tim gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua mot bieu thuc

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:  Xác định ẩn phụ t .  Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .  Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A Nguyên tắc chung

Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:

 Xác định ẩn phụ t

 Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t

 Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một

hàm biến t trên miền giá trị của t

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho x, y0 thỏa mãn x y 4 Tìm GTLN, GTNN của  3  3 

Giải Đặt txy, suy ra  2

4

x y

   Ta có

S   3   2

xy  x y  xy  xy

  t34 4 23t1  3

12 63

t  t Xét hàm   3

12 63

f t  t t , với t 0; 4 Ta có   2

f t  t    t  0; 4  f t  đồng biến trên  0; 4 Do đó



0;4

t



    , đạt được khi và chỉ khi

4 0

x y xy

 



  x y;    4;0 hoặc x y;    0; 4



0;4

t



   , đạt được khi và chỉ khi

4 4

x y xy

 



  x y;    2; 2

Ví dụ 2 Cho x, y0 thỏa mãn x2y2 2 Tìm GTLN, GTNN của S  x y xy

Giải. Đặt t  x y t0 Ta có

 2

t  xy x y  xyx y   t 2 Suy ra t  2; 2 Lại có

 2  2 2

2 1 1

1 2

S  f t   t  t

Ta có f ' t    t 1 0 với mọi t 2; 2 , f  2 1,   3

1 2

f  Do đó

 minS  f  2 1, đạt được  2 22

2

 



  

1 1

x y





 

2

S  f  , đạt được  2 21

2

 





 

2

2

x y









 



hoặc

2

2

x y









 



Ví dụ 3 Cho x, y0 thỏa mãn x2 y2 8 Tìm GTLN, GTNN của

S

Giải Đặt t x y , ta có

xy  x y     t4,

xy x y  xyx y   t2 2

Suy ra 2 2 t 4 Lại có

 2  2 2

2 8

Ta có biến đổi sau đây

 11 11



  2 

2 1



  

2

8 8 1 2

t t





8 2

t



 

 

Xét hàm   2

8

t

f t





  với 2 2 t 4 Ta có

f t

Suy ra f nghịch biến trên 2 2; 4  Do đó    

2 2 ;4

2

3

t

f t f

  max f t  f  2 2  2

2 2 ;4

4

2 min

3

t

4

  



 

4 min

3

S  , đạt được  x y 2

+)  

2 2 ;4

t

8

2 2

x y





 

0

2 2

x y









2 2 0

x y

 







Vậy max 4

3

S  , đạt được  0

2 2

x y









2 2 0

x y

 







Ví dụ 4 Cho x, y0 thỏa mãn x y xy3 Tìm GTLN, GTNN của

1

S

Giải Đặt

3

4

t t

  







 

3

t

 



  

Ta có

1



 



3

t

t

t

 , t 2;3

Ta có  

 

2

2

t

t

 ,  t  2;3  f  1 đồng biến trên  2;3

Do đó

2 5

2

x y xy

x y



  

5

S , Đạt được  x y 1

3 6

3

x y xy

x y



  

0 3

x y





 

 hoặc

3 0

x y





 

 maxS35, Đạt được   x0 hoặc x3

 

Ví dụ 5 Cho x, y thỏa mãn x2xyy2 1 Tìm GTLN, GTNN của 2 2

Sx xyy

Giải

Cách 1 Từ giả thiết suy ra  2   2 2 3 2

1

t xy thì 3 2 1

4t  , hay 2 3 2 3;

xy xy   t , suy ra

S  xy  xy t t    t 

Xét hàm   2

f t   t  với 2 3 2 3;

  Ta có f ' t  4t, f ' t có nghiệm duy nhất

2 3 2 3

   

Ta có f  0 3, 2 3 2 3 1

Do đó

3

S  , đạt được chẳng hạn khi

2 3 3 1



 





   





 2

2 3 3 1

x y



 









2 3 3 1 3

xy



 





 



 maxS 3, đạt được khi và chỉ khi

0 1

 





  

0

1

x y

 





0 1

x y xy

 



  



   x y;  1; 1  hoặc   x y;  1;1

Cách 2 Ta có

S

 



 

 Xét y0 Khi đó S1

 Xét y0 Chia cả tử và mẫu của S cho y2 và đặt t x

y

 , ta được 2

1

S

 

Xét hàm   2

2 1

1

t

f t

t t

 

  , ta có    

2

2 2

'

1

t

f t

t t





 

Bảng biến thiên của hàm f t :

 

2

2

1 1 1

t

f t

   

Suy ra:

+) min 1

3

S  , đạt được khi và chỉ khi

1

1

x

y

x xy y

 





   



x y    

+) maxS3 Đạt được khi và chỉ khi

1

1

x

y

x xy y

  





   



  x y;  1; 1  hoặc   x y;  1;1

Ví dụ 6 [ĐHB09] Cho x, y thỏa mãn  3

xy  xy Tìm GTNN của

 4 4 2 2  2 2

Giải Áp dụng bất đẳng thức  2 2  3 2

4

a b ab  a b với ax2, by2 ta được

 4 4 2 2 3 2 22

4

x y x y  x y  9 2 2 2 2 2

4

A x y  x y 

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức  2

4xy xy , ta có

f t

1 3

3

+∞

1 -1

-∞

t

  3 2

2

x y  xy  xy  

xy  xy   x y   x, y )

 

2

2

1

9

2 1 4

t







Xét hàm   9 2

4

f t  t  t , 1

2

t Ta có   9

2

2

t

   f t  đồng biến trên

1

;

2



2 16

 

 

1 2

t

 

Như vậy 9

16

S , dấu “” xảy ra khi và chỉ khi

2

x y







1 1

2 2

   hoặc   1 1

 

Vậy min 9

16

S  , đạt được    1 1

2 2

   hoặc   1 1

 

Ví dụ 7 [ĐHB12] Cho các số thực x, y , z thỏa mãn các điều kiện x  y z 0 và

1

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5

Px y z

Giải Từ x  y z 0 suy ra z  x y, thay z  x y vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được

Do đó, nếu đặt t x y thì ta có

2 3 1

2

2

t

xy 

Biến đổi

P 5 5  5

2

2

Xét hàm   5 3 

2 4

f t   t t , với 6; 6

4

f t   t  có hai nghiệm là

;

f  



f  

 

36

P  , đạt được chẳng hạn khi 6

6

3

z 

Ví dụ 8 Cho x, y , z0 thỏa mãn 3

2

x  y z Tìm GTNN của biểu thức

x y y z z x

Giải Đặt t3 xyz Ta có t0 và

3 3

3

2   x y z xyz  1

2

t

Suy ra 0;1

2

 

Lại có

3

x y y z z x x y y z z x   xyz t

3

1 3

t

 

Xét hàm   2

3

1

f t t

t

  với 0;1

2

  Ta có   4 54



2

  , suy ra f

nghịch biến trên 0;1

2

  Vậy

S  f 

 

  , đạt được khi và chỉ khi

2

xyz

 





1 2

x  y z

Ví dụ 9 [ĐHA03] Cho x, y , z0 thỏa mãn x  y z 1 Chứng minh rằng:

2 2 2

82

Giải Xét a x;1

x

 

 

 ,

1

;

b y y

 ,

1

;

c z z

 

 

 , ta có

;

Từ a     b c a b c suy ra

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:

Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

3

3

x  y z xyz , 1 1 1 3 1

3

x  y z xyz

Do đó

t

3

t xyz

Ta có

2 1 0

x y z

t    

9

t

  với 0;1

9

  Ta có

  92

f t

t

9

    f t  nghịch biến trên 0;1

9

 

 

 

82 9

 

   VT 1  f t( ) 82 (ĐPCM)

Cách 2  2 1 1 1 2

x y z

  1 1 1  2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

C Bài tập

Bài 1 [ĐHD09] Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN của

S  x  y y  x  xy

Bài 2 Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN của

S

Bài 3 Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN của

S  x  y   x y 

Bài 4 Cho x, y0 thỏa mãn x y xy3 Tìm GTLN, GTNN của

6

S

Bài 5 Cho x, y thỏa mãn x2y2  1 xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 6 Cho x, y thỏa mãn x2y2 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 7 [ĐHD12] Cho x, y thỏa mãn   2 2

x  y  xy Tìm GTNN của

Bài 8 [ĐHA06] Cho x0, y0 thỏa mãn   2 2

xy xyx y xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 13

Bài 9 [ĐHB08] Cho x, y thỏa mãn 2 2

1

x y  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2

P





 

Bài 10 Cho x , y thỏa mãn x2y2 xy1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2

S x  xyy

Bài 11 Cho x , y thỏa mãn 2x2y2xy1 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 12 Cho x, y , z0 thỏa mãn 3

2

x  y z Tìm GTNN của biểu thức

1 1 1

     

Bài 13 [ĐHB10] Cho a, b, c0 thỏa mãn a b c  1 Tìm GTNN của biểu thức

M  a b b c c a  ab bc ca   a b a

Bài 14 Cho x, y, z0 thỏa mãn 3

2

x  y z Tìm GTNN của biểu thức

P