Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2015... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội-2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp đỡ vàhướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiệnluận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếpcận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâusắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2015

Học viên

Vũ Thị Thanh Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2015

Học viên

Vũ Thị Thanh Huyền

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các không gian Lp 4

1.1.1 Không gian vectơ L1[a, b] 4

1.1.2 Tích phân trong L1[a, b] 8

1.1.3 Không gian Lp[a, b] 14

1.1.4 Không gian L N 1 [a, b] 16

1.2 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu* 16

1.2.1 Không gian đối ngẫu 16

1.2.2 Tôpô yếu 17

1.2.3 Hội tụ yếu 18

1.2.4 Bổ đề Mazur 18

1.2.5 Tôpô yếu* 19

Chương 2 Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục 20

2.1 Phát biểu bài toán 20

2.2 Tập nghiệm 23

2.3 Định lý đối ngẫu 33

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục (The theory ofcontinuous-time linear programming problem) đã nhận được sự quantâm từ lâu Tyndall [16] đã nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tínhvới các ma trận hằng có nguồn gốc từ “bài toán cổ chai” (the ‘bottleneckproblem’) do Bellman [7] đưa ra Levinson [9] đã khái quát các kết quảcủa Tyndall bằng cách xét các ma trận phụ thuộc thời gian trong đócác hàm số trong hàm mục tiêu và các ràng buộc được gỉa thiết là liêntục trên một đoạn Từ đó đến nay đã có nhiều tác giả nghiên cứu bàitoán quy hoạch tuyến tính liên tục, ví dụ như: Meidan và Perold [10],Papageorgiou [11], Anderson và cộng sự [3]-[6], Fleischer và Sethuraman[8], Pullan [12]-[13], Zalmai [18]-[19]

Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụngcủa chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: "Bài toán quy hoạch tuyếntính liên tục"

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục dựa trên nhữngtài liệu đã có Phân tích bài toán và sau đó nghiên cứu các khía cạnh cơbản của bài toán như: Điều kiện tồn tại nghiệm, đối ngẫu, tính ổn định

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục: Sự tồn tại nghiệm, đối ngẫu,hàm gía trị tối ưu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tíchhàm, tôpô, độ đo: Các không gian Lp, không gian đối ngẫu, tôpô yếu,tôpô yếu*, hội tụ yếu và một số định lý, bổ đề quan trọng trong giảitích Những kiến thức này được sử dụng để trình bày các khái niệm vàcác tính chất quan trọng bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục Cáckhái niệm này ta có thể tìm thấy trong [1] và [2]

1.1 Các không gian Lp

1.1.1 Không gian vectơ L1[a, b]

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm khả tích) Một hàm (đo được) f : [a, b] → Rđược gọi là khả tích nếu

Z b a

|f (x)|dx < ∞



Chúng tôi chỉ xét tích phân Rabf (x)dx dưới giả thiết f ∈ L1[a, b] Chohàm f liên tục từng phần, chúng tôi thử lại điều kiện (1.1) dùng tíchphân Riemann:

Ví dụ 1.1.1 (Điều kiện L1[a, b]) Chúng tôi xét các hàm khác nhau

và kiểm tra mặc dù chúng thuộc L1[a, b]

|f (x)|dx =

Z 1 0

|2x|dx +

Z 2 1

1

|x|dx =

Z α 1

1

xdx = lnα → ∞ khi α → ∞,đều này chỉ ra rằng

Z ∞ 1

|f (x)|dx = ∞

Suy ra f /∈ L1[a, b]

|f (x)|dx =

Z 4 0

1

2√

xdx = [

√x]40 = 2 < ∞,

Thì f (x) = g(x), trừ x ∈ {1, 2} Do đó f ∼ g.

(ii) Các tập N, Z, Q là đếm được Nói riêng, các hàm

f (x) = x,h(x) =

Với đồng nhất thức trong (1.2), tồn tại chỉ một phần tử f thỏa mãn

|f |1 = 0 và k · · · k1 được định nghĩa là chuẩn:

Định lý 1.1.1 (Chuẩn trong L1[a, b]) Các hàm đồng nhất mà tươngđương theo nghĩa (1.2), biểu thức

|f |1 :=

Z b a

được định nghĩa là một chuẩn trên L1[a, b]

Chứng minh Rõ ràng k · · · k1 thỏa mãn điều kiện (ii) trong định nghĩachuẩn

Với f, g ∈ L1[a, b], bất đẳng thức tam giác chỉ ra rằng

kf + gk1 =

Z b a

|f (x) + g(x)|dx

≤

Z b a

|f (x) + g(x)|

dx

=

Z b a

|f (x)|dx +

Z b a

|g(x)|dx

= kf k1 + kgk1,

điều kiện (iii) trong định nghĩa chuẩn cũng được thỏa mãn Ta thấyphương trình kf k1 = 0 chỉ đúng cho các hàm trong lớp tương đương với

f = 0 Hoàn thành chứng minh định lý

1.1.2 Tích phân trong L1[a, b]

Bổ đề 1.1.2 (Bổ đề Fatou) Cho fn : [a, b] → [0, ∞], n ∈ N là mộtdãy các hàm khả tích Khi đó hàm lim inf

n→∞ f khả tích và

Z b a

lim inf

n→∞ fn(x)dx ≤ lim inf

n→∞

Z b a



0 nếu x /∈



0, 1n



lim inf

n→∞ fn(x)dx = 0

Mặt khác, với mọi n ∈ N,

Z b a

fn(x)dx = 1

Thật vậy, trong trường hợp này

Z b a

lim inf

n→∞ fn(x)dx < lim

n→∞

Z b a

f (x) = 0

Chúng tôi muốn tìm các điều kiện trên dãy các hàm {hk}∞k=1 trên[a, b] thỏa mãn

Z b a

Cho một dãy các hàm đơn điệu tăng của các hàm dương thỏa mãn cácđiều kiện của Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue sau:

Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue) Giả sử rằng

fn : [a, b] → [a, b], n ∈ N là một dãy tăng của các hàm đo được, tức là

f1(x) ≤ f2(x) ≤ , với mọi x ∈ [a, b] (1.7)Thì

lim

n→∞

Z b a

fn(x)dx =

Z b a

hk(x)dx

Với hàm fn không cần điều kiện dương, ta cần mở rộng điều kiện để(1.6) đúng Các điều kiện này có thể thiết lập dựa trên Định lý hội tụtrội Lebesgue

Định lý 1.1.3 Định lý hội tụ trội Lebesgue Cho trước f : [a, b] →

R Giả sử rằng fn : [a, b] → R, n ∈ N là một dãy các hàm (đo được) thỏa

(i) fn(x) → f (x) theo điểm khi n → ∞,

(ii) Tồn tại hàm g khả tích, dương thỏa mãn

|fn(x)| ≤ g(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b], (1.8)Thì f khả tích và

lim

n→∞

Z b a

fn(x)dx =

Z b a

f (x)dx

Trước khi chỉ ra ứng dụng của Định lý 1.1.3, ta phát biểu Định lýthay thế, trong đó dãy các hàm fn được thay bằng họ các hàm fδ, biểudiễn bởi tham số δ > 0

Định lý 1.1.4 (Định lý hội tụ trội Lebesgue) Cho f : [a, b] → R.Giả sử rằng với mỗi δ > 0, một hàm (đo được) fδ : [a, b] → R cho trước

và thỏa mãn

(i) fδ → f từng điểm khi δ → 0,

(ii) Tồn tại hàm g khả tích, dương thỏa mãn

|fδ(x)| ≤ g(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b], (1.9)Thì f khả tích và

lim

δ→∞

Z b a

fδ(x)dx =

Z b a

|hk(x)|dx < ∞ (1.10)

Z b a

Z b a

g(x)dx =

Z b a

|hk(x)|dx,

g ∈ L1[a, b] Từ Định lý 1.1.3

lim

n→∞

Z b a

fn(x)dx,tức là

Z b a

hk(x)dx

Hoàn thành chứng minh

Ta áp dụng quy trình trong Định lý 1.1.5 vào trường hợp cụ thể

Ví dụ 1.1.5 (Đổi thứ tự lấy tích phân và tổng) Xét hàm

(−1)k+1

k2 χ[k,k+1](x)

dx =

Z b a

∞

X

k=1

1

k2χ[k,k+1](x)