Định lý dubovitskir milyutin và ứng dụng

Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir-Milyutin và áp dụng cho bài toán quy hoạch toán học và bài toán điều khiển tối... Đối tượng và phạm vi nghi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ THOA

ĐỊNH LÝ DUBOVITSKIR-MILYUTIN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội-2015

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tìnhhướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong phòng sau đại học, trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạybảo em tận tình trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Học viên

Trần Thị Thoa

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn NăngTâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lýDubovitskir-Milyutin và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức củabản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Thoa

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach 3

1.2 Toán tử và phiếm hàm tuyến tính 8

1.2.1 Toán tử tuyến tính 8

1.2.2 Phiếm hàm tuyến tính 11

1.3 Tô pô yếu, tô pô yếu* 13

1.3.1 Tôpô yếu 13

1.3.2 Tôpô yếu* 13

1.4 Tập lồi, nón lồi 14

1.5 Các định lý tách 15

1.6 Ánh xạ khả vi 18

1.7 Hàm lồi 19

1.8 Nón liên hợp 23

Chương 2 Lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir-Milyutin và ứng dụng

24 2.1 Điều kiện cần cực trị của Dubovitskir-Milyutin 24

2.2 Ứng dụng cho bài toán quy hoạch toán học 39

2.3 Ứng dụng cho bài toán điều khiển tối ưu 53

Kết luận 58

Tài liệu tham khảo 58

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các điều kiện tối ưu đã phát triển từ những giai đoạn sớmnhất của Toán học Sự phát triển mạnh mẽ của Lý thuyết các bài toáncực trị đã cho ta những điều kiện tối ưu dưới dạng quy tắc nhân tửLagrange và nguyên lý cực đại Pontryagin Năm 1965 Dubovitskir vàMilyutin đưa ra lý thuyết các điều kiện cần cực trị dưới ngôn ngữ giảitích hàm Lược đồ mà Dubovitskir và Milyutin đưa ra bao hàm đượctất các bài toán cực trị Sau khi được học các kiến thức về Toán giảitích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mốiquan hệ và ứng dụng của chúng Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Định lýDubovitskir-Milyutin và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir- Milyutin

và ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir-Milyutin

và áp dụng cho bài toán quy hoạch toán học và bài toán điều khiển tối

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir-Milyutin trong khônggian Banach và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tíchhàm, giải tích lồi như: Không gian Banach, toán tử và phiếm hàm tuyếntính, ánh xạ khả vi, tôpô yếu, tôpô yếu*, tập lồi, hàm lồi, nón lồi, nónliên hợp, Những kiến thức này được sử dụng để trình bày các kháiniệm và các tính chất quan trọng của lý thuyết các điều kiện cực trị củaDubovitskir-Milyutin và ứng dụng của nó trong bài toán quy hoạch toánhọc và bài toán điều khiển tối ưu Các khái niệm này ta có thể tìm thấytrong [1]và [3]

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian vectơ trên trường số thực R.Chuẩn trong X, ký hiệu k.k, là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏamãn các tiên đề sau

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) kαxk = |α| kxk ;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian

đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

Định lý 1.1 (xem [3]) Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn,đặt

d (x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ X (1.1)Khi đó, d là một metric trên X

Nhận xét 1.1 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là không gianmetric với metric (1.1)

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn} của không gian tuyến tính định chuẩn

X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

n→∞kxn− xk = 0

Ký hiệu lim

n→∞xn = x hay xn → x khi n → ∞

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn

X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

là tổng riêng thứ k của chuỗi

Định nghĩa 1.5 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, chuỗi

Định nghĩa 1.6 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là khônggian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tửtrong X.

Ví dụ 1.1 Xét không gian vectơ thực n−chiều Rn, với mỗi x ∈ Rn,

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được Rn là không gian định chuẩn Lấy{xn} là dãy cơ bản trong Rn Ta có lim

m,n→∞kxn− xmk = 0 nghĩa là(∀ε > 0) (∃M ∈ N∗) (∀m, n ≥ M ) : kxn− xmk < ε

kxn,j − xm,jk < ε

Vậy với mỗi j ∈ N cố định thì dãy {xn,j} là một dãy cơ bản hội tụ

Ký hiệu xj = lim

n→∞xn,j, j = 1, k nghĩa là(∀ε > 0) (∀j = 1, , k) (∃Mj ∈ N∗) (∀n ≥ Mj) : kxn,j − xjk < √ε

n.Đặt x = (xj)j=1,k , ta sẽ chứng minh {xn} hội tụ đến x

Ví dụ 1.2 Xét không gian vectơ thực n−chiều Rn, với mỗi x ∈ Rn,

x = (x1, , xk) trong đó, i = 1, , k Đặt kxk∞ = max

1≤i≤n|xi|

Khi đó có thể chứng minh Rn là không gian Banach

Ví dụ 1.3 Xét không gian vectơ thực n−chiều Rn, với mỗi x ∈ Rn,

Khi đó có thể chứng minh Rn là không gian Banach

Định nghĩa 1.7 Giả sử E là không gian tuyến tính trên R và k.k1, k.k2

là hai chuẩn cùng xác định trên E Khi đó hai chuẩn này được gọi làtương đương nếu tồn tại 0 < m < M sao cho

Chứng minh Giả sử X là không gian Banach và chuỗi

∞

P

n=1

kxnk hội tụ.Khi đó ∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N∗ thì

p

X

j=1

kxn+jk < 

Suy ra ∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N∗ thì

xn hội tụ trong không gian X

Ngược lại, giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗihội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (xn) là dãy Cauchy tùy ý trong X Ta có

∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 : kxn− xmk < 

Nhờ đó, với số  là phần tử của dãy số ( 1

2k) ta tìm được số nk sao cho

xnk+1 − xnk < 1

2k(k ∈ N∗) với nk < nk+1

Từ đó, suy ra chuỗi kxn1k + kxn2 − xn1k + + xnk+1 − xnk + là hội

tụ Theo giả thiết, chuỗi xn1+ (xn2− xn1) + + (xnk+1− xnk) + hội tụtrong không gian X, kí hiệu tổng của chuỗi này là S Hiển nhiên

n→∞xn trong không gian tuyến tính định chuẩn X Do đó,

X là không gian Banach Định lý được chứng minh

Định lý 1.4 (xem [3]) Nếu E là một không gian tuyến tính định chuẩnhữu hạn chiều thì mọi chuẩn trên E là tương đương

Chứng minh Thật vậy, giả sử trên E có k.k1 và k.k2 là hai chuẩn chotrước Gọi S = {x ∈ X : kxk1 = 1} Vì S đóng và E có số chiều hữu hạn

nên k.k2 đạt max và min trên S, kí hiệu lần lượt là M và m.

Xét x 6= 0 là phần tử bất kỳ trong E, khi đó:

kxk2 = kxk1 x

kxk1 2 = kxk1.

xkxk1 2.

kxk1 1 = 1 nên m ≤

xkxk1 2 ≤ M ⇒ mkxk1 ≤ kxk2 ≤ M kxk1.

Vậy hai chuẩn là tương đương

1.2 Toán tử và phiếm hàm tuyến tính

(A + B)x = Ax + By(∀x ∈ X)

Với số λ ∈ K ta định nghĩa tích λA như sau

(λA)x = λAx(∀x ∈ X)

Khi đó A + B và λA là toán tử tuyến tính.

c) Giả sử X, Y, Z là ba không gian tuyến tính trên cùng trường số K Nếu

A : X → Y, B : Y → Z là các toán tử tuyến tính thì tích BA : X → Zcũng là một toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.9 Giả sử A : X → Y là toán tử tuyến tính Hạch của A

là tập hợp

KerA = A−1(0) = {x ∈ X : Ax = 0} ;Ảnh của A là tập hợp

ImA = A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X}

Định nghĩa 1.10 Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là một đẳngcấu tuyến tính của X lên Y nếu KerA = {0} và ImA = Y

Định nghĩa 1.11 Các không gian tuyến tính X và Y được gọi là đẳngcấu với nhau, nếu tồn tại một đẳng cấu tuyến tính A của X lên Y Định lý 1.5 (xem [3]) Giả sử A là một đẳng cấu tuyến tính của X lên

Y Khi đó tập M ⊂ X và tập

A(M ) = {Ax : x ∈ M } ⊂ Ycùng độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh a) Giả sử M phụ thuộc tuyến tính, tức là ∃xi ∈ M (i =

1, , n) và ∃αi(i = 1, , n) không đồng thời bằng 0 sao cho

Định lý 1.6 (xem [3]) Giả sử X và Y là các không gian định chuẩn,

A : X → Y là một toán tử tuyến tính Các mệnh đề sau là tương đương(i) A liên tục (tức A liên tục tại mọi điểm của X);

(ii) A liên tục tại mọi điểm x0 ∈ X;

(iii) A liên tục tại 0;

(iv) ∃M > 0, ∀x ∈ X : ||Ax|| ≤ M ||x||

Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Hiển nhiên

(ii) ⇒ (iii) : Lấy xn → 0 ⇒ xn + x0 → x0

⇒ Axn+ Ax0 = A(xn+ x0) → Ax0 (Do A liên tục tại x0) ⇒ Axn → 0 =A0 : A liên tục tại 0

(iii) ⇒ (iv) Do A liên tục tại 0, có tồn tại r > 0 sao cho:

A[BX(0; r)] ⊂ BY(0; 1),trong đó BX(0; r) là hình cầu mở trong X tâm 0, bán kính r Nói cáchkhác



Với x = 0, (1.3) vẫn đúng Vậy ta có (iv)

(iv) ⇒ (i) : Lấy x ∈ X Từ (iv) suy ra

kAxn− Axk = kA(xn− x)k ≤ M kxn− xk

⇒ A liên tục tại x Vậy ta có (i).

Định nghĩa 1.12 Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là bị chặnnếu ∃M > 0, ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.15 Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên Xđược gọi

là không gian liên hợp đại số hay không gian đối ngẫu đại số của X; kíhiệu là X∗

Định lý 1.7 (xem [3]) Giả sử hệ {f1, , fn} ⊂ X∗ là độc lập tuyếntính Khi đó tồn tại x1, , xn ∈ X sao cho:

f1, , fn ∈ X∗ sao cho hệ {f1, fn} độc lập tuyến tính ⇒ ∃y2, , yn ∈ Xsao cho

f1(y) ta có f1(x1) = 1, fj(x1) = 0(j = 2, , n) Hoàntoàn tương tự ta tìm được các vectơ x2, , xn thỏa mãn

Định nghĩa 1.16 Giả sử M là không gian con tuyến tính cực đại của

X, α ∈ X Tập hợp a + M = {a + y : y ∈ M } được gọi là siêu phẳngtrong X Để ý rằng M cũng là một siêu phẳng qua 0

1.3 Tô pô yếu, tô pô yếu*

Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên Xbảo đảm sự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X∗ Nói riêng τω ⊂ τ

Do đó ta sẽ gọi τω là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là τ 1.3.2 Tôpô yếu*

Tương ứng với mỗi x ∈ X ta thiết lập một phiếm hàm Φx trên X∗được xác định bởi

Φx(f ) := f (x), ∀f ∈ X∗

Dễ kiểm chứng được đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X∗ và do

đó nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với Φx ta có thể xem X như một họ cácphiếm hàm tuyến tính trên X∗ Tôpô tuyến tính yếu nhất τω∗ trên X∗bảo đảm sự liên tục của mọi x ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗

1.4 Tập lồi, nón lồi

Định nghĩa 1.17 Tập A ⊂ E được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ A

và với mọi λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λy) ∈ A

Định lý 1.8 (xem [1]) Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong E làmột tập lồi trong E

Chứng minh Giả sử Aα ∈ Rn(α ∈ I) là các tập lồi với I là tập chỉ sốbất kỳ, ta cần chứng minh tập A = T

α∈I

Aα là tập lồi

Lấy tùy ý x1, x2 ∈ A Khi đó x1, x2 ∈ Aα, với mọi α ∈ I Do A là lồi nên

λ1x1 + (1 − α)x2 ∈ Aα, với mọi α ∈ [0, 1] ⇒ λ1x1 + (1 − α)x2 ∈ A Vìvậy A là tập lồi

Hệ quả 1.1 Cho bi ∈ E, βi ∈ R, i ∈ I với I là tập chỉ số tùy ý Khi đó

Chứng minh (⇐) Chọn m = 2, hiển nhiên đúng.

1.5 Các định lý tách

Định nghĩa 1.19 Trong không gian E cho tập con D và F khác rỗng.Điểm a ∈ C được gọi là điểm bọc nếu với mọi x thuộc C, tồn tại số

α > 0 sao cho a − α(x − a) cũng thuộc C Tập các điểm bọc của C kíhiệu là riC.

Định nghĩa 1.20 Trong không gian cho hai tập lồi C, D khác rỗng vàrời nhau

Cho a ∈ R, siêu phẳng ht, xi = a; t 6= 0 tách hai tập lồi C, D nếusup

x∈C

ht, xi ≤ α ≤ inf

y∈Dht, yi Cho a ∈ R, siêu phẳng ht, xi = a; t 6= 0 tách hẳn hai tập lồi C, D nếusup

Định lý 1.12 (xem [1]) Nếu hai tập C, D lồi, đóng, C, D không rỗng

mà rời nhau và một trong hai tập ấy rời nhau thì có một siêu phẳng táchhẳn chúng

Chứng minh Giả sử C compact Đặt E = C − D ⇒ E đóng

Thật vậy giả sử zk = xk − yk, xk ∈ C, yk ∈ D Do C compact nên

∃x0 ∈ C : xk → x0 Mà zk → z0 và yk = xk−zk ⇒ yk = xk−zk → x0−z0

Định nghĩa 1.21 Giả sử f và g là các ánh xạ từ tập mở chứa điểm x0

củak hông gian Banch E vào không gian Banach F Ta nói rằng f tiếpxúc với g tại x0 ∈ E nếu

Dễ dàng thấy rằng ánh xạ f khả vi tại x0 khi và chỉ khi có u ∈ L(E; F )sao cho

f (x0 + h) = f (x0) + u(h) + o(h) với lim

h→h0,h6=h0

o(h)khk = 0.

Chú ý rằng tính khả vi của ánh xạ f : E → F không phụ thuộc vào cácchuẩn tương đương trong mỗi không gian E, F

Ví dụ 1.4 Hàm hằng từ E vào F là khả vi tại mọi điểm và đạo hàmcủa nó tại điểm bất kỳ đều là ánh xạ 0 ∈ L(E; F )

Ví dụ 1.5 Nếu u ∈ L(E, F ) thì u khả vi tại mọi điểm x ∈ E vàDu(x) = u.

1.7 Hàm lồi

Định nghĩa 1.22 Cho hàm f : S → R, trong đó S ⊂ Rn, Rn = R ∪{−∞, +∞}, các tập

domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} ,epif = {(x, α) ∈ S : f (x) < α} ,được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f

Định nghĩa 1.23 hàm f : S → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của

nó là một tập lồi trong S × E Nếu dom f 6= 0 và f (x) > −∞ với mọi

x ∈ S ta nói hàm f là chính thường

Ví dụ 1.6 Hàm

f : R → R

f (x) = x2epi f = (x; µ) ∈ R × R : f(x) = x2 ≤ µ ,

là tập lồi trong R × R ⇒ f là hàm lồi

Ví dụ 1.7 Hàm

f : R → R

f (x) = x3

không là hàm lồi vì

epi f = (x; µ) ∈ R × R : f(x) = x3 ≤ µ ,không lồi trong R → R

Ví dụ 1.8 Hàm chỉ δ(./A) của tập lồi A ⊂ Rn là hàm lồi

f (λx + (1 − λy)) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.5)(∀λ ∈ [0; 1], ∀x, y ∈ A)

Chứng minh (⇒) Giả sử f là hàm lồi, ta có thể xem như λ ∈ (0, 1) vìvới λ ∈ (0, 1) thì (1.5) hiển nhiên đúng

Lấy r = f (x), s = f (y), không thể xảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) <+∞ mà f (λx + (1 − λy)) = +∞ bởi vì dom f lồi, với x, y ∈ dom f thì[x, y] ∈ dom f Do λ ∈ (0; 1) nên f (x) = +∞ ⇒ λf (x) = +∞ Nếu xhoặc y không thuộc dom f thì f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞ và (1.5)đúng

Bởi vì epi f lồi ∀(x, r) ∈ epi f, ∀(y, s) ∈ epi f, ∀λ ∈ (0; 1) nên

λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epi f

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)

(⇐) Giả sử (1.5) đúng Lấy tùy ý (x, r) ∈ epi f, (y, s) ∈ epi f, ∀λ ∈(0; 1) Ta phải chứng minh

có, nếu x /∈ dom f thì f (xi) = +∞; λif (xi) = +∞ ⇒ (1.6) hiển nhiênđúng

Do dom f lồi nên nếu f (xi) = +∞, (i = 1, , m) thì f

Mệnh đề 1.1 Giả sử f : E ⇒ E, f là hàm lồi khi và chỉ khi

f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s(∀λ ∈ (0; 1); ∀x, y : f (x) < r; f (y) < s)

Định nghĩa 1.24 Một hàm f xác định trên E được gọi là thuần nhấtdương nếu f (λx) = λf (x) với ∀x ∈ E, ∀λ > 0

Định lý 1.15 (xem [1]) Hàm thuần nhất dương f : E → (−∞; +∞] làlồi khi và chỉ khi

f (x + y) ≤ f (x) + f (y)(∀x, y ∈ E) (1.7)Chứng minh (⇒) Hàm thuần nhất dương f là lồi Lấy x, y ∈ E

f (x + y) = 2f  1

2x

+ f  1

Vậy epi f là đóng với phép cộng và phép nhân vô hướng

Suy ra λ(x1, r1) + (1 − λ)(x2, r2) ∈ epi f (với ∀λ ∈ [0; 1])

Nên epi f là lồi, suy ra f là hàm lồi

1.8 Nón liên hợp

Định nghĩa 1.25 Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính, X∗ là khônggian liên hợp của X, K là một nón trong X có đỉnh tại 0, tức là λK ⊂K(∀λ > 0) Khi đó nón liên hợp K∗ của K được định nghĩa như sau:

Dubovitskir-2.1 Điều kiện cần cực trị của Dubovitskir-Milyutin

có cực tiểu địa phương trên S tại điểm x∗ Cách tiếp cận Milyutin phân tích các điều kiện tồn tại cực trị là cho trước các tập

Dubovitskir-Si, i = 1, , n − 1, có điểm trong, nhưng tập Sn không có điểm trong.Theo nguyên tắc, các tập S1, , Sn−1 được xác định bởi một số bấtđẳng thức và Sn được xác định bởi một số đẳng thức Tôi nhắc lại một

số định nghĩa và các kết quả của phương pháp này

Định nghĩa 2.1 Một vectơ h được gọi là phương giảm của hàm F (x) tạiđiểm x∗ nếu tồn tại một lân cận U của vectơ h và số α = α(F, x∗, h), α <

0, sao cho với mọi 0 < ε < ε0 và với bất kỳ h ∈ U bất đẳng thức sau

F (x∗ + εh) ≤ F (x∗) + εαđúng

Mệnh đề 2.1 Phương giảm của hàm F (x) tại điểm x∗ tạo thành mộtnón mở K với đỉnh của nó tại gốc

Định nghĩa 2.2 Hàm F (x) được gọi là giảm đều tại điểm x∗ nếu nón

K phương giảm F (x) tại điểm x∗ là tập lồi

Trong phương pháp tiếp cận này các khái niệm tương tự được trìnhbày cho tập hạn chế mà có điểm trong

Định nghĩa 2.3 Một vectơ h được gọi là phương chấp nhận được củatập Q ⊆ E tại điểm x∗ nếu tồn tại một lân cận U của vectơ h sao chovới mọi 0 < ε < ε0 và với mọi h ∈ U các vectơ x∗ + εh ∈ Q

Mệnh đề 2.2 Các phương chấp nhận được của một tập Q tại điểm x∗tạo thành một nón mở K có đỉnh tại gốc tọa độ

Định nghĩa 2.4 Tập hạn chế Q, không có điểm trong, được gọi là đềutại điểm x∗ nếu nón K có phương chấp nhận được của Q tại điểm x∗ làtập lồi

Rõ ràng nếu tập hạn chế không có điểm trong thì nón có phương chấpnhận dược là tập rỗng tại mọi điểm Do đó trong phương pháp tiếp cậnnày các khái niệm thích hợp cho những tập như thế này sẽ được địnhnghĩa theo cách khác

Định nghĩa 2.5 Vectơ h được gọi là phương tiếp tuyến của tập Q tạiđiểm x∗, nếu với mọi 0 < ε < ε0 tồn tại một điểm x(ε) ∈ Q, sao chox(ε) = x∗ + εh + r(ε), trong đó r(ε) ∈ E thỏa mãn với bất kỳ lân cận Ucủa gốc tọa độ ta có  1

ε

r(ε) ∈ U với mọi ε > 0 đủ nhỏ (trong khônggian định chuẩn kr(ε)k = o(ε))

Mệnh đề 2.3 Các phương tiếp tuyến của tập Q tại điểm x∗ tạo thànhmột nón K có đỉnh tại gốc tọa độ

Nói chung, nón có phương tiếp tuyến không là tập mở cũng không làmột tập đóng

Định nghĩa 2.6 Tập hạn chế Q không có điểm trong được gọi là đềutại điểm x∗ nến nón K có phương tiếp tuyến của tập Q tại điểm x∗ làtập lồi

Định lý 2.1 (Định lý Dubovitskir-Milyutin) Giả sử các giả thiết sau:Hàm F (x) có cực tiểu địa phương tại một điểm x∗ ∈ S = ∩n

i=1Si.Hàm F (x) giảm đều tại điểm x∗ và tập các phương giảm tương ứngtạo thành một nón K0

Tất cả các tập hạn chế Si, i = 1, , n − 1, không có điểm trong làđều tại điểm x∗ Tập các phương chấp nhận được tương ứng của tập Sitạo thành nón Ki

Tập hạn chế Sn không có điểm trong là đều tại điểm x∗ Tập cácphương tiếp tuyến tương ứng tạo thành nón Kn

Cuối cùng, ký hiệu Ki∗ là nón liên hợp của Ki, và ký hiệu fi là hàmliên tục tuyến tính thuộc Ki, i = 0, , n