ON THI CAO HOC, TOAN CC1 Chuong_5_PTVP_CAP_1

2.Bài toán CauchyBài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=fx,y thỏa điều kiện ban đầu yxo = yo...  Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi c

Đại học Quốc gia TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Khoa: Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 5:PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.Định nghĩa:

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng

F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)

Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó

 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=y(x) xác định và thỏa phương trình ít

2.Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của

phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa

điều kiện ban đầu y(xo) = yo

 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là họ các hàm y=φ(x,c) ) sao cho mọi bài toán Cauchy đều có duy nhất 1 nghiệm được rút ra từ họ này.

 Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng

quát khi cho hằng số c) một giá trị cụ thể

được gọi là nghiệm riêng.

 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ

nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị

nào được gọi là nghiệm kỳ dị

MATLAP : y=dsolve('Dy = -a*y’)

y  

21

(

y dy

(*)

c) x

y c)

x y

Đây là nghiệm tổng quát

Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình

(*) nên cũng là nghiệm của phương

trình vi phân này nhưng chúng không

nhận được từ nghiệm tổng quát nên là

nghiệm kỳ dị

) sin( x c)



Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c) =2

Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2

là y=2.x

3 Các loại phương trình vi phân cấp 1

3.1 Phương trình tách biến

a Dạng: g(y)dy = f(x)dx

b Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là:

2 2

c Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến

 Phương trình dạng: y’=f(y)

dx y

f dy ( ) 

• Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là

• Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng

tách biến:

y y

21

' 

2

1 )

2

1

y

VD: Tìm nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện

y

y dx

dy y



 1 2Từ điều kiện đầu y( 12)  12 ta giải được c) = 0

Vậy nghiệm của bài toán là

x

y 

1

0 )

(

) ( )

(

(

(

)

( )

(

) (

1

2 2

y g

y

g dx

x f

x f

của phương trình.

0 )

(

2 x 

f

0 )

(

1 y 

g

 Nếu

riêng của phương trình

tại x=a thì x=a là 1 nghiệm

 Nếu tại y=b thì y=b là 1 nghiệm

0 )

1 ( )

1 (  y2 dx  y  x2 dy 

x

0 )

1 ).(

1 (  x2  y2 

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

Vì

) 1

).(

1 (  x2  y2

0 1

1  2   2 dy 

y

y dx

x x

ta được phương trình tách biến:

chia 2 vế phương trình cho

c) y



 1 2 ln( 1 2) 1 2 ln( 1 2)

* 2

dx y

dy

xy2   (  1 )

0 )

1 ( y  

x

) 1 (  y

 dy x dx

y y

c) x

y y

VD2: Tìm nghiệm của phương trình:

(*) , chia 2 vế phương trình cho

12

Ta thấy x  0 và y   1 thỏa phương trình (*)nên đều là nghiệm của phương trình này

) (

' f ax by c)

c) by

y x

) (

' f x y

y 

' '

u

y x

f

xu '  ( ) 

Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:

'   

x

y e

y y x

' '

x y u xu u

y x

2 ( x  y dx  xdy 

(2



 dx dy x y ĐK x

' '

x y u xu u

y x

y

u      

Đặt

u xu

u  '  1  2

) 0 1

 x c) x y

) (

) (

được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1

thuần nhất tương ứng của phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất (1)

( )

) ( )

P x dx v e v

) ( )

' cos sin cos (1)

t x x

sin x

C2.Phương pháp biểu diễn thành tích:

B1.Ta đặt: y = u.v (*)  y '  u v u v '  '

(1)  u v u v '  ' cos  x u v  sin cos x x

' .( ' cos ) sin cos (3)

Thay vào (*) ta có nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (1) có dạng:

sin sin

(1),(3 5) '( ) sin cos

'( ) sin cos

x x

1 (sin

[ sin

sin e x c) e

x

e c) x

VD2: Tìm nghiệm của phương trình

x

y x

y

cos 1

tg

Áp dụng công thức nghiệm

] ).

(

) (

nó là các hàm liên tục trên miền D và thỏa mãn điều kiện

0 )

, ( )

,

P

) , ( ),

, ( x y Q x y P

D y

x x

Q y

( y x U

 dU  P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy

3.5 Phương trình vi phân tòan phần

Ở đây: cùng các đạo hàm riêng của

Khi đó: thỏa

a) Dạng:

b) Cách giải:

0 )

, ( )

, ( )

(' )

) , (

( P x y dx c) y Q x y y

Q y

x Q dx

y x P y

x

dU ( , )  ( , )  ( , )

Q y

U P

• Chọn tùy ý trên miền liên tục của các hàm

P,Q và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng.Khi ấy:0 0

0 )

3 (

) 1

P

VD1: Giải phương trình vi phân:

Vì nên đây là phương trình vi

phân tòan phần

dy y

x Q dx

y x P dU

y x

1

y x

Q U

y x

P x

U

Do đó:

( '   2 

( )

1

( x  y  dx  ey  x dy 

 Q

VD2: Giải phương trình vi phân

Nghiệm của bài toán là:

dy y

x Q dx

y x P dU

y x

x e

Q y

U

y x

P x

không là phương trình vi phân toàn phần nhưng

có hàm

( , ) ( , ) 0 (1)

P x y dx Q x y dy  

) ,

( y x H

) ,

( y x H

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 (2)

) ,

( y x H

c) Thừa số tích phân

sao cho

là nghiệm phương trình:

Lúc này: Hàm

Xét phương trình

là phương trình vi phân toàn phần

được gọi là thừa số tích phân

Nói chung không có phương pháp tổng quát để

tìm thừa số tích phân Ta chỉ xét 2 trường hợp đơn giản nhất:

0 2

sin )

sin

( x2  2 y dx  x ydy 

y x

0 2

sin

1 )

sin (

x x

là phương trình vi phân toàn phần

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

0 )

sin (

) 1 cos

( y2 x  dx  y x  x y dy 

VD2: Giải phương trình vi phân

1 Q



Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần.

Do đó thừa số tích phân là

Nhận xét:

0 )

sin (

1 )

1 cos

y y

dx x

y y

là phương trình vi phân toàn phần

c) y

x x

y sin  

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

biết có thừa số tích phân dạng