Không gian sobolev và ứng dụng (LV01700)

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoahọc của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.. Lý do chọn đề tài Như đã biết,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN HẢI

KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN HẢI

KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của

thầy giáo TS Trần Văn Bằng Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy

trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiềutrong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâusắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòngSau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điềukiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 21 tháng 3 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Hải

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của

TS Trần Văn Bằng.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoahọc của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoanrằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 21 tháng 3 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Hải

2.1 Bài toán biên Dirichlet thuần nhất với toán tử Laplace 352.2 Bài toán biên Neumann đối với toán tử Laplace 402.3 Tính chính quy của nghiệm 42

Danh mục kí hiệu

• RN Không gian Euclide N chiều

c(Ω) Không gian các hàm khả vi cấp 1 có giá compact trên Ω

• k.kV Chuẩn trong không gian V

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong xã hộithường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc địnhlượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học Nhưng tacũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữacác tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên, khi đó xuấthiện những khó khăn toán học thực sự Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng tabuộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sangtuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toántuyến tính Vẫn chưa đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối vớigiả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định Khi đó,việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người taxây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó lànghiệm cổ điển của bài toán Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toánđược giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu Vìvậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng

để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sửdụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về không gian Sobolev nên em chọn đề tài “Không

gian Sobolev và ứng dụng”để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Sobolev: khái niệm, các cấu trúc cơ bản và khả năng ứng dụngtrong nghiên cứu tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết không gian Sobolev

Tìm hiểu cơ bản về lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

Trình bày một cách hệ thống về không gian Sobolev và ứng dụng của chúng trong lýthuyết phương trình đạo hàm riêng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: không gian Sobolev và ứng dụng.

Phạm vi nghiên cứu: không gian Sobolev Wm,p(Ω) và W0m,p(Ω) và ứng dụng trongPhương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo;

Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm và của Phương trình đạo hàm riêng;

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

6 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống về không gian Sobolev, một số ứng dụng của không gianSobolev trong việc nghiên cứu tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng

f là đo được và có một hằng số Csao cho |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Ω





với

kf kL∞ = kf k∞ = infC : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Ω

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử f ∈ Lp và g ∈ Lp0 với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó

Định lý 1.2 (Ascoli–Arzelà) Giả sử K là một không gian metric compact và H là một

tập con bị chặn của C(K) Giả sử H là đồng nhất liên tục khi đó,

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho d(x1, x2) < δ ⇒ |f (x1) − f (x2)| < ε ∀f ∈ H (1.5)

Khi đó bao đóng của H trong C(K) là compact.

Định lý 1.3 (Kolmogorov–M Riesz–Fréchet) Giả sử F là một tập bị chặn trong Lp(RN)

với 1 ≤ p < ∞ Giả sử

lim

|h|→∞kτhf − f kp = 0 đồng nhất trong f ∈ F , (1.6)

tức là, ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho kτhf − f kp < ε ∀f ∈ F , ∀h ∈ RN với |h| < δ.

Khi đó bao đóng của F|Ω trong Lp(Ω) là compact với tập đo được bất kì Ω ⊂ RN với

độ đo hữu hạn.

Chứng minh. Ta chứng minh theo các bước sau:

Như vậy ta có được (1.9) với Cn = k∇ρnkLp0 (R N ).

Bước 3 Cho ε > 0 và Ω ⊂ RN có độ đo hữu hạn, khi đó có một tập con đo được và bịchặn ω của Ω sao cho

kf kLp (Ω\ω) < ε, ∀f ∈ F (1.10)

Thật vậy, ta viết

kf kLp (Ω\ω)≤ kf − (ρn? f )kLp (R N )+ kρn? f kLp (Ω\ω)

Trong (1.8) ta phải chọn ω sao cho |Ω\ω| đủ nhỏ

Bước 4.Vì Lp(Ω) là đầy đủ nên ta phải chỉ ra rằng F|Ω là hoàn toàn bị chặn tức là, với

bất kì ε > 0 có một phủ hữu hạn của F|Ωbằng hình cầu bán kính ε Cho ε > 0 ta cố địnhmột tập đo được và bị chặn ω sao cho (1.10) không đổi Ta cũng cố định n > 1/δ Họ

H = (ρn? F )|¯ ω thỏa mãn các giả thiết của Định lí Ascoli–Arzelà Do đó H có bao đóngcompact trong C(¯ω), do vậy H cũng có bao đóng compact trong Lp(ω) Vì vậy ta có thểphủ H bằng hữu hạn các hình cầu bán kính ε trong Lp(ω)

ω

|f − gi|ptheo (1.10) ta có

kf − ¯gikLp (Ω) ≤ ε + kf − gikLp (ω)

≤ ε + kf − (ρn? f )kLp (R N )+ k(ρn? f ) − gikLp (ω) < 3ε

Vậy F|Ωcó bao đóng bị chặn trong Lp(Ω)

Định nghĩạ Một dạng song tuyến tính a : H × H → R được gọi là

(i) liên tục nếu có một hằng số C sao cho

|ău, v)| ≤ C |u| |v| , ∀u, v ∈ H;

(ii) bức nếu có một hằng số α > 0 sao cho

ău, v) ≥ α |v|2, ∀v ∈ H

Định lý 1.4 (Lax-Milgram) Cho không gian Hilbert (H, (., )) với ặ, ) là dạng song

tuyến tính đối xứng liên tục, bức trên H và phiếm hàm tuyến tính liên tục F ∈ H∗ Khi đó tồn tại duy nhất u ∈ H sao cho

ău, v) = F (v), ∀v ∈ H

Định lý 1.5 (Stampacchia) Giả sử ău, v) là một dạng song tuyến tính liên tục bức trên

H Giả sử K ⊂ H là một tập con khác rỗng lồi và đóng Khi đó, với bất kì ϕ ∈ H? tồn tại duy nhất u ∈ K sao cho

1.2 Không gian Sobolev Wm,p(Ω)

Cho Ω ∈ RN là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞

Định nghĩa 1.1 Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa bởi

Với u ∈ W1,p(Ω) ta định nghĩa ∂x∂u

Không gian Sobolev W1,p(Ω) được trang bị chuẩn

i=1

∂u

∂x i

p p

1/p

nếu 1 ≤ p < ∞
Khônggian H1(Ω) được trang bị với tích vô hướng

Chuẩn tính bởi tích vô hướng

!1/2

tương đương với chuẩn trong W1,2

Mệnh đề 1.1 W1,p(Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ p < ∞ W1,p(Ω) là phản xạ

với 1 < p < ∞, và là tách được với 1 ≤ p < ∞ H1(Ω) là một không gian Hilbert tách

được.

Định nghĩa 1.2 Cho Ω ⊂ RN

là một tập mở Ta nói rằng một tập mở ω trong RNlà chứa compact trong Ω và ta viết ω ⊂⊂ Ω nếu ω ⊂ Ω và ω là compact.

Định lý 1.6 (Friedrichs) Cho u ∈ W1,p(Ω) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó tồn tại một dãy (un)

trong Cc∞ RN
sao cho

supp (ρn? αu) = supp (ρn? (1 − α)u)

⊂ suppρn+ supp(1 − α)u ⊂ B



0,1n

+ supp (1 − α)

Dưới đây là một đặc trưng đơn giản của các hàm trong W1,p

Mệnh đề 1.2 Cho u ∈ Lp(Ω) với 1 < p ≤ ∞ Các tính chất sau là tương đương

(i) u ∈ W1,p(Ω).

(ii) Tồn tại một hằng số C sao cho

Z

Ω

u∂ϕ

∂xidx

≤ C kϕkLp0 (Ω) ∀ϕ ∈ Cc∞(Ω) ∀i = 1, 2, , N

(iii) Tồn tại một hằng số C sao cho với mọi ω ⊂⊂ Ω và mọi h ∈ RN với |h| <

dist(ω, ∂Ω) ta có

kτhu − ukLp (ω) ≤ C |h|

(Chú ý rằng τhu(x) = u(x + h) có nghĩa với x ∈ ω và |h| < dist(ω, ∂Ω)).

Hơn nữa, ta có thể lấy C = k∇ukLp (Ω) N trong (ii) và (iii).

Nếu Ω = RN, ta có

kτhu − ukLp (R N ) ≤ |h| k∇ukLp (R N ) N

Chứng minh.

(i)⇒ (ii) Hiển nhiên

(i) ⇒ (iii) Đầu tiên giả sử rằng u ∈ Cc∞(RN) Cho h ∈ RN và đặt

v(t) = u(x + th), t ∈ R

Khi đó v0(t) = h · ∇u(x + th) và do đó

u(x + h) − u(x) = v(1) − v(0) =

Z 1 0

v0(t)dt =

Z 1 0

h · ∇u(x + th)dt

Từ đây suy ra, với 1 ≤ p < ∞,

|τhu(x) − u(x)|p ≤ |h|p

Z 1 0

|∇u(x + th)|pdt

= |h|p

Z 1 0

dtZ

ω

|∇u(x + th)|pdx

= |h|p

Z 1 0

dtZ

Ta đã chứng minh được (iii) với u ∈ Cc∞(RN) và 1 ≤ p < ∞ Bây giờ giả sử rằng

u ∈ W1,p(Ω) với 1 ≤ p < ∞ Theo Định lí 1.6, tồn tại một dãy (un) trong Cc∞(RN) saocho un → u trong Lp(Ω) và ∇un → ∇u trong Lp(ω)N, ∀ω ⊂⊂ Ω Áp dụng (1.16) đốivới (un) và cho qua giới hạn ta có (iii) với mọi u ∈ W1,p(Ω), 1 ≤ p < ∞ Khi p = ∞,

áp dụng kết quả trên (với p < ∞) và cho p → ∞

(iii) ⇒ (ii) Giả sử ϕ ∈ Cc∞(Ω), xét tập mở ω sao cho suppϕ ⊂ ω ⊂⊂ Ω Lấy

h ∈ RN với |h| < dist(ω, ∂Ω) Do (iii) ta có