SKKN phát huy trí tuệ của HS qua chứng minh bất đẳng thức

Mặt khác, toán học ở bậc trung học cơ sở là nền móng quan trọng cho việc học toán trong suốt bậc học phổ thông và các trờng chuyên nghiệp sau này của học sinh.. Bởi lẽ đó, cần và đòi hỏi

Phòng giáo dục huyện cao phong trờng trung học cơ sở thị trấn cao phong

Sáng kiến kinh nghiệm:

Phát huy trí tuệ học sinh thông qua chứng minh bất đẳng thức

Họ và tên: Nguyễn Chí Chung

Đơn vị : Trờng trung học cơ sở thị trấn cao Phong

Năm học 2014 - 2015

A đặt vấn đề

Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi tập trung cao độ về trí tuệ nhất đối với cả ngời dạy và ngời học, nó còn là chìa khoá cho tất cả các bộ môn khoa học khác Vì vậy, việc dạy toán đối với thầy và học toán đối với trò cần có một phơng pháp dạy học thật sự khoa học, thờng xuyên đổi mới cả phơng pháp dạy và học đối với thầy và trò Mặt khác, toán học ở bậc trung học cơ sở là nền móng quan trọng cho việc học toán trong suốt bậc học phổ thông và các trờng chuyên nghiệp sau này của học sinh Bởi lẽ đó, cần và đòi hỏi ngời thấy giáo với điều kiện cần và đủ là phải có phơng pháp truyền thụ với một nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phơng pháp thích hợp trong giảng dạy nhằm phát huy trí tuệ của học sinh trong việc lĩnh hội những kiến thức toán học Các dạng toán ở trờng trung học cơ sở bao hàm nhiều nội dung, nhiều vấn đề Nói một cách đầy đủ và chính xác là gồm nhiều chuyên đề, nó rất phong phú về thể loại và đa dạng về phơng pháp …

Muốn giỏi toán cần phải rèn luyện, luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, giải các bài toán với nhiều cách giải khác nhau, kiên nhẫn và tỷ mỷ, để tìm ra đáp số đúng Nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã viết: “ Ng… ời ta hay nói: “Toán học là thể dục của trí não” Nói nh vậy e cha lột tả hết ý nghĩa rèn luyện của t duy và tính cách của Toán học; phải lấy hình ảnh của một ngời tập thể dục mà sức khoẻ càng tốt lên lại đòi hỏi trình độ bài tập càng nâng lên, hai bên cứ thúc đẩy nhau mà tiến mãi.” ( Ph… ơng pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học Tập II, trang 14; 15 Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội- 1997)

Qua việc học và dạy toán nhiều năm ở trờng trung học cơ sở, chúng ta thấy: Chuyên đề Bất đẳng thức với những bài tập thật là đa dạng phong phú và không ít phức tạp đối với cả thầy và trò; chúng ta cần làm cho “hai bên cứ thúc đẩy nhau mà tiến mãi”

Xuất phát từ những lý do nêu trên, trong khuôn khổ kinh nghiệm của mình trong dạy và học, tôi xin đợc đề xuất một vài suy nghĩ về việc phát huy trí tuệ của học sinh thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức mà tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy ở các nhà trờng phổ thông trong những năm vừa qua

Mặc dù đã dành nhiều thời gian công sức tìm tòi, học hỏi và thực hiện trong quá trình giảng dạy

Song do nhiều lý do, nhất là còn hạn chế về kiến thức, về phơng pháp truyền thụ cho học sinh, nên những kinh nghiệm của tôi chắc chắn còn thiếu sót nhiều, tôi mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cám ơn

Nội dung chính của bài viết này gồm có ba phần:

* Phần I: Những kiến thức cơ bản

* Phần II: Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

* Phần III: Kết luận rút ra từ thực tế

Tài liệu tham khảo:

- Sách giáo khoa Đại số lớp 9 của tác giả Nguyễn Duy Thuận

- Sách Ôn tập toán - Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội

- Một số phơng pháp giải toán cấp II chọn lọc của Giáo s Phan Đức Chính,

Nguyễn Văn Mậu

- Sáng tạo toán học - Giáo s Hoàng Chúng

- Phơng pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học

Nguyễn Cảnh Toàn

- Một số vấn đề phát triển đại số 8 của nhà giáo Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản GD năm 1996

- Một số tạp chí Toán học và tuồi trẻ

- Một số đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 & lớp 12 của tỉnh qua các năm

Phần I : Những kiến thức cơ bản

1/ Bất đẳng thức và Định nghĩa

Với hai số a & b ∈R, Chúng xẩy ra các mối quan hệ:

a > b ⇔ a - b > 0

a < b ⇔ a - b < 0

a = b ⇔ a - b = 0

Mở rộng ra, với biểu thức A & B ∈R có chứa biến số ta cũng có:

Định nghĩa bất đẳng thức:

A > B ⇔ A - B > 0 ←

A < B ⇔ A - B < 0 ↑

A = B ⇔ A - B = 0

- Các biểu thức ← & ↑ đợc gọi là các bất đẳng thức( cần chỉ rõ cho học sinh) nghiêm ngặt

- Cần cho học sinh hiểu rõ và sâu sắc định nghĩa bất đẳng thức này để vận dụng vào việc chứng minh bất đẳng thức sau này bằng cách dùng định nghĩa

- Trong thực tế giải toán ta còn gặp các bất đẳng thức có dạng:

A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0 →

A ≤ B ⇔ A - B ≤ 0 ↓

Các bất đẳng thức → & ↓ đợc gọi là các bất đẳng thức không nghiêm ngặt, khi chứng minh các bất đẳng thức này cần chỉ rõ khi nào xẩy ra dấu“ =”, giá trị mà các biến (hoặc tham số) nhận để xẩy ra dấu “ = ”

Ví dụ 1: 1) x2≥ 0 ∀ x∈ R, dấu “ = ” xẩy ra khi x = 0,

2) (x2 + y2) ≥ 0 ∀ x; y ∈ R, dấu “ = ” xẩy ra khi x = y = 0

Song, trong khi giải toán bất đẳng thức, việc tìm điều kiện để xẩy ra dấu “ = ” là không đơn giản, sẽ đợc đề cập trong các ví dụ sau

2 Tính chất

2.1 a > b ⇔ b < a

2.2 a > b; b > c ⇒ a > c ( tính bắc cầu)

2.3 a > b ⇒ a + c > b + c ( tính đơn điệu của bất đẳng thức)

2.4 a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d

Cần lu ý cho học sinh không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

2.5 a > b ; c < d ⇒ a - c > b - d

2.6 a > b ; c > 0 ⇒ ac > bc

a > b ; c < 0 ⇒ ac < bc

2.7 a > b ≥ 0 ; c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd

2.8 a > b > 0 ⇒ an > bn với n ∈Ν*( Ν* là các số tự nhiên ≠ 0)

2.9 a > b ⇔ an > bn với n lẻ

a >  b ⇔ an > bn với n chẵn

m > n > 0 thì: a > 1 ⇒ am > an

a = 1 ⇒ am = an

a < 1 ⇒ am < an

2.10 a > b ; ac > 0 ⇒

b a

1 1

< ( Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh

và coi đây là một bổ đề)

Đây là những tính chất cơ bản của bất đẳng thức, giáo viên cần cho học sinh nắm vững để áp dụng vào việc giải bài tập

Trong các tính chất trên có nhiều dấu (>) hoặc (<) có thể thay thế bởi dấu (≥) hoặc (≤)

3 Các hằng bất đẳng thức

Ngoài các bất đẳng thức, chúng ta cần cho học sinh nắm đợc các hằng bất đẳng thức thờng gặp trong thực tế có liên quan đến giá trị tuyệt đối:

Chẳng hạn:

a≥ 0 xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0

-a≤ a ≤a xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0

a + b≤ a + b xảy ra dấu đẳng thức khi ab ≥ 0; °

a - b≥ a -  b xảy ra dấu đẳng thức khi ab ≥ 0 và a≥  b

Có thể hớng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức ° theo cách sau:

a + b≤ a + b ⇔ a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2ab + b2 vì hai vế của bất đẳng thức không âm ⇔ ab ≤ab± Bất đẳng thức ± đúng, các phép biến đổi trên là tơng đơng, vậy bất đẳng thức ° đúng Ta có điều phải chứng minh ( )

Ngoài ra cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác, nhng cần chú ý khi sử dụng phải chứng minh, sau đó sử dụng coi nh một bổ đề:

3.1 a2 + b2 ≥ 2ab

3.2 (

2

b

a+ )2 ≥ ab hay ( a2 + b2) ≥ 4ab ( Bất đẳng thức Cô si )

3.3

b a

1 1

+ ≥

b

a+

4 với ab > 0

3.4

a

b b

a

+ ≥ 2 với ab > 0

3.5 (a2 + b2)( x2 + y2) ≥ ( ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Xảy ra dấu đẳng thức khi ay = bx

Đây là những hằng bất đẳng thức rất hay đợc dùng trong quá trình giải toán khi chứng minh bất đẳng thức

Phần II: Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Thực tế giải toán ta thấy có rất nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong chơng trình phổ thông, nhng cần lu ý học sinh các phơng pháp chính thờng dùng sau:

1 Dùng định nghĩa:

Nghĩa là, muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta nên xét hiệu A - B và chứng minh hiệu A - B > 0 và ngợc lại nếu hiệu A - B < 0 nghĩa là bất đẳng thức cha đợc chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ∀ x,y ≥ 0 ta luôn có

( x + y)2 ≥ x2 + y2 ≥

2

1 (x + y)2 ( Bài 3 câu a Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh bảng A bậc trung học cơ sở năm 2003 của tỉnh Hoà Bình)

Thực tế bài này có rất nhiều cách giải, nhng có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phơng pháp dùng định nghĩa nh sau:

Xét hiệu:

x2 + 2xy + y2 − x2 − y2 ⇔ 2xy ≥ 0 vì x,y ≥ 0

Nên: ( x + y)2 ≥ x2 + y2 Đây là bất đẳng thức đúng, các phép biến đổi trên là tơng đơng Ta có (1)

Tơng tự: Ta xét hiệu x2 + y2 −

2

1 (x + y)2 ⇔ x2− 2xy + y2

⇔ ( x − y)2 ≥ 0

Đây là bất đẳng thức đúng, các phép biến đổi trên là tơng đơng , nên ta có (2)

Kết hợp (1)& (2) ta có ( x + y)2 ≥ x2 + y2 ≥

2 1 (x + y)2 Ta có

Đối với học sinh bậc trung học cơ sở, đây là phơng pháp đợc áp dụng khá phổ biến, dễ thành công, nhng cần chú ý đến các phép biến đổi tơng đơng trên cơ sở sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác thì:

( a + b − c)( b + c − a)( a+ c − b) ≤ abc

(Câu 3 - Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh Hoà Bình năm 1996 bậc trung học cơ

sở bảng A)

Đây là một bài toán không áp dụng trực tiếp định nghĩa đợc, mà phải thông qua một bớc trung gian( dùng bất đẳng thức Côsi- Hằng bất đẳng thức 3.2)

Ta chứng minh hằng bất đẳng thức này

( a2 + b2) ≥ 4ab ( Bất đẳng thức Côsi - Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh bằng phơng pháp dùng định nghĩa)

Chú ý: Bất đẳng thức Côsi còn đợc viết dới dạng

2

b

a+

≥ ab; ∀ a; b không âm Tổng quát :

n

a a

a

a1+ 2 + 3 + + n

≥ n

n a a a

a1. 2. 3

Trong đó ai ( i = 1 → n ) là các số không âm

Từ những bổ đề trên ta có lời giải tóm tắt nh sau:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số không âm đôi một x; y; z ta có:

( x + y)2 ≥ 4xy (1)

( y + z)2 ≥ 4yz (2)

( z + x)2 ≥ 4zx (3)

Từ (1),(2),(3) ⇔ [( x + y)( y + z)( z + x)] 2 ≥ 64(xyz)2

Do hai vế đều không âm, ta khai căn hai vế đợc kết quả

( x + y)( y + z)( z + x) ≥ 8xyz (4)

Đặt: ( a+ b − c) = x x + y = 2b

( b + c − a) = y ⇔ y + z = 2c

( a+ c − b) = z z + x = 2a

Với kết quả này, theo Bất đẳng thức (4) ta có:

( x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz

hay: 8abc ≥ 8xyz ⇔ abc ≥ xyz

⇔ abc ≥ ( a + b − c)( b + c − a)( a+ c − b) Ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c nghĩa là tam giác đã cho đều

Nh vậy: Việc áp dụng định nghĩa cần hết sức nhạy bén, đối với học sinh giỏi cần có phép biến đổi trung gian, đòi hỏi ngời thầy cần định hớng cho học sinh mới có kết quả cao đợc ở đây các số không âm đợc thay là các cạnh của một tam giác

Tuy nhiên bài này còn có nhiều cách giải khác, chẳng hạn:

Có a2 ≥ a2 − ( b − c)2 = ( a + b − c)( a − b + c)

b2 ≥ b2− ( a − c)2 = ( b + c − a)( b − c + a)

c2 ≥ c2 − ( a − b) = ( c + a − b)( c − a + b)

⇔ a2b2 c2 ≥ ( a + b − c)2( b + c − a)2( c + a − b)2

Do a; b; c là các số không âm nên khi khai căn hai vế ta có

Việc tìm tòi các lời giải khác nhau có tác dụng rất lớn đối với việc phát huy trí tuệ học sinh trong quá trình giải toán mà mỗi giáo viên chúng ta cần khai thác

2 Dùng phép biến đổi tơng đơng

Việc biến đổi tơng đơng các bất đẳng thức là khâu hết sức quan trọng trong giải toán bất đẳng thức Chẳng hạn:

Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A → M; B → N, rồi so sánh

M & N để rút ra kết luận

Nếu M > N ⇒ A > B nhng phải dựa vào tính chất của bất đẳng thức, chú ý đến các phép biến đổi “tởng chừng là t ơng đ ơng ”

Ví dụ 4: Cho các số x; y thoả mãn điều kiện x + y =1

Hãy chứng minh: (1 +

x

1 )(1 +

y

1 ) ≥ 9

Ta có: (1 +

x

1 )(1 + 1y ) ≥ 9 (1) ⇔ x x+1.y y+1

≥ 9 ⇔ xy + x + y +1 ≥ 9 xy ( vì xy > 0)

⇔ (x + y) +1 ≥ 8xy ( vì ( x+ y = 1)

⇔ 2 ≥ 8xy

⇔ 1 ≥ 4xy ( vì ( x+ y = 1)

⇔ ( x+ y)2 ≥ 4xy

⇔ ( x − y)2 ≥ 0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi trên là tơng đơng, bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Dấu “ = ” xảy ra khi x = y

Khi dùng phép biến đổi tơng đơng cần chú ý các bớc biến đổi có điều kiện, chẳng hạn a2

> b2 ⇔ a > b với điều kiện a; b không âm

m > n ⇔ am > bn với m; n nguyên dơng và a > 1

Xin nhắc lại: cần chú ý đến các phép biến đổi “ t ởng chừng là t ơng đ ơng ” nếu không chú ý tới điều kiện

Ta có cách giải khác:

(1 +

x 1 )(1 + 1y ) = (1 + ) x y x+ ( 1 + ) y y x+ = (2 + x y )(2 + y x ) khai triển ta đợc: 5 + 2( x y+ x y) nhng ( y x + x y ) ≥ 2 ( do x; y dơng) ⇒ có 3 Phơng pháp sử dụng các tính chất của bất đẳng thức Trong chơng trình toán trung học cơ sở ta thấy có một bất đẳng thức rất quen thuộc, nhng ứng dụng của nó rất hiệu quả Chúng ta thờng gọi đó là “bất đẳng thức kép” Nội dung của bất đẳng thức này nh sau: ∀ a; b ta luôn có: @

Các bất đẳng thức:

2(a2 +b2) ≥ (a + b)2 (1)

( a + b)2 ≥ 4ab (2)

a2 + b2 ≥ 2ab (3)

đều tơng đơng với @

Ta hãy vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để làm một số ví dụ sau:

Ví dụ5 : Cho a + b = 1 Hãy chứng minh a2 +b2 ≥

2 1 ← ; a4 + b4 ≥

8 1 ↑ ; a8 + b8 ≥

128 1 →

Giải áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta có

2(a2 +b2) ≥ (a + b)2 ⇔ (a2 +b2) ≥

2 ) (a+b 2 = 2 1 ; có

Tơng tự ta a4 + b4 ≥ a2 +b2 ≥ (1 )2/ 2 = 1; có

a2 + b2 ≥

2 ) (a2 +b2 ≥ 2ab

Và 2(a8 + b8 ) ≥ (a4 + b4)2 ≥ (

8

1 )2 = 128 1

Các bất đẳng thức này trở thành đẳng thức khi a = b =

2 1

Cách giải khác: Ta có a + b > 1 > 0 bình phơng hai vế:

(a + b)2 > 1 ⇔ a2 + 2ab + b2 > 1 theo (3) ta có (4)

(a − b)2 ≥ 0 ⇔ a2− 2ab + b2≥ 0 (5)

Cộng (4) & (5) ta đợc: 2(a2 +b2) ≥ 1 ⇒ có

Các ý thứ ↑ và → của bài toán này chính là sự phát triển của ý thứ ←, điều này gợi cho mỗi thầy giáo chúng ta cần định hớng cho học sinh cách phát triển một bài toán từ những cái gốc sâu xa của vấn đề ở ví dụ 4 cũng là sự phát triển một bài toán mới; từ đó giúp học sinh có thể tự ra một số đề toán ở phạm vi cho phép, trên cơ sở sử dụng tính chất của một bất đẳng thức một cách thành thạo

ý nghĩa của bất đẳng thức @ là nêu lên mối quan hệ giữa tổng 2 số với tích của chúng hoặc với tổng các bình phơng cuả 2 số đó

Ta xét thêm một ví dụ khác

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng ∀ a; b; c ta luôn có:

a2 + b2 + c2≥ ab + bc +ca

Giải: áp dụng bất đẳng thức (3) ta có: a2 + b2 ≥ 2ab

b2 + c2 ≥ 2bc

c2 + a2 ≥ 2ac

cộng lại ta có

2(a2 + b2 +c2) ≥ 2( ab + bc + ca) ⇒ có

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

4 Phơng pháp làm trội

Phơng pháp này dùng cho các bất đẳng thức là dãy số Để chứng minh A< B, ta làm trội A thành C ( A < C) rồi chứng minh C ≤ B biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A & B