skkn một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH bất PHƯƠNG TRÌNH mũ và LÔGARIT

Đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNHMŨ VÀ LÔGARIT Trong chương trình Toán phổ thông trung học: Phương trình- Bất phương trình- mũ và lôgarit là một chủ đề nằm t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN

A SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: BÙI THỊ THANH HÀ

2 Ngày tháng năm sinh: 11- 10 - 1969

3 Giới tính: Nữ

4 Địa chỉ: C2/9, Kp6, P.Trung Dũng, Tp Biên Hoà

5 Điện thoại: 0613 946 783

6 Chức vụ: Giáo viên - Chủ tịch công đoàn

7 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

1 Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học

2 Năm nhận bằng: 1991

3 Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

1 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán

2 Số năm kinh nghiệm: 20 năm

B Đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LÔGARIT

Trong chương trình Toán phổ thông trung học: Phương trình- Bất phương trình-

mũ và lôgarit là một chủ đề nằm trong chương II của lớp 12, bài tập phần này rất

đa dạng đòi hỏi học sinh cần phải có các kiến thức, kỹ năng giải các phương trình- bất phương trình đã được học ở lớp dưới cùng với các kiến thức được trang bị thêm trong chương này Làm tốt các bài tập của chủ đề này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các loại phương trình - bất phương trình nói chung Đối với học sinh các lớp ban A của trường THPT Ngô Quyền thì việc trang bị thêm các dạng bài tập

ở mỗi chương sẽ tạo hứng thú cho các em học tập

Chuyên đề được chia thành 3 phần:

 Phần thứ nhất: Giới thiệu các kiến thức cơ bản về mũ và loogarit, cách

giải

các phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit thường gặp

 Phần thứ hai: Trên cơ sở lý thuyết đưa ra một số bài tập tham khảo để

học sinh luyện tập

 Phần thứ ba: Đưa vào một số bài toán có cách giải liên hệ với các dạng

toán

khác để thấy được sự đa dạng trong cách giải phương trình - bất phương trình

mũ và lôgarit, nhằm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi yêu thích môn toán (phần này còn tùy theo trình độ học sinh từng lớp mà đưa ra , khi đưa ra phần này giáo viên cần hướng dẫn sơ bộ để học sinh có hướng giải quyết)

Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy (cô) đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Người viết chuyên đề

Bùi Thị Thanh Hà

II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:

a a a

−

=

• ax > 0, ∀ ∈x R 2/ Với a >0 , m, n∈Z , n > 1 , ta có:

•

1

n n

a = a • a m n =n a m •

2 12

n n a khi n k a

• log 1a =0 • loga a=1 • ac = b⇔c=loga b • aloga b = b

3/ Với 0<a≠1; b tùy ý ta có: loga a b =b

m b n

log

b a

b

c c

a

=

6/ Với 0 <a ≠1, b, c > 0 ta có:

• Khi a > 1 thì : logab > logac ⇔ b > c

• Khi a > 1 thì : logab > logac ⇔ b > c

7/ Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân, kí hiệu: log10a = loga

Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên, kí hiệu: logea= lna

III Đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit:

- Với mọi x ta có: • (ex)' = ex • (ax)' = ax.lna

- Với mọi x > 0 ta có: • (lnx)' =

1

x • (logax)' =

1ln

x a

- Với u = u(x) ta có: • (au)' = u'.au.lna • (eu)' = u'.eu

- Với u = u(x) và u > 0 ta có: • (lnu)' =

'

u

u • (logau)' =

'.ln

Cơ số của lôgarit được chọn là cơ số của lũy thừa có số mũ phức tạp nhất

4/ Sử dụng tính đơn điệu: Dự đoán và chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.

* Chú ý: - Nếu hàm số y=f(x)luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên khoảng

K thì số nghiệm của phương trình f(x)=m trên K không nhiều hơn một và f(u)=f(v)⇔u=v

- Các hàm số y = ax với x∈R và y = logax với x >0 dồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1

V Bất phương trình mũ: có các cách giải sau

logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) >0 với 0 <a ≠1.

2/ Đặt ẩn phụ : với f(x) > 0 Đặt t = logaf(x) thì logn

af(x) = tn

3/ Sử dụng tính đơn điệu: Dự đoán và chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.

VII Bất Phương trình lôgarit: có các cách giải sau

1/ Đưa về cùng cơ số: áp dụng tính chất:

Với a > 1 thì logaf(x) > logag(x)⇔f(x) > g(x) >0

Với 0<a<1 thì logaf(x)≥logag(x) ⇔0 < f(x)≤ g(x)

2/ Đặt ẩn phụ: với f(x) > 0 Đặt t = logaf(x) thì loganf(x) = tn

B) CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN:

(GV cho học sinh làm các bài tập này và tiến hành sửa trên lớp)

Bài 1/.Giải các phương trình

a)

2

31

Bài 2/.Giải các phương trình

2

±

Hướng dẫn: ( 10 3− )( 10 3 1+ =)

c) (7 4 3) (1 2 3) 21

Đáp số : x = 0 ; x = -2Hướng dẫn: 7 4 3 (2+ = + 3)2 và (2+ 3).(2− 3) 1=

x x

e

e e

⇔ = ⇔ =

Bài 3/.Giải các phương trình

a) log 2log 1 log (1 3log )4{ 3[ + 2 + 2x ] } =1

Đáp số : x = 285b)

2 (x =0 ;

1- 5x=

loại)

c)logx+1(3x+ =5) 3 ĐK:

10

x x

e) log (2 x2+ + +3x 2) log (2 x2+ +7x 12) 3 log 3= + 2 ĐK:

3 2 4 1

x x x

Hướng dẫn: ĐK: x > 1, đưa về cùng cơ số 2

pt⇔log2(x -1) + log2(2x +1) = 1 + log2(x+2)

x x

−+

Bài 5/ Giải các bất phương trình

 Đưa về log2x và đặt t= log2x

C) CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ NÂNG CAO:

(Học sinh tự làm theo tổ ở nhà dưới sự hướng dẫn của GV)

Bài 1/ Giải các phương trình sau:

Bài 3/ Giải các phương trình sau:

Bài 5/ Giải các phương trình

a) log 2 x+log 3 x=log 6 x

e) log22x− log 2x+ log 3x− log log 2x 3x= 0

Bài 6/.Giải các bất phương trình

e) log2x+log3x< +1 log log2 x 3x

Bài 7/ Giải các phương trình sau:

Bài 13/ a) Tìm m để p.trình : 22x+1 -2x+3 -2m =0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Chứng minh rằng phương trình 33x + a.32x+b + b.3x+a - 1 = 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi a, b

b) Điều kiện Ta có :

Quy đồng mẫu số và rút gọn dẫn đến

Phương trình này có hai nghiệm

Đối chiếu với điều kiện các giá trị tìm được đều thỏa mãn Dẫn đến

Đặt vế trái là ta thấy

Với , ta có

Với , tương tự ta có

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

c) Chia cả hai vế cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi

e) Biến đổi đưa về lôgarit cơ số 2

55

t x

=+

t = -4 ⇔

16181

x

=+ (đb , nb) ⇒x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình d) Đặt t= log ( 2 x− x2− 1)⇒x− x2 − = 1 2t và x+ x2− = 1 2−t

Pttt: t - tlog32 = tlog62 ⇔t=0 , t= - log62 Đáp số: x= 1, x=

3 3

2log 6 log 6

++

e) log3 x+log4 x=log12 x (1) ĐK: x > 0

Cách 2: Chia 2 vế của phương trình cho 32x ta được:1 8.3− x+ −4 x−9.32( x+ −4 x) >0

2 0

x

x x

, rồi làm tương tự như câu c)

b) Chia cả hai vế của phương trình cho , ta có

Sau đó lập luận tương tự như phương trình (2) của câu a)



c) Biến đổi phương trình về dạng

Dẫn đến rồi đặt (với ), ta có phương trình

Với hai nghiệm và (loại) Do đó

t

t  +  ÷ , ta chứng minh được f(t) đồng biến trên R

và f(-1) = 1 nên t = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Vậy x= 6-1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

x x

= −



⇔  = −

Bài 10/ a) Đặt ( với t > 0 ) Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

Gọi các nghiệm của (1) là t1 và t2 (t1 t2 ), theo hệ thức Vi-ét suy ra t2 > 0 Vậy với thì phương trình (1) có ít nhất nghiệm t2 > 0

suy ra phương trình đã cho có nghiệm

b) Đặt (với t > 0) Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

Điều kiện để (2) có nghiệm là

t t

m t

t t t

(1) có nghiệm x≥0 ⇔(2) có nghiệm t∈(0;1],

xét f(t) = t2 - 4t , lập bảng biến thiên suy ra -3 ≤ m < 0

Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất

Nên (1) có nghiệm dương duy nhất khi , tức là

b) bài toán quy về tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

tức là (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm dương phân biệt

b) 33x + a.32x+b + b.3x+a - 1 = 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi a, b

Đặt t=3x, t>0 pttt: t2 +a.3b.t2 + b.3a.t - 1 = 0

Xét f(t) = t2 +a.3b.t2 + b.3a.t - 1 với t>0

Ta có f(t) liên tục trên (0; +∞)

⇒phương trình f(t)=0 có ít nhất một nghiệm dương.

Vậy p.trình (1) có ít nhất 1 nghiệm vói mọi a, b

Bài 14/ a) Đặt t = log23x+1 Khi đó 3

3

Bài toán trở thành: tìm m để f(t) = t2 + t -2 = 2m có nghiệm t∈[1; 2] (1)

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên [1; 2] ta có: min ( )[ ]1;2 (1) 0

Bài toán trở thành tìm m để phương trình : t2 + t = -m có nghiệm t < 0

Xét hàm số f(t) = t2 +t với t < 0, lập bảng biến thiên ta có:

Phương trình có nghiệm t < 0 khi và chỉ khi :

SỞ GD& ĐT TỈNH ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hoà, ngày 08 tháng 12 năm 2011

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới phương pháp đã có 

2 Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụngtrong toàn ngành có hiệu quả 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại

đơn vị có hiệu quả 

3 Khả năng áp dụng:

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và

dễ đi vào cuộc sống: