Điều kiện karush kuhn tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa m

Nobakhtian 2012, “Convexificators and strong Kuhn – Tucker conditions”, Computers and Mathematics, 64, 550-557.. Girsanov 1972, Lectures on Mathematical Theory of Extrenum Problems, Spri

M C L C

M U 2

Ch ng 1 CÁC NH Lụ LUÂN PHIÊN VÀ I U KI N C N T I U 1.1 CÁC KHÁI NI M VÀ K T QU B TR 4

1.1.1 BƠi toán t i u đa m c tiêu 4

1.1.2 Nghi m h u hi u đ a ph ng 5

1.1.3 Nón ti p tuy n vƠ nón radial dưy 7

1.1.4 o hƠm Dini – o hƠm Hadamard 7

1.1.5 M t s k t qu b tr 9

1.2 CÁC NH LÝ LUÂN PHIÊN 11

1.3 I U KI N CHệNH QUY VÀ CÁC I U KI N C N T I U 18

1.4 I U KI N C N KKT M NH CHO NGHI M H U HI U A PH NG 23

Ch ng 2 I U KI N KARUSH ậ KUHN - TUCKER M NH QUA D I VI PHÂN SUY R NG 2.1 CÁC KHÁI NI M 28

2.2 CÁC I U KI N KKT M NH 36

2.2.1 i u ki n c n 37

2.2.2 i u ki n đ 42

2.2.3 M t s đi u ki n chính quy khác vƠ m i quan h gi a các đi u ki n

44

2.2.4 i u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu v i rƠng bu c đ ng th c vƠ b t đ ng th c 49

K T LU N 55

TÀI LI U THAM KH O 56

M U

V i các bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c, các đi u ki n t i u

Fritz John ch đ m b o các nhơn t Lagrange không đ ng th i b ng 0; các

đi u ki n t i u Karush – Kuhn – Tucker đ m b o nhơn t Lagrange t ng

ng v i hƠm m c tiêu khác 0 ThƠnh ph n nƠo c a nhơn t Lagrange t ng

ng v i hƠm m c tiêu khác 0 thì thƠnh ph n t ng ng c a hƠm m c tiêu có

m t trong các đi u ki n c n t i u Ng i ta mong mu n t t c các thƠnh ph n

c a hƠm m c tiêu đ u có m t trong đi u ki n c n t i u, có ngh a lƠ t t c các nhơn t Lagrange t ng ng v i các thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu lƠ khác 0 Khi đó, đi u ki n Karush – Kuhn – Tucker (KKT) đ c g i lƠ m nh

T.Maeda ([6],1994) đư xét các đi u ki n chính quy đ nh n đ c các

đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán v i các hƠm kh vi Fréchet V Preda – I

Chitescu ([7],1999) đư m r ng các k t qu c a Maeda cho bƠi toán v i các hƠm bán kh vi D.V Luu – N.M Hung ([5],2009) đư thi t l p các đi u ki n

KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng

th c vƠ rƠng bu c t p v i các hƠm kh vi Gơteaux M Golestani – S

Nobakhtian ([3],2012) đư d n các đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa

m c tiêu có rƠng bu c b t đ ng th c d i ngôn ng d i vi phơn suy r ng

Lu n v n trình bƠy các đi u ki n KKT m nh c a Luu – Hung [5] vƠ

c a M Golestani – S Nobakhtian [3] cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng

đ nh, đó lƠ s t ng quát hóa c a đ nh lý luơn phiên Tucker c đi n ng th i, trong ch ng nƠy, đ nh lý Kuhn – Tucker c ng đ c phát tri n đ i v i

nghi m h u hi u c a bƠi toán t i u trong không gian đ nh chu n mƠ các nhơn t Lagrange t ng ng v i t t c các thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu đ u

d ng

Ch ng 2 trình bƠy k t qu nghiên c u c a M Golestani – S

Nobakhtian [3] N i dung ch ng nƠy đ c p các đi u ki n chính quy vƠ đi u

ki n c n t i u Kuhn – Tucker m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu không

tr n có rƠng bu c b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p Công c chính c a ch ng nƠy lƠ khái ni m d i vi phơn suy r ng Trong ch ng nƠy, tác gi c ng trình bƠy thêm m t đi u ki n đ vƠ m i quan h gi a các đi u ki n chính quy M c 2.2.4 lƠ k t qu m i c a tác gi v đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa

m c tiêu có rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p

Nhơn d p nƠy, tôi xin chơn thƠnh c m n Ban ch nhi m Khoa Toán – Tin, tr ng i h c Th ng Long cùng các th y cô đư tham gia gi ng d y khóa

h c c bi t, tôi xin g i l i c m n sơu s c đ n th y PGS.TS V n L u đư

t n tình h ng d n, giúp đ tôi hoƠn thƠnh lu n v n nƠy

HƠ N i, tháng 6 n m 2016

Tác gi

Mai Thanh V n

Ch ng 1 CÁC NH Lụ LUÂN PHIÊN VÀ I U KI N C N T I U

Ch ng 1 trình bƠy k t qu nghiên c u c a D.V.Luu – N.M.Hung

([5],2009) v các đ nh lý luơn phiên cho m t h g m các b t đ ng th c, đ ng

th c vƠ m t t p xác đ nh ó lƠ s t ng quát hóa c a đ nh lý luơn phiên

Tucker c đi n ng th i, trong ch ng nƠy, đ nh lý Kuhn – Tucker c ng

đ c phát tri n đ i v i nghi m h u hi u c a bƠi toán t i u trong không gian

đ nh chu n mƠ các nhơn t Lagrange t ng ng v i t t c các thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu đ u d ng

1.1 CÁC KHÁI NI M VÀ K T QU B TR

1.1.1 BƠi toán t i u đa m c tiêu

Gi s lƠ không gian tuy n tính đ nh chu n; lƠ m t t p con khác

r ng c a lƠ các ánh x t vƠo , ,

Xét bƠi toán t i u đa m c tiêu:

min ,

Ký hi u

Chú ý: Tr ng h p , ta có bƠi toán t i u đ n m c tiêu cho hƠm

ơy lƠ khái ni m c c ti u đ a ph ng thông th ng

vƠ v i nƠo đó thu c

1.1.3 Nón ti p tuy n vƠ nón radial dưy

nh ngh a 1.2: Nón ti p tuy n (hay còn g i là nón ti p liên) c a t p

t i là t p sau đây:

nh ngh a 1.3: Nón các ph ng tuy n tính dãy (hay còn g i là nón

radial dãy) c a t i là t p sau đây:

trong đó lƠ đ o hƠm Gơteaux c a t i vƠ lƠ giá tr c a

phi m hƠm tuy n tính t i

Ví d 1.3: Cho hƠm đ c xác đ nh nh sau:

sin n �

n �

o hƠm Dini trên vƠ d i c a t i n l t lƠ

lim s�� lim s�� sin

Do đó, t i , đ o hƠm Dini t n t i vƠ

D th y lƠ ánh x tuy n tính liên t c theo nên kh vi Gơteaux t i

M n h đ 1.2 (đ nh lý Dubovitskii ậ Mylyutin): Gi s

là các nón l i có đ nh t i trong ; m

M nh đ 1.3 [2] (đ nh lý Fakas ậ Minkowski): Gi s :

Khi đó,

M nh đ 1.4 [2]: Gi s :  ;  ,

 ,



Khi đó,   ,

  ,





1.2 CÁC NH Lụ LUÂN PHIÊN Gi s lƠ không gian tuy n tính đ nh chu n vƠ lƠ không gian đ i ng u c a lƠ các vect thu c lƠ m t t p con khác r ng c a V i , ta đ t ,

Chú ý:

 Các t p vƠ lƠ các nón l i đóng có đ nh t i

 Các t p lƠ các nón l i m có đ nh t i

 Các t p lƠ các không gian con tuy n tính đóng

c a

nh lý 1.1: Gi s

(a) là m t nón con l i khác c a v i đ nh t i và đóng;

(b) V i m i , t p sau đóng y u trong :

Khi đó, các phát bi u sau là t ng đ ng : (i) V i m i , h sau không có nghi m :

(ii) T n t i  ,  ,  sao cho   

  do  

B i vì dim , ta có dim dim vƠ các tôpô m nh, y u, y u

trong trùng nhau Theo m nh đ 1.1, ta suy ra v i m i :

Kuhn – Tucker c đi n nh m t tr ng h p đ c bi t

H qu 1.2: Gi s Khi đó, hai kh ng đ nh sau t ng

đ ng:

(i) V i m i , h không có nghi m

(ii) T n t i  ,  , 

sao cho :

  

Ch ng minh:

V i , ta có Do đó, H n n a, b i vì dim , v i m i , lƠ m t nón l i đóng khác trong

vƠ Vì v y, Nh v y, đóng trong

Áp d ng đ nh lý 1.2 cho , ta suy ra (i) t ng đ ng v i

T n t i  ,  ,  sao cho

B t đ ng th c nƠy t ng đ ng v i (1.10)

1.3 I U KI N CHệNH QUY VÀ CÁC I U KI N C N T I U

M nh đ 1.5: Gi s a) N u v i m i , t n t i các đ o hàm theo ph ng

Ch ng minh:

Ta ch ng minh , còn đ c ch ng minh t ng t

Tr c h t, ta ch ra r ng  trong đó

V i , , t n t i vƠ sao cho

Vì v y, Nh v y, đúng

T ta suy ra

M t khác, do lƠ nghi m h u hi u đ a ph ng c a , t n t i  sao cho  th a mưn

H n n a, gi s đi u ki n chính quy đúng t i Khi đó, v i

nh lý 1.5: Gi s là nghi m h u hi u đ a ph ng c a bài toán

  

V i  , ta l y  vƠ nh n đ c

H n n a, ta c ng nh n đ c , vì v i , ta có vƠ v i  , ta có 

Chú ý: Các nhơn t Lagrange t ng ng v i các thƠnh ph n c a hƠm

Ch ng minh:

B i vì khác , l i, lƠ nón l i đóng khác c a Áp d ng

đ nh lý 1.5 cho , ta nh n đ c đi u ph i ch ng minh

nh lý 1.6 (cho s chi u h u h n): Gi s là nghi m

h u hi u đ a ph ng c a bài toán ; K là nón con l i khác r ng b t k

c a có đ nh t i và đóng Gi s v i m i , t p

đóng, trong đó

v i

, và đi u ki n chính quy đúng t i Khi đó t n t i 

,  ,  sao cho và đúng

Ch ng minh:

Áp d ng đ nh lý 1.3, ta suy ra v i m i , h không có nghi m Ph n còn l i đ c ch ng minh nh trong đ nh lý 1.5

C h ng 2

I U KI N KARUSH ậ KUHN - TUCKER M NH QUA

Ch ng 2 trình bƠy k t qu nghiên c u c a M Golestani – S

Nobakhtian ([3],2012) N i dung ch ng nƠy đ c p các đi u ki n chính quy

vƠ đi u ki n c n t i u Kuhn – Tucker m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu không tr n Công c chính c a ch ng nƠy lƠ khái ni m d i vi phơn suy

r ng NgoƠi ra, trong ch ng nƠy, ta c ng trình bƠy thêm m t đi u ki n đ vƠ

m i quan h gi a các đi u ki n chính quy

2.1 CÁC KHÁI NI M

nh ngh a 2.1: Ký hi u là không gian Euclide chi u thông

đó,

 

 �à 

nh ngh a 2.2: Cho là m t t p con khác c a Bao l i c a ,

bao đóng c a và nón l i (ch a g c t a đ c a ) sinh b i đ c ký hi u

t ng ng là co , cl và cone Nón c c âm và nón c c âm ch t

đ c xác đ nh t ng ng nh sau:

Ví d 2.1: Cho 

Ví d 2.2: Trong , cho đ ng cong :

 T i , nón ti p liên lƠ h p c a 2 đ ng th ng vƠ

 Nón pháp tuy n trong ví d nƠy lƠ vì

n u thì

mƠ ho c nên ta có

Ta nh c l i m t s đ nh ngh a sau:

 Cho lƠ m t hƠm nh n giá tr th c m r ng,

vƠ cho h u h n o hƠm Dini d i vƠ trên t i theo ph ng

Ví d 2.3: Cho hƠm đ c xác đ nh nh sau:

m i d i vi phơn suy r ng bán chính quy trên (d i) lƠ m t d i vi phơn suy

r ng trên (d i) Tuy nhiên, các đi u ng c l i không đúng Ta minh h a đi u nƠy qua các ví d sau:

Ví d 2.4: Cho lƠ t p các s h u t Ta xét hƠm đ c xác

đ nh nh sau:

n �

n � 

T i , đ o hƠm Dini trên vƠ d i lƠ

nên lƠ m t d i vi phơn suy r ng bán chính quy trên c a t i

Tuy nhiên không ph i lƠ m t d i vi phơn suy r ng chính quy trên

Bơy gi , ta đánh giá  

 N u  thì 

 N u  thì 

i u nƠy d n đ n lƠ hƠm - t a l i

Tuy nhiên, không lƠ hƠm - gi l i

v i hƠm m c tiêu, m t đi u ki n chính quy suy r ng s đ c đ a vƠo

Ta xét bƠi toán t i u đa m c tiêu sau:

min



trong đó vƠ lƠ các hƠm giá tr th c v i vƠ

vƠ lƠ t p con l i c a

t

co

 M t đi m đ c g i lƠ m t nghi m h u hi u đ a ph ng y u

c a bƠi toán n u g n sao cho

2.2.1 i u ki n c n

nh ngh a 2.12 ( i u ki n chính quy Mangasarian ậ Fromovitz):

Ta nói r ng đi u ki n chính quy Mangasarian – Fromovitz suy r ng

nh lý 2.1: Cho là nghi m h u hi u đ a ph ng y u c a bài toán

Gi s và là các hàm Lipschitz đ a ph ng t i , và các d i vi phân suy r ng bán chính quy trên và b ch n v i m i

Cho lƠ vect th a mưn đ i v i ch s Khi đó ta nh n đ c     

ơy lƠ m t mơu thu n Do đó, kh ng đ nh đúng, hay t ng đ ng v i :

M t khác, t vƠ tính liên t c c a các hƠm rƠng bu c, ta nh n đ c

lƠ 1 đi m ch p nh n c a bƠi toán đ i v i đ l n

Ví d 2.7: Xét bƠi toán t i u vô h ng không tr n sau:

Khi đó lƠ đi m c c ti u toƠn c c c a bƠi toán H n n a,

M t khác, ta có d i vi phơn suy r ng trên c a vƠ t i nh sau :

g

thì là m t nghi m h u hi u y u (t ng ng: nghi m h u hi u) toàn c c c a bài toán

Ch ng minh : Gi s không ph i lƠ nghi m h u hi u y u (t ng

2.2.3 M t s đi u ki n chính quy khác vƠ m i quan h gi a các đi u ki n

NgoƠi đi u ki n chính quy , trong ph n nƠy, ta b sung thêm m t

s đi u ki n chính quy khác vƠ khai thác m i quan h gi a chúng

Cho lƠ m t đi m ch p nh n c a bƠi toán

u tiên, ta có hai đi u ki n sau đ c g i lƠ đi u ki n chính quy ki u Abadie: 



Hai đi u ki n chính quy sau có th đ c xem xét nh các d ng không tr n

c a đi u ki n chính quy Cottle:

M nh đ sau nêu rõ m i quan h gi a các đi u ki n chính quy đư đ c gi i

thi u trên

M nh đ 2.1: V i các đi u ki n chính quy trên, các m i quan h sau

Do đó 

Theo , v i m i , ta có

nên



Suy ra , t c lƠ kéo theo

(  ): Gi s ng c l i, không th a mưn Khi đó, t n t i

sao cho

Vì lƠ t p đóng nên

i u nƠy t o ra mơu thu n Do đó th a mưn

V y th a mưn khi vƠ ch khi th a mưn

i u nƠy mơu thu n v i

(  ): Bơy gi , ta cho th a mưn Khi đó

 co

M t khác, co lƠ t p compact, l i vƠ lƠ t p đóng Vì v y, v

ph i c a lƠ t p đóng vƠ l i trong

Theo đ nh lý tách, t n t i sao cho

  co

Vì v y,

  co

  co

Hình 2.1 : M i quan h gi a các đi u ki n chính quy

2.2.4 i u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu v i rƠng

trong đó , vƠ lƠ các hƠm giá tr th c v i

; vƠ vƠ lƠ t p con l i c a

t

nh ngh a 2.13 ( i u ki n chính quy Mangasarian ậ Fromovitz ):

Ta nói r ng đi u ki n chính quy Mangasarian – Fromovitz t ng quát

th a mưn t i n u v i m i ,

D i đơy lƠ k t qu v d ng đi u ki n c n KKT m nh khi g n v i n a

d i vi phơn suy r ng chính quy trên:

nh lý 2.3: Cho lƠ nghi m h u hi u đ a ph ng y u c a bƠi toán

Gi s , vƠ lƠ các hƠm Lipschitz đ a ph ng t i ; , có các

d i vi phơn suy r ng bán chính quy trên , b ch n

; � vƠ có d i vi phơn suy r ng bán chính quy b

H qu 2.1: Cho lƠ nghi m h u hi u đ a ph ng y u c a bƠi toán

Gi s , vƠ lƠ các hƠm Lipschitz đ a ph ng vƠ kh vi Gơteaux

t i ; đ ng th i , có các d i vi phơn suy r ng trên , b

ch n ; � vƠ có d i vi phơn suy r ng b

ch n r N u th a mưn t i thì t n t i   

nh lý 2.4: Cho lƠ m t đi m ch p nh n c a bƠi toán vƠ lƠ

m t t p l i Gi s r ng lƠ -gi l i t i v i m i vƠ ,





i u nƠy có ngh a r ng các gi thi t c a đ nh lý 2.2 đ c th a mưn nên lƠ

m t nghi m h u hi u y u c a bƠi toán

Tr ng h p nghi m h u hi u đ c ch ng minh t ng t

K T LU N

Lu n v n đư trình bƠy các k t qu c a D.V.Luu – N.M.Hung (2009) vƠ

M.Golestani – S Nobakhtian (2012) v các đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán

t i u đa m c tiêu có rƠng bu c, bao g m:

 Các đ nh lý luơn phiên;

 i u ki n c n cho nghi m h u hi u qua đ o hƠm Dini vƠ Hadamard;

đi u ki n chính quy ki u Abadie;

 i u ki n c n KKT m nh cho nghi m h u hi u đ a ph ng d i ngôn

ng đ o hƠm Gơteaux;

 i u ki n c n cho nghi m h u hi u đ a ph ng y u trong không gian

qua d i vi phơn suy r ng; đi u ki n chính quy Mangasarian – Fromovitz;

 i u ki n đ cho nghi m h u hi u y u toƠn c c c ng nh nghi m h u

hi u toƠn c c qua d i vi phơn suy r ng;

 M i quan h gi a các đi u ki n chính quy;

 NgoƠi ra, tác gi lu n v n c ng ch ng minh l i m t cách chi ti t m nh

đ 2.1 ch ng 2 vƠ cho các ví d 1.1, 1.2 vƠ 1.3 ch ng 1 vƠ các ví d t 2.1 đ n 2.6 ch ng 2

 a ra k t qu m i v đi u ki n KKT (đ nh lý 2.3, h qu 2.1 vƠ đ nh

lý 2.4) cho bƠi toán t i u đa m c tiêu v i rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng th c

vƠ rƠng bu c t p

Các đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu lƠ đ tƠi đang

đ c nhi u tác gi quan tơm nghiên c u

TÀI LI U THAM KH O TƠi li u ti ng Vi t

[1] V n L u vƠ Phan Huy Kh i (2000), Gi i tích l i, NhƠ xu t b n

Khoa h c vƠ K thu t

[2] V n L u (1999), Lý thuy t các đi u ki n t i u, NhƠ xu t b n Khoa

h c vƠ K thu t

TƠi li u ti ng Anh

[3] M Golestani and S Nobakhtian (2012), “Convexificators and strong

Kuhn – Tucker conditions”, Computers and Mathematics, 64, 550-557

[4] I.V Girsanov (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extrenum Problems, Springer-Verlag, Berlin Heidenberg

[5] D.V Luu and N.M Hung (2009), “On alternative theorems and necessary conditions for efficiency”, Optimization, 58 (1), 49-62

[6] T Maeda (1994), Constraint qualifications in multiobjective optimization problems: Differentiable case, J Optim Theory Appl, 80, 483-

500

[7] V Preda and I Chitescu (1999), On constraint qualification in multiobjective optimization problems : Semidifferentiable case, J Optim Theory Appl, 100, 417-433