skkn PHÁT HUY TÍNH TÍCH cực của học SINH về bài TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH học 11

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 11 Người thực hiện: LƯƠNG HỒNG LỘC Lĩnh vực nghiên cứ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: TRƯỜNG THPT LONG KHÁNH

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH

VỀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 11

Người thực hiện: LƯƠNG HỒNG LỘC

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2014 – 2015

BM 01-Bia SKKN

x

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

8 Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc chuyên

môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…):

Dạy môn Toán lớp 11C2, 11C9, 12B9 và Chủ nhiệm lớp 12B9, Giáo vụ,…

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Long Khánh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2001

- Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán

Số năm có kinh nghiệm: 15

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

Ứng dụng PPTĐ Giải bài toán hình học không gian Góc và Khoảng cách

BM02-LLKHSKKN

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH

VỀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán phổ thông lớp 11, 12, hình học không gian là một môn học rất thú vị, song đây cũng là môn học khó đối với một số học sinh Các em cần phải nắm thật kỹ các định lý về lý thuyết, có óc tưởng tượng phong phú, đặc biệt là khả năng vẽ và nhìn được hình trong không gian khi vẽ chúng trên mặt phẳng Điều này rất khó đối với phần lớn học sinh Từ đó làm cho kết quả học tập của các em còn thấp

Nhằm giúp các em tìm kiếm một phương pháp khác để có thể giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, năm học 2012 – 2013 tôi đã đưa ra một phương pháp là dùng tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian, nhất là các bài toán về khoảng cách Song, vẫn còn đó một số trở ngại:

+ Hệ trục tọa độ trong không gian lên đến giữa chương trình 12 mới học.+ Việc thiết lập hệ trục tọa độ không phải lúc nào cũng dễ dàng, không phải học sinh nào cũng làm được

+ Chuyển từ ngôn ngữ hình học không gian thuần túy sang hình học giải tích

là một vấn đề khó khăn Nó đòi hỏi các em phải có kỹ năng tính toán nhất định, bài giải thường dài và rườm rà

Để các em có thêm một công cụ nữa trong việc giải các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học, tôi đưa ra một hướng đi mới cho các em Đó là

“Phát huy tính tích cực về bài toán khoảng cách” cụ thể là, thông qua việc khai

thác từ một bài toán đơn giản bao quát tất cả các vấn đề từ đó ta làm nền tảng khai thác bài toán khó hơn Hướng đi này tôi sẽ hướng dẫn các em học sinh có sự kiên nhẫn và tích cực hơn đó là chỉ cần ta giải quyết được bài toán cơ bản thì ta sẽ giải quyết được mọi bài toán khác

Trong chuyên đề này tôi đưa ra bài toán cơ bản và cách giải, sau đó phân

loại theo từng loại khoảng cách (có hai loại chính: khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) theo từng dạng, có minh

họa bằng các đề thi đại học, đề tham khảo và bài tập để các em học sinh vận dụng

Học sinh dựa vào đây có thể tự mình giải quyết được bài toán hình học không gian thuần túy

Đây là chuyên đề mà bản thân tôi thấy rất tâm đắc, có ích đối với học sinh

và giáo viên Qua chuyên đề này, mong các em học sinh khối 11 trường năm sau trở đi có thể áp dụng vào chương trình học, các em học sinh khối 12 áp dụng vào

kỳ thi THPT Quốc Gia để đạt kết quả cao nhất

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

a) Trong sách giáo khoa hình học 11 , Chương III, Bài 5: Khoảng cách; các khái niệm về khoảng cách được định nghĩa một cách khá đơn giản Ngoài ra không đưa ra một thuật toán nào rõ ràng để tính các khoảng cách, nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được, học sinh sẽ rất lúng túng

Cụ thể qua các kì thi tuyển sinh Đại học hàng năm, tôi nhận thấy khi gặp bài toán tính khoảng cách các em học sinh vẫn còn lúng túng, chưa thuần thục và có 1

tư duy ổn định cho loại toán này Đó là:

Một, nếu là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

+ Chưa nhìn ra được cách xác định hình chiếu của 1 điểm trên mặt phẳng.+ Chưa linh hoạt trong việc quy đổi giữa các khoảng cách mà đã vội vàng,

“máy móc” vận dụng phương pháp đi tìm hình chiếu của điểm xuống mặt phẳng, chưa kể đến đôi khi bế tắc trong phần tính toán

Hai, nếu là bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

+ Chưa nhận ra được “mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với

+ Xác định được các loại khoảng cách

+ Quy đổi khoảng cách giữa các điểm

+ Xác định hình chiếu của 1 điểm trên mặt phẳng

+ Biết cách chọn đúng mặt phẳng trong bài toán khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Và bước cuối cùng là tính toán dựa vào kiến thức tỉ số lượng giác và các hệ thức lượng trong tam giác

Qua thực tế giảng dạy, tôi rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ về việc hướng dẫn học sinh xác định các loại khoảng cách

 Cơ sở lyù thu yết

TH1: Nếu a, b là hai đường thẳng chéo

nhau (không vuông góc) và (P) là mặt

P)

phẳng chứa b và song song với a thì:

d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) với A ∈ a

TH 2: Đặc biệt nếu a, b chéo nhau và a ⊥ b

Tìm mp(P) chứa b và ⊥ a tại điểm A

Kẻ AH ⊥ b ⇒ d(a,b) = AH

AH gọi là đoạn vuông góc chung của a và b

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.

1 Giải pháp 1: Phát huy tính tích cực qua Bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khi gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm A đến mặt phẳng (P) ta thực hiện lần lượt các bước tư duy sau:

• Bước 1: Tìm một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) tại H.

⇒ d(A,(P)) = AH

Nếu không có thì ta chuyển sang bước 2

• Bước 2: Tìm một mặt phẳng (Q) đi qua A và (Q) ⊥ (P) theo giao tuyến d

Từ A kẻ AH ⊥ d tại H, suy ra AH ⊥ (P) Ta có: d(A,(P)) = AH

* Dấu hiệu nhận ra mp(Q): (Q) đi qua A và (Q) có chứa sẵn 1 đường

thẳng a vuông góc với 1 đường thẳng b chứa trong (P).

Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với b, ta xác định được mp(Q).

Nếu không có dấu hiệu nhận ra mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (P) thì

ta chuyển sang bước 3

• Bước 3: Tìm đường thẳng a đi qua A và a // (P), trên a có điểm B (B ≠ A)

Theo tính chất 1: d(A,(P)) = d(B,(P)), để tính d(B,(P)) ta quay về bước 1, 2 như trên

Nếu không có dấu hiệu của bước 3 hoặc có nhưng việc xác định hình chiếu vẫn khó khăn, ta chuyển sang bước 4

• Bước 4: Tìm đường thẳng a đi qua A và cắt (P) tại I, trên đường thẳng đó

có điểm B sao cho AI, BI biết tỉ số

Theo tính chất 2:

( ,( ))

( ,( )) ( ,( ))( ,( ))

, để tính khoảng cách d(B,(P)) ta quay về bước 1, 2, 3

Bài toán 1: Bài toán cơ bản về khoảng cách

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

Theo dấu hiệu nêu trên ta có:

Nhận thấy SA ⊥ BC, từ A kẻ AI ⊥

Ta có: SA ⊥ BC, kẻ AI ⊥ BC ⇒(SAI)⊥ BC ⇒(SAI)⊥ (SBC) theo giao tuyến SI

Từ A kẻ AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ (SBC)

BC, ta thiết lập nên mp(Q) là (SAI)

đi qua A và ⊥ (SBC)

Cần nắm vững bài toán gốc này,

nó là cốt lõi, mọi bài toán khoảng

cách đều quy về dạng này

 Bài toán 2: Bài toán minh họa các bước tư duy

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA ⊥

(ABCD), SA = a 2 Gọi H, G lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SBD Tính các khoảng cách:

a/ d(S,(ABCD)) b/ d(B,(SAD)) c/ d(C,(SAB))

d/ d(A,(SBC)) e/ d(A,(SBD) f/ d(A,(SCD))

g/ d(D,(SBC)) h/ d(O,(SCD)) i/ d(C,(SBD))

j/ d(G,(SCD)) k/ d(H,(SBD))

a/ Nhận thấy có đường thẳng đi qua

S và vuông góc (ABCD)

SA ⊥(ABCD)

a/ Ta có: SA ⊥(ABCD)

⇒ d(S,(ABCD)) = SA = a 2b/ Nhận thấy có thể chứng minh

được BA ⊥ (SAD)

b/ Vì BA ⊥ AD, BA ⊥ SA

⇒BA ⊥ (SAD)⇒d(B,(SAD)) = BA = ac/ Nhận thấy có thể chứng minh

được CB ⊥ (SAB)

c/ Vì CB ⊥ AB, CB ⊥ SA

⇒CB ⊥ (SAB)⇒d(C,(SAB)) = CB = ad/ Không có bước 1, chuyển sang

bước 2, có thể tìm được mp đi qua

e/ Không có bước 1, chuyển sang

bước 2, có thể tìm được mp đi qua

5 2

2 4

a a

a

f/ Không có bước 1, chuyển sang

bước 2, có thể tìm được mp đi qua

2 2 2 2

3 2

a

g/ Không có bước 1, 2 chuyển sang

bước 3 Vì thấy AD // (SBC)

⇒ d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))

Đến đây, giả sử chưa có d(A,(SBC))

ở câu d, thì tiếp tục thực hiện các

bước tư duy 1, 2 để tính d(A,(SBC))

g/ Ta có: AD //(SBC), nên:

d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) =

6 3

a

h/ Nhận thấy không có bước 1, 2, 3

ta chuyển sang bước 4 Phát hiện O

Hỏi: vậy tại sao không quy về B

trên đường thẳng BD mà quy về A?

Vì ở B không có dấu hiệu có mặt

phẳng đi qua và vuông góc với

(SCD)

h/ Vì O là trung điểm AC, nên:

1 ( , ( )) ( ,( ))

trên đường thẳng AC, cắt (SBD) tại

trung điểm O của AC

Tương tự như lí luận trên, nếu ở đây

chưa có d(A,(SBD)) ta quay về từng

bước tư duy 1, 2, 3 cho điểm A

i/ Vì O là trung điểm của AC, nên:

d(C,(SBD)) = d(A,(SBD)) =

10 5

a

j/ d(G,(SCD))?

Tư duy bước 1, 2, 3 thất bại, nên chỉ

có thể là bước 4 Phát hiện G thuộc

GS

OS =

2 ( ,( )) ( ,( ))

3

d G SCD = d O SCD

Þ

Tiếp tục tư duy từng bước cho O,

chỉ thỏa ở bước 4, tức là có đường

thẳng AC qua O và cắt (SCD) tại C

và trên AC có tỉ lệ, nên ta quy về

điểm A

Vậy ta thấy, qua 2 lần thực hiện tư

duy ở cùng bước 4, ta chuyển bài

toán khoảng cách từ điểm G về

thành điểm A đến mp(SCD)

Mà: AC = 2OC

1 ( ,( )) ( ,( ))

2

d O SCD = d A SCD

Þ

1 ( ,( )) ( ,( ))

a

=

k/ Tương tự, nhận thấy bước 1,2,3

thất bại, ta chuyển qua bước 4

HS

MS =

2 ( ,( )) ( ,( ))

2

d M SBD = d A SBD

Þ

1 ( ,( )) ( ,( ))

Không xảy ra bước 1, 2, chuyển

sang bước 3 Phát hiện AD //(SBC)

Nên đổi d(D,(SBC)) về d(A,

(SBC)) Tại sao chọn điểm A?

Vì qua A có dấu hiệu mặt phẳng

(SAM) đi qua và vuông góc với

(SBC), vì có chứa SA ⊥ BC

∆SAM vuông có SMA =· 450, nên là tam giác

vuông cân tại A ⇒

32

a

6 ( ,( )

Không xảy ra bước 1, 2, 3

Nhận thấy có đường thẳng đi qua

B và cắt (SAC), trên đó có điểm H

Đánh giá: H là chân đường vuông

·.cos 2 3.cos 30o 3

HS HM

+

3 17 6 7 ( ,( ) 4 ( ,( )) 4.

a

d B SA C = d H SA C = a = Þ

 Bài toán 5: Cho hình chóp S A BCD. có đáy là hình thang vuông tại A và D,

A B = a A D =CD =a SA = a, SA ^ (A BCD) Gọi I là giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ I đến mp(SCD)

- Phát hiện ra I nằm trên đường

thẳng AC, có tỉ số biết trước

Tam giác IAB và ICD đồng dạng

- Bỏ qua bước 1, 2 Phát hiện ra

a

⇒ AB = 2

a

Vì AD // (BCD’)( ,( ') ( , ( '))

d A BCD =d D BCD

Þ

Ta có: DD’ ⊥ BC , CD ⊥ BC

DC DD a DK

- Bỏ qua bước 1, 2, 3 Phát hiện ra

bước 4 vì: C’P = 3AP; quy về

⇒d(C’,(MNB)) = 3d(A,(MNB))

Ta có: AG = 4KG

Tại sao phải đổi về K mà không

được hình chiếu của H xuống

(MNB), tuy nhiên khi đó hình

chiếu nằm ở miền ngoài hình lăng

trụ, ở phía dưới đáy (ABC) sẽ khó

khăn khi đi thực hiện phép tính

Bài toán này thực chất khó ở phần

biết cách nhìn ra quy khoảng cách

MK KI

+

• Kết quả thực nghiệm giải pháp: Cho thí điểm kiểm tra với 2 lớp 11C2 chưa

triển khai và lớp 11C9 đã triển khai Có sĩ số bằng nhau 38 học sinh, mức độ đề 15 phút ngang tầm nhau

Kết quả 5 ≤ điểm ≤ 7 8 ≤ điểm ≤ 10 < 5

2 Giải pháp 2: Chọn hướng đi đúng trong Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Khi thực hiện bài toán khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b

khó khăn đối với học sinh đó là:

+ Chọn mặt phẳng chứa b và song

song với a hay ngược lại?

+ Chẳng hạn chọn mp(P) chứa b và

song với a, khi đó: d(a,b) = d(a,(P))

dễ dàng hay không?

Sau khi chọn đúng hướng, ta sẽ đưa bài toán khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau về bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng và quy trình như ở giải pháp 1 đã nêu trên

Phần này tôi chỉ xin nêu giải pháp về dấu hiệu chọn đúng hướng để đi giải quyết bài toán, đó là việc chọn mặt phẳng sao cho đúng

• Khi chọn mp(P) chứa b, (P) // a thì mp(P) phải thỏa:

Trên a có điểm A, trong (P) có điểm S thì SA luôn vuông góc với 1 đường thẳng d chứa trong (P) Vì sao?

Để khi ta kẻ từ A vuông góc với d, ta thiết lập được mặt phẳng (SAI) ⊥(P),

từ đây là cơ sở cho ta tìm được hình chiếu của A trên mp(P)

Cho nên, thông thường trong một số bài toán, mẹo nhỏ đặt ra cho học sinh là

“ta chọn mặt phẳng (P) có đi qua S”.

Vậy khi đi giải bài toán Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta cần lưu yù: a, b có vuông góc hay không, nếu không vuông góc thì ta thực hiện theo giải pháp trên Sau đây là một số ví dụ minh họa, tôi chỉ nêu rõ về giải pháp, các bước tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng như ở giải pháp 1

 Bài toán 8: (ĐH khối A|2011).Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Bình luận Lời giải

Tại sao phải chọn mp(SNP)?

SN có đi qua S, AB đi qua A

Nên mặt phẳng ta chọn là: Chứa

SN và song song AB

* Vì (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), nên: SA ⊥(ABC)

* Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600

· 60 0

SBA =

ÞGọi P trung điểm BC ⇒ AB//(SPN)

⇒d(AB,SN) = d(AB, (SPN)) = d(A,(SPN))

 Bài toán 9: (Đề thi HK2, năm học 2014-2015)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều cạnh a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa SA và BD

Tại sao phải chọn mp(SAE)?

SA có đi qua S, BD nằm trong mp

Tại sao phải chọn mp(SA,d)?

SA có đi qua S, BC nằm trong mp

Vì

3 2

BA = HA

⇒

3 ( ,( , )) ( ,( , ))

a

 Bài toán 11: (ĐH khối A|2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N là trung điểm AB, AD; H là giao điểm CN và DM Biết

SH ⊥(ABCD) và SH =a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC

Nhận ra: DM ⊥ NC đây là 1 tính

chất trong hình vuông Từ đó thấy

DM và SC vuông góc nhau Đây là

trường hợp 2 đã nêu ở phần cơ sở

lí thuyết

*Hai tam giác AMD, DNC bằng nhau

Suy ra : DHC =· 900hay DM ⊥ NCMà: SH ⊥ NC ⇒ (SHC) ⊥ DM tại H

Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC

Nếu không nhìn ra là DM ⊥ SC,

vẫn theo giải pháp trên ta chọn mp

chứa SC và song song DM Từ đó

 Bài toán 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB = a, cạnh AA’ = a 2, góc giữa AC’ với (BCC’B’) bằng 300, M là trung điểm BC Tính khoảng cách giữa AM và B’C

Tại sao phải chọn mp(AMN)?

N lần lượt là trung điểm Vì M trung điểm BC, nên :

d(C,(AMN)) = d(B,(AMN))

Kẻ BK ⊥ AM, BH ⊥ NK ⇒ BH⊥ (AMN)

⇒ d(B,(AMN)) = BHBK.AM = AB.BM ⇒ BK =

5 5

a

Kết quả thực nghiệm giải pháp: Cho thí điểm kiểm tra với 2 lớp 11C2 chưa triển

khai và lớp 11C9 đã triển khai Có sĩ số bằng nhau 38 học sinh, mức độ đề 15 phút ngang tầm nhau

Kết quả 5 ≤ điểm ≤ 7 8 ≤ điểm ≤ 10 < 5

ABC = BAD 90= , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy,

SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh SCD

vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Bài 3 (ĐH 2011|B).Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật

AB = a, AD = a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a