skkn ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

KINH NGHIỆM KHOA HỌC − Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán học − Số năm có kinh nghiệm: 12 năm − Các SKKN đã có trong 5 năm gần đây Chuyên đề 1: PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

Mã số:………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Người thực hiện: Nguyễn Thanh Bằng

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Thanh Bằng

2 Ngày ,tháng, năm sinh: 31 - 09 – 1977

3 Nam/ nữ: Nam

4 Địa chỉ: Ấp Long Hiệu, xã Long Tân, huyện Nhơn Trạch, tỉnh Đồng Nai

5 Điện thoại: Cơ quan: 06138689153

Nhà riêng: 0613.561382- ĐTDĐ: 0982179116

6 Fax: / Email: thanhbang3009@gmail.com

7 Chức vụ: Bí thư đoàn TNCS trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

− Học vị: Cử nhân

− Năm nhận bằng: 2000

− Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

− Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán học

− Số năm có kinh nghiệm: 12 năm

− Các SKKN đã có trong 5 năm gần đây

Chuyên đề 1: PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH

TRONG VIỆC HỌC TẬP MÔN TOÁN

Chuyên đề 2: MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÁO DỤC “HỌC SINH CÁ BIỆT VỀ ĐẠO ĐỨC”

Nhơn Trạch, ngày 10 tháng 5 năm 2012

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Có giải pháp hoàn toàn mới : 

- Có giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có : 

2- Hiệu quả

- Hoàn tòan mới và đã triển khai áp dụng trong tòan ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp

dụng trong tòan ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp

dụng tại đơn vị có hiệu quả 

3-Khả năng áp dụng

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc họach định đường lối , chính

sách : Tốt  Khá  Đạt 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn , dễ thực

hiện và dễ đi vào cuộc sống : Tốt  Khá  Đạt 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt

hiệu quả trong phạm vi rộng : Tốt  Khá  Đạt 

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên và ghi rõ họ tên ) ( Ký tên , ghi rõ họ tên và đóng dấu )

Sáng kiến kinh nghiệmỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Phần I : MỞ ĐẦU I/ BỐI CẢNH

Năm học 2011-2012 là năm học tiếp tục triển khai tích cực thực hiện các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị quyết

TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học " Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

II/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học,

vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên

Với những lí do trên, ngay đầu năm học, từ giai đoạn tổ chức lớp cho đến khi giảng dạy, bản thân luôn chú ý, quan tâm đến việc học tập và giúp đỡ các em học sinh làm thế nào để có thể học tốt môn hình học Từ những suy nghĩ trên,

bản thân đã mạnh dạn chọn đề tài: “Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học”

III/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.

IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi

đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

− Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lý có liên quan đến đề tài

− Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và học sinh)

− Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

− Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

− Phương pháp thực nghiệm

V/ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu một một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng ở chương trình lớp 11 nâng cao (Các phép biến hình, ứng dụng các phép biến hình vào giải toán)

Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường trung phổ thông

Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt các phép biến hình, ứng dụng của nó trong chương trình hình học lớp 11”

Phần II: NỘI DUNG I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Cơ sở triết học:

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn

2.Cơ sở tâm lí học:

Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục Vì vậy giáo viên cần phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã biết với tri thức của nhân loại

Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì

từ những lớp cuối của cấp trung cơ sở, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường

và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài ra còn

có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…

Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình, các

em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học chương này.Vì vậy giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải toán

3.Cơ sở giáo dục học:

Để giúp các em học tốt hơn Giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn

phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp

đỡ từng đối tượng học sinh.

II/ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1.Thời gian và các bước tiến hành:

Tìm hiểu đối tượng học sinh lớp 11 năm học 2011-2012

2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:

Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:

Lớp Sỉ số Đạt diểm dưới 5 Tỉ lệ Đạt diểm trên 5 Tỉ lệ

3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức tới các em Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp

đỡ học sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.

III/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình

Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng dụng của phép biến hình cụ thể trong giải toán hình học lớp 11:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ ur≠ 0r, phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M’ sao cho MMuuuuur'= ur, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vr

Kí hiệu: T ur

.Vậy: T ur

Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a gọi là phép biến hình biến mỗi

điểm M thành điểm M’ đối xứng vớ M qua trục a

Kí hiệu: Đa

Vậy: Đa(M) = M’⇔ M Muuuuuur0 ' = −M Muuuuuur0 (M

0 là giao điểm của a với đoạn thẳng MM’)

1.2.4 Phép đối xứng tâm

Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là OM OMuuuur uuuuur r+ ' 0 =

Kí hiệu: ĐO

Vậy: ĐO(M) = M’⇔ OMuuuuur' = −OMuuuur

1.2.5 Phép quay

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác ϕ

không đổi Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác

O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = ϕ gọi là phép

quay tâm O, góc quay ϕ.

Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số k không đổi, k≠0 Phép biến hình

biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OMuuuuur' =kOMuuuur, gọi là phép vị tự tâm O tỉ

số k

Kí hiệu: V(O,k)

Vậy: V(O,k)(M)=M’⇔ OMuuuuur' =kOMuuuur

1.2.8 Phép đồng dạng

Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu

với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’= k MN

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I a b( , ), M(x;y), M’(x’;y’) Khi đó

nếu ĐI(M) = M’ thì

' 2 ' 2

Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0

Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T vr

trình của d ta được: 3x’ - 5y’+24=0

Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0

Cách 3: Lấy A,B bất kì thuộc d, tìm ảnh A’,B’ tương ứng của A và B qua

phép tịnh tiến theo vectơ vr Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng A’B’

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có

phương trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0

a) Tìm ảnh của M,(C), d qua phép đối xứng trục Ox

b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d

Giải:

a) Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.

Ta có M’ (1;-5)

(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3 Đường tròn (C’) có tâm là I’=ĐOx(I)=(1;2)

và bán kính R=3 Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9

Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có

  Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0.

Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0

b) Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x + y - 7 = 0

Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của hệ:

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4).Hãy tìm toạ độ điểm

A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900

Giải:

Gọi B(3;0), C(0;4) lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên các trục Ox,Oy

Phép Q(O,900) biến hình chữ nhật OBAC thành

hình chữ nhật OB’A’C’ Ta thấy B’(0;3),

C’(-4;0) ⇒A’(-4;3)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương

trình: 3x + 2y – 6 = 0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2

' 2

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương

trình: x + y-2 = 0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua

phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ

Lấy M(1;1) thuộc d, V(I,

1

2)(M)=O, O thuộc d1⇒ d1 có phương trình:x+y=0

Q(O,-450)(d1) =Oy

Vậy phương trình d’ là: x = 0

Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình:

Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một

đường đã biết qua một phép biến hình

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3) Tìm

toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Ví dụ 2: Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông(Xem hai bờ sông là

hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB(như hình vẽ) Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất

Giải:

Trưòng hợp 1: Coi con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ

sông a và b xem như trùng nhau

Bài toán trở thành: Cho hai điểm A,B nằm ở hai phía

khác nhau so với đường thẳng a Tìm vị trí M trên A để

AM+AN nhỏ nhất Khi đó M là giao điểm của AB với a

Trưòng hợp 2: a // b

Nhận xét: a,b cố định ⇒MNuuuurcố định

TMNuuuur(A) =A’ ⇒ A’N = AM

Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B

Cách dựng: Dựng A’=TMNuuuur(A) Nối A’ với B

cắt b tại N Từ N hạ đường thẳng vuông góc với

a tại M Khi đó MN là vị trí xây cầu

Ví dụ 3: Cho hai điểm A, B nằm về một phía của đường thẳng d Hãy xác định

điểm M trên d sao cho AM + MB bé nhất

Giải:

Nhận xét: Gọi A’= Đd(A) ⇒AM=AM’

Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B

Cách dựng:

Dựng A’= Đd(A)

Nối A’ với B cắt d tại M, khi đó AM+MB

nhỏ nhất

Ví dụ 4: Cho góc nhọn ·xOy, điểm A nằm trong góc đó Hãy xác định điểm B

trên Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Nối A’ với A”, AA” cắt Ox và Oy lần lượt tại B

và C Khi đó chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

Ví dụ 5: Cho góc nhọn ·xOy, điểm A thuộc miền trong của góc đó Hãy tìm một

đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN

Giải:

Giả sử đã dựng được hai điểm M,N thoả mãn

yêu cầu của bài toán Khi đó N=ĐA(M) Gọi O’x’

= ĐA(Ox), ta có N là giao điểm của O’x vàOy

Từ đó ta có cách dựng:

Dựng O’x’ = ĐA(Ox), gọi N là giao điểm của

O’x và Oy, M=ĐA(N).Khi đó M,N là hai điểm

cần tìm

Theo cách dựng trên cặp điểm M,N là duy nhất

Ví dụ 6: Cho đường tròn (O;R) và (O1;R1) cắt nhau tại A và B Hãy dựng đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O1;R1) lần lượt tại M và M1 sao cho A là trung điểm của MM1