Mối quan hệ giữa hình học sơ cấp trong chương trình trung học phổ thông và hình học xạ ảnh

Chương 1Thể hiện xạ ảnh của một số khái niệm của hình học sơ cấp trong chương trình toán học phổ thông trung học Ta kí hiệu AnPR = PnR\W là mô hình xạ ảnh của không gian afin thực n chiề

PGS TS T¹ M©n T¹ Kim L¨ng Ph¹m Hoμng Hμ

Mèi quan hÖ gi÷a h×nh häc s¬ cÊp

trong ch−¬ng tr×nh trung häc phæ th«ng

vμ h×nh häc x¹ ¶nh

Mở đầu

Như chúng ta đã biết : Từ một không gian afin n chiều An ta có thể xây dựng một không gian xạ ảnh n chiều Pn ( mô hình afin của không gian xạ ảnh) bằng cách thêm vào không gian afin An những điểm ”xa vô tận” và ngược lại từ một không gian xạ ảnh n chiều Pn ta có thể xây dựng một không gian afin n chiều

An hay không gian ơclít n chiều En ( mô hình xạ ảnh của không gian afin hay mô hình xạ ảnh của không gian ơclít) bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó củaPn ( siêu phẳng này được coi là ”siêu phẳng vô tận”) Như vậy, không gian afin hay không gian ơclít và không gian xạ ảnh có mối quan hệ mật thiết với nhau và vì thế cho nên, giữa hình học sơ cấp trong chương trình phổ thông trung học và hình học xạ ảnh cúng có những mối liên hệ mật thiết với nhau Các mối quan hệ đó được thể hiện trong các phần được trình bày chi tiết tiếp theo sau

5 Dùng hình học sơ cấp có thể giải các bài toán của hình học xạ ảnh.

6 Từ một bài toán hay từ một định lí của hình học sơ cấp có thể suy ra các bài toán hay các định lí của hình học sơ cấp.

Chương 1

Thể hiện xạ ảnh của một số khái niệm của hình học sơ cấp trong chương trình toán học phổ thông trung học

Ta kí hiệu AnP(R) = Pn(R)\W là mô hình xạ ảnh của không gian afin thực

n chiều, trong đó W là siêu phẳng vô tận và EnP = AnP(R) là mô hình xạ ảnh

của không gian Ơclít( Euclid) n chiều với cái tuyệt đối Ω ( siêu mặt trái soan

ảo nằm trong siêu phẳng vô tận W Trường hợp n = 3 thì Ω là một đường bậc

hai rỗng, gọi là đường rốn củaE3P Trường hợp n = 2 thì Ω là một cặp điểm ảo liên hợp (I, J) gọi là cặp điểm xyclic của E2P).

Một hình HA củaAnP(R) ( Hình HE củaEnP) sẽ được gọi là sinh ra bởi hình

HP của Pn(R) nếu HA = HP ∩ AnP(R) = HP\W (HE = HP ∩ EnP = HP\W ).

Ta kí hiệu tắt EnP(R) là EnP và AnP(R) là AnP.

Mỗi hình HP không nằm trong W sinh ra một hình HA(HE) duy nhất

không rỗng Nếu hình HP là tập hợp các điểm có toạ độ xạ ảnh thuần nhất

fm(x0, x1, , xn) = 0

thì hình HA(HE) là tập hợp các điểm có toạ độ xạ ảnh không thuần nhất

(X1, X2, , Xn) ( nếu phương trình của W là x0 = 0) thoả mãn hệ phương trình:

x0,x2

x0, ,xn

x0) = 0

đối với toạ độ xạ ảnh thuần nhất.

Sau đây là thể hiện xạ ảnh của một số khái niệm cơ bản của hình học sơ cấp ở chương trình phổ thôngtrung học trong mô hình xạ ảnh của không gian

A fin thực AnP hay trong mô hình xạ ảnh của hình học Ơclít EnP, ( n = 1, 2, 3): 1- Mỗi m- phẳng αA, (αE) của AnP ( EnP) sinh ra bởi một và chỉ một m - phẳng αp của Pn và ngược lại.

2- Hai đường thẳng phân biệt song song của AnP được sinh ra bởi hai đường thẳng phân biệt của Pn cắt nhau trên W của AnP.

3- Một m - phẳng và một k - phẳng (1 a m a k a 2) song song với nhau

khi và chỉ khi chúng sinh ra bởi một m - phẳng và một k - phẳng cắt nhau theo

một (m - 1) - phẳng trên siêu phẳng vô tận W.

4- Hai đường thẳng của A3P chéo nhau khi và chỉ khi chúng sinh ra bởi hai

đường thẳng xạ ảnh không có điểm chung.

5- Mỗi phương một chiều của AnP tương ứng với một và chỉ một điểm của

siêu phẳng vô tận W Ngược lại mỗi điểm của W xác định một và chỉ một phương một chiều của AnP Nếu điểm M thuộc W có toạ độ xạ ảnh là M = (

0 : x1 : : xn ) thì phương 1 chiều ứng với điểm M được xác định bởi véc tơ

m = (x1, x2, , xn) của Rn

6- Nếu A , B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng trong AnP và D là điểm vô tận của đường thẳng xạ ảnh A B thì tỉ số đơn A fin [A BC] bằng tỉ số kép xạ ảnh [A BCD].

7- Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng A B trong AnP khi và chỉ khi đường thẳng xạ ảnh A B cắt siêu phẳng vô tận W tại D sao cho [A BCD] = - 1.

8- Nếu A , B, C, D là bốn điểm thẳng hàng trong AnP sao cho A , B, C phân biệt từng cặp và B, D, A phân biệt từng cặp thì tỉ số kép A fin (A BCD) bằng tỉ

số kép xạ ảnh [A BCD].

9- Điểm C là điểm trong ( điểm ngoài) của đoạn thẳng A B trong AnP khi và chỉ khi đường thẳng xạ ảnh A B cắt siêu phẳng vô tận W tại D sao cho [A BCD]

< 0 ([A BCD] > 0).

10- Phép biến đổi f : AnP ư→ AnP là phép tịnh tiến khi và chỉ khi nó sinh

ra bởi một thấu xạ đặc biệt F : Pn ư→ Pn có siêu phẳng cơ sở là W, ngoài ra tâm thấu xạ O ∈ W của f xác định phương tịnh tiến.

11- Phép biến đổi f : AnP ư→ AnP là phép vị tự tâm O tỉ số k khi và chỉ khi

nó sinh ra bởi một thấu xạ tâm O ∈ W với siêu phẳng cơ sở là siêu phẳng vô

tận W và tỉ số 1k.

12- Mỗi siêu phẳng bậc hai xạ ảnh SP không chứa W sinh ra một siêu mặt bậc hai A fin SA ( một siêu mặt bậc hai Ơclít SE) với SA = SE = Sp\ W

13- Mỗi siêu mặt bậc hai SA của AnP ( Siêu mặt bậc hai SE của EnP) sinh

ra bởi một siêu mặt bậc hai xạ ảnh SP của Pn, trong đó SP không chứa W 14- Hai siêu mặt bậc hai afin SA và SA cùng loại afin khi và chỉ khi hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh SP và SP ( sinh ra chúng) cùng loại xạ ảnh và SP∩W, SP∩W

là hai siêu mặt cùng loại xạ ảnh của không gian Pnư1 = W

15- Đường bậc hai SA ( hay SE) trong AnP (EnP) là đường elíp khi và chỉ khi đường bậc hai xạ ảnh sinh ra nó SP là đường ôvan và SP không cắt đường

chỉ khi đường bậc hai xạ ảnh sinh ra nó SP là đường ôvan và SP cắt W tại hai

điểm phân biệt ( Hình 3).

18- Đường bậc hai SE trong EnP là đường tròn khi và chỉ khi đường ôvan xạ ảnh SP sinh ra nó đi qua hai điểm xyclíc I, J trên đường thẳng vô tận W (

Hình 4).

19- Đường bậc hai SE trong EnP là đường hypebol vuông khi và chỉ khi

đường ôvan xạ ảnh SP sinh ra nó cắt W tại hai điểm M, N sao cho [MNIJ] = -1 (Hình 5).

20- Nếu aE và bE của EnP có hai phương xác định bởi hai điểm vô tận A

và B và đường thẳng A B cắt cái tuyệt đối Ω tại hai điểm ảo liên hợp I, J thì góc

ϕ giữa aE và bE được tính theo công thức Laghe ( Laguerre):

cosϕ =| cos( 1

2iln[ABIJ]) |

21- Hai đường thẳng aE và bE trong EnP vuông góc khi và chỉ khi hai đường thẳng xạ ảnh aP và bP sinh ra chúng lần lượt cắt W tạ A , B sao cho [A BIJ] = -1.

22- Mặt bbậc hai SE củaEnP là mặt cầu khi và chỉ khi siêu mặt bậc hai xạ

ảnh SP sinh ra SE chứa cái tuyệt đối Ω.

23- Điểm O là tâm của SA khi và chỉ khi O liên hợp với mọi điểm của W

đối với SP Nói riêng nếu SA không suy biến thì O là tâm của SA khi và chỉ khi O là cực của W đối với SP.

24- Phương một chiều c của AnP là phương tiệm cận của SA khi và chỉ khi

c xác định một điểm vô tận C của SP ( tức C ∈ SP ∩ W ).

25- Nếu phương một chiều c của AnP không phải là phương tiệm cận của

SA và được xác định bởi điểm vô tận C∈ SP thì siêu phẳng kính liên hợp αA

của SA đối với phương c được sinh ra bởi siêu phẳng đối cực αC của C đối với

SP .

26- Siêu phẳng afin αA là siêu phẳng tiếp xúc của SA tại điểm M ∈ αA khi

và chỉ khi αA là siêu phẳng tiếp xúc của SP tại điểm M ∈ SP .

27- Phép biến đổi afin fE: EnP ư→ EnP là phép đối xứng thẳng góc qua siêu phẳng αE của EnP khi và chỉ khi fE sinh ra bởi phép thấu xạ đối hợp fP củaPn

qua 0- cặp (G, α), trong đó αP là siêu phẳng xạ ảnh sinh ra αE còn G là cực của ( n - 2) - phẳng β = W ∩ αP đối với cái tuyệt đối Ω.

Từ đó ta có thể diễn tả được mọi phép dời hình trong EnP vì phép dời hình

là hợp của một số hữu hạn các phép đối xứng qua siêu phẳng.

Từ 11) và 27) ta có thể diễn tả mọi phép đồng dạng trong EnP vì một phép

đồng dạng là hợp của một phép dời hình và phép vị tự.

28- Phép biến đổi afin fE: EnP ư→ EnP là một phép đồng dạng khi và chỉ khi nó được sinh ra bởi biến đổi xạ ảnh fP của Pn giữ bất động cái tuyệt đối Ω 29- Trục đối xứng ∆E của parabol SE được thể hiện bởi đường thẳng xạ

ảnh ∆P đi qua tiếp điểm U của W với SP và có cực là điểm T sao cho [UTIJ]

= -1 (Hình 6).

30- Hai trục đối xứng ∆1E, ∆2E của elíp hay của hypebol SE được thể hiện bởi hai đường thẳng xạ ảnh ∆1P, ∆2P cùng đi qua cực O của W đối với SP, liên hợp với nhau đối với SP và lần lượt cắt W tại hai điểm V1 và V2 sao cho [V1V2IJ]= -1 ( Hình 7).

31- Tiêu điểm F của parabol SE trong E2p được thể hiện bởi giao điểm F của hai tiếp tuyến xuất phát từ hai điểm xyclíc I, J đến SP trong P2(R) ( Hình

32- Hai tiêu điểm F1, F2 của elíp hay hypebol SE trong E2p được thể hiện bởi hai điểm thực F1, F2 trong bốn giao điểm của bốn cặp tiếp tuyến xuất phát

từ hai điểm xyclíc I, J đến SP trong P2(R) ( Hình 9).

33- Đường chuẩn ∆E ứng với tiêu điểm F của đường côníc SE trong E2p

được thể hiện bởi đường đối cực ∆P của điểm F đối với đường ôvan SP trong

P2(R) (Hình 10).

Chương 2

Từ một bài toán hay từ một định lí của

hình học sơ cấp có thể suy ra một bài toán hay một định lí của hình học xạ ảnh

Giả sử ta có một bài toán hay một định lí về các đối tượng nào đó của hình học sơ cấp ( HHSC) trong không gian afin hay không gian Ơclít Bằng cách

thêm các điểm vô tận vào trong không gian đó ta được một không gian xạ ảnh

mà khi bỏ đi các điểm vô tận ta được một mô hình xạ ảnh của không gian afin

hay của không gian Ơclít Khi đó các đối tượng của HHSC trong không gian afin hay trong không gian Ơclít sẽ được diễn đạt thành các đối tượng của hình học xạ ảnh ( HHX A ) và như thế ta được một bài toán hay một định lí của hình học xạ ảnh.

Sau đây, ta sẽ làm sáng tỏ điều trên thông qua việc tìm ra các bài toán hay các định lí của HHX A từ một số bài toán hay định lí của HHSC.

2.1 Định lí HHSC 1.

Ba đường trung tuyến của một tam giác thì đồng qui.

Nếu thêm các điểm vô tận vào mặt phẳng afin ta được mặt phẳng xạ ảnh Khi đó các trung điểm A ’, B’, C’ của các cạnh BC, CA , A B của tam giác A BC trở thành các điểm xạ ảnh sao cho

[B, C, A , A1] = [C, A, B , B1] = [A, B, C , C1] = ư1

Trong đó A1, B1, C1 lần lượt là các điểm vô tận của các đường thẳng BC, CA

và A B.

Nhưng trong mặt phẳng xạ ảnh, các điểm vô tận nằm trên một đường thẳng

và bình đẳng như những điểm khác Bởi vậy ta có các định lí xạ ảnh sau đây:

Định lí HHXA 1.

Cho ba điểm không thẳng hàng A , B, C và một đường thẳng d không đi qua chúng cắt các đường thẳng BC, CA , A B lần lượt tại A1, B1, C1 Gọi A ’, B’, C’ là các điểm sao cho

sau đây của HHX A :

Định lí HHXA 2 Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm

trên một đường chéo chia điều hoà cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo còn lại.

2.3 Bài toán HHSC 3.

Trong mặt phẳng cho đường tròn (S) và tiếp tuyến d tại điểm T Gọi A và B thuộc d đối xứng với nhau qua T và khác T Một đường thẳng qua A cắt (S) tại hai điểm P, Q và một đường thẳng đi qua B cắt (S) tại hai điểm U, V Đặt

M = d∩ P U, M = d ∩ QV, N = d ∩ P V, N = d ∩ QU Chứng minh rằng T là

trung điểm của các đoạn thẳng MM’ và NN’.

Bổ sung vào mặt phẳng Ơclít E2 đường thẳng vô tận W ta được mặt phẳng

xạ ảnh P2(R) và ta xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít E2P Khi đó

đường tròn (S) được thể hiện bởi một đường ôvan (SP) đi qua hai điểm ảo liên hợp I, J nào đó nằm trên đường thẳng W, còn hai điểm A , B thì chia điều hoà tiếp điểm T của đường thẳng d và điểm vô tận E của d, tức là [A , B, T, E] = -1.

V ậy từ bài toán HHSC trên ta suy ra bài toán HHX A sau:

Bài toán HHXA 3. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) ( có bổ sung phần tử

ảo) cho một đường ôvan (SP) cắt một đường thẳng W tại hai điểm ảo liên hợp

I, J và tiếp xúc với đường thẳng d tại T Lấy hai điểm phân biệt A , B trên d sao cho [A , B, T, E] = -1, E = d ∩ W Một đường thẳng qua A cắt (SP) tại hai

điểm phân biệt P, Q và một đường thẳng đi qua B cắt (SP) tại hai điểm U, V.

Đặt M = d ∩ P U, M = d ∩ QV, N = d ∩ P V, N = d ∩ QU Chứng minh rằng

[M, M , T, E] = [N, N , T, E] =ư1.

2.4 Bài toán HHSC 4.

Trong mặt phẳng cho một hypebol H Một tiếp tuyến bất kì của H cắt hai đường

tiệm cận của H tại hai điểm A, B Gọi a, b là hai đường thẳng song song lần

lượt đi qua A và B chứng minh rằng hai tiếp tuyến song song với a, b của H

chia điều hoà cặp đường thẳng ( a, b).

Khi thêm vào mặt phẳng afin thực A2 đường thẳng vô tận W ta được mặt phẳng xạ ảnh P2(R) Khi đó đường hypebol H được thể hiện bởi đường ôvan

xạ ảnh HP đi qua hai điểm phân biệt P, Q của W, còn a, b thể hiện bởi đường thẳng ( ta cũng kí hiệu là a, b) cắt nhau tại một điểm C ∈ W Vậy từ bài toán

HHSC4 ta suy ra bài toán HHX A sau đây:

Bài toán HHXA 4. Trong mặt phẳng P2(R) cho đường ôvan (SP) cắt một

đường thẳng W cho trước tại hai điểm phân biệt P, Q Gọi A , B là hai giao điểm của một tiếp tuyến bất kì của (SP) với hai tiếp tuyến tại P, Q C là một điểm bất kì nằm trên W và khác với P, Q Chứng minh rằng hai tiếp tuyến kẻ từ C của (SP) chia điều hoà cặp đường thẳng CA , CB.

2.5 Bài toán HHSC 5.

Trong mặt phẳng, tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến một đường côníc (S) cho trước.

Bổ sung vào mặt phẳng Ơclít E2 đường thẳng vô tận W ta được không gian xạ ảnhP2(R) Chọn hai điểm ảo liên hợp I, J trên W làm hai điểm cyclíc để xây

dựng E2 = P2(R) \ W thành một mô hình xạ ảnh của hình hoc Ơclít Khi đó

đường côníc (S) được thể hiện bởi một đường ôvan (SP), hai tiếp tuyến vuông góc kẻ từ M đến (S) được thể hiện bởi hai tiếp tuyến MT, MT’ của (SP) ( T và T’ là hai tiếp điểm ) sao cho [MI, MJ, MT, MT’] = -1, tức MT liên hợp với MT’

đối với (SP) V ậy bài toán HHSC5 qui về bài toán HHX A 5 sau đây.

Bài toán HHXA 5. Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) ( có bổ sung phần

tử ảo) cho đường ôvan (SP) và hai điểm ảo liên hợp I, J Tìm quỹ tích các điểm

M sao cho MI, MJ liên hợp với nhau đối với (SP).

điểm của đường bậc hai (SP) với W V ậy từ bài toán trên ta suy ra bài toán của HHX A sau:

Bài toán HHXA 6. Trong mặt phẳng P2(R) cho bốn điểm A, B, C, D trong

đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một điểm E không thuộc các đường thẳng A B, BC, CD, DA , A C, BD và E nằm trên một đường thẳng W không đi qua các điểm A , B, C, D.

a) Chứng minh rằng có duy nhất một đường bậc hai (SP) đi qua A , B, C,

D hoặc tiếp xúc với W tại E hoặc cắt W tại hai điểm phân biệt trong đó E là một trong hai giao điểm.

b) Trong trường hợp (SP) cắt W tại hai điểm phân biệt, chỉ dùng thước hãy

dựng các giao điểm đó và các đường đối cực của hai điểm này nếu chỉ cho biết năm điểm A , B, C, D, E của (SP) và đường thẳng W qua E.

2.7 Bài toán HHSC 7.

Chứng minh rằng nếu một hình bình hành nội tiếp hoặc ngoại tiếp một đường elíp hoặc hypebol thì tâm của nó trùng với tâm của elíp hoặc hypebol đó.

Trong mô hình xạ ảnh của hình học afin A2P(R), đương elíp hay hypebol

với tâm O được thể hiện bởi một ôvan xạ ảnh (SP) không cắt hoặc cắt đường thẳng vô tận W tại hai điểm phân biệt và O là cực của W Đường thẳng afin tiếp xúc với đường elíp hay hypebol được thể hiện bởi tiếp tuyến của đường ôvan (SP) V ậy từ bài toán HHSC7 trên ta suy ra bài toán HHX A 7 sau đây:

Bài toán HHXA 7. Trong P2(R) cho đường ôvan (SP) không có điểm chung hoặc cắt một đường thẳng W cho trước tại hai điểm phân biệt Một hình bốn đỉnh toàn phân A BCD nội tiếp đường ôvan (SP) hoặc ngoại tiếp (SP) ( tức

là các cạnh A B, BC, CD, DA là các tiếp tuyến của (SP) ) và P = AB ∩ CD, Q

= BC ∩ DA đều thuộc W Chứng minh rằng O = AC ∩ BD là cực của đường

thẳng W.

2.8 Bài toán HHSC 8.

Trong mặt phẳng, chứng minh rằng nếu hai tiếp tuyến tại hai điểm A và B của một parabol cắt nhau tại C thì phương của đường thẳng nối C với trung điểm

A B là phương tiệm cận của parabol.

Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin A2(R), đường parabol được thể

hiện bởi một ôvan xạ ảnh (SP) tiếp xúc với đường thẳng vô tận W tại một điểm

U Khi đó điểm U xác định phương tiệm cận của parabol, trung điểm của A B

được thể hiện bởi điểm M sao cho [A BMN] = -1 ( ở đây N = AB ∩ W , tức là

điểm vô tận của đường thẳng A B) V ậy bài toán HHSC 8 trên suy ra bài toán HHX A 8 sau:

Bài toán HHXA 8. Trong P2(R) cho một đường ôvan (SP) tiếp xúc với một đường thẳngW cho trước tại một điểm U Hai tiếp tuyến tại hai điểm A , B của (SP) cắt nhau tại C M là một điểm thuộc A B sao cho [A BMN] = -1, ở đây

N = AB ∩ W Chứng minh rằng đường thẳng CM qua U.

2.9 Bài toán HHSC 9.

Chứng minh rằng nếu hai điểm A , B nằm trên một parabol thẳng hàng với tiêu

điểm của nố thì hai tiếp tuyến tại A , B của parabol vuông góc với nhau.

Trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclít E2P = P2(R) \ W với hai điểm

xyclíc I, J nằm trên đường thẳng vô tận W, đường parabol được thể hiện bởi một

ôvan xạ ảnh (SP) tiếp xúc với đường thẳng vô tận W , tiêu điểm F thể hiện bởi giao điểm của hai tiếp tuyến ảo liên hợp kẻ từ I, J Hai tiếp tuyến của parabol

kẻ từ A , B thể hiện bởi hai đường thẳng a và b tiếp xúc với (SP) tại A và B.

V ậy bài toán đưa đến chứng minh tỉ số kép [a ∩ W, b ∩ W, I, J] = -1 và ta có

bài toán HHX A 9 tương ứng sau:

Bài toán HHXA 9. Trong mặt phẳng P2(R) cho ôvan (SP) tiếp xúc với một đường thẳng W cho trước, F là giao điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ hai điểm

I, J cho trước nằm trên W ( hai tiếp tuyến này khác với W ) , A , B là hai điểm nằm trên (SP) sao cho chúng thẳng hàng với F Hai tiếp tuyến a, b tại A , B lần lượt cắt W tại M và N Chứng minh rằng M, N chia điều hoà cặp điểm I, J.

10 ta suy ra bài toán HHX A 10 sau đây:

Bài toán HHXA 10. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) ( có bổ sung phần

tử ảo) cho một đường ôvan (SP), một đường thẳng W và một điểm A không thuộc W Một đường thẳng bất kì qua A cắt (SP) tại hai điểm M1, M2 và cắt W tại một điểm E tìm quỹ tích các điểm M thuộc đường thẳng nói trên sao cho

[M1, M2, M, E] = ư1

2.11 Bài toán HHSC 11.

Trong mặt phẳng, cho elíp (S) và tam giác A BC có các cạnh A B, BC, CA tiếp xúc với (S) lần lượt tại M, N, L Chứng minh rằng

[ABM ].[BCN ].[CAL] = ư1

Gọi W là đường thẳng vô tận trong mô hình xạ ảnh của A2P(R) thì elíp (S)

được thể hiện bởi một ôvan (SP) không có điểm chung với W Một tam giác có các cạnh tiếp xúc với (S) được thể hiện bởi một hình ba đỉnh A BC tiếp xúc với (SP) tại M, N, L Đặt

P = AB ∩ W, Q = BC ∩ W, R = CA ∩ W

Khi đó điều phải chứng minh của bài toán HHSC trên tương đương với việc chứng minh

[ABM P ].[BCN Q].[CALR] = ư1

V ậy ta có bài toán HHX A 11 sau đây:

Bài toán HHXA11 Trong P2(R), cho một ôvan (SP) và một đường thẳng

W không có điểm chung với (SP) Một hình ba đỉnh A BC có các cạnh A B, BC,

CA tiếp xúc với (SP) lần lượt tại M, N, L Gọi P = AB∩ W, Q = BC ∩ W, R =

CA∩ W Chứng minh rằng [ABMP ].[BCNQ].[CALR] = ư1.

2.12 Bài toán HHSC 12.

Chứng minh rằng ba đường cao trong một tam giác đồng quy.

Gọi W là đường thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclíc trong mô hình xạ

ảnh của không gian Ơclít E2P Giả sử A x, By, Cz là ba đường cao của tam giác

A BC Trong mô hình E2P ta có các cặp điểm (Ax∩ W, BC ∩ W ), (By ∩ W, CA ∩

W ), (Cz∩ W, AB ∩ W ) cùng chia điều hoà hai điểm I, J Vậy từ bài toán HHSC

12 trên ta suy ra bài toán HHX A 12 sau:

Bài toán HHXA 12. Trong P2(R) (có bổ sung phần tử ảo) cho một đường

thẳng W và hai điểm phân biệt I, J nằm trên W Giả sử A , B, C là ba điểm không thẳng hàng và không thuộc W Qua A , B, C kẻ các đường thẳng A x, By, Cz sao cho các cặp điểm (Ax∩ W, BC ∩ W ), (By ∩ W, CA ∩ W ), (Cz ∩ W, AB ∩ W )

cùng chia điều hoà hai điểm I, J Chứng minh rằng A x, By, Cz đồng quy.

Giả sử E2P = P2(R) \ W là mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít thực hai

chiều với đường thẳng vô tận W và hai điểm xyclíc I, J nằm trên W Gọi E

=AN ∩ W và F là điểm vô tận của đường thẳng đi qua M và vuông góc với AN

thì [EFIJ] = -1 Từ đó ta có bài toán HHX A như sau:

Bài toán HHXA 13. Trong P2(R) (có bổ sung phần tử ảo) cho ba đường

thẳng phân biệt a, b, W và một điểm A thuộc a nhưng không thuộc W Một

điểm C không thuộc cả a, b, W, hai điểm I, J phân biệt nằm trên W Một đường thẳng biến thiên qua C lần lượt cắt a, b tại M, N gọi E = W ∩ AN Tìm quỹ

tích của các đường thẳng m đi qua M sao cho [m∩ W, E, I, J] = ư1

Gọi W là đường thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclíc trong mô hình xạ

ảnh của không gian Ơclít E2P = P2(R) \ W Đường tròn (S) được thể hiện bởi

đường ôvan (SP) đi qua I và J, các điểm A , B, C, D, E, F, P, Q, R , T, H đều không nằm trên W và [A , B, H, AB ∩ W ] = -1 Từ đó ta suy ra bài toán HHX A

14 sau đây:

Bài toán HHXA 14. Trong mặt phẳng P2(R) ( có bổ sung phần tử ảo ) cho

đường ôvan (SP) cắt một đường thẳng W tại hai điểm ảo liên hợp I và J Gọi A ,

B, C, D , E, F là những điểm nằm trên (SP) mà không thuộc W và H là điểm thuộc đường thẳng A B sao cho H không thuộc W và [A , B, H, W ∩ AB] = -1.

Đặt P = CE ∩ AB, Q = DF ∩ AB, R = CF ∩ AB, T = DE ∩ AB Chứng

minh rằng:

[P, Q, H, W ∩ AB] = [R, T, H, W ∩ AB] = ư1

Bằng phương pháp và các lý luận như những bài toán trên, từ các bài toán HHSC sau đây ta cũng suy ra các bài toán HHX A tương ứng ( Bài toán HHSC n suy ra bài toán HHX A n, n ≥ 15).

2.15 Bài toán HHSC 15.

Chứng minh rằng hình bình hành có hai đỉnh đối diện nằm trên một hypebol và mỗi cạnh song song với một đường tiệm cận của hypebol thì hai đỉnh đối diện còn lại thẳng hàng với tâm của hypebol.

A ’p dụng kết quả trên để dựng tâm và các đường tiệm cận của hypebol bằng thước kẻ khi cho biết trước ba điểm và hai phương tiệm cận của hypebol.

Bài toán HHXA 15. Trong mặt phẳng P2(R) cho đường ôvan (SP) cắt một

đường thẳng W cho trước tại hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A , C thuộc (SP) và không trùng với P, Q Gọi B = AP ∩ CQ, D = CP ∩ AQ Chứng minh

hai điểm B, D thẳng hàng với giao điểm O của hai tiếp tuyến của (SP) tại P và Q.

A ’p dụng kết quả trên để dựng cực của đường thẳng W bằng thước kẻ khi cho trước năm điểm của đường ôvan (SP) trong đó có hai giao điểm của (SP)

và W.

2.16 Bài toán HHSC 16.

Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của một hypebol đều cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm đối xứng với nhau qua tiếp điểm.

Bài toán HHXA 16. Trong mặt phẳng P2(R) cho một đường ôvan (SP) cắt

đường thẳng W cho trước tại hai điểm phân biệt P và Q Một tiếp tuyến tại M của (SP) cắt hai tiếp tuyến tại P và Q lần lượt tại A và B và cắt W tại C Chứng minh rằng [A, B, M, C] = ư1

2.17 Bài toán HHSC 17.

Chứng minh rằng nếu A , B là hai điểm phân biệt nằm trên hypebol và đường thẳng A B cắt hai đường tiệm cận tại C, D thì hai đoạn thẳng A B và CD có cùng

Trong mặt phẳng cho parabol (S) và tam giác A BC có các đường thẳng A B, BC,

CA tiếp xúc với (S) Gọi b’ là đường thẳng qua B và song song với A C, đường thẳng b’ cắt (S) tại H và K Tiếp tuyến tại H và K của (S) cắt nhau tại L Chứng minh rằng LA song song với BC, LC song song với A B.

Bài toán HHXA 18. Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) cho đường ôvan

(SP) tiếp xúc với một đường thẳng W tại O và tiếp xúc với các cạnh A B, BC,

CA của một hình ba đỉnh A BC ( với A , B, C / ∈ W) tại M, N, Q Gọi b’ là đường

thẳng qua B và giao điểm E của đường thẳng A C với W b’ cắt (SP) tại H và K Tiếp tuyến của (SP) tại H và K cắt nhau tại L Chứng minh rằng:

a) LA , BC và W đồng quy.

b) LC, A B và W đồng quy.

2.19 Bài toán HHSC 19.

Trong mặt phẳng cho parabol (S) và tam giác A BC có các đường thẳng A B, BC,

CA tiếp xúc với (S) Gọi P và Q là các tiếp điểm tương ứng của A B và A C với parabol, d là tiếp tuyến của parabol song song với PQ Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.

Bài toán HHXA 19. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) cho ôvan (SP) tiếp xúc với đường thẳng W cho trước và hình ba điểm A BC có các cạnh A B, BC,

CA tiếp xúc với (SP) Gọi P, Q là hai tiếp điểm tương ứng của A B và A C với (SP) d là tiếp tuyến của (SP) đi qua giao điểm D của PQ và W Chứng minh rằng d đi qua điểm I của BC sao cho [B, C, I, BC ∩ W ] = -1.

2.20 Bài toán HHSC 20.

Trong mặt phẳng cho đường tròn (S) đường kính A B và tiếp tuyến d của (S) tại A

C là một điểm nằm trên đường thẳng A B không trùng với A , B Một đường thẳng biến thiên đi qua C cắt (S) tại hai điểm N và N’ Đặt M = d ∩BN, M = d∩BN

Gọi T và T’ là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến ( không trùng với d) kẻ từ M và M’ tới đường tròn (S) Chứng minh rằng:

a) Các điểm D = MT ∩ M’T’ nằm trên một đường thẳng cố định.

b) Các đường thẳng TT’ đi qua một điểm cố định.

Bài toán HHXA 20. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) ( có bổ sung phần tử

ảo ) cho một đường ôvan (SP) cắt với đường thẳng W cho trước tại hai điểm ảo liên hợp I và Jvà một đường thẳng δ đi qua cực O của W cắt (SP) tại hai điểm phân biệt A và B C là một điểm nằm trên δ không trùng với A và B và C/ ∈ W.

Một đường thẳng biến thiên đi qua C cắt (SP) tại hai điểm N và N’ Gọi d là tiếp tuyến của (SP) tại A Đặt M = d ∩ BN, M = d ∩ BN Gọi T và T’ là

các tiếp điểm của hai tiếp tuyến ( không trùng với d) kẻ từ M và M’ tới (SP) Chứng minh rằng:

a) Các điểm D = MT ∩ M’T’ nằm trên một đường thẳng cố định.

b) Các đường thẳng TT’ đi qua một điểm cố định.

2.21 Bài toán HHSC 21.

Trong mặt phẳng cho tam giác A BC có A , B cố định còn C biến thiên trên một

đường thẳng d không đi qua A , B Tìm quỹ tích trực tâm tam giác A BC.

Bài toán HHXA 21. Trong mặt phẳng xạ ảnhP2(R) ( có bổ sung phần tử ảo)

cho một đường thẳng cố định W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W Cho hệ

ba điểm độc lập A , B, C không thuộc W, trong đó A , B cố định còn C biến thiên trên một đường thẳng d không đi qua A và B Đặt M = AC ∩ W, N = BC ∩ W

Tìm quỹ tích các điểm H sao cho [N, N’, I, J] = -1 và [M, M’, I, J] = -1, trong

đó

N = AH ∩ W, M = BH ∩ W

2.22 Bài toán HHSC 22.

Chứng minh rằng một hypebol ngoại tiếp một tam giác A BC là một hypebol vuông khi và chỉ khi trực tâm của tam giác đó thuộc hypebol.

Bài toán HHXA 22. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) ( có bổ sung phần tử

ảo ) cho một đường thẳng cố định W và hai điểm ảo liên hợp I và J nằm trên W Một đường ôvan (SP) cắt W tại hai điểm phân biệt P , Q và ngoại tiếp một hình

ba điểm A , B, C ( A , B, C không thuộc W ) Gọi M, N là hai điểm nằm trên W sao cho [M, BC ∩ W , I, J] = -1 và [N,AC ∩ W , I, J] = -1 và H = AM ∩ BN.

Chứng minh rằng [ P, Q, I, J] = -1 khi và chỉ khi H thuộc (SP).

2.23 Bài toán HHSC 23.

Chứng minh rằng nếu từ một điểm M trên đường chuẩn d ứng với tiêu điểm F của một đường cônic (SE) ta dựng một tiếp tuyến MT của (SE) ( T là tiếp điểm) thì F nhìn đoạn thẳng MT dưới một góc vuông.

Bài toán HHXA 23. Trong mặt phẳng P2(R) ( có bổ sung phần tử ảo) cho

một đường thẳng W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W và một đường ôvan (SP) Gọi F là giao điểm của hai tiếp tuyến ảo liên hợp của (SP) kẻ từ I và J

và d là đường đối cực của F Chứng minh rằng nếu từ một điểm M trên d ta kẻ một tiếp tuyến MT của (SP) ( T là tiếp điểm ) thì hai đường thẳng FM, FT chia

điều hoà cặp đường thẳng ( FI, FJ ).

2.24 Bài toán HHSC 24.

Trong mặt phẳng cho tam giác A BC và một parabol biến thiên tiếp xúc với các

đường thẳng A B, BC, CA theo thứ tự tại các điểm R , P, Q.

a) Chứng minh rằng mỗi đường thẳng biến thiên R P, PQ, QR đi qua một

điểm cố định.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng A P, BQ, CR cùng đi qua một điểm

M Tìm quỹ tích điểm M.

Bài toán HHXA 24. Trong mặt phẳng P2(R) cho đường thẳng W cố định

và một ôvan (SP) biến thiên tiếp xúc với W và các đường thẳng A B, BC, CA

của hệ ba điểm độc lập A , B, C cố định cho trước theo thứ tự tại các điểm I, R ,

Bài toán HHXA 25. Trong mặt phẳng P2(R) cho bốn đường thẳng tứng

đôi một phân biệt W, a, b, d sao cho a và b cắt nhau tại O và lần lượt đi qua hai

điểm A và B ( O, A , B đều không thuộc W ) Một điểm M biến thiên trên d, các

đường thẳng A M, BM theo thứ tự cắt b, a tại C và D Tìm quỹ tích các điểm H sao cho [C, D, H, CD ∩ W ] = ư1.

2.26 Bài toán HHSC 26.

Chứng minh rằng quỹ tích các chân đường vuông góc hạ từ tiêu điểm của một parabol đến một tiếp tuyến thay đổi của parabol là tiếp tuyến tại đỉnh của parabol.

Bài toán HHXA 26. Trong mặt phẳng P2(R) ( có bổ sung phần tử ảo ) cho

một ôvan (SP) tiếp xúc với một đường thẳng cố định W tại một điểm A Trên

W lấy hai điểm ảo liên hợp I và J Hai tiếp tuyến ảo liên hợp kẻ từ I và J cắt nhau tại F Gọi O là giao điểm thứ hai của FA với (SP) và a là tiếp tuyến của (SP) tại O Một tiếp tuyến t thay đổi của (SP) cắt W tại M Chứng minh rằng quỹ tích các điểm H trên t sao cho [FH, FM, FI, FJ] = -1 là đường thẳng a.

Bài toán HHXA 27. Trong mặt phẳng P2(R) ( có bổ sung phần tử ảo)

cho một đường thẳng W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W d là một

đường thẳng đi qua điểm O, O / ∈ W, và d’ là đường thẳng qua O sao cho

[d∩ W, d ∩ W, I, J] = ư1 Ox, Oy, Oz là ba đường thẳng qua O sao cho

[OA, Ox, d, d ] = [OB, Oy, d, d ] = [OC, Oz, d, d ] = ư1

Các đường thẳng này lần lượt cắt BC, CA , A B tại P, Q, R Chứng minh rằng P,

Q, R thẳng hàng.

2.28 Bài toán HHSC 28.

Cho hai hypebol vuông cắt nhau tại bốn điểm A , B, C, D.

a) Chứng minh rằng các đường bậc hai suy biến đi qua A , B, C, D là những cặp đường thẳng vuông góc, còn các đường bậc hai không suy biến đi qua các điểm ấy là những hypebol vuông hoặc elíp ( khác đường tròn).

b) Tìm quỹ tích tâm các đường bậc hai đi qua A , B, C, D.

Bài toán HHXA 28. Trong mặt phẳng P2(R) ( có bổ sung phần tử ảo) cho

một đường thẳng W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W và hai đường ôvan (S1), (S2) đi qua bốn điểm A , B, C , D cho trước ( A , B, C, D không thuộc đường thẳng W ) và lần lượt cắt đường thẳng W tại các cặp điểm (P1, Q1) và (P2, Q2) sao cho các cặp điểm đó đều chia liên hợp điều hoà cặp điểm (I, J).

a) Chứng minh rằng mỗi đường bậc hai đi qua A , B, C, D cắt đường thẳng W tại hai điểm ( thực hoặc ảo liên hợp) luôn liên hợp điều hoà với hai

điểm I, J.

b) Tìm quỹ tích cực của đường thẳng W đối với các đường bậc hai đi qua A , B, C, D.

2.29 Bµi to¸n HHSC 29.

Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn Mt t¹i ®iÓm M cña ElÝp ( hay Hypebol) (S) víi hai tiÕp ®iÓm F1 vµ F2 lµ mét ®−êng ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tia M F1 vµ M F2.

Bµi to¸n HHXA 29. Trong P2(R) ( cã bæ sung phÇn tö ¶o) cho hai ®iÓm

¶o liªn hîp I, J vµ mét ®−êng «van (SP) c¾t ®−êng th¼ng W ( qua I vµ J ) t¹i

hai ®iÓm ph©n biÖt hay t¹i hai ®iÓm ¶o liªn hîp kh¸c víi I, J C¸c tiÕp tuyÕn cña

(SP) kÎ tõ I vµ J c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt F1 vµ F2 Mt lµ mét tiÕp tuyÕn cña (SP) t¹i ®iÓm M thuéc (SP) Chøng minh r»ng

[M I, M J, M F1, M t] = [M I, M J, M t, M F2]

2.30 Bµi to¸n HHSC 30.

Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn Mt t¹i M cña Parabol (S) víi tiªu ®iÓm F t¹o víi trôc cña Parabol (S) vµ b¸n kÝnh qua tiªu MF nh÷ng gãc b»ng nhau.

Bµi to¸n HHXA 30. Trong P2(R) ( cã bæ sung phÇn tö ¶o) cho hai ®iÓm

¶o liªn hîp I, J vµ mét ®−êng «van (SP) tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng W ( qua I vµ

J ) t¹i ®iÓm T C¸c tiÕp tuyÕn cña (SP) kÎ tõ I vµ J c¾t nhau t¹i mét ®iÓm ph©n

biÖt F Mt lµ mét tiÕp tuyÕn cña (SP) t¹i ®iÓm M thuéc (SP) Chøng minh r»ng

[M I, M J, M T, M t] = [M I, M J, M t, M F ]

Chương 3

Giải các bài toán hay chứng minh các định

lí của hình học sơ cấp bằng hình học xạ

ảnh

V ới các phương pháp của phần 2, từ bài toán hay định lí của HHSC ta suy

ra một bài toán hay một định lí của HHX A Giải bài toán hay chứng minh định

lí này bằng những kiến thức của HHX A , rồi dùng mô hình hình học xạ ảnh của hình học afin hay mô hình xạ ảnh của hình học Ơclít để chuyển kết quả thu

được sang hình học sơ cấp

Để minh hoạ phần này, ta hãy giải các bài toán và chứng minh các định lí của HHSC đã nêu trong phần 2.

3.1 Chứng minh định lí HHSC 1.

Như đã nói ở trên ta đi chứng minh Định lí HHXA 1. Gọi G = BB’ ∩CC’,

A ” = A R ∩ BC Ta hãy chứng minh A”≡ A’ Theo giả thiết ta có: [ABC’C1] = [A CB’B1] suy ra BC, B’C’, B1C1 đồng qui tại A1 X ét hình bốn đỉnh toàn phần

A B’GC’ ta có [BCA ”A1] = -1 ( xem chứng minh định lí HHX A 2 ) Mặt khác [BCA ’A1] = -1, vậy A ’ ≡A” (ĐPCM).

3.2 Chứng minh định lí HHSC 2.

Như đã nói ở trên ta đi chứng minh Định lí HHXA 2.

Hình bốn đỉnh toàn phần A BCD có ba điểm chéo O, P và Q Gọi M =

AD ∩ P O, N = BC ∩ P O Hãy chứng minh [AOMN] = -1 Trong P2 chọn mục tiêu xạ ảnh {A, B, C; D}; P = (1 : 1 : 0), O = (1 : 0 : 1), M = (2 : 1 :1), N = (0 : 1 :ư1) Từ đó ta có :

(M ) = (P ) + (O), (N ) = (P )ư (O) ⇒ [P OMN] = ư1

(ĐPCM).

3.3 Giải bài toán HHSC 3.

Để giải bài toán HHSC 3, ta đi giải Bài toán HHXA 3.

X ét chùm đường bậc hai xạ ảnh đi qua bốn điểm Q, P, U, V và đường thẳng d Theo định lí Đờdác 2 (Desargues 2) chùm đường bậc hai này xác định trên đường thẳng d một ánh xạ xạ ảnh đối hợp f : d ư→ d sao cho f(A) =

B, f(M) = M’, f(N) = N’ và f(T) = T Khi đó f có điểm bất động thứ hai R sao cho [A BTR ] = [MM’TR ] = [NN’TR ] = -1 Mặt khác theo giả thiết ta có

[ABT E] = ư1 ⇒ R ≡ E ⇒ [MM T E] = [NN T E] = ư1 (ĐPCM).

3.4 Giải bài toán HHSC 4.

Để giải bài toán HHSC 4, ta đi giải Bài toán HHXA 4.

Gọi p, q lần l−ợt là các tiếp tuyến tại P, Q Khi đó theo định lí Stâyne ( Steiner) có ánh xạ xạ ảnh

IBKA , ta có [OR DH] = -1 suy ra

[IO, IR, ID, IH] = [BO, BR, BD, BH] = ư1

Suy ra hai đường thẳng IH và BH đều liên hợp với đường thẳng IB, vậy điểm H

là cực của đường thẳng IB Suy ra H liên hợp với C, mặt khác O liên hợp với

C nên C là cực của đường thẳng OH Suy ra C liên hợp với D Dễ thấy đường thẳng A K là đối cực của D, vậy C ∈ AK Do đó ba điểm C, D, H tạo thành tam

giác tự đối cực của (SP) Từ đó ta có CA liên hợp với CB (ĐPCM).

3.5 Giải bài toán HHSC 5.

Để giải bài toán HHSC 5, ta đi giải Bài toán HHXA 5như sau:

Trường hợp 1 Điểm I và điểm J liên hợp với nhau đối với (SP).

Giả sử ∆ và ∆I lần lượt là hai đường thẳng đối cực của I và J đối với (SP) Khi đó I ∈ ∆I, J ∈ ∆ Giả sử D là cực của đường thẳng IM Khi đó D liên

hợp với I nên D ∈ ∆ Vậy đường thẳng JM ( phải đi qua D) trùng với ∆I, do

đó M ∈ ∆I Lý luận tương tự ta cũng có M ∈ ∆ Vậy trong trường hợp này

quỹ tích là hai đường thẳng đối cực ∆ và ∆I của I và J.

Trường hợp 2 Điểm I và điểm J không liên hợp với nhau đối với (SP).

f2 : hg∆ ư→ ch{J}

D ư→ b = JD

Dễ thấy f là phép chiếu xuyên trục ( khi f(IJ) = JI ) khi và chỉ khi IJ là tiếp tuyến của (SP) V ậy

Nêú IJ là một tiếp tuyến của (SP) thì quỹ tích các điểm M là đường thẳng

d đi qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ I và J tới (SP).

Nếu IJ không phải là tiếp tuyến của (SP) thì qũ tích các điểm M là một

đường bậc hai không suy biến đi qua I và J và đi qua các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ I và J tới (SP).

Từ các kết quả của bài toán xạ ảnh trên ta suy ra kết quả của bài toán HHSC

3.6 Giải bài toán HHSC 6.

Để giải bài toán HHSC 6, ta đi giải Bài toán HHXA 6.

a) Theo giả thiết của bài toán ta suy ra năm điểm A , B, C, D, E không có

ba điểm nào thẳng hàng nên trong P2(R) tồn tại duy nhất một đường bậc hai

không suy biến (SP) đi qua A , B, C, D và E V ì E ∈ W, nên (SP) hoặc tiếp xúc với W tại E hoặc cắt W tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm E.

b) Giả sử giao điểm thứ hai của (SP) với W là F X ét hình sáu đỉnh A BCDEF Theo định lí Pascal, ba điểm P = AB ∩ DE, Q = BC ∩ EF, R = CD ∩ F A.

Từ đó ta suy ra cách dựng điểm F như sau:

Dựng điểm P = AB ∩ DE và điểm Q = BC ∩ W Gọi R = CD ∩ P Q.

Khi đó F = AB∩ W