BO DE THI VAO 10 TINH PHU THO

Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt CDtại K a Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK, suy ra tam giác AFK vuông cânb Gọi I là trung điểm của FK.. Tính

và thời gian đi trên cả hai đoạn đường là 3 giờ 30 phút Tính chiều dài đoạn đường người

đó đã đi

Câu 3 (2 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (2m− 1)x2 − 4mx+ = 4 0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 1

b) Giải phương trình (1) với m bất kỳ

c) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng m

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AC = BC) nội tiếp đường tròn có đường kính CK Lấy điểm Mbất kỳ trên cung nhỏ BC (M ≠B M; ≠C), kẻ nửa đường thẳng AM Trên AM kéo dài vềphía M lấy điểm D sao cho MB = MD

Câu 3 (5 điểm)

Cho hình vuông ABCD cố định có độ dài cạnh là a E là điểm di động trên cạnh CD(E khác D) Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt CDtại K

a) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK, suy ra tam giác AFK vuông cânb) Gọi I là trung điểm của FK Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A, C, F, K và

I chuyển động trên đường thẳng cố định khi E chuyển động trên CD

c) Tính số đo góc AIF, suy ra A, B, F, I cùng nằm trên một đường tròn

d) Đặt DE = x (a x≥ > 0) Tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x

e) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất

Ngày thi: năm 1996 (đợt 1)

Đề thi có 01 Trang

Câu 1 (3 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 − 2mx+ 2m− = 1 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi m

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đơn vị 2 trục bằng nhau

a) xác định hệ số a để đồ thị (P) của hàm số y = ax2 đi qua điểm A(1; 1) Vẽ đồ thị(P) vừa tìm được Hàm số này đồng biến, nghịch biến trong khoảng nào?

b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ là m (mkhác 1) Viết phương trình đường thẳng (d) Tìm m để (d) và (P) chung nhau một điểm

Câu 3 (4 điểm)

Cho đường tròn (O) cố định, BC là dây cung cố định của (O), điểm A di động trêncung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn có 3 góc nhọn, BB’; CC’ là 2 đường cao của tamgiác ABC

a) Chứng minh 4 điểm B, C’, B’, C cùng nằm trên 1 đường tròn

b) Chứng minh AB.AC’ = AC.AB’

c) Gọi M là trung điểm của cung nhỏ BC Tìm tập hợp trung điểm N của AM khi Achuyển động trên cung lớn BC

Ngày thi: năm 1997 (đợt 1)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 4 lần nghiệm kia

2 Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi bằng 52m Nếu tăng bề rộng lên gấp đôi

và bề dài lên gấp 3 thì chu vi của thửa ruộng mới là 136m Tính diện tích thửa ruộng banđầu

Câu 3 (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H nội tiếp đường tròn tâm (O), gọi A’ là điểmđối xứng của H qua BC

a) Chứng minh tứ giác ABA’C nội tiếp

b) tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác BHCA’ là hình thoi

c) Cho trước đường tròn (O), điểm A trên đường tròn, điểm H nằm bên trong đườngtròn Hãy dựng tam giác ABC nhận H làm trực tâm

Câu 4 (1 điểm)

Giải phương trình: 5x− 2 x(2 + +y) y2 + = 1 0

a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1)

b) Tìm hệ số a của hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)

d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2), C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìmtọa độ của B và C Tính diện tích tam giác ABC

Câu 2 (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), gọi AI là đường kính cố định và

D là điểm trên cung nhỏ AC (D khác A và C)

a) Tính cạnh của tam giác ABC theo R, chứng tỏ AI là tia phân giác của góc BACb) Trên tia BD lấy DE = DC Chứng tỏ tam giác CDE đều và DI vuông góc với CEc) Suy ra E chuyển động trên 1 cung tròn cố định

d) Tính diện tích tam giác ADI theo R khi D là trung điểm cung nhỏ AC

câu 3 (1,5 điểm)

Cho phương trình ẩn x : x2 − 2x+ = 1 6 4 2 + − 6 4 2 −

a) Rút gọn vế phải của phương trình

b) Giải phương trình

Ngày thi: năm 1998 (đợt 1)

Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – mx + m – 1 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi m

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ đường tròn tâm O đường kính

AH, đường tròn (O) cắt AB và AC lần lượt tại E và F

a) Chứng minh E, O, F thẳng hàng

b) Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ E và F cắt BC tại M và N Tam giác OMN

có dặc điểm gì?

c) Cho AB = 36cm, AC = 112cm Tính diện tích tứ giác MEFN

d) Giả sử E chuyển động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc vuông Tìm vị trí của A

để diện tích tứ giác AEHF lớn nhất

Ngày thi: 03 tháng 8 năm 1999 (đợt 1)

Cho phương trình bậc hai ẩn x tham số m: x2 − 2m x2 + 2(3m2 − = 4) 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 0

b) Tìm giá trị của m biết phương trình có một nghiệm bằng 4

c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

Câu 3 (1 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm Từ A dựng tia Ax vuônggóc với mặt phẳng (ABC) Trên tia Ax lấy điểm S sao cho AS = BC Tính thể tích hìnhchóp S.ABC

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính AB, bán kính R Lấy điểm C trên nửa đường tròn

và điểm D trên cung CB Gọi H là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC vàBD

a) Chứng minh tứ giác ECHD nội tiếp

b) Chứng minh EH vuông góc với AB

c) Cho biết CD = R, tính góc AEB

d) Gọi I là trung điểm của EH Chứng minh DI là tiếp tuyến của đường tròn đườngkính AB

Câu 1 (3 điểm)

Cho biểu thức

2 ( a b) 4 ab P

a) Giải phương trình với m = 0

b) Phân tích vế trái thành tích của 2 nhân tử

c) Chứng minh rằng khi m = 0 thì vế trái của (1) luôn lớn hơn hoặc bằng 1

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, một tia Bx nằm trong góc ABC cắt AC tại D Dựng tia Cy vuông góc với Bx ở E và cắt BA kéo dài tại F

a) Chứng minh FD vuông góc với BC Tính góc BFD

b) Chứng minh EA là phân giác của góc FEB

c) Giả sử góc ABx = 300 và BC = a Tính AB và AD theo a

d) Chứng minh rằng khi tia Bx quét góc ABC thì điểm E chuyển động trên 1 cung tròn cố định

Ngày thi: 03 tháng 8 năm 2000 (đợt 1)

a a a a P

Cho tam giác AMB vuông tại M (MA < MB) nội tiếp đường tròn (O) Trên cạnh

MB lấy điểm C sao cho MC = MA Nối AC kéo dài cắt đường tròn (O) tại E, các đườngthẳng BE và AM cắt nhau tại D, đường thẳng DC cắt AB tại F

a) Chứng minh tứ giác DMCE nội tiếp

Một ô tô đi từ A đến C dài 270km gồm đoạn đường nhựa Ab và đoạn đường đất

BC Trên đoạn đường nhựa AB ô tô đi với vận tốc 50km/h, trên đoạn đường đất BC ô tô đivới vận tốc 40km/h Tính đoạn đường AB và BC (biết thời gian đi trên cả 2 đoạn đường lànhư nhau)

Câu 3 (4 điểm)

Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C trên cung AB (C khác A vàB) Gọi E là điểm chính giữa của cung AC, H là giao của AC và BE, D là giao điểm của

AE và BC

a) Chứng minh tứ giác DEHC nội tiếp

b) Chứng minh DH vuông góc với AB

c) Chứng minh E là trung điểm của AD

d) Giả sử đường tròn đã cho là cố định và điểm C chuyển động trên nửa đường tròn

đó Chứng minh rằng điểm D chuyển động trên một cung tròn cố định

Ngày thi: 03 tháng 8 năm 2001 (đợt 1)

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua A vẽ các tiếp tuyến

AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Kẻ các đường cao BD và CE của tam giácABC và gọi H là giao điểm của chúng

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi

Câu 2 (2,5 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình)

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m Nếu tăng chiều dài

và chiều rộng thêm 5m thì khu vườn mới hình chữ nhật có diện tích bằng 875m2 Tínhdiện tích khu vườn ban đầu

Câu 3 (4 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R và một điểm A trên nửa đường tròn

đã cho sao cho BA = R Lấy điểm M trên cung AC, gọi I là giao điểm của BM và AC, tia

BA cắt tia CM tại D

a) Chứng minh tam giác ABO đều và tứ giác AIMD nội tiếp

b) Chứng minh DI vuông góc với BC và góc ADI = 300

c) Cho góc ABM = 300, tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIMD và diện tíchhình tròn đó theo R

Ngày thi: 02 tháng 8 năm 2002 (đợt 1)

a) Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn có bán kính R = 12,5cm

b) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O; R), với R = 10,4cm biết rằng gócBAD = 900 Hãy tính góc BCD và độ dài đường chéo BD

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

b) Cho B và C cố định, A chuyển động trên đường tròn Chứng minh AH không đổi

a) Giải phương trình (1) với m = - 1

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Câu 4 (2 điểm)

Cho hình vuông ABCD cố định và điểm E di chuyển trên cạnh CD (E khác D) Gọi

F là giao điểm của tia AE và đường thẳng BC Tia Ax vuông góc với AF tại A, cắt đườngthẳng CD tại K Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABF bằng tam giác ADK và suy ra AK = AF

b) Tứ giác ACFK nội tiếp đường tròn và tâm đường tròn này thuộc tia cố định

Câu 5 (2 điểm)

Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: a a c c c – a 8 d – b( − ) + ( ) + ( ) > 0

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm:

Ngày thi: 05 tháng 8 năm 2003 (đợt 1)

a) Chứng minh các tứ giác ACMD, BCME nội tiếp

b) Chứng minh khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn thì tam giác DCEvuông và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác này thuộc một tia cố định

Cho đường tròn (O; R = 10cm) và dây AB = 10 2cm Gọi I là trung điểm của dây

AB Tính OI và diện tích hình tròn tâm O bán kính OI

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M tùy ý trên cung AB (M khác A

và B), vẽ đường kính MN Trên tia đối của tia AM lấy điểm C sao cho CA = AM Trên tiađối của tia BM lấy điểm D sao cho DB = MB

a) Chứng minh rằng NC và ND song song với AB

b) Xác định vị trí của M để CD là tiếp tuyến của đường tròn

Ngày thi: 22 tháng 7 năm 2004 (đợt 1)

x x P

a) Chứng minh rằng tam giác HCM vuông cân

b) Gọi giao điểm của tia OH với đoạn thẳng BC là I và kẻ dây BD vông góc với OI.Chứng minh rằng M, I, D thẳng hàng

a) Giải phương trình với m = 1

b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất của tổng x1 + x2

Câu 5 (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại C nội tiếp đường tròn (O) đường kính CK, điểm M bất

kỳ thuộc cung nhỏ BC (M khác B và C) đường thẳng đi qua B và vuông góc với CM, cắt

AM tại D chứng minh rằng:

a) Tam giác MBD cân

b) Khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì D chuyển động trên một cung tròn cố định

Ngày thi: 04 tháng 8 năm 2005 (đợt 1)

Câu 4 (3 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm C và D thuộc cung AB sao cho Ckhông trùng A và B; D nằm giữa C và B AC cắt BD tại E, AD cắt BC tại F

a) Chứng minh rằng tứ giác ECFD nội tiếp

b) Chứng minh ∠AEF = ∠ABCA và EF vuông góc với AB

c) Cho số đo cung nhỏ CD = 600, AD = a tính độ dài AE

Câu 5 (1 điểm)

Cho 3 số thực a, b, c sao cho a+ 2b+ ≥ 3c 14 Chứng minh rằng: a2 + + ≥b2 c2 14

a) Chứng minh 4 điểm A, O, B, M cùng nằm trên một đường tròn

b) Đoạn OM cắt đường tròn (O) tại I chứng minh BI là phân giác của góc MAB

Từ đó suy ra I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MAB

c) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB Điểm H chạy trên đường nào khi M chạytrên d

câu 5 (1 điểm)

Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2006 (đợt 1)

Cho đường thẳng (d) có phương trình: y= −(k 2)x+ 1 (k≠ 2) Tìm giá trị của

k trong các trường hợp sau

1 Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2)

2 Đường thẳng (d) song song với đường thẳng -2y + x – 3 = 0

a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

b) Chứng minh tứ giác OABC là hình vuông

c) từ B kẻ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tâm O tại E và F chứng minh rằngBE.BF = BC2

Câu 5 (1 điểm)

a) Giải hệ phương trình với m = 4

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho phương trình: 2

x − m− x+ m− = (m là tham số)a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình cs nghiệm với mọi m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, gọi M là điểm đối xứng của O qua A, qua

M kẻ một cát tuyến d không đi qua O và cắt đường tròn đã cho tại hai điểm C, D phân biệt(C nằm giữa M và D) Gọi P là giao điểm của các đường thẳng AD và BC, Q là giao điểmcủa các đường thẳng AC và BD

a) Chứng minh rằng PQ vuông góc với AB

Ngày thi: 07 tháng 7 năm 2007 (đợt 2)

a) Giải hệ phương trình với m = 3

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho phương trình: x2 − 2(m− 1)x m+ − = 3 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của mc) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên Hãy tìm m để biểu thức

a) Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) CA là tia phân giác của góc SCB

Cho phương trình: x2 − 2(m+ 1)x m+ 2 − = 1 0 (1), (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 7

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2

sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m

Câu 3 (4 điểm)

Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, kẻ AB vuông góc với d (B thuộcd), vẽ đường tròn đường kính AB Cho C là một điểm di động trên đường tròn (C khác A,B), kẻ đường kính CD của đường tròn đó, nối AC kéo dài cắt d tại M, nối AD kéo dài cắt

d tại N

a) Chứng minh CDNM nội tiếp

b) Gọi I là trung điểm của MN, chứng minh AI vuông góc với CD

c) Xác định vị trí của C sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất

Câu 4 (1 điểm)

Cho x, y là các số thỏa mãn x> 0,y> 0;x y+ ≤ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= 1 + 1 +xy

Ngày thi: 26 tháng 6 năm 2008 (đợt 2)

Cho phương trình: x2 – (3m – 1)x + 2(m2 – 1) = 0 (1), (m là tham số)

a) giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

D Tia AN cắt đường tròn tại điểm thứ hai I Các dây BC, MI cắt nhau tại K

a) Chứng minh tứ giác DKIN nội tiếp và AI.AN = AK.AD

b) Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua hai điểm B và C thì đường thẳng MI luôn đi qua một điểm cố định

c) Xác định đường tròn (O) để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất

Câu 4 (1 điểm)

Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 2x2 +y2 − 2xy+ 4x− 8y+ 20 0 =

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh ABtại D và cắt cạnh AC tại E Gọi H là giao điểm của BE và CD

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được đường tròn

b) Gọi I là trung điểm của AH, chứng minh IO vuông góc với DE

c) Chứng minh AD.AB = AE.AC

Câu 5 (1 điểm)

Cho x; y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: 4

3

x y+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức: A x y 1 1

x y

= + + +

Ngày thi: 03 tháng 7 năm 2010 (đợt 2)

Cho phương trình (m là tham số): x2 + 4(m− 1)x m− 2 − = 8 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

AB tại I Gọi K là giao điểm của IM và BC Chứng minh:

a) Tứ giác BKHI nội tiếp

b) Hai đoạn thẳng BM và CI bằng nhau

c) Khi điểm M chuyển động trên cạnh AC (M không trùng A và C) thì điểm H luônthuộc một cung tròn cố định

b) Giải bất phương trình: 3x – 2011 < 2012

c) Giải hệ phương trình:  − =25x x+33y y=131

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2 − + = 5x 2 0

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2 −(2m− 3)x m m+ ( − = 3) 0 có 2

nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2x1 − =x2 4

Câu 3 (1,5 điểm)

Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi Khi từ B trở về A người đótăng vận tốc thêm 2km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút.Tính vận tốc lúc đi từ A đến B, biết quãng đường AB dài 30km

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua điểm M vẽ 2 tiếptuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (với A, B là các tiếp điểm) Kẻ tia Mx nằm giữa 2tia MA, MO và cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D Gọi I là trung điểm của đoạnthẳng CD, đường thẳng OI cắt đường thẳng AB tại N Giả sử H là giao điểm của OM vàAB

a) Chứng minh tứ giác MNIH nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng tam giác OIH đồng dạng với tam giác OMN, từ đó suy raOI.ON = R2

c) Giả sử OM = 2R, chứng minh MAB là tam giác đều

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x− − 1 y y = y− − 1 x x Tìm giá trị