Bất đẳng thức klamkin một số mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --- NGỤY PHAN TIẾN BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016... Chương 2 MỘT SỐ MỞ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

NGỤY PHAN TIẾN

BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

NGỤY PHAN TIẾN – C00461

BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN:

MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1

BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ 3

1.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN 3

1.1.1 Định lí 1.1.1 3

1.1.2 Định lí 1.1.1’ 3

1.2 MỘT SỐ HỆ QUẢ 7

1.2.1 Hệ quả 1.2.1 7

Hệ quả 1.2.1 7

Các ứng dụng của hệ quả 1.2.1 8

1.2.2 Hệ quả 1.2.2 10

Hệ quả 1.2.2 11

Chứng minh hệ quả 1.2.2 11

Các ứng dụng của hệ quả 1.2.2 13

1.2.3 Hệ quả 1.2.3 16

Hệ quả 1.2.3 16

Chứng minh hệ quả 1.2.3 16

Các ứng dụng của hệ quả 1.2.3 19

1.2.4 Hệ quả 1.2.4 25

1.2.5 Hệ quả 1.2.5 26

1.2.6 Hệ quả 1.2.6 27

1.2.7 Hệ quả 1.2.7 30

1.2.8 Hệ quả 1.2.8 31

1.2.9 Hệ quả 1.2.9 34

Kết luận Chương 1 37

Chương 2

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN 38

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO HAI ĐIỂM 38

2.1.1 Định lí 2.1.1 38

2.1.2 Các hệ quả 40

2.1.3 Một vấn đề mở 45

2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC LIÊN QUAN 45

2.2.1 Định lí 2.2.1 46

2.2.2 Các trường hợp đặc biệt của 2.2.1 47

2.3 MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO BỘ BA TỌA ĐỘ BARYCENTRIC CỦA CÁC ĐIỂM 48

2.3.1 Các kết quả chính 49

2.3.2 Ứng dụng 51

Kết luận Chương 2 61

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 62

1 Kết luận 62

2 Khuyến nghị 62

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Tạ Duy

Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp với đề tài Bất đẳng thức Klamkin: Một số mở rộng và ứng dụng là công trình nghiên

cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Tác giả

Ngụy Phan Tiến

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn gồm ba phần:

PHẦN 1 Mở đầu

PHẦN 2 Nội dung

Phần này gồm hai chương:

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ

1.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN

1.2 MỘT SỐ HỆ QUẢ

Chương 2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO HAI ĐIỂM

2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC LIÊN QUAN

2.3 MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN CHO BỘ BA TỌA ĐỘ

BARYCENTRIC CỦA CÁC ĐIỂM

PHẦN 3 Kết luận và khuyến nghị

mới trong tam giác không?

M S Klamkin (xem [7], 1975) đã chứng minh một bất đẳng thức sau

đây: Giả sử ABC là một tam giác bất kì có độ dài các cạnh là , , ; a b c P là một điểm bất kì trong không gian Kí hiệu khoảng cách từ P đến các đỉnh , ,A B C

là R R R1, , 2 3 Với mọi bộ số thực x y z, , ta có

x  y z xR yR zR yza zxb xyc (*)

Bất đẳng thức (*) được M S Klamkin gọi là moment cực của bất đẳng thức

quán tính (the polar moment of the inertia inequality) Jian Liu trong [8] gọi

bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức hình học có trọng (the weigted geometric inequality) Trong [6], bất đẳng thức (*) được gọi là bất đẳng thức Klamkin

Bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức quan trọng trong tam giác, nó có rất nhiều hệ quả và ứng dụng Mặc dù vậy, có lẽ nó còn gần như chưa được quan tâm đúng mức trong các tài liệu tiếng Việt

Luận văn Bất đẳng thức Klamkin: Một số mở rộng và ứng dụng có mục

đích trình bày chứng minh bất đẳng thức (*), các mở rộng và các ứng dụng của nó, đặc biệt là trong chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác

Luận văn Bất đẳng thức Klamkin: Một số mở rộng và ứng dụng được chia ra

làm hai chương

Chương 1 Bất đẳng thức Klamkin và một số Hệ quả

Chương này tập trung trình bày và chứng minh bất đẳng thức Klamkin Nêu các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin và các ứng dụng

Chương 2 Một số mở rộng của bất đẳng thức Klamkin

Chương này gồm các mục:

Mục 2.1 Bất đẳng thức Klamkin cho hai điểm: Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Klamkin mở rộng cho hai điểm, đồng thời nêu các hệ quả là các bất đẳng thức trong tam giác

Mục 2.2 Một số bất đẳng thức khác liên quan

Mục 2.3 Trình bày mở rộng bất đẳng thức Klamkin cho bộ ba tọa độ barycentric của các điểm

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy

Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy, Cô giáo trong trường Đại học Thăng Long, phòng sau đại học trường Đại học Thăng Long Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp đỡ tôi

trong quá trình học tập và làm luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trường THPT Yên Dũng số 3, huyện Yên Dũng, tỉnh Bắc Giang đã tạo điều kiện cho tác giả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2016

Tác giả

3

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ

1.1 BẤT ĐẲNG THỨC KLAMKIN

Klamkin trong [7] đã phát biểu định lý sau

1.1.1 Định lí 1.1.1 (Klamkin [7], 1975) Giả sử ABC là một tam giác bất kì

có độ dài các cạnh là , , ; a b c P là một điểm bất kì trong không gian Kí hiệu

Bây giờ ta đi chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.1.1 P là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC khi và chỉ khi

SPBC.PA S  PCA.PBSPAB.PC  0.

(1.1.1.2)

Chứng minh Điểm P nằm ngoài miền trong tam giác ABC thì vế trái của (1.1.1.2) không thể bằng 0 và ngược lại Do đó có thể coi là điểm Pthuộc miền trong của tam giác ABC. Dựng hệ tọa độ Pxy sao cho

1.1.2 Trong [1] (Bài 5, trang 204) đã phát biểu và chứng minh bất đẳng thức

sau, là dạng tương đương của bất đẳng thức Klamkin (1.1.1)

Định lí 1.1.1’ Cho tam giác ABC và ba số x y z, ,  0 P là một điểm bất kì trong không gian Khi ấy:

Bổ đề 1.1.2 Cho tam giác ABC và ba số x y z, ,  0. Tồn tại duy nhất điểm

J thuộc mặt phẳng ABCsao cho

Jian Liu trong [9] (2011) đã phát biểu hệ quả sau của bất đẳng thức Klamkin.

Hệ quả 1.2.1 Với mọi số thực dương x y z, , ta có

p    là nửa chu vi tam giác

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y z

Các ứng dụng của hệ quả 1.2.1

Hệ quả 1.2.1.1 (Thi vào Đại học kinh tế quốc dân, 1998)

Chứng minh rằng, trong tam giác ABC ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra   a b c hay tam giác ABC đều

Chứng minh 2 Biến đổi vế trái của (1.2.1.1) ta được

Dấu đẳng thức xảy ra   a b c hay tam giác ABC đều

Hệ quả 1.2.1.2 (Vô địch Quốc tế, 1983; Thi Olympic 30-04-2003, Lớp 11)

Chứng minh rằng, trong tam giác ABC ta có:

a b a b2    b c b c2    c a c a2    0 (1.2.1.2)

Ta có

0,2

AM AN    x p a   

0,2

BM  BP    y p b   

02

CN CP    z p c   

Suy ra (xem hình 1.2.1.2)

y z 2 x z y x   x z 2 x y z y   x y 2 yz x z   0, hay

Suy ra điều phải chứng minh

1.2.2 Hệ quả 1.2.2 Jian Liu trong [8], Theorem 2.2 đã phát biểu và chứng minh bất đẳng thức sau là hệ quả của bất đẳng thức Klamkin

Chứng minh hệ quả 1.2.2 Để chứng minh (1.2.2), ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1 Cho ABC là một tam giác tùy ý và P là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác ABC Nếu bất đẳng thức sau đây:

f a b c R R R  , , , , ,1 2 3 0. (1.2.3) đúng, thì cũng có bất đẳng thức:

f aR bR cR R R R R R R 1, 2, 3, 2 3, 3 1, 1 2 0. (1.2.4) trong đó R R R1, ,2 3 lần lượt là khoảng cách từ P đến các đỉnh , , A B C

Chứng minh Xét phép nghịch đảo N tâm ,P hệ số R R R1 .2 3, ta có

N A A B B C CKhi đó ta có

 , , , , ,  0.

f B C C A A B PA PB PC         hay

Trong trường hợp này, dấu đẳng thức trong (1.2.2) rõ ràng không xảy ra

Giả sử P không trùng với một trong các đỉnh của ABC Nếu x y z, , là các

số dương thì bất đẳng thức (1.1.1) tương đương với bất đẳng thức sau:

Áp dụng phép nghịch đảo trong Bổ đề 1.2.1 cho bất đẳng thức (1.2.5) ta được:

   ta được bất đẳng thức (1.2.2) cần chứng minh

Nếu đẳng thức trong (1.2.3) xảy ra chỉ khi P là tâm của đường tròn nội tiếp

,

ABC

 thì đẳng thức trong (1.2.4) xảy ra khi ABC là tam giác nhọn và

P là trực tâm của nó Theo điều này và điều kiện để đẳng thức xảy ra trong

(1.2.5), ta biết rằng đẳng thức trong (1.2.2) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác nhọn, P là trực tâm của nó và

R1 R2 R3

xa  yb  zc (1.2.8) Khi P là trực tâm tam giác nhọn ABC, ta có:

1 : 2 : 3 cot : cot : cot

Do đó, trong trường hợp này, từ (1.2.8) ta có

: : cot : cot : cot

Vì vậy, có đẳng thức trong (1.2.2) khi và chỉ khi ABC là tam giác nhọn, P

trùng với trực tâm của nó và

cot cot cot .

A  B  C 

Các ứng dụng của hệ quả 1.2.2

Các Hệ quả dưới đây có thể xem trong [3]

Hệ quả 1.2.2.1 Với P tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa ABC và với mọi số dương x y z, , bất đẳng thức sau luôn đúng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là trực tâm của nó

Hệ quả 1.2.2.4 (Bất đẳng thức Hayashi) Nếu P là một điểm tùy ý và không trùng với các đỉnh của tam giác ABC, thì

R R2 3 R R3 1 R R1 2 1

bc  ca  ab  (1.2.2.4)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là trực tâm của tam giác nhọn ABC.

Hệ quả 1.2.2.5 Nếu P là một điểm tùy ý và không trùng với các đỉnh của tam giác ABC, thì

r r r r r r (1.2.2.6)

trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC.

Hệ quả 1.2.2.7 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC, khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng

 2

4.3

Hệ quả 1.2.2.11 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC. Khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng

2 2 2 3

2

.27

S

aR bR cR  (1.2.2.11)

Hệ quả 1.2.2.12 Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC.Gọi m m m a, b, c lần lượt là độ dài trung tuyến xuất phát từ , , A B C Khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng

2 2 2

4

.3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm của nó

Chứng minh hệ quả 1.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Klamkin (1.1.1), ta có:

17

(1.2.3.1) Nếu yz zx xy  0 thì (1.2.3) luôn đúng

Nếu yz zx xy  0thì từ (1.2.3.1) để chứng minh (1.2.3), ta cần phải chứng minh rằng:

u v v w w u

  (1.2.3.8)

19

Trong đó u x v2, y w2,  z2 là các số thực không âm

Ta biểu thị vế trái của (1.2.3.8) bởi ,Q sau khi phân tích, ta có được đẳng thức sau đây:

 1  2  3,

Q Q Q Q (1.2.3.9) trong đó:

Từ đó suy ra Q3  0 Vậy Q1  0,Q2  0,Q3  0 Từ (11.9) suy ra:  0.Q

Dễ dàng thấy dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức (1.2.3.2) đúng khi và chỉ khi

x  y z và tam giác ABC là tam giác đều Hơn nữa, dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức (1.2.3) khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là tâm của nó

Vậy hệ quả 1.2.3 được chứng minh

Hệ quả 1.2.3.1 Cho ABC và điểm P tùy ý, ta có

ab

  (1.2.3.11)

Từ bất đẳng thức (1.2.3.11), ta có thể dễ dàng nhận được hai hệ quả sau

Hệ quả 1.2.3.2 Đối với ABC và điểm P tùy ý, ta có

 2 2 2 2 2 2  2

8

.27

Một kết quả tổng quát hơn (1.2.3.13) là

Hệ quả 1.2.3.4 Cho ABC và điểm P tùy ý, ta có:

Hệ quả 1.2.3.5 Cho ABC và điểm P tùy ý, ta có:

(1.2.3.15) Với 1 là một trong những điểm Crelle -Brocard của ABC, ta có

21

công thức sau:  

4 2 2

.3

Hệ quả 1.2.3.6 Cho ABC và các số tùy ý x y z, , ,  ta có

 2 2 2  2 2 2  2 2 2

23

trên các cạnh BC CA AB, ,   (xem Hình 1.2.3.19)

Đặt PD  r PE1, r PF2, r3 biết rằng EF R1sin ,A FD  R2sin ,B

3sin ,

DE R C Áp dụng bất đẳng thức (1.2.3) cho tam giác DEF ta có:

Hệ quả 1.2.3.9 Nếu P nằm trong mặt phẳng của tam giác ABC và không trùng với các đỉnh , , A B C thì với các số thực tùy ý x y z, , ta có bất đẳng thức

Ngoài ra, cho x  R y1, R z2,  R3 thay vào (1.2.3), ta được

Hệ quả 1.2.3.11 Đối với bất kỳ ABC và điểm P tùy ý, ta có

ta nhận được hệ quả sau

Hệ quả 1.2.3.12 Cho P là một điểm tùy ý sao cho không trùng với các đỉnh của ABC. Khi ấy

22 32 32 12 12 22

8.3

trong đóR là bán kính của  ABC Do đó ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.2.3.13 Đối với bất kỳ ABC và điểm tùy ý P trong mặt phẳng của  ABC, ta có bất đẳng thức sau:

22 32 32 12 12 22

1.6

   (1.2.3.26)

Một số giả thuyết liên quan (xem [9], trang 8)

Giả thuyết 1 Cho ABC và điểm P tùy ý Ta có

2

.3

Tổng quát của Hệ quả 1.2.3.12, chúng ta có:

Giả thuyết 4 Gọi P là một điểm tùy ý mà không trùng với các đỉnh của  ABC. Nếu k 2 thì

k k

1.2.5 Hệ quả 1.2.5 Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

3) Tương tự, chọn x 12,y 12,z 12

   và áp dụng bất đẳng thức Klamkin (1.1.1) ta thu được bất đẳng thức (1.2.5.3)

1.2.6 Hệ quả 1.2.6 Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

Sau đó thay thế 2 4 2 2 4 2 2 4 2

GA  m GB  m GC  m ta thu được bất đẳng thức (1.2.6.1)

Hoặc có thể áp dụng luôn bất đẳng thức (1.2.5.1) với

Vậy bất đẳng thức (1.2.6.4) được chứng minh

1.2.7 Hệ quả 1.2.7 Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

1) cos2  cos2  cos2 1

x a y b z c P  H (H là trực tâm tam giác ABC ) Để ý rằng

và sử dụng định lý hàm số sin ta có được bất đẳng thức (1.2.7.1)

31

2) Sử dụng các biến đổi HA2  4R2cos2A 4R21 sin 2A 4R2 a2,

HB  R b HC  R c sau đó ta biến đổi sẽ được (1.2.7.2)

3) Sử dụng công thức abc  4Rrp ta biến đổi bất đẳng thức (1.2.7.2) về bất đẳng thức (1.2.7.3)

1.2.8 Hệ quả 1.2.8 Trong tam giác ABC ta có bất đẳng thức:

2) Áp dụng định lý hàm số sin ta có

rồi thay vào (1.2.8.1) và biến đổi ta được bất đẳng thức (1.2.8.2)

Ngoài ra có thể chứng minh (1.2.8.2) như sau Ta có

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra (1.2.8.2) được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra  ABC đều

Vậy bất đẳng thức (1.2.8.3) được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra  ABC đều

4) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và (1.2.8.1), ta có

Vậy bất đẳng thức (1.2.8.4) được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra  ABC đều

 

2                2 *

Vậy bất đẳng thức (1.2.8.5) được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra  ABC đều

6) Theo công thức đường trung tuyến và theo (1.2.8.1) ta có

1.2.9 Hệ quả 1.2.9 Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ thuộc mặt

phẳng ABCvới O là tâm đường tròn nội tiếp ABC. Khi ấy ta có:

Hay  M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Vậy (1.2.9.1) được chứng minh

  tan A MA tan B MB tan C MC 0

hay M là trực tâm tam giác ABC

(Hình 1.2.9.2) Thật vậy, giả sử M là trực tâm tam giác ABC,ta chứng minh:

tan A MA tan B MB tan C MC  0.Dựng B C AM  ,cắt BM tại B,dựng CA BM , cắt AM tại A,AM cắt

BC tại D Khi đó tứ giác A MB C  là hình bình hành (Xem hình 1.2.9.2)

hệ quả của bất đẳng thức Klamkin Ở một số mục, Luận văn trình bày một số chứng minh khác để so sánh với chứng minh nhờ sử dụng bất đẳng thức Klamkin