Các bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng

Trở ngại mà ta thường mắc phải là đường thẳng chưa đi qua điểm?. Vì vậy nhiều khả năng ta phải chuyển bài toán từ “Lập phương trình đường thẳng” về bài toán “tìm thêm điểm mới !”... Cách

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179) 1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

■ NHỮNG KỸ THUẬT CẦN NHỚ:

►Cách 1 (tìm điểm): Sử dụng “Nắm đắm và cây gậy” : Phương trình đường thẳng cần

tìm phải đi qua một điểm M x M;y M (“nắm đắm”) và hoặc nhận    2 2 

n  a; b , a  b  0

làm véctơ pháp tuyến (vtpt) hoặc nhận    2 2 

u  c; d , c  d  0 làm véctơ chỉ phương (vtcp) (“cây gậy”) Khi đó ta có các dạng phương trình  là:

 Dạng tổng quát: :a x x Mb y y M0

 Dạng tham số: :    

    M 

M

x x ct

t

 Dạng chính tắc: xx M  yy M

Đây là cách mà chúng ta vẫn thường sử dụng trong quá trình lập phương trình đường thẳng Trở ngại mà ta thường mắc phải là đường thẳng chưa đi qua điểm ? hay chưa

có vtpt (vtcp) Vì vậy nhiều khả năng ta phải chuyển bài toán từ “Lập phương trình đường thẳng” về bài toán “tìm thêm điểm mới !”

Một số lưu ý: do n u n u 0 nên nếu   2 2 0

 a b 

n a b ta có thể chọn  

; a

;

  



  



u b

u b a

(Mẹo nhớ là: “đổi chỗ, đổi một dấu !)

0

  



          



bx ay m

d ax by c

bx ay m

● Nếu / / :d axby   c 0 :axby d 0,mc(nếu m   c d loại)

VD15: Cho d: 2x  y 1 0 Khi đó:

      



      



►Cách 2 (Tìm vtpt): Sử dụng “Cây gậy lớn”: Trong trường đường thẳng chỉ qua một điểm

và “không thể tìm thêm điểm” nào nữa thì ta sẽ gọi    2 2 

n  a; b , a  b  0 và chỉ phải đi tìm thêm một phương trình f a; b  0 có chứa quan hệ của a và b Do điều kiện 2 2

a  b  0

nên “nếu biết một trong hai số a  0 (hoặc b  0) thì ta được chọn a (hoặc b) là một số

bất kỳ khác 0 khi đó phương trình f a; b  0 chỉ còn 1 ẩn để giải

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179) 2

Một số lưu ý: để thiết lập được phương trình f a; b  0 , ta thường sử dụng đến các yếu tố

liên quan đến “diện tích, khoảng cách và góc” Vì vậy ta cần lưu tâm đến các giả thiết có

hàm chứa các yếu tố trên

VD16: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M 1; 2 và tạo với đường thẳng

: 2  1 0

d x y một góc 0

45

HDG

Gọi    2 2 

n a b a b là vtpt của  và n d 1; 1  là vtpt của d

Khi đó ta có:     1 2 2 2 2 2

2



d d

d

 

;

f a b

a b a b a ab b (nhận xét nếu b = 0 thì a = 0 không thỏa)

 

1

1

1;3 1

8 9 0

9 9;3 3 3; 1



b b       a   n   

a a

Do đó:

 

 

 

1

2

1;2

1;2

3 7



 

   



   



qua M vtpt n

qua M vtpt n

x y

x y

►Cách 3 (Tìm hệ số góc): Sử dụng “đường thẳng có hệ số góc k” theo hàm số: tương

tự như cách 2, đường thẳng qua một điểm M x M;y M và khuyết vtpt (vtcp) Cách làm này giúp ta giảm ẩn đến hết mức có thể và tận dụng các yếu tố về góc, khoảng cách để thiết lập phương trình đường thẳng 

Ở đây theo nghĩa của “hàm số bậc nhất” thì hệ số góc của đường thẳng là giá trị

ktan với    ;Oxlà góc hợp giữa đường thẳng và chiều dương trục hoành (tia Ox)

:

 yk xx M y M và khi đó nk; 1  là vtpt của 

VD17: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M 1;0 và khoảng cách từ điểm N 2;3

đến đường thẳng  bằng 2

HDG

Gọi    2 2 

n a b a b là vtpt của 

Khi đó đường thẳng  qua M 1; 2 có dạng :a x  1 b y00

Theo đề bài,    2  2 2

3



a b

a b

 

1

2

;

7

                

b b

f a b

x y a

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179) 3

Cách khác: Xét đường thẳng / /Oy  qua M 1;0 x 1 0

Khi đó d N ;   1 2 (không thỏa mãn)

Do đó gọi k là hệ số góc của  Khi đó :yk x   1 0 kx  y k 0

Theo đề bài ta có    2  2 

2

3

1

k

k





1 2

2

1

x y k

   



            

VD18:  qua M 3; 4 và không song song trục hoành  : ykx 3 4

VD19:  qua M m m ; 2 3tạo với chiều dương trục hoành một góc 0

45

 hệ số góc 0  

         

 x    y y    x k    Ox 

 x    y y  x   k     Ox  

(từ hệ số góc ta có thể suy ra góc giữa đường thẳng và chiều dương trục hoành)

BÀI TẬP VẬN DỤNG – PHẦN 2

Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCvuông tại A 0;3 , trọng tâm

5

;3

3

G 

 

 , đường cao AH có phương trình 3x4y120 Lập phương trình đường

thẳng BCvà tìm tọa độ điểm B và C biết rằng x B x C

ĐS: BC: 4x3y 1 0,B   4;5 ,C 1;1

Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình đường thẳng BC x:   y 1 0 và phương trình đường cao kẻ từ đỉnh Blà

x y  Biết rằng đường cao kẻ từ đỉnh Cqua điểm M 2;1 Viết phương trình

đường thẳng AB AC, và tìm tọa độ điểm A

AB x y  AC x y  A  

 

Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh D 6; 6, đường trung trực của cạnh CDcó phương trình 2x3y170, đường phân giác

trong góc BACcó phương trình là 5x  y 3 0 Viết phương trình đường phân giác trong của góc BDC

ĐS: d: 10 3 17 x 2 1711y 6 6 17 0

THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179) 4

Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB và đường chéo BD lần lượt là x3y 1 0 và x  y 5 0

Đường thẳng chứa cạnh AD đi qua điểm M 1; 2 Tìm tìm tọa độ điểm I là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và viết phương trình đường thẳng AC

ĐS: I2;3 , AC x:   y 1 0

Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm E 1; 2 là trung điểm của cạnh CD Gọi F là một điểm trên đoạn AC sao cho CF 3AF Biết phương trình đường thẳng chứa cạnh BF là x3y 5 0 Viết phương trình đường AB

ĐS: AB y:  2 0 hay AB: 3x4y150

Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1 và  C2 lần lượt có phương trình   2 2   2 2

C x y  x y  C x  y  x  Biết rằng điểm

 1;1

M là điểm chung của  C1 và  C2 Viết phương trình đường thẳng d qua Mcắt

 C1 và  C2 lần lượt tại A B, (AB) sao cho M là trung điểm của AB

ĐS: d x:   y 2 0

Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn   2 2

C x  y  x y 

và điểm M 3;5 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến  C Giả sử M N, là các tiếp điểm Tính độ dài MN

5

d y  hay d x y  MN 

Câu 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1 và  C2 lần lượt có phương trình   2 2   2 2

C x  y  x C x y  x y  Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn  C1 và  C2

ĐS: x7y 5 25 2 0 hay x7y 5 25 2 0

Câu 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2; 1, trực tâm H 2;1

và độ dài cạnh BC2 5 Gọi E F, lần lượt chân đường cao hạ từ đỉnh B C; Biết trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng d x: 2y 1 0 và EF đi qua điểm

3; 4

N  Viết phương trình đường thẳng BC

ĐS: 2x  y 3 0 hay 2x  y 7 0

Câu 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d qua M 1; 4

và d cắt nửa trục dương Ox Oy, lần lượt tại A B, sao cho SOABnhỏ nhất

ĐS: d: 4x y 160