ISup(A\C) là tập một phần tử Dễ thấy, — sup A = inf (—A).

Định nghĩa 2.2 là mở rộng của định nghĩa cận trên đúng thông thường trong

M theo cách tự nhiên: cực tiểu của cận trên của tập A Nó dường như phù

hợp cho việc thiết lập một số kết quả liên quan đến các hàm lồi vectơ như

đã chỉ ra trong ([8])

Ta liệt kê ở đây một số kết quả từ [8] mà sẽ được dùng trong phần tiếp theo

Dãy {ĩjk}k c Mm được gọi là giảm (đối với с ) nếu yk + 1 ■<, Vk Nó được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại a G Rm sao cho a ■< Vki^k.

Bổ đề 2.2 ([8], Bổ đề 2.8) Giả sử nón thứ tự с с Mm là đóng, lồi và nhọn Giả sử {Ук]к С Mm là dãy giảm Nếu {Ук}к bị chặn dưới thì nó hội tụ và

Định lý 2.1 ([8], Định lý 2.16, Chú ý 2.18) Giả sử trật tự nón с c r

là đóng, lồi và nhọn Cho Ả là một tập con khác rỗng của Mm Khi đó sup A Ỷ 0 khỉ và chỉ khi A bị chặn trên Trong trường hợp này, ta có

и ь ( л ) = sup(A) + c

Theo định lý này, nó là hiển nhiên nếu sup A là tập đơn phần tử thì sup A = ISup A.

Bây giờ cho D С Mm là một tập khác rỗng và cho / : D —»• Mm Đồ thị trên của / đối với С được xác định như tập

e p i / := {(x , z ) e D X Mm : f ( x ) z}.

Ta nói rằng / là lồi (tương ứng, đóng) đối với с nếu epi / là lồi (tương

ứng, đóng) trong Mn X Mm Có thể thấy rằng / lồi khi và chỉ khi D là lồi

ỉ) f là lồi đối với С khi và chỉ khi £ / là lồi và với mọi £ G ơ '\{ 0 } ; ii) Giả sử int С Ỷ 0, / là lồi chặt đối với с khi và chỉ khi £ / là lồi chặt,

với mọi £ G C '\{ 0 }

Tập hợp mức của một hàm vectơ f : D C l " - > Mm tại а € R m đối với

Chứng minh Cho a € Rm tùy ý và cho một dãy số {x/j} c leva / hội tụ tới X e R n Khi đó dãy số {(Zfc, a)fc} c e p i / và nó hội tụ tới (x, a) Vì epi / là đóng ta có (:X, a) G epi / Do đó f ( x ) ^ a, nghĩa là X €E leva /

Vậy leva / đóng

Ngược lại, cho bất kỳ dãy số {(Zfcja)*;} c epi / hội tụ tới (x , a ) G

Mn X Mm Cho c € int c và số thự t > 0 tùy ý Khi đó a £ a + tc — int c

kéo theo ak G a + tc — int c với k đủ lớn Do đó x k G lev0+íc / với k đủ

lớn Theo tính đóng của tập mức, ta thu được X G leva+íc / , nghĩa là

f ( x ) ■< a + t c , v t > 0.

Cho t dần tới 0, vì c là đóng ta có f ( x ) ^ a nó tương đương với (x,a) G

2.3 Tính liên tục

Từ đây ta luôn giả sử rằng Mm được sắp thứ tự bởi nón lồi c Cho / là một hàm vectơ từ tập khác rỗng D e l " tới Mm và cho s c D, X e s Ta nói

rằng / là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) trên s tại X đối

với c nếu với mọi lân cận w của f ( x ) , tồn tại một lân cận V của X sao cho

/ được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) tương ứng với

s nếu nó là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) trên s tại mọi

điểm X € s. Khái niệm liên tục trên s được định nghĩa một cách tương tự

Khi s = D ta bỏ quả cụm từ “trên S ” trong các định nghĩa bên trên Trong

trường hợp này, nếu ra = 1 và c = K+ thì ta thu được các khái niệm thông

thường của nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên của hàm số Nhưng nó khác với trường hợp vô hướng, một hàm vectơ có thể đóng nhưng không

nửa liên tục dưới Lúc đó, xét hàm / : [0, +oo) —> M2 xác định bởi

M2 được sắp thứ tự bởi nón c := nón(co{(—1,1), (1,1)}), trong đó co A

ký hiệu bao lồi của A Khi đó / là đóng nhưng không nửa liên tục dưới tại

0 đối với c. Lý do của thực tế này là đặc tính của thứ tự riêng sinh bởi một

nón Trong một số đặc trưng về tính nửa liên tục của hàm vectơ là đã đưa

ra Ở đây, ta trình bày điều kiện đủ để một hàm vectơ nửa liên tục

Mệnh đề 2.2 Giả sử trật tự nón c c Rm là đóng, lồi và nhọn với int c Ỷ

y G V n s =* f ( y ) G w + c (tương ứng, f ( y ) € w — C).

X