Tính ổn định của bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc (LV01743)

Nguyễn Quang Huy luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định của bàitoán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” được hoàn thànhbởi chính sự nhận thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

—————— ? ——————

NGUYỄN THỊ THANH HOA

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU MÔ TẢ BỞI

HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy

Hà Nội-2015

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóaluận này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làmluận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình vàbạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quátrình học tập để tôi hoàn thành bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định của bàitoán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” được hoàn thànhbởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận vănnào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa

kxk chuẩn của véc tơ x

BX hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

coΩ bao lồi của Ω

coneΩ nón lồi sinh bởi Ω

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn

(nón pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại ¯xb

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x

∂f (x) dưới vi phân giới hạn

(dưới vi phân Mordukhovich) của f tại x

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của f tại x

ˆ

∂f (x) dưới vi phân Fréchet của f tại x

D∗F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, ¯y)b

D∗F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y)

x −→ ¯Ω x x → ¯x, x ∈ Ω

x −→ ¯f x x → ¯x, f (x) → f (¯x)

α ↓ ¯α α → ¯α, α > ¯α

∇f (x) gradient của f tại x

(∇f (x))∗ toán tử liên hợp của ∇f (x)

Mở đầu 1

1.1 Nón pháp tuyến 4

1.2 Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị 8

1.3 Dưới vi phân 10

1.4 Một số phép toán dưới vi phân 12

2 Dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich 16 2.1 Dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu 16

2.2 Dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu 27

iv

Q

k=0

Xk, thỏa mãn phương trình độnglực

xk+1 = Akxk + Bkuk + Tkwk với mọi k = 0, 1, , N − 1, (0.2)với ràng buộc

Ωk là tập con khác rỗng trong Uk,

C là tập con lồi đóng khác rỗng của X0,

Ak : Xk → Xk+1, Bk : Uk → Xk+1, Tk : Wk → Xk+1 là những ánh xạtuyến tính

Bài toán này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu;chẳng hạn, xem [5, 8, 9] và các tài liệu được trích dẫn trong đó Một

ví dụ cổ điển cho bài toán (0.1)–(0.4) là bài toán ổn định kinh tế; xem[8, 9]

Gọi S(w) là tập nghiệm của bài toán (Pw) tương ứng với tham số

Bằng cách thiết lập một kết quả mới dựa trên dưới vi phân Fréchetcủa hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số, tác giả N

H Chieu và Jen-Chih Yao [3] đã thu được công thức tính toán dưới viphân Fréchet của V dưới một giả thiết yếu hơn trong [5]

Gần đây, tác giả N T Toan, B T Kien và Jen-Chih Yao [16, 17]thiết lập đã được công thức tính dưới vi phân Mordukhovich của hàmgiá trị tối ưu của V và các điều kiện đủ cho tính Aubin của ánh xạnghiệm S

Luận văn thạc sĩ với đề tài “Tính ổn định của bài toán điều khiểntối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” nhằm trình bày công thức tínhdưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu của V và điều kiện

đủ cho tính chất Aubin (tính giả Lipschitz) của ánh xạ nghiệm S

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyếntính rời rạc, tính ổn định của tập nghiệm và hàm giá trị tối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich;

lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; trìnhbày công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovichlàm công cụ thiết lập tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc;dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân và đạohàm suy rộng, giải tích đa trị, đại số tuyến tính và lý thuyết tối ưu

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Nội dung của luận văn trình bày công thức tính dưới vi phân Fréchet

và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong điều khiểntối ưu tuyến tính rời rạc; sử dụng kết quả đạt được như là công cụ đểthiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm

k · k Với một không gian Banach bất kì X, ta xét không gian đối ngẫucủa nó X∗ với tôpô yếu∗ được kí hiệu bởi w∗ BX và BX∗ kí hiệu tươngứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X và không gianđối ngẫu của nó Kí hiệu A∗ toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liêntục A Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ được kí hiệu bởi Bρ(x).

Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và cone Ω kí hiệu tương ứng

là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón lồi sinh của Ω Ta nhắc lại rằng

Ω ∈ X là đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω nếu có một lân cận U của ¯x saocho Ω ∩ clU là tập đóng

Cho F : X ⇒ X∗ ánh xạ đa trị từ một không gian Banach X vàokhông gian đối ngẫu X∗ của X Giới hạn trên theo dãy theo nghĩaPainlevé - Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X∗

tại ¯x được xác định bởi

(i) Tập các ε - véctơ pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x được xác định bởi

N0(¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x

(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của

ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của ¯x và X làkhông gian Asplund

Bổ đề 1.1 (Tích Đề các) [6, Proposition 1.2] Lấy tùy ý điểm ¯x =(¯x1, ¯x2) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 Khi đó

b

N (¯x; Ω1 × Ω2) = bN (¯x1; Ω1) × bN (¯x2; Ω2), (1.4)

N (¯x; Ω1 × Ω2) = N (¯x1; Ω1) × N (¯x2; Ω2) (1.5)

Bổ đề 1.2 (Tập các ε− véctơ pháp tuyến đối với tập lồi) [6,Proposition 1.3] Cho Ω là một tập lồi trong không gian Banach X Khiđó,

b

Nε(¯x; Ω) := {x∗ ∈ X∗ : hx∗, x − ¯xi 6 ε kx − ¯xk , ∀x ∈ Ω} , (1.6)với mỗi ε ≥ 0 và ¯x ∈ Ω Trường hợp đặc biệt với ε = 0, ta có

b

N (¯x; Ω) := {x∗ ∈ X∗ : hx∗, x − ¯xi 6 0, ∀x ∈ Ω} , (1.7)

là nón pháp tuyến trong giải tích lồi

Định nghĩa 1.2 (Tập chính quy pháp tuyến) Một tập Ω ⊂ X làchính quy (pháp tuyến) tại ¯x ∈ Ω nếu

N (¯x; Ω) = bN (¯x; Ω) (1.8)Định lý 1.1 (Tính chính quy của tập lồi địa phương) [6, Propo-sition 1.5] Cho U là một lân cận của ¯x ∈ Ω ⊂ X sao cho tập Ω ∩ U làlồi Khi đó Ω chính quy tại ¯x với

N (¯x; Ω) = {x∗ ∈ X∗| hx∗, x − ¯xi 6 0, ∀x ∈ Ω ∩ U } (1.9)

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai dạng biểu diễn tương đươngcủa nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều Rn(trong trường hợp này X∗ = X = Rn) Do tất cả các chuẩn trong khônggian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid

dist(x, Ω) := inf

u∈Ωkx − uk , x ∈ Rn

và hình chiếu Euclid của x trên Ω

Π(x; Ω) := {¯x ∈ clΩ| kx − ¯xk = dist(x; Ω)}

Định lý 1.2 (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều)[6, Theorem 1.6] Cho Ω ⊂ Rn tập đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω Khi đócác khẳng định sau là đúng:

Từ (1.12) ta có

0 ≥ lim sup

k→∞

x∗1uk1 + x∗2uk2p

0 ≥ lim sup

k→∞

x∗1uk1 + x∗2uk2p

1.2 Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị

Cho F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach X và Y.Tập xác định và đồ thị của F được kí hiệu bởi

domF := {x ∈ X | F (x) 6= ∅}, gphF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}.Định nghĩa 1.3 Cho F : X ⇒ Y với domF 6= ∅

(i) Lấy (¯x, ¯y) ∈ X × Y và ε ≥ 0 ε−đối đạo hàm của F tại (¯x, ¯y) đượcđịnh nghĩa là ánh xạ đa trị bDε∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ với các giá trị

là ε - đối đạo hàm của của F tại (¯x, ¯y) Nếu (¯x, ¯y) /∈ gphF , ta đặtb

Dε∗F (¯x, ¯y)(y∗) = ∅ với mọi ε > 0 và y∗ ∈ Y∗ Khi ε = 0 trong (1.13),biểu diễn này được gọi là đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) và được

ký hiệu bởi bD∗F (¯x, ¯y), nghĩa là

(ii) Đối đạo hàm Mordukhovich hay đối đạo hàm qua giới hạn của F tại(¯x, ¯y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị D∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ xác định bởi

Nhắc lại rằng một ánh xạ đơn trị f : X → Y là khả vi Fréchet tại

và

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) =

({y∗, −y∗} nếu y∗ < 0,[ − y∗, y∗] nếu y∗ ≥ 0

• Tập hợp

ˆ

∂f (¯x) := ˆ∂0f (¯x),được gọi là dưới vi phân Fréchet dưới (thường gọi là dưới vi phânFréchet ) của f tại ¯x Rõ ràng ˆ∂f (¯x) ⊂ ˆ∂εf (¯x) với mọi ε > 0

• Tập hợp

ˆ+f (¯x) := − ˆ∂(−f (¯x)),được gọi là dưới vi phân Fréchet trên của f tại ¯x

Định nghĩa 1.5 Tập hợp

∂f (¯x) := Limsup

x−→f x ¯ ε↓0

∂f (¯x) ⊂ ∂f (¯x)

• Tập hợp

∂∞f (¯x) := Limsup

x−→f x ¯ ε,λ↓0

λ ˆ∂εf (x), (1.21)

được gọi là dưới vi phân qua giới hạn suy biến (thường gọi tắt làdưới vi phân suy biến) của f tại ¯x Như vậy x∗ ∈ ∂∞f (¯x) khi và chỉkhi tồn tại các dãy xk −→ ¯f x, εk ↓ 0, λk ↓ 0, và x∗k ∈ λk∂fˆ εkf (xk) saocho x∗k −→ xω∗ ∗ Ta có thể chứng minh được rằng ∂∞f (¯x) = {0} nếuhàm f là Lipschitz địa phương tại ¯x

• Hàm f : X → ¯R hữu hạn tại ¯x ∈ X được gọi là chính quy dưới tại

Sử dụng kết quả ở Ví dụ 1.1 với Ω = epiϕ và ¯x = 0 ta thu được

1.4 Một số phép toán dưới vi phân

Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gian Banach X và Y

• F là nửa liên tục trên (u.s.c) tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thoả mãn F (¯x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho

F (x) ⊂ V ∀x ∈ U

• F là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thoả mãn F (¯x) ∩ V 6= ∅ tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho

F (x) ∩ V 6= ∅ ∀x ∈ U ∩ domF

Nếu F là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộcdomF thì F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trongX

• F là liên tục tại ¯x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên vàliên tục dưới tại ¯x Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF thì

F được gọi là liên tục ở trên X

• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là chính quy pháp tuyến tại(¯x, ¯y) ∈ gphF nếu

b

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) = D∗F (¯x, ¯y)(y∗) ∀y∗ ∈ Y∗

• Tập Ω ⊂ X là compắc pháp tuyến theo dãy (SNC) tại ¯x nếu vớimọi dãy εk ↓ 0, xk −→ ¯Ω x và x∗k ∈ bNεk(xk, Ω) có

[x∗k −→ 0] ⇒ [kxω∗ ∗kk → 0] khi k → 0,

ở đó εk có thể bỏ qua nếu X là không gian Asplund và Ω là đóngđịa phương quanh ¯x Một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là SNC tại(¯x, ¯y) ∈ gphF nếu đồ thị của nó có thuộc tính đó

• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là compắc pháp tuyến một phần theodãy (PSNC) tại (¯x, ¯y) nếu với mọi dãy (εk, xk, yk, x∗k, yk∗) ∈ [0, ∞) ×(gphF ) × X∗ × Y∗ thoả mãn

Cho một ánh xạ đơn trị f : X → Y giữa các không gian Banach.Lấy ¯x ∈ X f được gọi là Lipschitz địa phương tại ¯x nếu có một lân cận

U của ¯x và một số ` ≥ 0 sao cho

kf (x1) − f (x2)k ≤ `kx1 − x2k for all x1, x2 ∈ U

Hàm số ϕ : X → R được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại ¯x ∈ X nếulim inf

x→¯ x ϕ(x) > ϕ(¯x)

Định lý 1.3 (Quy tắc tính tổng cho dưới vi phân) [6, rem 3.36] Cho X là một không gian Asplund, fi : X → ¯R, i = 1, 2, , n

Theo-là các hàm nửa liên tục dưới trong một lân cận của ¯x và có ít nhất mộthàm số là SNEC tại ¯x Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn

[x∗i ∈ ∂∞fi(¯x) , i = 1, , n, x∗1 + + x∗n = 0] =⇒ x∗1 = = x∗n = 0

(1.22)Khi đó ta có các bao hàm thức

∂(f1 + + fn)(¯x) ⊂ ∂f1(¯x) + + ∂fn(¯x), (1.23)

∂∞(f1 + + fn)(¯x) ⊂ ∂∞f1(¯x) + + ∂∞fn(¯x) (1.24)Hơn nữa, nếu tất cả fi là chính quy dưới tại ¯x thì tổng f1+ + fn cũngchính quy dưới tại điểm đó, và bao hàm thức trong (1.23) trở thành đẳngthức

Xét bài toán tối ưu

min{f (x, y) | y ∈ Φ(x)} (1.25)phụ thuộc tham số x và hàm giá trị tối ưu tương ứng

µ(x) := inf{f (x, y) : y ∈ Φ(x)}, (1.26)

ở đó f : X × Y → ¯R là một hàm thực suy rộng và Φ : X ⇒ Y ánh xạ

đa trị giữa các không gian Banach Ký hiệu

S(x) := {y ∈ Φ(x) | f (x, y) = µ(x)} (1.27)

là tập nghiệm có tham số của (1.25)

Định lý 1.4 (Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu) [6, Theorem3.38] Cho ánh xạ đa trị Φ : X ⇒ Y giữa các không gian Asplund với đồthị đóng, f : X × Y → ¯R là hàm nửa liên tục dưới trên gphΦ, và ánh

xạ nghiệm S trong (1.27) là bán compắct nội bộ trong một lân cận của

x ∈ domµ Lấy ¯y ∈ S(¯x) Giả sử rằng hoặc f là SNEC tại (¯x, ¯y) hoặc Φ

là SNC tại (¯x, ¯y) và điều kiện chính quy

∂∞f (¯x, ¯y) ∩ (−N ((¯x, ¯y); gphΦ)) = {0} (1.28)được thỏa mãn Khi đó ta có các bao hàm thức

∂µ(¯x) ⊂ [[x∗ + D∗Φ(¯x, ¯y)(y∗) | (x∗, y∗) ∈ ∂f (¯x, ¯y)), ¯y ∈ S(¯x)] ,

(1.29)

∂∞µ(¯x) ⊂ [[x∗ + D∗Φ(¯x, ¯y)(y∗) | (x∗, y∗) ∈ ∂∞f (¯x, ¯y)), ¯y ∈ S(¯x)]

(1.30)Hơn nữa, µ là chính quy dưới tại ¯x và (1.29) trở thành một đẳng thứcnếu Φ là đơn trị trong một lân cận của ¯x, f chính quy dưới tại (¯x, Φ(¯x))

và một trong hai điều sau xảy ra

(a) dimY < ∞, Φ Lipschitz tại ¯x với gphΦ chính quy tại (¯x, Φ(¯x)), hoặc(b) Φ khả vi chặt tại ¯x

Chương 2

Dưới vi phân Fréchet và dưới vi

phân Mordukhovich

2.1 Dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu

Trong mục này, ta đi thiết lập công thức tính dưới vi phân Fréchetcủa hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số; cụ thể trìnhbày một đánh giá trên cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưutrong bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc

Ta xét bài toán điều khiển tối ưu (Pw) mô tả bởi hệ tuyến tính rờirạc (0.1)–(0.4)

Với mỗi x = (x0, x1, , xN) ∈ X, u = (u0, u1, , uN −1) ∈ U, w =(w0, w2, , wN −1) ∈ W ta đặt

ở đó,

G(w) := {z = (x, u) ∈ bX | Az = T w},

A : bX −→ Z và T : W −→ Z được xác định lần lượt bởi Az =(−A0x0+x1−B0u0, −A1x1+x2−B1u1, , −AN −1xN −1+xN−BN −1uN −1)và

T w = (T0w0, T1w1, , TN −1wN −1)

Dễ ràng thấy rằng

A∗z∗ = (−A∗0z1∗, z1∗ − A∗1z∗2, , zN −1∗ − A∗N −1z∗N,

− B0∗z∗1, −B1∗z2∗, , −BN −1∗ zN∗ )và

T∗z∗ = (T0∗z1∗, T1∗z2∗, , TN −1∗ zN∗ ),

ở đó A∗ và T∗ lần lượt là các toán tử liên hợp của A và T

Ta kí hiệu S(w) là tập nghiệm của bài toán (Pw) và giả sử rằng (¯x, ¯u)

là một nghiệm của (Pw ¯) tức là (¯x, ¯u) ∈ S( ¯w) ở đó ¯x := (¯x0, ¯x1, , ¯xN),

¯

u := (¯u0, ¯u1, , ¯uN −1) và ¯w := ( ¯w0, ¯w1, , ¯wN −1) Giả sử thêm rằng Ωk

là bao đóng địa phương của ¯wk với mọi k = 0, 1, , N − 1

Kết quả chính của mục này là thiết lập đánh giá cho dưới vi phânFréchet của hàm giá trị tối ưu

Định lý 2.1 [3, Theorem 1.1] Giả sử hàm giá trị tối ưu được xác địnhbởi (2.1) là hữu hạn tại ¯w, hk là khả dưới vi phân Fréchet tại (¯xk, ¯uk, ¯wk),

hN là khả dưới vi phân Fréchet tại xN và Ωk là chính quy pháp tuyến tại

¯

uk với mọi k = 0, 1, , N − 1 Giả thiết rằng

[ − bN ((¯x, ¯u); K)] ∩ A∗(kerT∗) = {0} (2.2)Khi đó điều kiện cần để w∗ = (w0∗, w1∗, , wN −1∗ ) ∈ b∂V ( ¯w) là tồn tại x∗0 ∈b

N (¯x0; C), u∗ = (u∗0, u∗1, , u∗N −1) ∈ bN (¯u; Ω) và z∗ = (z1∗, z2∗, , zN∗ ) ∈

Z∗ sao cho

)(¯x0, ¯u0, ¯w0) = −x∗0 − A∗0z1∗ ∇hN(¯xN) = zN∗ ,(∂hk

∂xk)(¯xk, ¯uk, ¯wk) = −z

∗

k − A∗kzk+1∗ với k = 0, 1, , N − 1,(∂hk

∂uk

)(¯xk, ¯uk, ¯wk) = −u∗k − Bk∗zk+1∗ với k = 0, 1, , N − 1

Điều kiện trên cũng là đủ để ¯w∗ ∈ b∂V ( ¯w) nếu ta giả sử thêm rằng ánh

xạ nghiệm S : G−1(K) ⇒ bX có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại( ¯w, ¯x, ¯u)

Chú ý rằng nếu Tk là toàn ánh với mọi k = 0, 1, , N − 1 khi đókerT = {0} và (2.2) được thỏa mãn Vì vậy, cùng với Ví dụ 2.1 chỉ rarằng điều kiện (2.2) là thực sự yếu hơn điều kiện tương ứng trong [5], ở

đó Tk được giả thiết là toàn ánh với mọi k = 0, 1, , N − 1

Cho X, Y và Z là những không gian hữu hạn chiều Giả thiết rằng

A : X −→ Z và T : W −→ Z là những ánh xạ tuyến tính với ánh xạliên hợp A∗ : Z∗ −→ X∗ và T∗ : Z∗ −→ W∗ Giả sử f : X × Y −→ R làmột hàm giá trị thực mở rộng Với mỗi w ∈ W ta đặt G(w) := {x ∈ X |

Ax = T w} Giả sử ¯w ∈ W và K là một tập con khác rỗng của X Xétbài toán

µ(w) := inf

x∈G(w)∩Kf (x, w) (2.3)Đặt S(w) là tập nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số w ∈ W Giả sử rằng ¯x là một nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số

¯

w tức là ¯x ∈ S( ¯w) và K là đóng địa phương tại ¯x

Kết quả sau cho ta một công thức tính dưới vi phân Fréchet của µtại ¯w

Định lý 2.2 [3, Theorem 2.1]

Cho hàm giá trị tối ưu µ xác định bởi (2.3) là hữu hạn tại ¯w ∈ domS,

và giả sử ¯x ∈ S( ¯w) sao cho b∂+f (¯x, ¯w) 6= ∅ Giả sử K là chính quy pháptuyến tại x và

[ − bN (¯x; K)] ∩ A∗(kerT∗) = {0} (2.4)Khi đó

Nếu thêm vào giả thiết f là khả dưới vi phân Fréchet tại (¯x, ¯w) và ánh

xạ nghiệm S : G−1(K) ⇒ X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại( ¯w, ¯x) thì

xác định bởi ϕ∗(z∗) = (−T∗z∗, A∗z∗) với mọi z∗ ∈ Z∗ Khi Q là khônggian véctơ,

b

N (( ¯w, ¯x); P ∩ Q) = {0} × bN (¯x, K) + bN (( ¯w, ¯x); P ∩ Q) (2.9)Trước hết chú ý rằng

b

N ((w, x); P ) = bN (w; W ) × bN (x; K) = {0} × bN (x; K), (2.10)với mọi (w, x) ∈ W × K Hơn nữa, K là chính quy pháp tuyến tại x.Khi đó tập P là chính quy pháp tuyến tại ( ¯w, ¯x) Khi Q là lồi thì nó làchính quy pháp tuyến tại ( ¯w, ¯x) Ta thấy rằng cặp những tập P, Q thỏamãn điều kiện chính quy pháp tuyến

b

N (( ¯w, ¯x); Q) ∩ [ − bN (( ¯w, ¯x); P )] = {(0, 0)}

Thật vậy, lấy tùy ý (w∗, x∗) ∈ bN (( ¯w, ¯x); Q) ∩ [ − bN (( ¯w, ¯x); P )] Từ (2.8)

và (2.10) ta có w∗ = 0, −x∗ ∈ bN (¯x; K) và w∗ = −T∗z∗, x∗ = A∗z∗ vớimột vài z∗ ∈ Z∗ Do đó, điều kiện chính quy pháp tuyến thỏa mãn Theo[6, Corollary 3.5],

b

N (( ¯w, ¯x); P ∩ Q) = bN (( ¯w, ¯x); P ) + bN (( ¯w, ¯x); Q)

Điều này và (2.10) thiết lập được (2.9) Từ (2.8) và (2.9) suy ra

(w∗, −x∗) ∈ bN (( ¯w, ¯x); gphH) = bN (( ¯w, ¯x); P ∩ Q)nếu và chỉ nếu tồn tại u∗ ∈ bN (¯x; K) và z∗ ∈ Z∗ sao cho w∗ = −T∗z∗ và

Cuối cùng, giả sử thêm rằng f là khả dưới vi phân Fréchet tại (¯x, ¯w)

và ánh xạ nghiệm S : G−1(K) −→ X có một lát cắt Lipschitz trên địaphương tại ( ¯w, ¯x) Rõ ràng rằng G−1(K) = domH Bởi [7, Theorem 2],

b

∂µ( ¯w) = ∇wf (¯x, ¯w) + bD∗H( ¯w, ¯x)(∇xf (¯x, ¯w)) (2.12)Kết hợp (2.11) và (2.12) ta thiết lập được (2.6) Định lý được chứngminh

Mệnh đề sau cho ta một vài trường hợp mà điều kiện (2.4) đượcthỏa mãn

Mệnh đề 2.1 Giả sử một trong các điều kiện sau là đúng

(a) ¯x ∈ intK;

(b) imA ⊂ imT ;

(c) K là lồi và imT ∩ A(intK) 6= ∅

Khi đó, (2.4) được thỏa mãn

Chứng minh (a) Nếu ¯x ∈ intK thì bN (¯x; K) = {0} và do đó (2.4) đượcthỏa mãn

(b) Giả sử rằng imA ⊂ imT Cho x∗ ∈ A∗(kerT∗) và x ∈ X Khi đótồn tại z∗ ∈ kerT∗ và w ∈ W sao cho x∗ = A∗z∗ và Ax = T w Ta có

x∗ = A∗z∗ Để ý rằng A¯x = T ¯w Do đó

hx∗, ¯xi = hA∗z∗, ¯xi = hz∗, A¯xi

= hz∗, T ¯wi = hT∗z∗, ¯

= 0

Tương tự, hx∗,xi = 0 Khi K lồi và −xb ∗ ∈ bN (¯x; K), hx∗, x − ¯xi > 0

∀x ∈ K thì hx∗, (x + εu)i ≥ 0 với mọi u ∈ Bb X Rõ ràng rằng hx∗, ¯xi =

hx∗,bxi và ε > 0 Do đó, hx∗, ui > 0 ∀u ∈ BX Suy ra, x∗ = 0 Vì vậy,[ − bN (¯x; K)] ∩ A∗(kerT∗) = {0}

Ví dụ 2.1 Cho X = R3, W = R2, K = (−∞; 1] × (−∞; 1] × R,

f (x, w) =

q2(x21 + x22) − w12 + w22,

và G(w) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 = 2w1, x3 = 0} Giả sử rằngb



với G( ¯w) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 = 2, x3 = 0} Dễ ràng thấyrằng ¯x = (1, 1, 0) là nghiệm duy nhất của bài toán tương ứng với ¯w vàµ( ¯w) = 1, và bN (¯x; K) = R+× R+× {0} Bằng việc tính trực tiếp, ta có

A(x1, x2, x3) := (x1 + x2, x3) và T (w1, w2) := (2w1, 0)

Vì A, T là những ánh xạ tuyến tính và 0 ∈ intK nên imT ∩A(intK) 6=

∅ Theo Mệnh đề 2.1, điều kiện (2.4) được thỏa mãn Ta dễ dàng thấyrằng G−1(K) = (−∞; 1] × R và S : (−∞; 1] × R ⇒ R3 có một lát cắtLipschitz trên địa phương tại ( ¯w, ¯x) Bởi (2.6), ta có

∅ nếu u∗1 6= u∗2

Chứng minh Định lý 2.1 Giả sử w∗ ∈ b∂V ( ¯w) Bởi Định lý 2.2, tồntại một véctơ bx∗ ∈ bN (¯z; K) và z∗ = (z1∗, z2∗, , zN∗ ) ∈ Z∗ sao cho

w∗ = ∇wf (¯z, ¯w) + T∗z∗ và ∇zf (¯z, ¯w) +xb∗ = A∗z∗ (2.14)

Vì xb∗ ∈ bN (¯z; K) = bN (¯x0; C) × {0} × bN (¯u; Ω) nên ta cần tìm x∗0 ∈b

N (¯x0; C) và ¯u∗ = (u∗0, u∗1, , u∗N −1) với u∗k ∈ bN (¯uk; Ω)(k = 0, 1, , N −1) sao cho xb∗ = (x∗0, 0, ¯u∗) Phần còn lại của chứng minh bao gồm tính

∇wf (¯z, ¯w), ∇zf (¯z, ¯w), T∗z∗, A∗z∗ và thế chúng vào (2.14) Ta bỏ qua chitiết này, vì chúng đã được nhắc đến ở trong chứng minh [5, Theorem1.1]

∂V ( ¯w) Khi đó, ta có w∗ = (−1, −1, −1) Thật vậy, trong trường hợp

Áp dụng Định lý 2.1 ta tìm được một nghiệm của bài toán (Pw¯) Với mỗi

xk+1 = g(xk, uk) = xk + uk, k = 0, 1, 2,

xi = x

Ta có I(x, 3) = 1

1 + x2 Theo [4, Theorem 2 of §6.4], I(x, k)(k = 0, 1, 2)

là nghiệm của hệ phương trình hàm Bellman

I(x, 0) = min

u [(x + u)2 + I(g(x, u), 1)] = min

u [(x + u)2 + 1] = 1.Lấy ¯xα = (¯x0, ¯x1, x2, ¯x3) = (α, 0, 0, 0) và ¯uα = (¯u0, ¯u1, ¯u2) = (−α, 0, 0)

Ta thấy rằng (¯x, ¯u) là điểm chấp nhận được của bài toán (Pwα¯) và







I(¯xk, k) = (¯xk + ¯uk)2 + I(¯xk+1, k + 1) (k = 0, 1, 2),I(¯x3, 3) = 1

1 + ¯x2 3

Theo [4, Theorem 2 of §6.4], (¯x, ¯u) ∈ Sα( ¯w) với Sα( ¯w) là nghiệm của bàitoán (Pwα¯) Kí hiệu Vα( ¯w) là giá trị tối ưu của bài toán (Pwα¯) Ta có

Vα( ¯w) = 1 và V ( ¯w) = inf

α∈(−∞,1]Vα( ¯w) = 1

Do đó, (¯x, ¯u) ∈ S( ¯w) với ¯x = (¯x0, ¯x1, ¯x2, ¯x3) = (1, 0, 0, 0) và ¯u =(¯u0, ¯u1, ¯u2) = (−1, 0, 0) Đặt

và T : R3 −→ R3 được xác định lần lượt bởiA(x0, x1, x2, u0, u1, u2) = (−x0 + x1 − u0, −x1 + x2 − u1, −x2 + x3 − u2)và

suy ra (2.2) được thỏa mãn Theo Định lý 2.1, tồn tại z1∗, z2∗, z3∗ sao cho

∇h3(¯x3) = z3∗,

 ∂hk

∂xk

(¯xk, ¯uk, ¯wk) = zk∗ − A∗kzk+1∗ với k = 1, 2

 ∂hk

∂uk

(¯xk, ¯uk, ¯wk = −Bkzk+1∗ , với k = 0, 1, 2

Do đó, z1∗ = z2∗ = z3∗ = 0 và w0∗ = w1∗ = w∗2 = −1 Ta suy ra rằng,b

∂V ( ¯w) ⊂ {(−1, −1, −1)}.Bằng lập luận như trên, việc tìm một nghiệmcủa (Pw¯)ta thấy rằng cặp x = (−1, 0, 0, 0) và u0 = (w0 − 1, 0, 0) lànghiệm của bài toán (Pw) tương ứng với tham số w = (w0, w1, w2) Do

đó, h : R3 −→ R7 được xác định bởi h(w) := (−1, 0, 0, 0, w0, −1, 0, 0)với w = (w0, w1, w2) ∈ R3 là một lát cắt của ánh xạ nghiệm S và nóLipschitz trên địa phương tại ( ¯w, ¯x, ¯u) Theo Định lý 2.1, ta có b∂V ( ¯w) ={(−1, −1, −1)}

2.2 Dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị

Xét bài toán (2.1) Giả sử rằng Ωk là đóng địa phương tại ¯uk, vớimọi k = 0, 1, , N − 1 và điều kiện (A) sau đây được thỏa mãn:

(A) Với bất kì x∗0 ∈ N (¯x0; C), và u∗ ∈ N (¯uk; Ωk), k = 0, 1, , N −1,

nếu tồn tại z∗ = (z1∗, z2∗, , z∗N) ∈ X1 × X2 × , XN sao cho

Định lý 2.3 [16, Theorem 2.1] Giả sử S là V –nửa liên tục dưới nội bộtại ( ¯w, ¯z) ∈ gphG, hN khả vi chặt tại ¯xN và hk khả vi chặt tại (¯xk, ¯uk, ¯zk)với mọi k = 0, 1, , N − 1 Giả sử rằng Ωk là chính quy pháp tuyếntại ¯uk, intΩk 6= ∅ với mọi k = 0, 1, , N − 1 và giả sử (A) được thỏamãn Khi đó, để w∗ = (w0∗, w1∗, , wN −1∗ ) ∈ W trở thành một dướigradient Mordukhovich của V tại ¯w = ( ¯w0, ¯w1, , ¯wN −1), điều kiện cần

là tồn tại x∗0 ∈ N (¯x0; C), u∗ = (u0, u1, , uN −1) ∈ N (¯u; Ω) và z∗ =(z0∗, z1∗, , zN∗ ) ∈ Z sao cho

 ∂h0

∂x0

(¯x0, ¯u0, ¯w0) = −x∗0 − A∗0z1∗,  ∂hN

∂xN

(¯xN) = zN∗ ,

 ∂hk

∂xk

(¯x,u¯k, ¯wk) = zk∗ − A∗kzk+1∗ với k = 0, 1, , N − 1,

 ∂hk

∂uk

(¯x,u¯k, ¯wk) = −u∗k − Bk∗zk+1∗ với k = 0, 1, , N − 1.Điều kiện trên cũng là đủ để w∗ ∈ ∂V ( ¯w) nếu ánh xạ nghiệm S :

G−1(K) ⇒ bX có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại ( ¯w, ¯x, ¯u).Khi Ωk = Uk hoặc ¯u ∈ intΩk, ta có N (¯u; Ωk) = {0} Trong trườnghợp này, N (¯u; Ω) = {0} và N (¯x0; C) = {0}, ta có kết quả sau