Khoảng -R, R được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa 2.. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa... Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa tt... Cách tìm bán kính hội
Trang 1Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng
Trang 2Chương 4:
0
n n
a x x
) ( x x0
X
0
n n
n
a X
Bằng phép biến đổi
ta đưa chuỗi trên về dạng
CHUỖI LŨY THỪA
Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho trường hợp chuỗi có dạng
a xn n
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
1.Định nghĩa
Trang 3 Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của
chuỗi lũy thừa
2 Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa n
n n
x a
1
R x
x :
hội tụ với mọi và phân kỳ với mọi
R x
x : được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
n
n n
x a
1
Trang 4n n
x a
1
n
n n
x a
1
Nếu chuỗi lũy thừa
Nếu chuỗi lũy thừa
phân kỳ x 0 ta cho R = 0
hội tụ x R ta cho R = +
2 Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Trang 5lim n
n
n
a
a
n
n n
x a
1
3 Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
là:
0 , 1
, 0 , 0
R
a) Định lý Abel: Giả sử
Trang 6lim n
n
n
n n
x a
1
b Định lý Cauchy:
khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
là:
0 , 1
, 0
R
3 Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Giả sử
Trang 7Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R (chỉ được dùng nếu lũy thừa tăng từng đơn vị một khi n đủ lớn)
Bước 1:
Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R
Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút
của khoảng hội tụ
Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Bước 2:
Bước 3:
4.Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Chú ý 1: Tại các đầu mút không dùng được TC Cauchy và D’Alembert
Trang 8Chú ý 2: Nên xét đầu mút ứng với chuỗi không âm (hoặc không dương ) trước :
-Nếu đầu mút ứng với chuỗi không âm hội tụ thì chuỗi số ứng với đầu mút kia thường hội tụ tuyệt đối
-Nếu đầu mút ứng với chuỗi không âm phân kỳ thì chuỗi
số ứng với đầu mút kia thường hội tụ theo Leibnitz hoặc phân kỳ theo điều kiện cần
- Nếu có đầu mút ứng với chuỗi không dương thì ta bỏ dấu – ra ngoài dấu tổng Ví dụ:
Trang 9
1
n
n
n
x
1
1
1 1
n n
n
a
VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Ta có:
Vậy R = 1
5 Một số ví dụ:
Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 < x <1
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = 1
Tại x = 1 ta có chuỗi 1 n phân kỳ
Trang 10( 2) (2 1).3
n
n n
x n
VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi
4 Một số ví dụ - VD 1(tt):
tiêu chuẩn Leibnitz vì là dãy giảm và tiến tới 0
Tại x = -1 ta có chuỗi
1
1 ) 1
(
n
n
n hội tụ theo
Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x <1
1
n
Trang 114 Một số ví dụ - VD2(tt):
1 5
-
Vậy R = 3
Khoảng hội tụ của chuỗi là
3 2)
( 3
- 3
3
(2 1).3 n 3 2 1 3
Ta có:
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và
x = 1:
Trang 121 ( 1)
2 1
n
1
1
2 1
n n
Tại x = 1 ta có chuỗi
Tại x = -5 ta có chuỗi hội tụ theo
phân kỳ vì
4 Một số ví dụ - VD2(tt):
1 1
( 1)
2 n 1 2 n
tiêu chuẩn Leibnitz vì là 1 dãy giảm và tiến tới 0
2n 1
Trang 13n
n n
x n
1
n
n
n X
a
1 1.9
a
n
2
9
9 1
n
a
n
VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt X = x2 , chuỗi ban đầu trở thành
Ta có:
Vậy R = 9
4 Một số ví dụ (tt):
Trang 14 2
0 X = 9 x
1
1 1
n n
Khoảng hội tụ của chuỗi là
Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút X = 9:
phân kỳ vì
4 Một số ví dụ - VD3(tt):
Tại X = 9 ta có chuỗi
Vậy miền hội tụ của chuỗi là:
1/2
2