Tính chính quy của nghiệm nhớt đối với bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2TRẦN THỊ PHƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015... TRƯỜNG ĐẠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ PHƯƠNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM NHỚT

ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CAUCHY

CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ PHƯƠNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM NHỚT

ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CAUCHY

CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đỡ và hướng dẫn

tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đềmới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối vớithầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạnhọc viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 05 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Phương

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn củaTS Nguyễn Hữu Thọ.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng

và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 05 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Phương

Mục lục

1.1 Tập đóng, tập mở 4

1.2 Hàm lồi 6

1.3 Hàm liên tục Lipchitz 7

1.4 Liên hợp Fenchel 8

1.5 Vi phân suy rộng 9

1.6 Hàm nửa lõm 10

1.7 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một 11 1.7.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 11

1.7.2 Điều kiện biên 13

1.7.3 Nghiệm địa phương 19

2 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một 21 2.1 Khái niệm và một số tính chất chung của nghiệm nhớt 22

2.2 Tính duy nhất của nghiệm nhớt 29

3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm nhớt cho phương trình

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình

vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riếng đã và đang là một vấn đề hết sứccần thiết của giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trình đạo hàmriêng phi tuyến cấp một chúng ta có thể thấy hàng loạt các công trình củarất nhiều các nhà toán học trên thế giới, trong đó Phương trình Hamilton-Jacobi đã và đang được quan tâm nhiều

Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấpmột có dạng như sau:

∂u

∂t + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ Rn

ở đây H được gọi là Hamiltonian

Những nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rất lâu,

có lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động Có nhiềuphương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương của phương trìnhnày Định lý Cauchy-Kovalevskays là một trong những định lý đầu tiên nói

về sự tồn tại, duy nhất nghiệm địa phương với các dữ kiện được đặt ra lànhững hàm giải tích Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tíchphân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, đồng dạng đã góp phần làmphong phú lĩnh vực nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điển,địa phương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu cầu

thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể và đầy đủ hơn.Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưa quan tâm tới tínhtoàn cục của nghiệm, hoặc chưa có cách hiểu nghiệm một cách mềm dẻo(do bản chất phi tuyến của phương trình Hamilton-Jacobi, nghiệm cổ điểntoàn cục chỉ tồn tại trong một số lớp khá đặc biệt), và từ đó nghiệm suyrộng ra đời Có nhiều loại nghiệm suy rộng đã được đề xuất như : Nghiệmtoàn cục Lipschitz, nghiệm tích phân, nghiệm nhớt Bài báo của M.G.Crandall và L.C Lions năm 1983 đã đặt nền móng đầu tiên cho các nghiêncứu về nghiệm nhớt, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kết quả kinhđiển về nghiệm nhớt ra đời và tạo ra những định hướng quan trọng.

Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm nhớt của phươngtrình Hamilton-Jacobi, được sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Hữu Thọ, tôichọn đề tài cho luận văn của mình về :

Tính chính quy của nghiệm nhớt đối với bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả cấu trúc nghiệm nhớt đối với bài toán Cauchy cho phương trìnhHamilton – Jacobi thông qua đặc trưng và xét tính chính quy của nghiệmnhớt

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêngphi tuyến cấp 1

- Mô tả nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton–Jacobithông qua nghiệm của phương trình vi phân đặc trưng

- Khảo sát tính chính quy của nghiệm nhớt của bài toán Cauchy cho phươngtrình Hamilton–Jacobi.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton – Jacobi, phương trình vi phânđặc trưng, công thức dạng Hopf–Lax cho nghiệm nhớt

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để nhậnđược một nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm nhớt của bài toánCauchy cho phương trình Hamilton–Jacobi

6 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm nhớt và chính quy củanghiệm nhớt của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi mô tảbởi công thức dạng Hopf-Lax

Hà Nội, ngày 05 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Phương

là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0, bán kính ε.

Định nghĩa 1.2 Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu ∀x0 ∈ U, ∃ε > 0 sao choB(x0, ε) ⊂ U

Khi đó F = ∩

j∈JFj(A) là một tập đóng

Tập F gọi là bao đóng của A, kí hiệu là ¯A

Định lý 1.1 (Định lý điểm bất động Brouwer) Cho x0 ∈ Rn, ε > 0, ký

hiệu B(x0, ε) := 

là hình cầu đóng trong Rn có tâm tại x0, bán kính ε Khi đó mọi ánh xạ liên tục φ : B(x0, ε) → B(x0, ε)

từ hình cầu này vào chính nó đều có ít nhất một điểm bất động, tức là tồn tại x ∈ B(x0, ε) sao cho φ(x) = x.

Định nghĩa 1.4 Tập B trong Rn gọi là bị chặn nếu tồn tại m > 0 sao chokxk ≤ m với mọi x ∈ B

Cho U ⊂ Rn là một tập mở và giả sử f : U → Rn thuộc lớp C1,

f = (f1, f2, , fn) Giả thiết x0 ∈ U, z0 = f (x0) Khi đó

f = (f1, , fm) Giả thiết (x0, y0) ∈ U, z0 = f (x0, y0) Khi đó:

Định nghĩa 1.6 Jyf = |det Dyf| =

∂(f1, , fm)

∂(y1, , ym)

Định lý 1.2 (Định lý hàm ẩn) Giả thiết f ∈ C1(U ; Rm) và Jyf(x0, y0) 6= 0

Khi đó tồn tại một tập mở V ⊂ U với (x0, y0) ∈ V , và tập mở W ⊂ Rn với

x0 ∈ W , một ánh xạ g : W → Rm thuộc lớp C1 sao cho

Hàm f được gọi là proper nếu domf 6= ∅ và f(x) > −∞ với ∀x ∈ Rn.

Định nghĩa 1.8 Hàm f được gọi là hàm lồi (t.ư., đóng) nếu tập hợp epi là

tập lồi (t.ư., đóng) trong không gian Rn× R

Đối với các hàm lồi, proper (chẳng hạn hàm lồi từ Rn vào R) tính lồicủa nó tương đương với điều kiện:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1)với ∀x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]

Hàm f : Rn −→ R được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.1),khi x 6= y, dấu = xảy ra nếu λ = 0 hoặc λ = 1.

Định lý 1.3 Mọi hàm lồi xác định trên Rn và chỉ nhận giá trị trong R đều liên tục.

Định nghĩa 1.9 Hàm lồi, proper f được gọi là đối hữu hạn nếu

lim

||y||→+∞

f (y)

||y|| = +∞.

Định lý 1.4 Giả sử f là hàm lồi, hữu hạn trên một tập lồi, mở C Khi đó,

nếu f khả vi trên C thì f cũng khả vi liên tục trên C.

Định nghĩa 1.10 Một hàm lồi, trơn cấp hai f : Rn → R được gọi là lồiđều (với hằng số θ > 0) nếu

|f (x) − f (y)| ≤ K kx − yk ; ∀x, y ∈ X (1.2)

K được gọi là hằng số Lipchitz của f trên X

Dễ thấy điều kiện (1.2) suy ra f là hàm liên tục đều trong X.

Hàm f được gọi là Lipchitz địa phương trên X nếu với mỗi x ∈ X tồn tạilân cận mở Ux của x sao cho thu hẹp f|Ux là Lipchitz trên Ux

Cho f : Rn → R là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó f liên tục đều và hơn nữaliên tục Lipschitz trên mỗi tập con bị chặn của dom f

Định lý 1.5 Cho f là hàm lồi, proper trên X Khi đó domf∗ sẽ bị chặn khi và chỉ khi f hữu hạn và liên tục Lipschitz toàn cục trên X.

và gọi f∗ là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm f

Định lý 1.6 Giả sử f : Rn −→ ¯R là hàm lồi, proper và đóng Khi đó hàm

liên hợp f∗ cũng là hàm lồi, proper và đóng Ngoài ra:

Định lý 1.7 Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên Rn Khi đó f∗

hữu hạn (và do đó domf∗ = Rn) khi và chỉ khi f đối hữu hạn.

Cho O là một tập mở của Rm, hàm v : O → R và y ∈ O Ta ký hiệu

D+v (y) (tương ứng D−v (y)) là tập tất cả các giá trị p ∈ Rm xác định bởi

Ta gọi D+v (y) (tương ứng D−v (y)) là trên vi phân (tương tự dưới vi phân)của hàm v (y) tại y ∈ O Trong trường hợp thông thường, D+v (y) hoặc

D−v (y) được gọi là nửa vi phân của v tại y ∈ O

Chú ý rằng nếu v là một hàm lồi, khi đó dưới vi phân D−v (x) trùng vớigradient dưới ∂v (x) của hàm v

Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất cơ bản về nửa vi phân của các hàm

cần thiết cho phần tiếp theo.

Mệnh đề 1.1 Cho u, v là các hàm xác định trên một tập mở O ⊂ Rm.

(i) Giả sử hàm v đạt cực tiểu (tương ứng cực đại) tại y0 ∈ O Khi đó

0 ∈ D−v (y0) (tương ứng 0 ∈ D+v (y0)).

(ii) Nếu các nửa vi phân của u và v tại y là khác rỗng, khi đó

D±u (y) + D±v (y) ⊂ D±(u + v) (y)

(iii) Giả sử tại một điểm y ∈ O, một trong hai hàm u, v khả vi và nửa vi

phân của hàm còn lại là khác rỗng Khi đó ta có

D±u (y) + D±v (y) = D±(u + v) (y)

1.6 Hàm nửa lõm

Trong phần này Ω luôn được xét là tập con mở của Rn

Định nghĩa 1.13 Ta nói rằng một hàm u : Ω → R là nửa lõm (và ký hiệu

SC (Ω) là không gian hàm nửa lõm) nếu nó thỏa mãn tính chất: tồn tạihằng số C > 0 sao cho với mọi x, z ∈ Ω, đoạn [x − z, x + z] ⊂ Ω và

u (x + z) + u (x − z) − 2u (x) ≤ C|z|2,

ở đây C được gọi là hằng số nửa lõm của u

Mệnh đề 1.2 Cho u : Ω → R, u ∈ SC (Ω) với hằng số nửa lõm C ≥ 0.

Khi đó hàm eu : x 7→ u (x) −C

2|x|

2 là lõm, tức là với mọi x, y ∈ Ω sao cho

[x, y] ⊂ Ω, λ ∈ [0, 1] ta có

e

u (λx + (1 − λ) y) ≥ λeu (x) + (1 − λ) eu (y)

Mệnh đề 1.3 Cho v : Rm → R là một hàm lồi Hơn nữa,

(i) Giả sử v là lồi đều với hằng số C > 0 Khi đó hàm liên hợp Fenchel v∗

là một hàm nửa lõm với hằng số nửa lõm 1

C > 0.

(ii) Giả sử v là một hàm nửa lõm với hằng số nửa lõm C∗ > 0 Khi đó v∗

là một hàm lồi đều với hằng số 1

1.7.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng

Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:

với điều kiện biên:

giả sử F, g là những hàm trơn

Để nghiên cứu bài toán (1.5)-(1.6) ta dùng phương pháp đặc trưng, đây

là phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành một hệ phương

trình vi phân thường tương ứng Ý tưởng chủ yếu như sau.

Giả sử u thỏa mãn (1.5)-(1.6) và x là điểm cố định nào đó thuộc U Ta

sẽ tìm một đường cong nằm trong U nối x với x0 ∈ Γ Theo (1.6) ta có

u = g trên Γ, vì thế ta biết giá trị của u tại điểm mút x0 của đường cong:u(x0) = g(x0) Nếu u là hằng số dọc theo đường cong, ta tìm được giá trịcủa u tại x

Cách tìm phương trình vi phân thường đặc trưng

Giả sử đường cong được tham số hóa bởi hàm

x(s) = (x1(s), x2(s), , xn(s))

trong đó s nằm trong khoảng con nào đó của R

Giả thiết u là C2 - nghiệm của (1.5), ta đặt:

Hệ (2n + 1) phương trình vi phân cấp một này gọi là các phương trình

đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (1.5)

Các hàm x(.) = (x1(.), x2(.), , xn(.)); z(.); p(.) = (p1(.), p2(.), , pn(.))

được gọi là những đặc trưng Ta còn gọi x(.) gọi là đặc trưng gốc, nó

là hình chiếu của toàn bộ đặc trưng (x(.), z(.), p(.)) ⊂ R2n+1 lên miền

1.7.2 Điều kiện biên

Bây giờ ta quay trở lại để hoàn thiện lý thuyết tổng quát về đặc trưng chophương trình đạo hàm riêng cấp 1

a Làm phẳng biên

Chúng ta sẽ sử dụng hệ phương trình vi phân đặc trưng (1.10) để giảibài toán giá trị biên (1.5)-(1.6) chí ít cũng tại một lân cận của một phầnbiên Γ của ∂U Để đơn giản hóa các phép tính có liên quan, trước hết ta sẽ

dùng phép biến đổi thích hợp để làm phẳng phần biên đang quan tâm.Xét U ⊂ Rn là tập mở, bị chặn, k ∈ 1, 2, 3,

Định nghĩa 1.15 Ta nói rằng biên ∂U là Ck nếu với mỗi điểm x0 ∈ ∂Utồn tại r > 0 và một hàm γ : Rn−1 → R thuộc lớp Ck sao cho

là đạo hàm theo hướng pháp tuyến (hướng ra ngoài) của u

Ta thường phải đổi hệ tọa độ gần một điểm của ∂U đề làm phẳngbiên Cụ thể, ta cố định điểm x0 ∈ ∂U và chọn r, γ, như trên Khi đó xác

Giả sử u là một nghiệm thuộc lớp C1 của bài toán biên (1.5)-(1.5) trong U,

ta sẽ xét xem v sẽ thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng nào trong V ?Theo (1.12) ta thấy

Biểu thức này có dạng

G(y, v(y), Dv(y)) = 0 trong V

Đặt ∆ := Φ(Γ), h(y) := g(Ψ(y)), khi đó v = h trên ∆ Và do vậy bàitoán (1.5)-(1.6) trở thành

với G và h xác định như trên

Điều này có nghĩa là: nếu ta biến đổi để làm phẳng phần biên Γ thì bàitoán biên (1.5)-(1.6) sẽ biến thành một bài toán có dạng tương tự

b Điều kiện tương thích của các dữ kiện biên

Như đã trình bày ở trên, với một điểm x0 ∈ Γ ta có thể ngay từ đầu(không mất tính tổng quát) giả thiết rằng phần biên Γ là phẳng ở gần x0 vànằm trên mặt phẳng xn = 0

Bây giờ ta sẽ dùng hệ phương trình vi phân thường đặc trưng (1.10) đểthiết lập nghiệm của (1.5)-(1.6) chí ít là gần x0, và để làm được điều đó tacần xác định điều kiện ban đầu tương ứng:

p(0) = p0, z(0) = z0, x(0) = x0 (1.14)

Dễ thấy rằng, nếu đường cong x(.) đi qua x0 ta phải đòi hỏi rằng

Thế thì còn điều kiện p(0) = p0 thì sao?

Ta gọi (1.15), (1.16) là những điều kiện tương thích Một bộ ba (x0, z0, p0) ∈

R2n+1 thỏa mãn (1.15), (1.16) được gọi là thừa nhận được Chú ý rằng z0

là được xác định duy nhất bởi điều kiện biên và từ việc chọn x0, nhưng véc

tơ p0 có thể không tồn tại hoặc có tồn tại nhưng không duy nhất

c Dữ kiện biên không tương thích

Bây giờ giả sử như trên rằng x0 ∈ Γ, phần Γ gần x0 sẽ nằm trên mặtphẳng xn = 0 và bộ ba (x0, z0, p0) là thừa nhận được Ta sẽ xây dựng mộtnghiệm u của (1.5)-(1.6) trong U gần x0 bằng cách tích phân hệ phươngtrình vi phân thường đặc trưng (1.10) tương ứng Hơn nữa, ta thấy p(0) =

p0, z(0) = z0, x(0) = x0 là điều kiện biên phù hợp cho hệ phương trình viphân thường đặc trưng với x(.) cắt Γ tại x0 Nhưng trên thực tế ta còn phảigiải hệ phương trình vi phân thường đặc trưng đó với những điểm ban đầu

gần (x0, z0, p0) Câu hỏi đặt ra là: có thể nhiễu (x0, z0, p0) như thế nào màvẫn giữ được điều kiện tương thích?

Nói cách khác, cho trước một điểm y = (y1, y2, , yn−1, 0) ∈ Γ, với y gần

x0, ta sẽ giải hệ phương trình vi phân thường đặc trưng (1.10) với điều kiệnban đầu:

Bổ đề 1.1 (Điều kiện biên không đặc trưng) Tồn tại duy nhất nghiệm q(.)

của (1.18)-(1.19) với mọi y ∈ Γ đủ gần với x0, nếu

Fp n(x0, z0, p0) 6= 0 (1.20)

Ta nói bộ ba thừa nhận được (x0, z0, p0) là không đặc trưng nếu (1.20)

thỏa mãn Từ giờ trở đi ta luôn giả thiết có điều kiện này

1.7.3 Nghiệm địa phương

Mục đích của chúng ta là dùng hệ phương trình vi phân thường đặc trưng

để xây dựng một nghiệm u của bài toán (1.5)-(1.6) chí ít tại gần Γ Chọn

x0 ∈ Γ và giả thiết rằng phần Γ gần x0 là phẳng và nằm trên mặt phẳng{xn = 0} Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng (x0, z0, p0) là thừa nhận được vàkhông đặc trưng Theo Bổ đề 1.7.3, có một hàm q(.) duy nhất sao cho

p0 = q(x0) và bộ ba (y, g(y), q(y)) là thừa nhận được với tất cả y gần x0.Cho trước một điểm y = (y1, y2, , yn−1, 0) ta giải hệ phương trình viphân thường đặc trưng (1.10), thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.17)

x(s) = x(y, s) = x(y1, y2, , yn−1, s)

(1.21)

để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm của (1.10)-(1.17) vào s và y

Bổ đề 1.2 (Tính nghịch đảo địa phương) Giả thiết ta có điều kiện không

đặc trưng Fpn(x0, z0, p0) 6= 0 Khi đó tồn tại một khoảng mở I ⊂ R chứa

0, và lân cận W của x0 trên Γ ⊂ Rn−1, một lân cận V của x0 trong Rn để với mỗi x ∈ V , tồn tại duy nhất s ∈ I, y ∈ W sao cho x = x(y, s).

Định lý 1.8 (Định lí sự tồn tại nghiệm địa phương) Hàm u xác định duy

nhất như trong (1.23) là C2 và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

F (x, u(x), Du(x)) = 0, (x ∈ V ),

với điều kiện biên:

u(x) = g(x), (x ∈ Γ ∩ V )

Chương 2

Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một

Chương này dành cho việc trình bày về định nghĩa và một số tính chất

cơ bản của nghiệm nhớt, một loại nghiệm yếu của bài toán Cauchy đối vớiphương trình Hamilton-Jacobi Trong chương này ta sử dụng các kết quảtrong tài liệu [8]

Nhìn chung, bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình Jacobi đã được khẳng định là không có nghiệm u trơn với mọi t Ý tưởng

Hamilton-hình thành nghiệm nhớt dựa trên kỹ thuật của phương pháp triệt tiêu độnhớt Trước hết ta xét bài toán xấp xỉ:

là tác nhân chính quy hóa của phương trình Hamilton-Jacobi Chúng ta hivọng khi cho ǫ → 0 các nghiệm uǫ của (2.2) sẽ hội tụ tới một loại nghiệmsuy rộng của (2.1) Như mong đợi, giới hạn đó xác định cho ta một nghiệmnhớt của bài toán (2.1) - loại nghiệm sẽ được giới thiệu trong phần sau

2.1 Khái niệm và một số tính chất chung của nghiệm nhớt

Cho H : H là một hàm liên tục theo (x, ξ, p) và đo được theo t; hơn nữa

H(t, 0, 0, 0) ∈ L1(0, T )

và

|H(t, x, ξ, p) − H(t, y, ξ′, q)| 6 ωR(t, |x − y| + |ξ − ξ′| + |p − q|),

với |x|, |y|, |ξ|, |ξ′|, |p|, |q| 6 R (với R > 0 nào đó), ωR(t, s) là hàm liêntục, không âm, không giảm theo s và đo được theo t và

ωR(·, s) ∈ L1(0, T )

với mọi s, ωR(t, 0) = 0 h.k.n

Ta muốn đưa ra cách thiết lập các dạng yếu của (2.1) với u ∈ C([0, T ]×

Rn); ở đây chỉ trình bày cách thiết lập nghiệm u của

m′(t) + sup

x∈K(t)

H(t, x, u(t, x), Dv(x)) 6 0 trong D′(0, T ) (2.5)Chú ý rằng K(t) ⊂ BR với mọi t và do đó (2.4), (2.5) hoàn toàn có nghĩa

Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa nghiệm nhớt do Ishii đưa ra: nếu

vt(t0, x0) + G(t0, x0, u(t0, x0), Dv(t0, x0)) 6 0 (2.6)

Ta có kết quả sau

Định lý 2.1 Các hệ thức (2.3), (2.4), (2.5) hoặc (2.6) là tương đương.

Chú ý 2.1.1 Thực tế có rất nhiều cách thiết lập các dạng tương đương với

(2.3), chẳng hạn có thể thay v ∈ C1 bởi v ∈ C2, C∞ Trong (2.4) - (2.6)

ta có thể thay cực đại địa phương bằng cực đại toàn cục, hoặc cực đại địaphương ngặt, hoặc cực đại toàn cục ngặt Dĩ nhiên do mối quan hệ tươngđương của các hệ thức trên nên ta có thể định nghĩa nghiệm nhớt dưới (hoặcnghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt) của (2.1) bằng một trong các dạng đó.Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của bài toán Cauchyđối với phương trình Hamilton-Jacobi dạng đơn giản:

ut + H(x, Du) = 0 trong U := (0, ∞) × Rn (2.7)

u(0, x) = σ(x) trên {t = 0} × Rn (2.8)

Ở đây Hamiltonian H(x, p) là hàm liên tục theo x và p

Định nghĩa 2.1 Một hàm liên tục đều, bị chặn u được gọi là một nghiệm

ut + H(x, Du) = 0

Thật vậy, cho v là hàm trơn và u − v đạt cực đại địa phương tại (t0, x0), khiđó

u − v đạt cực đại địa phương ngặt tại x0.

Chứng minh. 1 Có thể giả thiết

(nếu không ta có thể xét ˜u(x) := u(x + x0) − u(x0) − Du(x0) · x thay thếcho u)

Định lý 2.2 (Tính hợp lý của nghiệm nhớt) Cho u là một nghiệm nhớt của

(2.7), và giả sử rằng u khả vi tại điểm (t0, x0) ∈ (0, ∞) × Rn Khi đó

vǫt(tǫ, xǫ) + H(xǫ, Dvǫ(tǫ, xǫ)) 6 0