Sự tồn tại điểm bất động của toán tử uo lõm chính quy đều tác dụng trong không gian banach với nón h cực trị (LV01839)

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h cực trị” là công trình nghiên cứu của ri

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-

TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ u0  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

VỚI NÓN h  CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-

TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy – người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Trương Thị Hải Duyên

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h cực trị” là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Trương Thị Hải Duyên

Mục lục

Mở đầu ……… 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ tự 4

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach ………

4 1.1.2 Dãy đơn điệu, cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập hợp………

8 1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử ……… 10

1.3 u0  chuẩn trên không gian 0 u E ……… 11

1.4 Nón chuẩn tắc và nón hcực trị ……… 15

1.4.1 Nón chuẩn tắc và tính chất ……… 15

1.4.2 Nón hcực trị và tính chất ……… 18

1.5 Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: n, 2 ……… 20

1.5.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự n ………… 20

1.5.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 2 ……… 27

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều trong không gian Banach với nón hcực trị 2.1 Khái niệm toán tử u0  lõm chính quy đều và tính chất …… 37

2.1.1 Khái niệm toán tử u0  lõm chính quy đều ……… 37

2.1.2 Một số tính chất ……… 38

2.2 Toán tử u0 lõm chính quy đều tác dụng trong một số không gian Banach ……… 39

2.2.1 Toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không

gian Eukleide n ……… 39

2.2.2 Toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach 2 ……… 42

2.3 Sự mở rộng định lí tồn tại điểm bất động của toán tử u0lõm chính quy đều ……… 44

2.4 Áp dụng ……… 48

Kết luận ……… 50

Tài liệu tham khảo ……… 51

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm dương của các phương trình toán tử (1962)

GS – TSKH Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không gian tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm (1984)

Các tác giả Kraxnoxelxki, Bakhtin đã nghiên cứu và công bố những kết quả

về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định hoặc hai nón cố định, các toán tử được xét có chung tính chất u0  đo được Năm 1987, PGS – TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về điểm bất động của toán tử lõm chính quy và các điểm bất động của toán tử K u, 0 lõm chính quy (2012) Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định, nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0  đo được

Để xét sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm hay lõm chính quy, các tác giả kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS – TS – GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi chọn

nghiên cứu đề tài: “ Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h cực trị”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều theo hướng bổ sung điều kiện cho nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiều về không gian Banach nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về nón chuẩn tắc và nón h cực trị

Tìm hiểu về nón trong không gian Banach n, 2

Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h cực trị

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử 0

u  lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h cực trị

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước có liên quan đến điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không

gian Banach với nón h – cực trị

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử u0 lõm

chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h – cực trị

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quát về không gian Banach nửa sắp thứ tự, một số tính chất về toán tử u0  lõm chính quy đều, toán tử u0 lõm chính quy đều tác dụng trong các không gian n, 2, sự mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử u0 lõm chính quy đều Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con của

không gian E khác rỗng Tập K được gọi là một nón của không gian E ,

nếu:

i, K là tập đóng trong không gian E ;

ii, x y,  K,  ,   thì xyK;

iii,  x K x:  thì  x K

( là phần tử không trong không gian E )

Định lí 1.1.2 Giao của hai nón (chứa phần tử khác  ) là một nón

Chứng minh:

Giả sử K K1, 2 là hai nón trong không gian E Ta chứng minh K K1K2

cũng là nón trong không gian E

Vì K K là nón trong không gian E nên 1, 2  x K1, x K2   x K

Vậy giao của hai nón (chứa phần tử khác ) là một nón

Định lí 1.1.3 Giả sử F là tập con của không gian E khác rỗng, lồi, đóng, bị

chặn và không chứa phần tử không  của E Khi đó, tập:

K F  ztx xF t là một nón trong không gian E

  Trái giả thiết F không chứa 

Nếu t1 t2 0 thì t1    t2 0 u0 , không đúng giả thiết

Vậy,  u0 K F 

Do đó ( )K F là nón trong không gian định chuẩn E

Định nghĩa 1.1.4

Với hai phần tử ,x yE ta viết x y (hoặc y x), nếuy x K.

Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự

xác định trong định nghĩa 1.1.4 gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K E

1.1.2 Dãy đơn điệu, cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập hợp

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K E

Định nghĩa 1.1.7 Dãy điểm  x n n1 E gọi là dãy không giảm, nếu

x     x x

Dãy điểm ( )y n1E gọi là dãy không tăng, nếu y1     y2 yn

Các dãy không tăng, dãy không giảm gọi là dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.1.8 Tập con M E gọi là bị chặn trên bởi phần tử uE, nếu

 x M x u  ; tập con M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử vE, nếu

 x M x v; tập M gọi là bị chặn trong không gian E, nếu   0

+ Cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất:

Giả sử z z1, 2E là các cận trên đúng của M Khi đó:

1, 2

z z Evà thỏa mãn  x M đều có xz1 và x z2 nên theo định nghĩa cận trên đúng thì z2 z1 và z1z2, do đó z1 z2

Vậy cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất

+ Cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất:

Giả sử w w1, 2E là các cận dưới đúng của M Khi đó:

1, 2

w w E và thỏa mãn  x M đều có xw1 và xw2 nên theo định nghĩa cận dưới đúng thì w2 w1,w1w2w1w2.

Vậy cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K  E.

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử , x yE Phần tử x được gọi là thông ước với phần

tử y nếu tồn tại hai số dương    x y, ,   x y, sao cho y x y

Định lí 1.2.2 Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không

gian E.

Chứng minh :

+ Tính chất phản xạ: Rõ ràng  y E, ta luôn có: 1.y y 1.y y thông ước với y

+ Tính chất đối xứng: Nếu x thông ước với y thì theo định nghĩa 1.1.6 tồn

tại hai số dương   , sao cho y x y Do đó 1 x y 1 x

    hay y

thông ước với x

+ Tính chất bắc cầu: Giả sử x y z, , E trong đó x thông ước với y và y

thông ước với z Ta chứng minh x thông ước với z Khi đó tồn tại các số dương    1, 1, 2, 2 sao cho:

1y x 1y

   , 2z y 2z 1 2z x  1 2z

Đặt       1 2,  1 2 Khi đó z  x z, với  0, 0

Nên, x thông ước với z

Vậy quan hệ thông ước trên không gian E là một quan hệ tương đương trên không gian E

Kí hiệu K u là tập hợp tất cả phần tử ( )0 xE thông ước với phần tử

x thông ước với u0   1, 1sao cho: 1 0u  x 1 0u

ythông ước với u0  2, 2sao cho: 2 0u  y 2 0u

Giả sử xK u( )0 ta sẽ chứng minh x và xK Thật vậy:

Định nghĩa 1.3.1 Phần tử xE gọi là u0 đo được, nếu tồn tại các số không âm s s sao cho 1, 2 s u1 0  x s u2 0

Tương tự g liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân

vectơ với một số thực trên không gian E Khi đó, do K là tập đóng trong

không gian E , nên g1( )K là tập đóng trong với chuẩn thông thường

 1 1inf t  inft  ( )x

Từ inft1t3  t1 t3 inft1t3inft1inf t3

Tương tự ta có: inf t2t4inft2 inf t4

Ta cũng có: max inf  1 3,inf 2 4  0

Định nghĩa 1.4.1 Nón K gọi là chuẩn tắc, nếu   0 sao cho e e1, 2K

   trong không gian E

Cho m trong hệ thức (1.6), ta được

1

nghĩa là, dãy  z n n1 không giảm và bị chặn trên bởi phần tử u, nhưng theo trên dãy  z n n1 không hội tụ, điều này mâu thuẫn với tính chất của nón K.

Vậy, nếu K là nón h cực trị thì K là nón chuẩn tắc.

1.5 Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: n, 2

1.5.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự n

1.5.1.1 Không gian tuyến tính thực n

1.5.1.2 Không gian định chuẩn thực n

Ta đưa vào không gian tuyến tính thực n chuẩn của phần tử

 1, 2, , n n

x x x x  xác định bởi:

2 1

n k k

x



  0 nên x 0

k k

là không gian Banach thực với chuẩn (1.7)

Thật vậy, giả sử dãy cơ bản   m 1 n

m

x 

  với x m x1 m ,x2 m , ,x n m ,

1, 2,

m là một dãy cơ bản tùy ý trong n

Khi đó theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:

Chứng tỏ với mỗi k 1,n dãy   m 1

k m

 hội tụ theo tọa độ tới x

Nhưng sự hội tụ trong không gian n

tương đương với sự hội tụ theo tọa độ

Do đó n là không gian Banach

 Nón trong không gian n

Tập hợp   j n 1 n: 1, 2, ,  j 0

+ Ta chứng minh K là một nón trong n Thật vậy, ta có K nên K  ,

hiển nhiên K  n Ta kiểm tra các điều kiện i) – iii) trong định nghĩa của nón

i) K là tập đóng, thật vậy, giả sử dãy      n 1

k k

y y k n k1 n,y k   0( k 1, )n ,

+ Ta đi chứng minh K là nón chuẩn tắc Thật vậy:

+ Bây giờ ta chứng minh K là nón h cực trị

 Giả sử dãy điểm       

Các hệ thức (1.9) chứng tỏ, với mỗi k1,n cố định tùy ý, dãy số thực

Lập luận trên chứng tỏ inf  m

m

y y và yK.

Từ những chứng minh trên chứng tỏ K là nón h cực trị

Theo định lí 1.1.5, không gian n

cùng với nón K bao hàm trong n là không gian Banach nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) được xác định bởi công thức (1.8)

1, 1,0, ,0

1.5.1.4 Các phần tử thông ước trong không gian n

Trong không gian n chọn u0  u k n k1K \  ,

k k

max

maxmin

k

k I

k I k

2

max

maxmin

k

k I

k I k

u là không gian Banach thực theo u0  chuẩn

1.5.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 2

1.5.2.1 Không gian tuyến tính thực 2

1.5.2.2 Không gian định chuẩn thực 2

 Ta đưa vào không gian tuyến tính thực 2 chuẩn của phần tử

 1, 2, , n,  2

x x x x  xác định bởi:

2 1

tương ứng kí hiệu là 2.

1.5.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 2

 2 là không gian Banach thực với chuẩn (1.11)

Thật vậy, giả sử dãy    2

1

m m

x



  với x m x1  m ,x2  m , ,x n m ,  là một dãy

cơ bản tùy ý trong 2

Khi đó theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:

x



 là dãy số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn:  

Đặt xx x1, 2, ,x n, , ta có bất đẳng thức (1.11) không phụ thuộc vào s p,

nên cho p  ta được,

  2 1

s m

i i i



 với  s *, m n0,sau đó cho s  ta được,

  2

0 1

m

i i i

Ta sẽ chứng minh x  2. Thật vậy,

Với mỗi i 1, 2, và m1 n0 ta có:

  1  1 

2 2

Vậy 2 là không gian Banach

 Nón trong không gian Banach thực 2.

+ Ta chứng minh K là một nón trong 2 Thật vậy, ta có K nên K  ,

hiển nhiên K 2 Ta kiểm tra điều kiện i) – iii) trong định nghĩa của nón

hay    

1 2 2 0

0 1

x 

 hội tụ tới x n 0 khi k  .

Như vậy, dãy      1    1 

1.5.2.4 Các phần tử thông ước của không gian 2

Trong không gian 2 chọn u0  u n n1 sao cho

 

   ta đều có u n x n u n.Với nI1 thì u n 0,x n 0

maxmin

n n

CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ

0

u  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

VỚI NÓN h CỰC TRỊ 2.1 Khái niệm toán tử u0 lõm chính quy đều và tính chất

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K  E, toán tử

: ,

A E E phần tử u0K u, 0 

2.1.1 Khái niệm toán tử u0 lõm chính quy đều

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A được gọi là u0 lõm trên nón K , nếu

3)  x K u 0 , t  0;1 ,    x t, 0 sao cho Atx 1  tAx

Định nghĩa 2.1.3 Toán tử A được gọi là u0  lõm chính quy đều, nếu

i AKK và x y, K sao cho x y thì Ax Ay;

ii  x K\   , t  0;1 thì AtxtAx;

iii  ,  * thỏa mãn    , t  0;1 đều      , ,t0 sao cho

 A là toán tử u0 lõm chính quy đều  x y, K x,  y ta cóAx Ay.

Theo định nghĩa quan hệ thứ tự trong không gian E ta có

Vậy A là toán tử u0  lõm chính quy đều

Định lí 2.1.5 Nếu A B, là hai toán tử u0 lõm chính quy đều thì AB là toán tử u0  lõm chính quy đều

Chứng minh:

 A B, là hai toán tử u0 lõm chính quy đều   x K ta cóAxK,

BxK Do K là nón nên Ax Bx A B x   K (A B K ) K