Suy ra tứ giác ANMD nội tiếp đường tròn/ Giải toán tọa độ: -Viết pt đường tròn đi qua ba điểm ANM: -Viết ptdt AD qua A có hsg ¼ -Giải hệ gồm ptdt và pt đường tròn ở trên, tìm được hai
Trang 1Bài số 1 Cho hình thang ABCD ( BC//AD), một đường tròn đi qua B, C cắt cạnh AC
và BD lần lượt tại N, M Cho A(0;-1), M(7;3), N((7/3);(4/3)), đường thẳng BC có hệ số góc k=(1/4), diện tích hình thang là S=35 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD Composed Võ Trọng Trí
điểm D Kiểm tra các yếu
tố vuông góc, song song,
phân giác, đối xứng đều
không có Ta nghĩ đến tứ
giác ANMD nội tiếp
Chứng minh tính chất: Ở đây có yếu tố song song và tứ giác nôị tiếp nên ta nghĩ tới sử dụng góc Ta chứng minh INM =ADM
Ta có: INM =BCM = ADM ( do tứ giác BCMN nội tiếp và BC // AD ) Suy ra tứ giác ANMD nội tiếp đường tròn/
Giải toán tọa độ:
-Viết pt đường tròn đi qua ba điểm ANM:
-Viết ptdt AD ( qua A có hsg ¼)
-Giải hệ gồm ptdt và pt đường tròn ở trên, tìm được hai nghiệm, trong đó có 1
nghiệm là tọa độ A, còn lại là tọa độ D
-Viết PT đường thẳng BD ( qua M và D) và PT đường thẳng AC ( qua A và N) Tìm tọa
độ I và gọi tọa độ B, C theo hai tham số
-Sử dụng điều diện tích S tìm được độ dài BC suy ra BC= ?AD, tìm được B, C
Trang 2Bài số 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Đường thẳng vuông góc với BC tại
B cắt AD tại F, đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt CD tại E Cho B(3;5), D(7;-1), đường thẳng EF: 11x-10y-35=0.Tìm tọa độ A và C biết A có hoành độ bằng 2, và tung
độ không dương Composed: Võ Trọng Trí
B, D thì ta kiểm tra xem tâm I và các yếu tố đã cho
quan hệ thế nào Dễ thấy I, E, F thẳng hàng Mà IB =
ID ta tìm được tọa độ tâm I
Chứng minh tính chất:
Lấy B’ đối xứng với B qua EF Chỉ cần c/m B’ thuộc
đường tròn (I) là xong !
-Xét tứ giác FB’DE: có
0
FB E=FBE=ABE+FBC−ABC= −ABC=FDE
Nên tứ giác FB’DE nội tiếp
-Pt đường tròn tâm I đi qua B là : (x− 5)2+(y− 2)2 = 13
-A thuộc đường tròn và hoành độ bằng 2, tung độ không dương nên A(2;0)
-Viết pt AD từ đó tìm được F(3; 2 − )
E
F A
I
D
Trang 3-Viết pt đường thẳng BC ( qua B vuông góc BF) rồi tìm giao điểm với đường tròn được
(7;5)
Bài số 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AD tại F,
đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt CD tại E Cho
nhiên giữa các điểm này không có tính chất gi ?
như vuông góc, song song, đối xứng, nội tiếp…
Ở đây chú ý là khi cho E, F và B là tìm được điểm B’ đối xứng của B qua E, F Và kiểm
tra thấy tứ giác EFB’D nội tiếp Đây gọi là suy diễn giả thiết ( từ những cái đã cho ta
suy ra cái khác có lợi cho bài toán )
0
FB E=FBE=ABE+FBC−ABC= −ABC=FDE Nên tứ giác FB’DE nội tiếp
-Viết pt đường tròn đi qua ba điểm E, F, B’
-D là giao của đường tròn (EFB’) và đường thẳng d, nên tìm được D
-Viết pt BA và DF tìm được A
-Viết pt BC và DE tìm được C
Đáp số : A(2; 0 ,) C(5;7)
Lưu ý: Bài này có thể cho phương trình EF, tọa độ B, C và D thuộc đường thẳng d
Bài số 4 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I): 2 2
I
D
Trang 4Tìm tọa độ các đỉnh tam giác biết điểm A thuộc đường thẳng x+y+3=0
Composed: Võ Trọng Trí
cho pt đường tròn và điểm K, dễ dàng
tìm được điểm D Bây giờ ta tìm quan
hệ giữa D, A và đường tròn, Nối AD
cắt đường tròn tại Q Nếu tìm được Q
thì ta tìm được A Dự đoán AQ là tiếp
tuyến của đường tròn
Suy ra tứ giác QJID nội tiếp Mặt khác
tứ giác AJID nội tiếp , vậy tứ giác KQDI nội tiếp hay 0 0
KQI+KDI = ⇒KQI =
-Viết pt QD, từ đó tìm được A
-Từ A viết pt đường thẳng AC, AB ( tiếp tuyến ), từ pt KD tìm được B và C
Bài số 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) N là một điểm thuộc tia BC sao
cho tam giác BAN đồng dạng với tam giác BCA Gọi D là trung điểm AC, đường tròn đi qua B, D và tiếp xúc đường tròn (I) tại B cắt AC tại E, BE cắt AN tại M(3;2) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết A thuộc d1: x+y-7=0, N thuộc đường thẳng d2: 2x-3y-16=0, P(2;-2) là trung điểm BC ( Composed Trần
Quốc Thịnh )
kiện A, M, N nên nhìn trực quan ta thấy
M là trung điểm AN
∆ ∼ ∆ và D là trung điểm AC, để
chứng minh M trung điểm AN ta cần
M
N
E D
B A
C
Trang 5chứng minh tam giác ABM đồng dạng tam giác CDB Do BAM =BCD, ta cần c/m một cặp góc nữa bằng nhau Ta thấy
- Cách khác: Ta có: EBX =BDE⇒ ABx+ABM =DBC+BCA, mà
ACB=ABx⇒ABM =DBC, hay tam giác BAM đồng dạng với tam giác BCD
Giải toán tọa độ:
-Gọi A, M theo hai tham số, sử dụng M trung điểm AN tìm được A, N
-Viết pt BC đi qua N và P
-Gọi N theo một tham số, suy ra C Sử dụng cosBAN = cosBCA tìm được tham số đó
Bài số 6 Cho tam giác ABC không cân tại A, đường cao AD Gọi E, F là hình chiều
vuông góc của B, C lên đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DEF lần lượt có phương trình:
Giả thiết cho hai pt đường tròn nên ta xác định tâm
của hai đường tròn, và thấy ngay trung điểm M của
BC là tâm đường tròn (DEF)
bằng cách c/m tam giác MEF và MDF cân tại
M Ta có: MEI =IBM =ICM =IFM ( do tứ giác
BEIM, IMFC nội tiếp và tam giác BIC cân tại I
), suy ra tam giác FME cân tại M
Mặt khác: FDM =FAC,
DFM =DFA MFA− =DCA MCI− =ICA=IAC suy
ra tam giác DMF cân tại M
Trang 6Lưu ý: ta có thể chứng minh tam giác EMD cân tại M nhờ kĩ thuật công góc
-Viết phương trình đường thẳng BC qua M vuông góc với IM, tìm được B, C -Tìm D, sau đó viết phương trình AD ( qua D vuông góc với BC) và tìm A
Đáp số: A(2;6), B(1;1), C(10;1)
Bài số 7 Cho tam giác ABC cân tại A, D thuộc cạnh BC, lấy E, F thuộc AB, AC sao
cho AEDF là hình bình hành Gọi D' là điểm đối xứng của D qua EF Tìm tọa độ các đỉnh A của tam giác ABC, biếtB(2;2), C(8;2, D thuộc đường thẳng d: x-3y=0 Điểm D' thuộc đường thẳng d': 13x-13y-36=0 và có
tung độ lớn hơn 5
được tọa độ D Liên kết các điểm B, C, D, và
D’ thì dự đoán được D’D là phân giác góc
Giải toán tọa độ:
-Tìm tọa độ D(6;2), gọi D’ theo một tham số t, sử dụng cos hai góc
cosBD D' = cosDD C' tìm được tọa độ D’
-Viết phương trình trung trực BC đi qua A suy ra tọa độ A theo một tham số -Viết phương trình đường tròn đi qua BCD’ và vì nó đi qua A nên tìm được A Lưu ý: Ta có thể chứng minh được tứ giác ABCD’ nội tiếp, góc 0
' 90
AD D =
Bài số 8 Cho tam giác ABC cân tại A, D thuộc cạnh BC, lấy E, F thuộc AB, AC sao
cho AEDF là hình bình hành Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC, biết phương trình EF: 2x+3y-26=0 , tọa độ D(6;2) , A thuôc đường thẳng d: x-y+3=0 và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua điểm K(2;2)
D'
F E
A
Trang 7Suy đoán tính chất hình học:-Dễ dàng tìm được
A nhờ tính chất d A EF( , )=d D EF( , ) ( sử dụng
tính khác phía để loại 1 nghiệm )
-Gọi D’ đối xứng với D qua EF, chứng minh
được tứ giác ABCD’ nôi tiếp ( xem bài 7) Ta
tìm được D’
-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
(ABCD’ đi qua A, D’ và K đã cho ( tâm I)
-Viết phương trình BC đi qua D và vuông góc
với AI
Giải toán tọa độ:
Theo các bước phân tích trên , đáp số A(5;8), B(2;2) C(8;2)
Lưu ý: Bài này hơi khó ở chỗ suy diễn giả thiết ra điểm D’, và liên hệ vì sao người ta cho điểm K
Bài số 9 Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc BAD cắt BC và CD tại M, N Tìm tọa độ B, C, D của hình bình hành biết A(3; 7), phương trình BD: 7x− 8y+ 17 = 0, điểm C thuộc d x: −y− = 1 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN là
- Liên hệ kết nối BD và K, C đã biết ta dự
đoán tứ giác BDCK nội tiếp
Chứng minh tính chất:
-Ta dễ nhận thấy tam giác MNC cân tại C,
và các tam giác MCK, NCK, MNK cân tại K
D'
F E
A
I
K N M A
B
C
D
Trang 8Kết hợp các góc hình bình hành ta nhận định đi theo phương pháp cộng góc
-Cách khác: Viết phương trình AM ( qua A vuông góc CK), và đường tròn ngoại tiếp (MNC) tìm được M, N Từ đó viết phương trình MC, tìm được B, rồi tìm được D
Bài số 10 Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc BAD cắt BC và CD tại M, N Tìm tọa độ A, C của hình bình hành biết B(1;3 ,) D(9;10), phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN là
Bài số 12 Cho hình bình hành ABCD, đường tròn đi qua chân đường vuông góc hạ
từ D xuống AB, BC và tâm hình bình hành có phương trình: (x− 4)2+(y− 6)2 = 10, đường thẳng AC có phương trình : x− 2y+ = 1 0, điểm B thuộc đường thẳng
Trang 9chiếu vuông góc của D trên AC, ta cần
c/m tứ giác EIGF nội tiếp được bằng
phương pháp góc Ta có:
0 90
-Tìm giao của đường tròn đã cho và AC ta được tọa độ I và G
-Gọi tọa độ B theo một tham số, suy ra tọa độ D ( qua I), sử dụng GD vuông góc với AC tìm được B, D
-Viết phương trình đường tròn đường kính BD, giao với đường tròn đã cho tìm được E, F từ đó tìm được A, và C
Đáp số: A(1;1), B(3;5), C(9;5), D(7;1)
Bài số 13 Cho hình bình hành ABCD, chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB, BC,
AC lần lượt là E(1; 0 ,) F(25;8 ,) G(19; 0) Tìm tọa độ của các đỉnh hình bình hành ABCD ( sáng tác: Võ Trọng Trí )
Gợi ý: C/m tứ giác EFGI nội tiếp, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp (EFG) và
trung trực của EF tìm được I Viết phương trình đường tròn tâm I đi qua E, F, B, D
và phương trình đường thẳng GD ( qua G vuông góc với IG) ta tìm được tọa độ D,
từ đó tìm tọa độ B
G E
Trang 10Bài số 14 Cho hình bình hành ABCD có góc 0
phương trình đường tròn và đường
thẳng ta được tọa độ C(11;7)
-Tâm đường tròn ngoại tiếp (MDB) là
trung điểm CD, suy ra tọa độ D(5;5)
a
a
=
+
, hay A( )1;1 ,B(7;3) ( loại 1 trường hợp vì
tính cùng hướng của hai véc tơ AD=BC
Bài số 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường tròn nội
tiếp tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P Gọi D là trung điểm cạnh BC Biết M( 1;1),− phương trình NP: x+ y−4=0 và phương trình AD là
14x−13y+7=0 Tìm tọa độ điểm A ( Đề thi HSG tỉnh Nghệ An -2016 )
Trang 11Chứng minh tính chất:Kẻ đường thẳng qua K
song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F
Ta có: các tứ giác KEPI và KNFI nội tiếp nên
;
KEI =KPI KNI =KFI Mà KPI =KNI suy ra KEI =KFI
Do đó, K là trung điểm EF, Suy ra A, K, D thẳng hàng hay K
là giao điểm của NP và AD.
Phương trình IM đi qua M và K là x−2y+ =3 0
I(2a−3;a)⇒IA : x−y− + =a 3 0⇒A(32 13a;35 14a).− −
Vì I và M cùng phía với NP nên ta có I(1;2) Khi đó A(6;7).
Bài số 16 Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình
Bài số 17 Cho tam giác ABC cân tại A, có tâm đường tròn ngoại tiếp làI(− 2;5), Gọi E
là trung điểm AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC có phương trình
Trang 12( )2 ( )2
: x+ 3 + y+ 1 = 13 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết các tọa độ của A
là số nguyên ( SÁNG TÁC: VÕ TRỌNG TRÍ )
Suy đoán tính chất:
Ta cần tìm mối quan hệ giữa A, I và đường
tròn (AEC), kéo dài AI cắt (AEC) tại K, cắt (I)
tại D Dự đoán K là trung điểm đoạn ID
Chứng minh tính chất :
Ta có EBK =KCA=BEK suy ra tam giác EKB
cân tại K Gọi P là trung điểm BE, suy ra
EI//KP ( cùng vuông góc với AB ) nên KP là
đường trung bình của hình thang BEID, nên
K là trung điểm ID
Giải toán tọa độ:
-Sử dụng IA= 2IK, gọi tọa độ A(a,b) suy ra tọa độ K, do K và A thuộc (AEC) nên thay vào giải hệ ta được A(4;7)
-Viết phương trình đường tròn tâm I, đi qua A, giao với (AEC) ta được C, lấy đối xứng qua AI ta được B
Bài số 18 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc AB, AC lần lượt
tại N, P IC và IB cắt NP lần lượt tại E 3 7, , F 3;5 ,( )
FIC=IBC+ICB= + = − , từ đó ta có điều phải c/m
J
K D
I E
A
Trang 13Giải toán tọa độ:
- Gọi D là trung điểm BC, khi đó D là tâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFCB, nên
viết phương trình trung trực của EF cắt BC
tìm được D Viết phương trình đường tròn
tâm D, đi qua E, giao với đường thẳng BC ta
tìm được tọa độ B, C
- Giao EC và BF tìm được tâm nội tiếp I Viết
tiếp tuyến kẻ từ B, C đến (I) ta tìm được A
- Đáp số : B(3;-1), C(6;5), A(-2;9)
Bài số 19 Cho tam giác ABC , đường tròn (I) qua A B cắt cạnh CB tại E, trên cung EB
( không chứa A) của đường tròn (I) lấy điểm F đường thẳng AF cắt đường thẳng qua C và //AB tại D Tìm tọa độ B, C biết phương trình đường thẳng
BF : 11x − 3y 59 − = 0, CF : 7x 11y 3 − − = 0, AE : 3x + 2y 18 − = 0, D 12;1( )và y > E 0 ( SÁNG TÁC: VÕ TRỌNG TRÍ )
phương trình AE, CF, BF và điểm D nên
nghĩ tới tính chất hai góc bằng nhau
-Tứ giác CEFD nội tiếp
-CFB= AED
Chứng minh tính chất:
-Ta có: CDF =FAB=BEF nên tứ giác
CEFD nội tiếp
-Xét hai tam giác BCF và AED có hai cặp
D C
B
A
I N
E
Trang 14-Viết phương trình FD và giao FD và AE tìm được A(2;6)
-Viết phương trình đường tròn (AEF) cắt BF tìm được B(7;6)
-Viết phương trình đường thẳng BE cắt CF tại C, tìm được C(2;1)
Bài số 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I), đường tròn (K) tiếp xúc với (I)
tại A và tiếp xúc cạnh BC tại D AB và AC cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai ( khác A) là M, N ChoA(− 1;5 , D 5; 2) ( ), phương trìnhMN : x − y 2 − = 0 Tìm tọa độ
B và C ( SÁNG TÁC: VÕ TRỌNG TRÍ )
Suy đoán tính chất:
-Ta liên kết đường thẳng MN và D thì thấy
MN//BC, và AD là phân giác góc BAC
Chứng minh tính chất:
-Vẽ tiếp tuyến Ax chung của hai đường tròn
(I) và (K), ta có: AMN =NAx=CAx= ABC suy
ra MN//BC
-Ta có: MAD=MND=NDC=NMD=DAN
Giải toán tọa độ:
-Viết phương trình đường thẳng d qua D và
vuông góc với MN Viết phương trình
đường trung trực d’ của đoạn AD, giao d và
d’ là tâm đường tròn (K)
-Viết phương trình đường thẳng BC qua D và //MN
-Giao đường tròn (K) ( tâm K đi qua D ) với đường thẳng MN ta tìm được M, N -Viết đường thẳng AM và AN giao với BC tìm được B, C
Bài số 21 Cho hai đường tròn (C) và (C') cắt nhau tại M, N Tiếp tuyến tại M của (C)
cắt (C') tại A, của (C') cắt (C) tại B ( khác A) P là điểm đối xứng của M qua N Cho M(2;2), P( 8;8) và A(10;2) Viết phương trình hai đường tròn ( C) và (C') ( SÁNG TÁC: VÕ TRỌNG TRÍ )
B
C A
D M
N x
Trang 15Bài số 22 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (J), d là đường thẳng vuông góc với
JC và không cắt (K) AC và BC cắt d lần lượt tại H, I Cho phương trình AB : y 3 − = 0
C Ta có tứ giác AKIG nội tiếp, nên có GIA=CKA, mà
CKA= ABC⇒HIA=HBA hay tứ giác ABIH nội tiếp
trình : 15x+ 3y− 53 = 0 Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp
, giao với đường thẳng AB: y-3=0 ta được A(− 1;3 ,) B(9;3)
Bài số 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Giao điểm hai đường chéo là
( )
I 4; 0 , phương trìnhCD : 7x − 3y − 48 = 0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI thuộcd : x1 + y 2 − = 0, điểm A có tọa độ nguyên và thuộcd : x2 + y = 0, B có tọa độ nguyên và thuộcd : 5x3 + y = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABCD ( SÁNG TÁC:
I A
B
C
G J
Trang 1690 2
CIM +MIC=IBK+KIA= IKA+KIA=
Giải toán tọa độ:
-Viết phương trình IK, tìm được K
-Viết phương trình đường tròn (K)
tâm K đi qua I, tìm giao với d2,d3 tìm
được A, B Viết phương trình IA, IB giao với đường thẳng CD tìm được C, D
Đáp số: có 2 đáp số A(2; 2 , − ) B(− 1;5 ,) C(9;5 ,) D(6; 2 − )
Bài số 24 Cho tam giác ABC, lấy I thuộc cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC cắt IC tại D Gọi N là điểm đối xứng với I qua D, M là trung điểm IC Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M 2; 6 , N 7;1 , I(4; 4)( ) ( ) , đường thẳng AB :
x − y = 0 và diện tích tam giác ABC bằng 20 ( SÁNG TÁC: VÕ TRỌNG TRÍ )
tính được độ dài đường cao CH của
tam giác ABC: CH =d C AB( , )., mà
diện tích tam giác ABC biết rồi nên
ta tính được AB Mặt khác: IA.IB=IM.IN và IA+IB=AB ta tìm được độ dài IA,
IB Tham số hóa A, B ta tìm được A, B
K
I B
C