Luận văn về phương pháp điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu mà một trong những hướng nghiên cứu đó là đi xây dựng phương pháp giải bài toán bằng cách tiếp cận điểm

BIẾN P H Â N

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

H À N Ộ I , 2 0 1 5

BIẾN P H Â N

Chuyên nghành: T o á n gi ải t íc h

Mã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C Người hướng dẫn khoa học: G S T S K H Lê D ũ n g M ư u

H À N Ộ I , 2 0 1 5

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Lê Dũng Mưu người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô phòng sau đại học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp trường TH PT Lương Tài và người thân trong gia đình đã luôn động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi m ặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuy nhiên khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn

X in t r â n tr ọ n g c ả m ơn!

Hà Nội, tháng 07 năm 2015

Học viên

N g u y ễ n V ăn T ú

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

N g u y ễ n V ăn T ú

(x,y) Tích vô hướng của hai véctơ

p c (ж) Tập các hình chiếu của X lên tập с

N c (x) Nón pháp tuyến ngoài của tập с tại điểm X

VI(C, F) Bất ĐT biến phân xác định bởi tập с và ánh xạ F

Không gian tiền Hilbert

Không gian Hilbert

12

161919

20

2526

C h ư ơ n g 2 B à i to á n b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n

2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (VI)

2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh

2.3.1

2.3.2

2.4

Tính co của ánh xạ nghiệm

Mô tả thuật toán hội tụ

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

2.4.1

2.4.2

2.4.3

Thuật toán

Kết hợp nguyên lý ánh xạ co và thuật toán điểm gần kề

Mô tả thuật toán

K ế t lu ậ n

T ài liệu th a m k h ảo

28

283137

38 43484850525758

Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu mà một trong những hướng nghiên cứu đó là đi xây dựng phương pháp giải bài toán bằng cách tiếp cận điểm bất động Với mong muốn tìm hiểu sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của

G S T S K H Lê D ũ n g M ư u , tác giả đã chọn nghiên cứu đề tài: "Về

p h ư ơ n g p h á p đ iể m b ấ t đ ộ n g cho b à i to á n b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n

p h â n "

2 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1: Điểm bất động của ánh xạ co và ánh xạ không giãn

Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân theo cách tiếp cận điểm bất động dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach, các phương pháp lặp

Mann, Hapern cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và định

lý điểm bất động Brouwer để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cũng như các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng hợp lại những kiến thức cơ bản về điểm bất động đối với ánh xạ

co, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Tiếp đến là giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân, cụ thể là sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, các phương pháp giải lớp một số bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, đơn điệu dựa trên phương pháp điểm bất động

5 Đối tượng và phạm vi nghiền cứu

Đối tượng nghiên cứu: Không gian Hilbert, các định lý điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, bất đẳng thức biến phân

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên quan đến việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân bằng cách tiếp cận điểm bất động

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng công cụ giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết tối

ưu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

7 Đóng góp mới

Tổng hợp lại những kiến thức cơ bản nhất về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co, ánh xạ không giãn, định lý điểm bất động Brouwer trong không gian Hilbert

Trình bày các phương pháp tính điểm bất động theo nguyên lý ánh

xạ co Banach, theo các phương pháp lặp Mann, Hapern

Trình bày những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức biến phân và đặc biệt là đi sâu vào nghiên cứu, trình bày các cách tính điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến phân

1.1 Không gian Hilbert

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian Hilbert thực R

1.1.1 K h ô n g g ia n tiề n H ilb e r t

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính trên M Hàm số : H X H —¥ M được gọi là một tích vô hướng trên H nếu:

V (x ,y) = (y, x) , Vz,ĩ/ € H;

2) (Xx,y) = X ( x , y ) , Mx, y G H, X e M;

3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z ) , V x , y , z & H ;

4) (x, X) > 0 , Vx & H; (x, x) = O ^ x = 0.

Các phần tử X, y, z, .gọi là các nhăn tử của tích vô hướng; số (x,y)

được gọi là tích vô hướng của hai véctơ X, y; các tiên đề 1), 2), 3), ị )

gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ) được gọi là

không gian tiền Hilbert hay không gian Unita.

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng là một dạng song tuyến tính

trên H.

Đ ịn h lý 1.1 Nếu (H , (.,.)) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số

||x|| = y / {X, X), Va; £ H là một chuẩn trên H.

Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn

Đ ịn h lý 1.2 (Đ ẳ n g th ứ c h ìn h b ìn h h à n h ) Nếu H ỉà không gian tiền

Cộng hai vế ta được

\x + y\\2 + \\x - y\\2 = 2 (|M I2 + llyll2) , Vx, y G H.

C h ú ý 1.1 Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véctơ X — y và

= INI2 - A (z, y) (y, x) - X (X, y ) (y , X) + X2 {X, y) {X, y) \\y\\2

= INI2 - 2X\(x,y)\2 + A2|(x ,y )|2||y||2.

Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với A không âm với mọi giá trị

A ẽ M

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Tập H Ỷ 0 được gọi là không gian Hilbert nếu tập H

thỏa mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính;

2) H trang bị một tích vô hướng;

3) H là không gian Banach với chuẩn ||zỊỊ = y / {X, X), Vx £ H.

72 V»A oiv,!, /h y|h 72 IX

trong l và nó cảm sinh (1.4) Vậy l là một không gian Hilbert.

Đ ịn h lý 1.4 Cho H là một không gian Hilbert Khi đó, : H x H —> M

là một hàm liên tục.

C h ứ n g m in h Cho { x n} , {yn} là hai dãy trong không gian tiền Hilbert

H lần lượt hội tụ về x Q,y Q.

Khi đó, ta có:

\ ( Xn, yn} - ( xo, yo}\ < \(Xn,yn) - ( x n , yo} \ + \ ( x n , y o ) - ( x 0, y 0}\

Cho n —> oo, theo giả thiết, ta có:

lim I(xn, yn) - (x0, y 0) \ = 0.

n—>00Hay

lim (x n, yn} = (x0, y 0) •

n—>00

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Tập с с H được gọi là một tập lồi nếu

Ух, y G ơ , VA G [0; 1] => \ x + (1 — X) y e C.

V í d ụ 1.2 Trong không gian hữu hạn chiều thì đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình tròn, hình cầu, m ặt phẳng, toàn bộ không gian là những tập lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Tập с с H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy {жп} с

С hội tụ tới điểm X thì X £ c Tức là

{ x n} С ơ , n = 0,1, 2 , l im ||æn — æ|| = 0 Æ e с

n— >OQ

14

Một nón được gọi là lồi nếu nó là nón và là tập lồi.

2) Nón pháp tuyến ngoài của с tại Ж* là tập

N c (ж*) := {y € H : (y, X - ж*) < о Ух € С}

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Cho с с H là một tập lồi, khác rỗng, hàm F : с —>■ H.

1 ) Miền hữu hiệu của F, kí hiệu là domF, được xác định bởi

Đ ịn h lý 1.5 Cho c c H là một tập lồi, khác rỗng Giả sử F : c —»• H

là hàm khả vi Khi đó, F là hàm lồi khi và chỉ khi

F (x) - F ụ ) > ( V F {x') Va;,x' G c

1.2 Ánh xạ co và ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Cho c c H, c / 0, ánh xạ T : c —»• c được gọi là

liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Cho c c H, c Ỷ 0, X là một véctơ bất kỳ thuộc H

Nếu tồn tại y £ c sao cho ||a; — y II := inf ||z — 2II thì ta nói y là hình

z£C

chiếu của X trên c

Tập tất cả các hình chiếu của X trên c được kí hiệu là Pc ( z )

Đ ịn h lý 1.6 Cho c là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian

Hilbert H Khi đó, với mỗi X G H, tồn tại duy nhất y € c sao cho

||z - y II := inf ||z - z\\ hay p c (x) = {ỵ}

z e C

C h ứ n g m in h Đặt d := inf IIX — z II Theo tính chất cận dưới đúng, ta

(Pc ( y ) , p c (®) - Pc (y)) > (y, Pc (x) - Pc (y )).

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Phần tử X* G c trong không gian Hilbert H được gọi

là điểm bất động của ánh x ạ T : c —»■ H nếu T x * = X*.

K í hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là F ix ( T )

Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho c là tập con lồi

của không gian Hilbert H, T : c ^ H ỉầ một ánh xạ.

Hãy tìm phần tử X* G c sao cho Tx* = X*. (1.12)Việc tìm nghiệm của bài toán (1.12) tương đương với việc giải phương trình toán tử

Tx* — X* = 0.

1.3.2 N g u y ê n lý á n h x ạ co B a n a c h

Định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất

là nguyên lý ánh xạ co Banach Nguyên lý đã dựa trên quá trình lặp để tìm điểm bất động của ánh xạ co và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp Trước khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức về không gian metric

Đ ịn h n g h ĩa 1.10 Ta gọi là không gian metric một tập hợp 1 ^ 0 cùng

với ánh xạ d : X X X —>• R thỏa mãn các tiên đề sau đây:

Không gian metric được kí hiệu M = (X , d).

Đ ịn h n g h ĩa 1.11 Cho không gian metrỉc M = ( X, d) dãy điểm {xn} c

X , điểm Xo £ X Dãy điểm {xn} gọi là hội tụ tới điểm Xo trong không gian M khi n —> oo, nếu:

Đ ịn h n g h ĩa 1.13 Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian đầy

(đầy đủ), nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.

Đ ịn h n g h ĩa 1.14 ; Cho hai không gian metric Mị = ( X , d 1) , M 2 =

(Y, d2) ■ T là ánh xạ từ không gian Mị vào không gian M 2 gọi là ánh xạ

co, n ế u t ồ n t ạ i s ố k , 0 < k < 1 s a o cho:

d ( T x , T y ) < kd ( x , y ) , \/x ,y £ X

Cho X là một tập bất kì và ánh xạ T : X —»• X Lấy bất kì x ữ e X,

ta định nghĩa dãy { T nx o} bằng quy nạp như sau:

Đặt X q = T ữx ữ, ta có T x ữ = T (T °xo) , T 2X q = T [Txo ), Cứ tiếp tục quá trình đó ta được T nx ữ = T (T n_1x0) Ta gọi T nx Q là bước lặp thứ n của T x0, và tập { T nx0 : n = 0, 1, 2, .} là quỹ đạo của x 0 bởi T.

Đ ịn h lý 1.9 (B a n a c h 1922) Cho (X, d) là một không gian Metric đầy

đủ và T là một ánh xạ co trong X Khi đó, tồn tại duy nhất X* G X mà

T x * = X* Ngoài ra, với mọi x 0 E X ta có T nx0 —> X* khỉ n —> 00

C h ứ n g m in h Lấy XQ tùy ý trong X và đặt X n + 1 = T x n với n = 0, 1,

Từ đó 0 < d (ж*, Тж*) < 0, suy ra d (ж*, T x t ) = 0, tức là Tæ* = Æ* Vậy ж* là điểm bất động của ánh xạ T.

Nếu còn у* €E X mà Ty* = y* thì ta có

d (ж*,у*) < d (Tx*,Ty*) < kd (z*,y*)

Vì к < 1 nên d = 0 và ж* = y*

Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý được chứng minh ■

V í d ụ 1.4 Cho ánh xạ T : M —¥ Ш xác định bởi T x — —X + 2 Khi đó,

\ T ( x ) - T ( y ) \ < k \ x - y\, Vk € 1 ) С [0; 1)

Do đó, T là ánh xạ co và T có điểm bất động duy nhất I * = 3 G к Ta chọn Xo = 0 G R , dãy {жп} được xác định bằng quy nạp như sau:

Ta thấy

71 — 1

= 3 Suy ra

-lim x n = 3.

Như vậy, dãy { x n} hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ T.

C h ú ý 1.2 Nếu ánh xạ không giãn T : X —»• X có điểm bất động thì

nó có thể không duy nhất và dãy { x n } được xác định bởi X n+1 = T x n

với n = 0,1,2, có thể không hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ T

V í d ụ 1.5 Cho ánh xạ T : M —»■ M xác định bởi T x = 6 — X có điểm bất động duy nhất X* — 3 € M Với X, y € M, ta có

Như vậy, dãy {x n} không hội tụ đến điểm bất động duy nhất I* = 3 G M của ánh xạ T.

IT x - T y I = 1(6 - x) - (6 - y) I = \ x - y \ Như vậy, T là ánh xạ không giãn.

Khi đó, ta cho x 0 = 6, dãy { x n} được xác định như sau

hội tụ đến một điểm bất động của T.

Hầu hết các nghiên cứu về phương phán lặp Mann với dãy {xn} được xác định bởi:

ở đây c là tập lồi, đóng trong H, Pc là phép chiếu mêtric từ H lên c

Họ chứng minh được rằng, nếu dãy {/3n} bị chặn trên bởi 1 thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.15) hội tụ mạnh về P p i x ự ) (^o)- Phương pháp này

có nhược điểm là việc tính toán hình chiếu của x 0 lên giao của hai tập lồi, đóng bất kì Cn và Qn gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên vẫn đảm bảo

được sự hội tụ mạnh của dãy {xn}

1.3.4 P h ư ơ n g p h á p lặ p H a lp e rn

Phương pháp lặp Halpern được Halpern đề xuất năm 1967 có dạng:

Z»+1 = a nu + (1 - <*„) T (x„ ) , n = 0,1, 2, (1.16)

ở đây c là tập lồi, đóng trong không gian Hilbert H, T : c —> c là ánh

xạ không giãn, u, x ữ G c, { an} c (0; 1) Halpern đã chứng minh rằng nếu Oír n ữ Ễ (0,1) thì dãy { x n} xác định bởi (1.16) hội tụ mạnh

về một điểm bất động của ánh xạ T.

Để tìm điểm bất động của ánh xạ T trên c,Alber đã đề xuất phương pháp sau:

X n +1 = Pc {xn - ự n ự - T ) x n) , n = 0, 1, 2, x ữ e c.

trong đó, I là toán tử đơn vị trong H và ông đã chứng minh được rằng nếu dãy số thực dương {ịin} được chọn sao cho ịin —> 0 khi n —»• oo và dãy { x n} bị chặn thì

1) Tồn tại một điểm tụ yếu I , g C của {xn}

2) Tất cả các điểm tụ yếu của {xn} thuộc Fi x ( T )

3) Nếu Fi x (T) chỉ gồm một điểm, tức là Fi x (T ) = {a;*} thì dãy { x n} hội tụ yếu đến X*.

K ế t lu ậ n chư ơ ngTrong Chương 1, chúng ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng về không gian Hilbert, ánh xạ co, ánh xạ không giãn Đồng thời, chương này cũng trình bày về sự tồn tại điểm bất động, các phương pháp lặp xấp xỉ điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co Banach, phương pháp lặp Mann, Halpern

Chương 2

B ài toán bất đẳng thứ c biến phân

Trong chương này, chúng ta sẽ đi trình bày về phương pháp điểm

bất động để giải bài toán bất đẳng thức biến phân (VI), cụ thể là dùng

nguyên lý ánh xạ co Banach giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và kết hợp với dùng ánh xạ điểm gần kề để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Các kiến thức trong chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu [2], [3], [5], [6], [9]

2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau:

Cho c là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H,

F : c —»■ H là ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân(viết tắt

là (VI)) là bài toán:

Tìm điểm X* € c : (F (a:*), X — X*) > 0, Va; ẽ c

Tập nghiệm của bài toán (VI) kí hiệu là Sol ( V I (C, F ) )

V í d ụ 2.1 Cho ánh xạ F : [0; 4] —» M được xác định bởi F (x) = X — 2

Bài toán (VI) là: