Bài toán sylvester và bài toán fermat torricelli cho các hình cầu euclid

D iăviăphơnăhƠmămax...23 Ch ngă 2:ă BĨIă TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă - TORRICELLIăCHOăHỊNHăC UăEUCLID 2.1.ăăăăăăKháiăni măvƠăđ nhăngh a...25 2.2.ăăăăăăBƠiătoánăSylvesterăcho

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT Oă

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

HƠăN iă- N mă2016

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT Oă

-

HOĨNGăTH ăTHÙYăLINH

BĨIăTOÁNăSYLVESTERăVĨăBĨIăTOÁNăFERMATậ TORRICELLIăCHOăCÁCăHỊNHăC UăEUCLID

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

CHUYÊNăNGĨNHă:ăPH NGăPHÁPăTOÁNăS ăC Pă

MẩăS ă:ă60ă46ă01ă13

PGS.ăTS.ă ăV NăL U

HƠăN iăậ N mă2016

L iăc mă n

Tr cătiên,ăemăxinăbƠyăt ălòngăbi tă năchơnăthƠnhăvƠăsơuăs cănh tăt iă

PGS.TS.ăă V năL uăậ Ng iăTh yăđưăluônăgiúpăđ ăvƠăh ngăd năemătrongă

su tăh căt păvƠălƠmălu năv nănƠy

Emăxinăc mă năt iătr ngă iăh căTh ngăLongăHƠăN i.ăEmăxinăc mă nă

t iăcácăGiáoăs ,ăTi năs ăvƠăcácăTh y,ăcôăgiáoătrongăb ămônăToánăđưăgi ngăd yăchoăemănh ngăki năth căc ăb n,ăn năt ngăquýăbáuătrongăth iăgianăh căcaoăh c

Emăxinăc mă năphòngăQu nălýăSauăđ iăh căđưăt oăđi uăki năthu năl iă

đ ăemăhoƠnăthƠnhăkhóaălu nănƠy

C mă năcácăb nătrongăl păcaoăh căToánăK3ă iăh căTh ngăLong,ă

chuyênăngƠnhăPh ngăphápătoánăs ăc p,ăđưăluônăthơnăthi năvƠănhi tătìnhă

giúpăđ ătôiătrongăth iăgianăh căt păv aăqua

Tôiăc mă nănh ngăng iăthơnăyêuătrongăgiaăđìnhăvƠăcácăb năbèăluônăngăh ,ăđ ngăviênăvƠălƠăch ăd aătinhăth năv ngăch cătrongăsu tăquáătrìnhăh că

t păvƠăth iăgianălƠmălu năv n

Tácăgi

HoƠngăTh ThùyăLinh

M CăL C

Trang

M ăđ u 1

Ch ngă1:ăCÁCăKI NăTH CăC ăB NăV ăHĨMăL IăVĨăD Iă VIăPHỂNăHĨMăL I 1.1.ăăăăăT păl iăvƠănónăl i 3

1.1.1.ăăT păl i 3

1.1.2.ăăNónăl i 4

1.2.ăăăăăHƠmăl i 8

1.2.1.ăăHƠmăl i 8

1.2.2.ăăCácăphépătoánăv ăhƠmăl i 14

1.3.ăăăăăD iăviăphơnăhƠmăl i 17

1.4 D iăviăphơnăhƠmămax 23

Ch ngă 2:ă BĨIă TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă - TORRICELLIăCHOăHỊNHăC UăEUCLID 2.1.ăăăăăăKháiăni măvƠăđ nhăngh a 25

2.2.ăăăăăăBƠiătoánăSylvesterăchoăhìnhăc uăEuclid 26

2.2.1.ăăăS ăt năt i,ăduyănh tănghi măvƠăđi uăki năt iă u 26

2.2.2.ăăăBƠiătoánăSylesterăsuyăr ngăchoăbaăhìnhăc u 32

2.3.ăăăăăăBƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăhìnhăc uăEuclid 49

2.3.1.ăăăS ăt năt iăvƠăduyănh tănghi măc aănghi măt iă u 49

2.3.2.ăăăC uătrúcănghi m 56ăăă K TăLU N 63

TĨIăLI UăTHAMăKH O 64

4

M ă U

1 Lýădoăch năđ tƠi

Gi iătíchăl iăchoătaăm tălýăthuy tăphongăphúăvƠăđ păđ ăv ăhƠmăl iăvƠă ngăd ngătrongăt iă uăhóaăv iănhi uăk tăqu ăn iăti ngăch ngăh nănh :ă

B tăđ ngăth căJensen,ă nhălýăFenchelăậ Moreauăv ăhƠmăliênăh p,ă nhălýăMoreauăậ Rockafellarăv ăd iăviăphơnăhƠmăl i,ă nhălýăKuhnăậ Tucker choăbƠiătoánăt iă uăl iăcóărƠngăbu c,…Cóăth ănóiăt păl i,ăhƠmăl iăcácăđ iă

t ngăđ pătrongăt iă uăhóa.V iăcácăbƠiătoánăl iătaăcóăcácăđi uăki năđ că

tr ngăchoănghi măc aăbƠiătoánăđóăd iăngônăng ăd iăviăphơnăc aăhƠmă

l i

Trongătoánăs ăc pănhi uăbƠiătoánăđ căphátă bi uăv iăcácăhƠmăl i.ă

V iăcácăbƠiătoánăc cătr ,ăhƠmăl iăđóngăm tăvaiătròăr tăquanătr ng.ăC cătr ă

đ aăph ngăc aăhƠmăl iătrênămi năl iăc ngălƠăc căti uătoƠnăc c,ăc căđ iăc aă

m tăhƠmăl iătrênăm tăđaăgiácăl iăđ tăt iăm tătrongăcácăđ nhăc aăđaăgiácăđó.ăNhi uă bƠiă toánă s ă c pă hayă đ că phátă bi uă theoă h ngă nƠy.ă BƠiă toánăSylvesterăchoăcácăhìnhăc uăEuclidăđ căphátăbi uănh ăsau:ă“ăChoăhaiăh ă

h uăh năcácăhìnhăc uăEuclid.ăTìmăm tăhìnhăc uăEuclidănh ănh tăch aăcácăhìnhăc uăc aăh ăth ănh tăvƠăc tăt tăc ăcácăhìnhăc uăc a h ăth ăhai”.ăBƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăcácăhìnhăc uăEuclidăđ căphátăbi uănh ăsau:ă“ăChoă haiă h ă cácă hìnhă c uă Euclid.ă Hưyă tìmă m tă đi mă lƠmă c că ti uă t ngăkho ngăcáchăxaănh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ănh tăvƠăkho ngăcáchăg nă

nh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ăhai”.ăCácăbƠiătoánăđóăđ cănghiênăc uă

b ngăcôngăc ăgi iătíchăl iătrongă[3].ăăChínhăvìăv y,ătôiăch năđ ătƠiăă“BĨIă TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă - TORRICELLI CHOăCÁCăHỊNHăC UăEUCLID ”

2 N iădungăđ tƠi

Lu năv nătrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăhƠmăl i,ăd iăviăphơnăhƠmăl iăvƠăcácăk tăqu ăv ăs ăt năt iăduyănh tănghi m,ăđi uăki năt iă uăvƠăcáchăgi iăchoăăbƠiătoánăSylvesterăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăc aăN.ăM.ăNam,ăN.ăHoangăvƠăN.ăT.ăAnăđ ngătrênăt păchíăJ.ăOptim.ăTheoryăAppl.ă160ă(2014)ăb ng ph ngăphápăgi iătíchăl i

Lu năv năbaoăg măph năm ăđ u,ăhaiăch ng,ăk tălu năvƠădanhăm căcácătƠiăli uăthamăkh o

Ch ngă1:ă“Cácăki năth căc ăb năvêăhƠmăl iăvƠăd iăviăphơnăhƠmăl i”

TrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăt păl i,ănónăl i,ăhƠmăl iăvƠăcácăphép toánăv ăhƠmăl i,ăd iăviăphơnăhƠmăl iăvƠăd iăviăphơnăc aăhƠmămax.ă

Ch ngă2:ă“ăBƠiătoánăSylesterăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăhìnhăc uăEuclid”

TrìnhăbƠyăcácăk tăqu ăv ăs ăt năt iăvƠăduyănh tăănghi m,ăđi uăki nă

t iă uăvƠăcáchăgi iăc aăNamăậ Hoang ậ Ană(2014)ăchoăbƠiătoánăSylesteră

v iăcácăhìnhăc uăEuclidăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăv iăbaăhìnhăc uăEuclid.ăTr ngăh păquanătr ngăc aăbƠiătoánăSylesterăv iăbaăhìnhăc uăvƠă

m iăquanăh ăv iăbƠiătoánăApolloniusăc ngăđ cătrìnhăbƠyătrongăch ngănƠy

1.1.ăăT PăL IăVĨăNịNăL I

Cácăn aăkhôngăgianălƠăcácăt păl i.ăCácătamăgiácăvƠăhìnhătrònătrongăm tă

ph ngălƠăcácăt păl i.ăHìnhăc uăđ năv ătrongăkhôngăgianăBanachălƠăt păl iă

m

i i i

T ng giao c a t t c các không gian con tuy n tính ch a t p A đ c

g i là bao tuy n tính c a t p A, ký hi u là lin A

trong đó convA là bao l i c a A

Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianăl iăđ aăph ng,ăX* lƠăkhôngăgianăcácăphi măhƠmătuy nătínhăliênăt căătrênăX

nhăngh aă1.8

Vec t x*  X*đ c g i là pháp tuy n c a t p l i A t i x A, n u:

< x* , x - x >  0 (  x A)

T p t t c các vec t pháp tuy n c a t p l i A t i x A đ c g i là nón pháp tuy n c a A t i x, ký hi u là N (x|A) Nh v y:

N(x|A) = {x*  X* : < x*, x – x > 0,   x A}

Nh năxétă1.3

Nónăphápătuy năc aăt păl iăAăt iăx AălƠăl iăđóng

Bơyăgi ăgi ăs ăXălƠăkhôngăgianătuy nătính

nhăngh aă1.14

Hàm f đ c g i là l i trên D, n u epif là t p l i trong X  R Hàm f đ c

g i là lõm trên D, n u –f là hàm l i trên D

Nh năxétă1.5ăăă

N uăfăl iăăăăă domăfăl i

Th tăv y,ădomăfălƠăhìnhăchi uătrênăXăc aăepif :

Gi ăs ăfălƠăhƠmăgiáătr ăth căkh ăviăliênăt căhaiălơnătrênăt păl iăm ăAă Rn Khi

đó,ăfăl iătrênăAăkhiăvƠăch ăkhiămaătr năHessiană:

HƠmăch ă(indicatorăfunctionă)ă (ă.ă|A)ăc aăt păl iăAă XălƠăhƠmăl i:

 ( x |A) =

Víăd ă1.9

Gi ăs ăX*lƠ khôngăgianăliênăh păc aăX.ăHƠmăt aă(supportăfuntion)ăs(ă.ă|A)ăc aă

t păl i A  X*lƠăm tăhƠmăl i:

Gi s D là t p l i trong không gian X, hàm f : D  (  , ] Khi đó, f

l i trên D khi và ch khi:

f(x + (1 - )y) ≤ f(x) + (1 - )f(y)

(   [0,1],  x, y  D) (1.2)

Ch ngăminh

a)ăGi ăs ăfălƠăhƠmăl i.ăKhôngăm t tínhăt ngăquátăcóăth ăxemănh   (0, 1)

Khôngăth ăx yăraătr ngăh păf(x)ă<ă, f(y) < ,ămƠăfă(x +(1 - )y) = ,

b iăvìădomăfăl i,ăv iăx,ăyă domăfăăthìă[x,ăy]ădom f Do   (0,ă1),ănên:ăf(x)ă=ăă

  f(x) = .ăN uăxăho căyă domăfă,ăthìăf(x)ă=ă ho căf(y)ă=ă vƠă

b)ăNg căl i,ăgi ăs (1.2) đúng.ăL yă(x,ăr)ă epif , (y, s)  epif ,   [0, 1]

taăph iăch ngăminh:

Khôngăgi măt ngăquát,ăcóăth ăxemănh ă  i > 0 (iă=ă1,ă ă,ăm).ăKhiăđó,ăn uă

xi  domăfăthìăf(xi) = ,  if(xi) =  vƠăb tăđ ngăth că(1.3)ălƠăt măth ng.ăDoă

domăfăl iănênăkhôngăx yăraătr ngăh păf(xi) <  (iă=ă1,ă ă,ăm)ămƠăf

1

m

i i i

Taăcóăx 1  x r 2 , 1  r 2  epifă,ăb iăvì:

Ch ngăminh

Kíăhi uăcácăt păm căc aăf lƠăL f Taăcó:

L f x  X f x :   x  X :x ,  epif.

Vìăv y,ăepif đóngăkéoătheoăt tăc ăcácăt păL f đóng

Ng căl i,ăgi ăs ăt tăc ăcácăt păL f đóng.ăTaăch ngăminhăepif đóng?

Th tăv y,

L f L f .

  

 (1.5)

Gi ăs ăx 0 ,  0 epif ă ăch ngăminhăepif đóng,ătaăch ngăminhăt năt iălơnăc năVă

c aăx 0 ,  0 sao cho:

epif   V

B iăvìăăx 0 ,  0 epif ,ăchoănênăx 0  L f0 ăT (1.5) suy ra     0 : x 0  L f . Doăđóă

t năt iălơnăc năUăc aăx 0 : L f    U

t:ă

V  x ,   X R x :  U ,    .

Khiăđó,ăVălƠălơnăc năc aăđi măx 0 ,  0 trong X R 

N uăăăx ,  V thìăăxă f Do  < , x  fă.ăVìăv y,ăăf(x)ă>ă,ăăngh aălƠă

 là hàm l i

b) Bao l i và bao l i đóng c a hàm f, kí hi u là convf và conv f , đ c xác

epi convf conv epif epi convf conv epif

Víăd ă1.12

ChoăhƠmăch ă f x    A trongăđóăAălƠăt păl iăkhácăr ng

Khiăđó,ăv iăm iăx  A,

x    x A   x A   x A   x x x  ,     , x X

 x x x,     0, x A

i uăđóăcóăngh aălƠăx lƠăvectoăphápătuy năc aăAăt iăx

Nh ăv y,ă  ( | ) x A lƠănónăphápătuy năc aăAăt iăx:

,

   (1.12)

V iăz  X ,   0 taăcó:

z x x z z

Chúăýăphépăl yăbaoăđóngă ăđơyăb ăđ c

VìăgălƠăhƠmăl i,ăchoănênăgăchínhăquyăt iăh x  (đ nhălíă2.3(ii) [2]).ăKhiăđóă(1.13) cóăd uăb ngăvƠăăf chínhăquyăt iăx

Ch ngă2

BĨIăTOÁNăSYLVESTERăVĨăBĨIăTOÁN

Ch ngă2ătrìnhăbƠyăcácăk tăqu ănghiênăc uăm iăc aăN M Nam, N Hoang, N.ăT.ăAnă(ă[3],ă2014ă)ăv ăs ăt năt iăvƠăduyănh tănghi m,ăđi uăki năt iă uăvƠăcáchă

gi iă choă bƠiă toánă Sylvesteră vƠă bƠiă toánă Fermată ậ Torricelliă v iă cácă hìnhă c uăEuclidăb ngăcôngăc ăd iăviăphơnăhƠmăl i.ăTr ngăh păriêngăquanătr ngăc aăbƠi toánăSylvesterăv iăbaăhìnhăc uăc ngăđ cătrìnhăbƠyătrongăch ngănƠy.ăCácăk tă

qu ătrìnhăbƠyătrongăch ngănƠyăđ căthamăkh oătrongă[3]ăậ [6]

2.1.ăKHÁIăNI MăVĨă NHăNGH A

Gi ăs ăIăvƠăJălƠăhaiăt păch ăs ăh uăh năsaoăchoă|I| + |J| > 1,ătrongăđóă|I|ălƠă

s ph n t c a I Gi s lƠăhìnhăc uăđ năv ăđóng, vƠă i := (ai; ri) (ri  0)ăv iă

i  I, j := (bj; sj) (sj  0)ăv iăjă J, lƠăhaiăt păh ăcácăhìnhăc uăđóngătrong n

đ cătrangăb ăchu nă||ă.ă||ă

V iăm tăt păl iăđóngăb ăch năQ,ăhƠmăkho ngăcáchăxaănh tăvƠăhƠmăkho ngăcáchăđ năQăđ căchoăb i:

(x) := max {M (x; i) | i  I}ăăvƠăă (x) := max{ D(x;  j) | j  J}

T ngăt ,ămôăhìnhăt iă uătoánăh căc aăbƠiătoánăTorricelliăsuyăr ngălƠ:

T ngăquátăhóaăquiăt căFermatăsauăđơyăđ căg iălƠăquiăt căd iăviăphơnă

Fermat s ăđóngăvaiătròăquanătr ngătrongăch ngănƠy:

x lƠăm tănghi măc aăhƠmăl iă n uăvƠăch ăn uă0ă  ( ) x (2.3)

B iăvìăhƠmă vƠă trong (2.1)ăvƠă(2.2)ăđ cătrìnhăbƠyăd iăngônăng ălƠ hƠmă

“max”ăvƠă“t ng”ăc aăm tăs ăh uăh năhƠmăl i,ăchúngătaăs ăs ăd ng cácăquiăt că

d iăviăphơnătrong gi iătíchăl iăđ ăsauăđóănghiênăc u các bƠiătoán nƠy.ăN uă(x) := max { i(x)ă|ăiă=ă1,ă ă,ăk},ătrongăđóă i : n  v iăiă=ă1,ă ă,ăkălƠăhƠmăl i,ăthìătaăcó:

 ( ) x = conv{i( ) x | i  I(x)}, (2.4)

trongăđóăăI(x) := {i  {1, , k} | i( ) x =  ( ) x }ălƠăt păch ăs ătíchăc căt iăx

Trongă ch ngănƠyă chúngătaăs ăs ă d ngă cácă kíă hi uăsau:ă bd vƠă int

t ngă ngălƠăbiênăvƠăph nătrongăc aă; conv  lƠăkíăhi uăbaoăl iăc aă;ăv iăa,ăbă

2.2.1.ăS ăt năt i,ăduyănh tănghi măvƠăđi uăki năt iă u

Trongăch ngănƠyăchúngătaănghiênăc uăbƠiătoánăSylvesterăsuyăr ngăvƠă

m iăquanăh ăc aănóăv iăbƠiătoánăApollonius:ăChoăhaiăh ăh uăh năcácăhìnhăc uăEuclid,ăhưyătìmăm tăhìnhăc uăEuclidănh ănh tăch aăcácăhìnhăc uăc aăh ăth ănh tăvƠăc tăt tăc ăcácăhìnhăc uăc aăh ăth ăhai.ăChúngătaăc ngănghiênăc uăbƠiătoánă

Fermat ậ Torricelliăsuyăr ngănh ăsau:ăChoăhaiăh ăh uăh năcácăhìnhăc uăEuclid,ătìmăm tăđi mălƠmăc căti uăt ngăkho ngăcáchăxaănh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ă

nh tăvƠăkho ngăcáchăg nănh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ăhai

Taăb tăđ uăm cănƠyăv iăcácăcôngăth căđ năgi năđ ătínhăkho ngăcáchăđ năhìnhăc uăEuclidătrongă nc ngănh ăd iăviăphơn

T p các ch s tích c c A(x) đ c cho b i h p r i nhau A(x) = K(x) L(x) Rõ ràng v i m i x  n, ta có 1  |A(x)|  |I| + |J|

nh lý sau đây thi t l p đi u ki n c n và đ cho tính duy nh t c a nghi m t i u

nhălýă2.1

Bài toán t i u (2.1) luôn có m t nghi m t i u H n n a, nghi m là duy

nh t n u và ch n u I  , ho c I =  và j J  j ch a không quá m t đi m

Ch ngăminh

S ki n (2.1)ăluônăcóăm t nghi m t iă uăsuyăraăt tínhăliênăt c c aăhƠmă ăđóăvƠătínhăb ăch năc aăcácăt p m c

Taăch ngăminhăđi uăki năđ ăchoătínhăduyănh tăc aănghi măt iă u.ăXétă

tr ngăh păIă  taăs ăch ăraăr ngă

Taăđưăch ăraăđ că(2.5).ăCh năm tăh ngăs ălăsaoăchoălă>ămax{ăsj | j  J}.ăT ă(2.5)

ta suy ra x lƠăm tănghi măt iă uăc aă(2.1)ăn uăvƠăch ăn uănóălƠăm tănghi măc aăbƠiătoánăt iă uăsau:

c ngăcóăm tănghi măt iă uăduyănh t

Gi ăs ăr ngăIă=ă vƠă j J  j ch aănhi u nh tăm tăđi m.ăN uă j J  j

ch aăđúngăm tăđi m x0,ăthìă (x0)ă=ă0ăvƠăx0 lƠ nghi măduyănh t.ăTrongătr ngă

h pă j J  j =  thìăd ăch ăraăr ngă(2.5)ăth aămưnăv iăm iăxă n,ăvƠă(1)ăcóăm tănghi măduyănh t

Bơyăgi ătaăch ngăminhăđi uăki năc năchoătínhăduyănh tănghi m.ăGi ăs ă

(2.1)ăcóăm tănghi măduyănh tăvƠăgi ăs ăng căl iăr ngăIă=ă vƠă j J  j ch a nhi uăh năm tăđi m.ăRõărƠng,ă (x)ă=ă0ăv iăb tăk ăxă j J j.ăNh ăv y,ăb tăk ă

j J   lƠănghi măt iă uăc aăbƠiătoán.ăVìăv y, taăđiăđ năm tămơuăthu năvƠă

đ nhălýăđ căch ngăminh.ăăăăăăăăăăăăăăăăă

V iăb tăk ăđi măxă n,ăhìnhăchi uăxaănh tăvƠăhìnhăchi uăg nănh tăt ăxă

đ năt păQăđ căcho,ăt ngă ng,ăb i:

(x; Q) := {q  Q | ||x ậ q || = M(x; Q)},

vƠă

∏(x;ăQ)ă:=ă{q  Q | ||x ậ q|| = D(x; Q)}

N u Q = (c;ăr),ăthì:

(x; Q) =

vƠ

∏(x;ăQ)ă=ă á đ ò

Trongătr ng h p ri =ă0,ăhìnhăc u (ai ; ri) = {ai},ăvìăv y m tăhìnhăc u

ch a (ai ; ri)ăn uăvƠăch ăn u nóăc tăt tăc ăcácăhìnhăc u.ăH năn a,ătrongătr ngă

h păIă=ă đưăđ căxétătrongă[18].ăNh ăv y,ătaălo iăb ăđ cătr ngăh pănƠyătrongă

Gi ăs ă := { i  K(x) | M(x;i)ăkhôngălƠăt păm tăđi m}.ăN uă  ,ăthìă

x = ai vƠă (x) = r = M(x;i) = ri v iăm iăiă ăVìăth ăt tăc ăcácăhìnhăc uă i

v iăiă trùngănhau.ăH năn a,ă

ri = M(x;i)  M(x;j) = ||aiậ aj|| + rj v iăiă vƠăjă I \ ,

vƠăăări = M (x;i)  D(x; j)  ||ai ậ bj|| - sj v iăm iăiă vƠăăjă J.ăNh ă

v y, (x;ăr)ăch aăcácăhìnhăc uătrongă{ i | i  I \ }ăvƠăc tă j v iăjă J

Xétătr ngăh p =  Khiăđóă M(x;i) lƠăt păm tăđi măv iăm iă

i  K(x) i uănƠyăkéoătheo (x; i) lƠăt păm tăđi măv iăm tăiănh ăv y.ăV iă

m i j  L(x),ăb iăvìăD(x; j)  M(x; i0) > 0 v iăm tăch ăs ăc ăđ nhăi0  I,

taăcóăx  j.ăKhiăđóă(2.7)ăđ căvi tăt ngăđ ngănh ăsau:

Cu iăcùng,ăs ăd ngăđ nhălýăCaratheodoryăvƠăđ nhălýă1.3.6ă[4],ătaăcóăth ă

ch ngăminhăm nhăđ ăd iăđơy

M nhăđ ă2.2

l năcácăhìnhăc uăquiăt ăbƠiătoánăđóăv ăbƠiătoánăbaăhìnhăc uăho căítăh n.ăQuan sát nƠy đ căs ăd ngănh ăm tăýăt ng chính choănhi uăthu tăgi iăđ ăgi iăcácăbƠiătoánăhìnhăc uăc căti uăc ăđi n

V iăhaiăhìnhăc u (a;ăr)ăvƠă (b; s), taănóiăr ng (a;ăr)ăch aăng t (b; s)

n u (b; s)  (a;ăr)ăvƠ chúngăkhôngăcóăđi măbiênăchung; (a; r) ch a ti p xúcă (b; s) n u (b; s)  (a;ăr)ăvƠăchúngăcóăđúngăm tăđi măbiênăchung.ăTaă

c ngănóiăr ngăhaiăhìnhăc uăgiaoăch tăn uăchúngăc tăt iănhi uăh năm tăđi m,ăvƠăgiaoăti păxúcăn uăchúngăc tăt iăđúngăm tăđi m

Bài toán ba hình c u: Mô hình I Môăhìnhăth ănh tăchúngătaănghiênăc uătrongă

ph nănƠyăđ căphátăbi uănh ăsau:ăchoăbaăhìnhăc uătùyăýă i = (ai ; ri)ăăv iăiă=ă1,ă2,ă3ătrongăm tăph ngăEuclid,ăhưyăd ngăhìnhăc uănh ănh tăch aăđ căt tăc ăcácăhìnhăc uăđưăcho.ăTrongătr ngăh pănƠy,ăIă=ă{1,ă2,ă3},ăJă=ă,ăvƠă(2.1)ăquiăv bƠiătoán:

min (x) = max{M (x ; 1) , M (x ; 2) , M (x ; 3)} , x  2 (2.8)

M nhăđ ă2.3

V i x  2 và r := (x), ta có |K(x)| = 1 và x là nghi m c a (2.8) n u