Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông

Ch ngă1.ă IăC NGăV ăDĩYăS 1.1ăDẩYăS 1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M 1.3 DÃY TU NăHOÀN 1.4 DÃY CON 1.5ăM TăS ăDẩYă CăBI T Ch ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS 2.1ăGI IăH NăDẩYăS 2.2ăM T

1

B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O

TR NGă IăH CăTH NGăLONG

-

NGUY NăV NăKHỄIăậ C00447

CỄCăPH NGăPHỄPăVĨăD NGăTOỄN

CH NăL CăV ăDĩYăS ă ăPH ăTHỌNG

LU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C

CHUYÊN NGÀNH: PH NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P

MĩăS :ă60ă46ă01 13

NG IăH NGăD NăKHOAăH C:ăTSăLểă ỊNHăNAM

Hà N i – N m 2016

M CăL C

Trangăph ăbìa 01

M căl c 02

L iăcamăđoan 04

Tómăt tălu năv n 05

M ăđ u 06

Ch ngă1.ă IăC NGăV ăDĩYăS 1.1 DÃY S 08

1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M 08

1.3ăDẩYăTU NăHOÀN 08

1.4 DÃY CON 09

1.5ăM TăS ăDẩYă CăBI T 09

1.5.1 C păs ăc ng 09

1.5.2ăC păs ănhơn 09

1.5.3 Dãy Fibonacci 10

1.5.4 Dãy Lucas 11

Ch ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS 2.1ăGI IăH NăDẩYăS 12

2.2ăM TăS ăD NGăTOÁNăV ăDẩYăS 13

2.2.1ăXétăs ăh iăt ăc aădƣyăs 13

2.2.2ăTìmăgi iăh năc aădƣyăs 22

2.3 BÀIăT P 26

2.4 H NGăD NăGI I 27

Ch ngă 3.ă M Tă S ă PH NGă PHỄPă XỄCă NHă S ă H NGă T NGăă QUỄTăC AăDĩYăS 3.1ăPH NGăPHÁPăSAIăPHÂNăVÀăPH NGăTRÌNHăSAIăPHÂN 31

3.1.1 Sai phân 31

3

3.1.2ăPh ngătrìnhăsaiăphơn 33

3.1.3ăBƠiăt p 37

3.1.4ăH ngăd năgi i 37

3.2ăPH NGăPHÁPăHÀMăSINH 40

3.2.1ăHƠmăsinhăvƠăs h ngăt ngăquátăc aădƣyăs ă 40

3.2.2ăBƠiăt p 46

3.2.3ăH ngăd năgi i 46

3.3ăPH NGăPHÁPăL NGăGIÁCăVÀăQUYăN P 49

3.3.1ăN iădungăph ngăpháp 49

3.3.2ăBƠiăt p 53

3.3.3ăH ngăd năgi i 54

3.4ăPH NGăPHÁPăTUY NăTệNHăHÓAăH ăTH CăTRUYăH I 56

3.4.1ăQuyătrìnhătuy nătínhăhóaăm tăh ăth cătruyăh iăkhôngătuy nătính 56

3.4.2ăBƠiăt p 62

3.4.3 H ngăd năgi i 63

Ch ngă4.ăM TăS ăD NGăTOỄNăKHỄCă 4.1ăCH NGăMINHăM TăDẩYăLÀăDẩYăS ăNGUYÊN 65

4.2ăBÀIăTOÁNăLIÊNăQUANă NăCHIAăH T 76

4.3ăDẩYăS ăCHệNHăPH NG 80

4.4ăCÁCăBÀIăTOÁNăV ăPH NăNGUYÊNă 86

4.5ăDẩYăS ăVÀăS ăNGUYÊNăT 89

4.6ăM TăS ăBÀIăTOÁNăV ăDẩYăS ăFIBONACCI 92

K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH 98

TĨIăLI UăTHAMăKH O 99

L IăCAMă OAN

Tôiăxinăcamăđoanăd iăs ăgiúpăđ ,ăh ngăd n,ăch ăb oăt nătìnhăc a TS

Lêă ìnhăNam,ălu năv năcaoăh căchuyênănghƠnhă ph ng pháp Toán s c p

v iăđ ătƠiă“Các ph ng pháp và d ng toán ch n l c v dãy s ph thông”ă

là công trình nghiên c uăc aăriêngătôiătrongăth iăgianăh căt păvƠ nghiênăc u

t iătr ngă iăh căTh ngăLong

Trongăquáătrìnhănghiênăc uăvƠăth căhi nălu năv n,ătácăgi ăđƣăk ăth aăvƠ

phátăhuyănh ngăk tăqu ăc aăcácănhƠăkhoaăh căv iăs ătrơnătr ngăvƠăbi tă n

Hà N i, tháng 6 n m 2016

Tácăgi

Nguy năV năKhái

5

TịMăT TăLU NăV N

PH Nă1.ăM ăđ u

PH Nă2.ăN iădung

Ph nănƠyăg măb năch ng

Ch ngă1.ă IăC NGăV ăDĩYăS

1.1ăDẩYăS

1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M

1.3 DÃY TU NăHOÀN

1.4 DÃY CON

1.5ăM TăS ăDẩYă CăBI T

Ch ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS

2.1ăGI IăH NăDẩYăS

2.2ăM TăS ăD NGăTOÁNăV ăDẩYăS

Ch ngă 3.ă M Tă S ă PH NGă PHỄPă XỄCă NHă S ă H NGă T NGă QUỄTăC AăDĩYăS

3.1ăPH NGăPHÁPăSAIăPHÂNăVÀăPH NGăTRÌNHăSAIăPHÂN

3.2ăPH NGăPHÁPăHÀMăSINH

3.3ăPH NGăPHÁPăL NGăGIÁCăVÀăQUYăN P

3.4ăPH NGăPHÁPăTUY NăTệNHăHÓAăH ăTH CăTRUYăH I

Ch ngă4 M TăS ăD NGăTOỄNăKHỄC

4.1ăCH NGăMINHăM TăDẩYăLÀăDẩYăS ăNGUYÊN

4.2ăBÀIăTOÁNăLIÊNăQUANă NăCHIAăH T

4.3ăDẩYăS ăCHệNHăPH NG

4.4 CÁC BÀI TOÁNăV ăPH NăNGUYÊN

4.5ăDẩYăS ăVÀăS ăNGUYÊNăT

4.6ăM TăS ăBÀIăTOÁNăV ăDẩYăS ăFIBONACCIă

PH Nă3 K tălu năvƠăkhuy năngh

M ă U

Dƣyăs ălƠăm tăph năquanătr ngăc aăđ iăs ăvƠăgi iătíchătoánăh c nóăc ngălƠăm tăl nhăv căr tăkhóăvƠăr tăr ng, s ăd ngănhi uăki năth căkhácănhauăc aătoánăh c Cácăv năđ ăliênăquanăđ nădƣyăs ăc ngăr tăđaăd ng, cácăbƠiătoánăv ădƣyăs ăth ngălƠăcácăbƠiătoánăhayăvƠăkhó Vìăth ,ădƣyăs ăth ngăxu tăhi nătrongă cácăk ăthiăh căsinhăgi i,ăthiăOlympicătoánăđ ăđánhăgiáăkh ăn ngăt ăduyăc aăh căsinh.ă

H nă n aă c ngă cóă nhi uă tƠiă li uă vi tă v ă v nă đ ă nƠy,ă cácă tƠiă li uă nƠyă c ngă

th ngăvi tăkháăr ngăv ăcácăv năđ ăc aădƣyăs Tuyănhiênănóăch aăđ căh ă

th ngă đ yă đ ă theoă d ngă toánă c ngă nh ă ph ngă phápă gi iă t ngă ngă trongă

ch ngătrìnhătoánăph ăthông.ăVìălíădoătrênătôiăđiăth căhi n đ ătƠiă"Các ph ng pháp và d ng toán ch n l c v dãy s ph thông" ch ăy uăđ ăb iăd ngăh că

sinhăgi iăToánăvƠănh mătìmăhi uăsơuăh năv ăcácăn iădungăliênăquanăđ n dãy

s

Lu năv năg măb năch ng:

Ch ngă1: TrìnhăbƠyăcácăkháiăni măc ăb nănh ăkháiăni mădƣyăs ,ădƣyă

s ăt ng,ădƣyăs ăgi m,ădƣyăs ătu năhoƠn,ădƣyăcon,ăvƠăm tăs ădƣyăs ăđ că bi tă

đ ngăth iăc ngătrìnhăbƠyăm iăliênăh ăc ăb năgi aăcácădƣyăđ căbi t

Ch ngă2: TrìnhăbƠyăcácăv năđ ăv ăgi iăh nădƣyăs ăđ ngăth iăc ngă

phơnălo iăm tăs ăd ngătoánăth ngăg păv ăgi iăh nădƣyăs ănh ăxétăs ăh iăt ă

c aădƣyăs ,ătìmăgi iăh năc aăcácădƣyăchoăb iăd ngăphơnăth c,ăvôăt ,ădùngăđ nhălíăgi iăh năk păgi a,ădƣyăconăđ ăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs

C h ngă3: TrìnhăbƠyăm tăs ăph ngăphápăxácăđ nhăs ăh ngăt ngăquátă

c aădƣyăs ănh ăph ngăphápăsaiăphơn,ăph ngăphápăhƠmăsinh,ăph ng pháp

l ngăgiácăvƠăquyăn p,ăph ngăphápătuy n tínhăhóaăh ăth cătruyăh i

7

Ch ngă4: TrìnhăbƠyăm tăs ăd ngătoánăhayăliênăquanăt iădƣyăs ănguyên

nh ăch ngăminhăm tădƣyălƠădƣyăs ănguyên,ăbƠiătoán chiaăh t,ădƣyăs ăchínhă

ph ng,ăcácăbƠiătoánăv ăph nănguyên,ădƣyăs ăvƠăs ănguyênăt ăc ngănh ăm tă

s ăbƠiătoánăv ădƣyăs ăFibonacci

Tácăgi ăxinăbƠyăt ălòngăbi tă năsơuăs căđ năTS.ăLêă ìnhăNam,ăTr ngăiăH căBáchăKhoaăHƠăN i là ng iăđƣăt nătìnhăh ngăd n,ăgiúpăđ vƠăt oă

m iăđi uăki năđ ătácăgi ăcóăth ăhoƠnăthƠnhălu năv nănƠy.ă

Tácă gi ă c ngă xină chơnă thƠnhă c mă nă cácă th yă côă trongă khoaă Toánă

Tr ngă iă H că Th ngă Long,ă phòngă Sauă đ iă h că vƠă Qu nă lýă khoaă h că -

Tr ngă iăh căTh ngăLong.ă ngăth iătôiăxinăg iăl iăc mă năt iăt păth ăl păCTM3 khóa 2014 ậ 2016ă c aă Tr ngă iă h că Th ngă Longă c ngă nh ă cácă

đ ngănghi păn iătôiăcôngătác đƣăđ ngăviênăgiúpăđ ătôiătrongăquáătrìnhăh căt pă

và th căhi nălu năv nănƠy

M cădùăb năthơnăđƣăcóănhi u c ăg ng songădoăth iăgianăcóăh năvƠătrìnhă

đ ăcònăh năch ănênălu năv năkhôngătránhăkh iănh ngăthi uăsótănh tăđ nh.ăTác

gi ăr tămongănh năđ cănh ngăýăki năđóngăgópăc aăth yăcôăvƠăb năbèăđ ălu nă

v năđ căhoƠnăthi năvƠăphátătri năh n

Tácăgi ăxinătrơnătr ngăc mă nă!

Hà N i, tháng 6 n m 2016

Tácăgi

Nguy năV năKhái

nhăngh aă1.1.2 S ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs ă un lƠăbi uăth c f n   c aă

bi năduyănh tăn sao cho un  f n( ), v i m iăs ăt ănhiênăn

1.2 DĩYăS ăT NG,ăDĩYăS ăGI M

Dƣyăs ă un đ căgoiălaădayăsôăt ngănêuăun un1, v iămoi n

Dƣyăs ă un đ căgoiălaădayăsôăgiamănêuăun un1, v iămoiă n

Dƣyăs ăt ngăhayădƣyăs ăgi măđ căg iăchungălƠădƣyăđ năđi u

1.3 DĩYăTU NăHOĨN

1.3.1ăDƣyătu năhoƠnăc ngătính

Dãy  un đ căg iălƠătu năhoƠnăc ngătínhăkhiăvƠăch ăkhiăt năt iăs ă lnguyênăd ng sao cho ul n un, v iăm iăs ăt ănhiênăn.

S ăl nh ănh tăđ căg iălƠăchuăkìăc ăs ăc aădƣyă un

căbi t:ă un tu năhoƠnăc ngătính,ăchuăkìăl  lƠădƣyăh ng 1

9

1.3.2ăDƣyătu năhoƠnănhơnătính

Dãy  un đ căg iălƠătu năhoƠnănhơnătínhăkhiăvƠăch ăkhi t năt iăs ă l

l  1 nguyênăd ng sao cho ul n. un, v iăm iăs ăt ănhiênăn.

S ăl nh ănh tăđ căg iălƠăchuăkìăc ăs ăc aădƣy

1.4 DÃY CON

Cho  un ,ăt ăcácăs ăh ngăc aănóăl păm tădƣyăm iă un k v i:

1 2 k

n n  n  Taăg iă un k lƠăm tădƣyăconăc aă un

1.5 M TăS ăDĩYă CăBI T

1.5 1ăC păs ăc ng

nhăngh a 1.5.1.1 Dãy đ căg iălƠăc păs ăc ngăkhiăvƠăch ăkhiăk ăt ăs ăh ngă

th ă2ătr ăđiăm iăs ăh ngăb ngăs ăh ngăđ ngătr cănóăc ngăv iăs ăkhôngăđ iă d Tínhăch t 1.5.1.2 Cho  un lƠăc păs ăc ngăcóăs ăh ngăđ u u1, công sai d, ta có

nhăngh aă1.5.2.1 Dãy đ căg iălƠăc păs ănhơnăkhiăvƠăch ăkhiăk ăt ăs ăh ngă

th ă2ătr ăđiăm iăs ăh ngăb ngăs ăh ngăđ ngătr cănóănhơnăv iăs ăkhôngăđ iă

q

Tínhăch tă1.5.2.2 Cho dƣyăs ă un lƠăc păs ănhơnăcóăs ăh ngăđ uău1,côngăb iă

là ,q ta có:

a) Côngăth căs ăh ngăt ngăquát:ă 1 *

1 n , .n

u u q    nb) un21u un n2 v iăm iăn thu căvƠoă *

1

1 2 , 1

1n

d) F Fn, m v iăFd d m n, 

11

e) N uăn và 5 Fn lƠăs ănguyênăt ăthìăn lƠăs ănguyênăt

f) Dãy Fibonacci  F n ch aăt păh păvôăh nănh ngăs ăđôiăm tănguyên

t ăcùngănhau

g) F5n 5F qn n v iăqn khôngăchiaăh tăchoă5

h) Fn5k n k

i) Fn cóăt năcùngălƠă0ăkhiăvƠăch ăkhiăn15

k) Fn cóăt năcùngălƠăhaiăch ăs ă0ăkhiăvƠăch ăkhiăn150

Ch ng 2

CỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS

2.1 GI IăH NăC AăDĩYăS

nhăngh a 2.1.1 Taănóiădƣyăs ă un cóăgi iăh năh uăh năa n uăv iăm iă  0,

nh ă tùyă ý,ă đ u t nă t iă s ă t ă nhiên N0 saoă choă v iă m iă n N0 ta đ uă có

.n

u   a 

Kíăhi u:ălimun a

limun    a  0,   N0 ,  n N0: un   a 

Tínhăch tă2.1.2 M iădƣyăh iăt đ uăcóăgi iăh năduyănh t

Tínhăch tă2.1.3 (Phép toán các dãy h i t ) N uă   un , v n lƠăcácădƣyăh iăt ă

vƠăcóăgi iăh năt ngă ngălƠăa b, thìăcácădƣyăs un vn, un vn, u vn ,n n

n

uv

h pădƣyăs ăth ng,ătaăgi ăs ăvn 0 và b0)

nhăngh aă2.1.4 Taănóiădƣyăs ă un d năđ năd ngăvôăc c n uăv iăm iăs ă

th căd ng M l nătùyăý,ăt năt iăs ăt ănhiênăN0 (ph ăthu căvƠoădƣyăs ăunvà

M ) saoăchoăv iăm iăn  N0, ta có un M

limun    M 0, N0:  n N0 ta có un M

T ngăt

limun     P 0, N0:  n N0 ta có un P

13

Dƣyăs ăcóăgi iăh năh uăh năđ căg iălƠădƣyăh iăt ăDƣyăs ăkhôngăcóăgi iăh nă

h uăh năho căd năđ năvôăc c ( ho că )ăg iălƠădƣyăphơnăkì

Tínhăch tă2.1.5 (Tính ch t c a dãy s có gi i h n vô c c)

i) N uă limun   thì lim 1 0

n

u 

ii) N uălimun  , limvn   thì limu vn n  

iii) N uălimun  , limvn  L 0 thì limu vn n  

N uă limun  L 0, limvn 0 và  vn cóă d uă xácă đ nhă k ă t ă m tă s ă

h ngănƠoăđóătr ăđiăthìălim n

n

u

v  

iv) N uălimun  , limvn L thì limun vn 

Tínhăch tă2.1.6 M tădƣyăt ngăvƠ b ăch nătrênăhayăm tădƣyăgi măvƠăb ăch nă

d iăthìăh iăt ă

Tínhăch tă2.1.7

i) N uădƣy  un t ngăvƠăcóăgi iăh nălƠăL thì ta có un  Lv iăm iăn

ii) N uădƣyă un gi măvƠăcóăgi iăh nălƠăL thì ta có un  Lv iăm i n

Tínhăch tă2.1.8 N uădƣyă un h iăt ăv ăa thìăm iădƣyăconăc aănóăc ngăh iăt ă

v ăa

H ăqu 2.1.9  un h iăt ăđ năa đi uăki năc năvƠăđ ălƠăhaiădƣyăcon  u2n

và u2 n1 cùngăh iăt ăv ăa

2.2 M TăS ăD NGăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS

2.2.1 X étăs ăh iăt ăc aădƣyăs

2.2.1.1ăS ăd ngătínhăđ năđi uăvƠăb ăch năđ ăxétăs ăh iăt ăc aădƣyăs

Víăd ă1 Choădƣyăs ă

1 1

a)ăCh ngăminhăr ngădƣyăs ăb ăch nătrên

b) Ch ngăminhăr ngădƣyăs ăt ng

Ch ngăminhăTaăd ăđoánădƣyăs ăb ăch nătrênăb iăs ăthíchăh pănh t.ăXu tăphátă

t ăyêuăc uăth ăhai, t ăgi ăthi tătaăcó:

1

01

V iăn ta có 1 u13 m nhăđ ăđúng

Gi ăs ăm nhăđ ăđúngăv iănk k, , 1  k n 1

Doăđóădƣyăs ăđƣăchoălƠădƣyăs ăt ng

Víă d ă2 Ch ngă minhă r ngădƣy s 1 *

n n

n

   lƠă dƣyă s ă đ năđi uă

t ngăvƠăb ăch nătrên

Ch ngăminhăTa có:

15

1

1 1

2

11

1

11

11

n

n n

n n



V yădƣyăs ăđƣăchoălƠădƣyăs ăt ngăvƠăb ăch nătrên

u

nu





     doăđóădƣyăs ăđƣăchoălƠădƣyăs ăt ng

Taăđiăch ngăminhădƣyăs ănƠyăb ăch n





Ta có un e, *

n

  doăđóădƣyăs ăb ăch n

V yădƣyăs ăđƣăchoăh iăt

2.2.1.2 Dùngădƣyăconăđ ăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs

Khiăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs ătaăth ngăs ăd ngăcácăđ nhălýăv ătínhă

đ nă đi uă vƠă b ă ch n.ă Tuyă nhiênă cóă nh ngă dƣyă s ă ph că t p, t ngă gi mă b tă

th ng,ă trongă tr ngă h pă nh ă th ă taă th ngă xơyă d ngă cácă dƣyă s ă ph ă đ nă

đi u,ăch ngăminhăcácădƣyăs ăph ăcóăgi iăh n,ăsauăđóăch ngăminhădƣyăs ăbană

đ uăcóăcùngăgi iăh n,ăcácădƣyăs ăph ăph iăđ căxơyăd ngăt ădƣyăs ăchính

Ta đã bi t: N u limu2n limu2n1 a thì limun a

M t cách t ng quát ta có

Cho s nguyên m 2 n u limumn i a,  i 0,1, 2, ,m1 thì limun a

Víăd ă1 Dƣyăs ă(un) đ căxácăđ nhăb iăcôngăth c:

Ch ngăminhăr ngădƣyă(un)h iăt

Ch ngăminh Xétădƣyăs ă an đ căxácăđ nhăb iăa0 1, 1 2

3

n n

a

a  

Taăth yă an gi măd năv ă0

Taăch ngăt ămaxu2n,u2n1an, n (*)

Th tăv y,ă(*)ăđúngăv iăn và 0 n 1

Gi ăs ăă(*)ăđúngăv iăn và do  an lƠădƣyăgi mănên

5u n u n 2u n 3an u n an

và 5u2n2 u2n12u2n2 an 2an13an u2n3an1

17

Nh ăv yă(*)ăđúngăv iăn 1hayă(*)ăđúngăn0,1,2,3,

D ăth yăun  0, n vƠăt ă(1)ătheoănguyênălýăk pătaăcóălimu2n limu2n1 0 suy ra limun 0

Nh năxét: Vi căđ aăvƠoădƣyăph ă an cóătácăd ngăch năc ăhaiădƣyăconă u2n

và u2 n1 vƠălƠmăchúngăcùngăh iăt ăv ăm tăđi m

Víăd ă2 Dãy (un)đ căxácăđ nhăb i:

D ăth yădƣyăs ă an gi măd năv ă0

Taăch ngăt ămaxu3n,u3n1,u3n2an, v iăm iăs ăt ănhiênăn (*)

Th tăv y,ă(*)ăđúngăv iăn0,1, 2,

Gi ăs ă(1)ăđúngăv iăn và do  an lƠădƣyăgi mănênătaăcó:

Nh ăv y,ă(*)ăđúngăv iăn1, theoănguyênălýăquyăn p,ă(*)ăđ căch ngăminh.ăă

D ăth yăun 0 T ăđóătheoănguyênălýăk păgi a ta có

3

limu n i 0, i0,1,2 doăđóălimun 0

T ăcácăcáchăch nădƣyăs ăph ănh ătrênătaăcóăcácădƣyăs ăsauăđ uăh iăt ăv ă 0

v iău u u u0, ,1 2, 3 đ uăthu că 0;1

Dãy  an lƠădƣyăgi măd năv ă2,ădƣyă b n t ngăd năv ă2

B ngăquyăn păd ăch ngăminhăđ c

1 min{ 3 , 3 1, 3 2} ax{ 3 , 3 1, 3 2} ,

b  u u  u  m u u  u  a v iăm iăn

T ăđó,ăd năđ nălimu3n limu3n1limu3n2 2 suy ra limun 2

Víăd ă4 Cho dãy (un) đ căxácăđ nhănh ăsau:

u0, u1, u2lƠăcácăs ăd ngăchoătr c

19

Taăch ngăminhăbn1min{u3n,u3n1,u3n2}max{u3n,u3n1,u3n2}an, n (1)

Th tăv y,ăv iăn thìă(1)ăhi nănhiênăđúng 0

Gi ăs ă(1)ăđúngăv iănk, khiăđóăv iăn  ta có k 1

V yă(1)ăc ngăđúngăv iăn  k 1

Theo nguyênălýăquyăn păthìă(1)ăđúngăv iăm iăs ăt ănhiênăn

T ăđóătheoăđ nhălýăk pătaăcó limu3n limu3n1 limu3n2 liman limbn  9.Nên limun 9

D iăđơyălƠăm tăs ăbƠiătoánătìmăgi iăh nădƣyăs ăd ngăun1 f u( n) (dãy

s ăxácăđ nhănh ăv yăg iălƠăchoăd iăd ngăl p).ă ơyălƠăd ngătoánăth ngăg pă

nh tătrongăcácăbƠiătoánăv ătìmăgi iăh nădƣyăs ,ădƣyăs ăhoƠnătoƠnăđ căxácă

đ nhăkhiăbi tă f vƠăgiáătr ăbanăđ uău0 Doăv yăs ăh iăt ăc aădƣyăs ăph ăthu căvƠoătínhăch tăc aă f u n và u0 M tăđ căđi măquanătr ngăkhácăc aădƣyăs ă

d ngănƠyălƠăn uăaălƠăgi iăh năc aădƣyăs ăthìăaălƠănghi măc aăph ngătrình

 

u f u

Víăd ă5 Choădƣyăs ă un đ căxácăđ nhănh ăsau:

a 

T ngăt ătaăc ngătìmăđ că 1

3

b

21

x

f x    xácăđ nhătrênă 

V iăm iăn, ta có un4  f u n2 f f u  n  hay un4 g u n , trongăđó

g lƠăhƠmăs ăxácăđ nhătrênă và g x  f f x   ,  x (1)

D ăth yăhƠmăs ă f gi mătrênă,ădoăđóăhƠmăs ă g t ngătrênă  Vìăth ăt ă(1)ăsuyăraăv iăm iăk1;2;3;4 , dãy u4n k ,n lƠădƣyăđ năđi u,ăH năn a,ăt ăcách xácăđ nhădƣyă un

Taăth yă0un 2,  n *

 Doăđóăv iăm iăk1;2;3;4 , dãy u4n k  là dãy

h iăt ăV iăm iăk1;2;3;4 , đ tălimu4n k ak ta có 0ak 2.ăH năn a,ădoăhƠmăs ă g liênăt cătrênă nênăt ă(1)ăsuyăraăg a k  (2) ak

  (do f x  x 0, x [0;2])ăSuyăra,ăhƠmăs ăh gi mătrênă 0;2 Vì

th ăcóănhi uănh tăm tăđi măx[0;2] sao cho h x  hay 0 g x  Mà x

 1 1

g  nênăt ă(2)ătaăđ căak 1 v iăm iăk1;2;3;4  T ăđơy,ăvìădƣyă unlƠăh păc aăb nădƣyăconău4n k  nên dãy  un h iăt ăvƠălimun 1

Víăd ă7ăăCh ngăminhăr ngăv iăm iăs ănguyênăd ngăn choătr căthìăph ngă

trình x2n1  cóă đúngă m tă nghi mă th c.ă G iă nghi mă đóă lƠăx 1 xn Tính limxn

x    thìătaăph iăcóăx x 1

tă   2 1

1

n n

f x x   x Ta có '    2

n

f x  n x   trên 1, suy ra hàm f t ngătrênăn aăkho ngănƠy

1xn xn Dãy  x n gi măvƠăb ăch năd iăb iă1, suy ra dãy  xn cóăgi iă

h năh uăh năa, h năn a a Taăch ngăminhă1 a  1

Th tăv y,ăgi ăs ăa Khiăđóă1 xn a v iăm iăn vƠătaătìmăđ căn đ ăl năsaoăcho: xn2n1a2n1 Trongăkhiăđóătaăcóă3 xn    1 x1 1 3

Mơuăthu năvìă f xn n  0

2.2.2 Tìmăgi iăh năc aădƣyăs

( )



n

P n u

Q n v iă P n  , Q n   lƠăcácăđaăth c Víăd ă1 Tìmăgi iăh nădƣyăs

23

Q n v i P n ,Q n lƠăcácăbi uăth că

 

2.2.2.3 Dùngăđ nhălíăgi iăh năk păgi a

Nh năxét: Choăbaădƣyăs ă     un , vn , w n th aămƣn : ,

25

Víăd ă7 Cho dãy 2 2 2 ,

nn

n

2

27

1

2 1

20111

Taăch ngăminh:ăun  1   3, n 1 (1)

n1:

Dãy  u n gi măcóăgi iăh năd iălƠă 3 nênădƣyăh iăt

V yă u n cóăgi iăh năh uăh n

Doăđóă un lƠădƣyăh iăt

V yădƣyă un cóăgi iăh năh uăh n

3)ăD ăth y:ă 1 1  11 ! 1, .

Doăđóă(3)ăđúngăv iăn T ngăt ăv iă1 n2,3

Gi ăs ă(3)ăđúngăv iănk, t călƠă 1  

29

Taăđiăch ngăminhă(3)ăđúngăv iăn k 1, t călƠă 1  

14

1 !k

Taăđiăch ngăminhă(*)ăcóănghi măduyănh t.ă

Doăđóă(*)ăcóănghi măduyănh tălƠăa.

Theoăđ nhălíăLagrange,ăt năt iăc sao cho

2

n n

31

3) Saiăphơnăm iăc păc aăh ngăs ăđ uăb ngă0

4) Saiă phơnă c pă k c aă m tă đaă th că b că m lƠă m tă đaă th că b c m k n uă,

mk lƠăh ngăs ăn uăk m vƠăb ngă0 n uăk m

Víăd ă1 Tìmăs ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs : 1, 3, 9, 19, 33,

Taăth y 2

nu

 lƠăm tăh ngăs ,ăđ tă 2

,n

3 nu

Taăth yă 3

nu

 lƠăh ngăs ănênăđ tă 3 2

,n

u an bn cn cho d n0,1,2,3 ta có

h ăph ngătrình:

33

Vìăsaiăphơnăcácăc păđ uăcóăth ăbi uădi nătheoăcácăgiáătr ăc aădƣyăs nên ta có

th ăvi tăph ngătrìnhăd ng

0 n k 1 n k 1 k n ( )

a u  a u    a u  f n (2)

Trongăđóăa a a0, ,1 2, ,ak lƠăcácăh ăs ăh ng,ăa0 0, ( )f n là bi uăth căđƣăbi t HƠmăs ăun bi năn th aămƣnă(2)ăg iălƠănghi măc aăph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhă(2)

Ph ngă phápă gi i 3.1.2.2 Ph ngă trìnhă a u0 n k a u1 n k 1  a uk n  f n  

đ căg iălƠăph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăc păk

 Gi iăph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăthu nănh tăt ngă ng

- Gi iăph ngătrìnhăđ cătr ng: 1

- Tìmănghi măt ngăquátăc aăph ngătrìnhăthu nănh tăt ngă ng

+ N uă(*)ăcóăk nghi măth căkhácănhauălƠă 1 , 2 , ,k thìănghi măt ngăquátălƠ

+ N uătrongă(*) cóănghi măth căj b iăs thìănghi măt ngăquátălƠ

tăj1 j. ăthuăđ căcôngăth căt ngăquát,ătrongăcôngăth că(1)ătaăthayăb ă

Trongătr ngăh pănƠy,ăđ ăthuăđ căcôngăth cănghi măt ngăquát,ătrongăcôngă

th că(1)ătaăthayăb ăph n cjnj  cj1nj1   cj 2s 1jn 2s 1 b iăb ăph năt ngă ng

u  u  u Trongăđó:

+ un lƠănghi măc aăph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăc p k

+ un lƠănghi măc aăph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăthu nănh tăt ngă ng

+ *

n

u lƠăm tănghi măriêngăc aăph ngătrìnhăkhôngăthu nănh t

Víăd ă1ă Tìmăs ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs

35

Xétăph ngătrìnhăđ cătr ng:ă 2

    cóăhaiănghi mă1  1;2 3 suyăraănghi măt ngăquát: ( 1)n 3n

L iăgi i Taăgi iăph ngătrìnhăsaiăphơn:ăun12un n (*)

ơyă lƠă ph ngătrìnhă saiă phơnă khôngă thu nă nh tă b cănh t.ăPh ngătrìnhă saiăphơnăthu nănh tăt ngă ngălƠ:ăun12un 0

Taă gi iă ph ngă trìnhă đ că tr ng:ă  2 0   Nghi mă t ngă quátă c aă 2

ph ngătrìnhăthu nănh tălƠ:ă un c.2 n

n

u u u c  n Thay u0 1 tìmăđ căc 2

V yăs ăh ngăt ngăquátălƠ:ăun 2.2n  n 1

Víăd ă3 Tìm s ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs

37

V yăph ngătrìnhăđƣăchoăcóăm tănghi măriêngălƠă 2

4 10

n

u  n n Doăđóăph ngătrìnhăđƣăchoăcóănghi măt ngăquátălƠ:

2

n n

n

u  A B  n  n

 

 

Thay vào u0 1,u1 3 taătìmăđ căA3,B 8

V yăs ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs ăđóălƠ: 1 2

2

n n

1) 1 3 5 2 3

n

u  n  n  n 2) un 7n6

S ăh ngăt ngăquátăcóăd ng:ăun A.2n B.3 n

T ău0 2,u1 5 taăcóăh ăph ngătrình:

V yăs ăh ngăt ngăquátăc aădƣy: un 2n 3 n

2) Ta có un2 4un15un 20 (1) khôngălƠăph ngătrìnhăsaiăphơnăthu nănh t

39

n n

n n

2 2

5

5 1 ,6

5

6

n n

3) Ph ngătrìnhăđ cătr ng:ă 3 2

11

3.2 PH NGăPHỄPăHĨMăSINH

3.2.1ăHƠmăsinhăvƠăs ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs

nhă ngh aă 3.2.1.1 Choă dƣyă s :ă u u0, , ,1 un, Chu iă l yă th aă hìnhă th c:

Cf x lƠăhƠmăsinhăc aădƣyăCun n 0 v iăm iăh ngăs ăth că C

b) (Quy t c c ng)ă N uă f x , g x   l nă l tă lƠă hƠmă sinhă c aă dƣyă un n0,

n n i i i

