skkn xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Bài tập về số phứcvẫn còn nằm chủ yếu trong các cuốn sách tham khảo về Giải tích mà chưa có một tài liệu tham khảochuyên biệt về số phức cùng các dạng toán cơ bản liên quan đến nó.. Nếu

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn sáng kiến

Theo Tạp chí Mathematical Reviews (Mỹ, 1997), mỗi năm có hơn mười vạn bài nghiên cứutoán học được công bố; nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, cứ 10 năm lại tăng lên gấp đôi Rõràng không nhà trường nào có thể dạy cho người học hết tất cả các kiến thức đó Trong khi đó nhucầu của con người cần phải học tất cả Chỉ có biết cách tự học mới có thể đáp ứng được sự pháttriển như vũ bão của khoa học kỹ thuật

Nội dung số phức được đưa vào trường phổ thông từ những năm 1997, với chương trình thíđiểm và chính thức triển khai diện đại trà từ năm học 2008 – 2009 Từ khi được đưa vào chươngtrình Toán học phổ thông, các bài toán về số phức đã xuất hiện trong các kỳ thi Tốt nghiệp; thituyển sinh Đại học, Cao đẳng; thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi Nó là một nội dung cơ bảnnằm trong Cấu trúc đề thi Tốt nghiệp và thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học của Bộ Giáo dục và Đàotạo Qua nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ những năm 2009 đếnnăm 2014 và đề thi THPT Quốc gia năm 2015, tôi nhận thấy có ba dạng toán liên quan đến số phứcthường xuất hiện trong các kỳ thi này Đó là, biến đổi số phức; biểu diễn hình học của các số phứcthỏa mãn điều kiện cho trước và tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu hỏi về số phức trong các đề thi không quá khó đối với các thí sinh nhưng không phải thísinh nào cũng đạt được điểm tuyệt đối trong câu hỏi này Trong quá trình dạy học cũng như chấmthi tốt nghiệp, tuyển sinh Đại học, tôi nhận thấy rằng lỗi phổ biến nhất đối với các thí sinh là ở khâutrình bày, lập luận và kỹ năng biến đổi Phần biểu diễn hình học của số phức cũng là một vấn đềkhó đối với thí sinh Bởi lẽ, nội dung này có liên quan đến phân môn Hình học Bài tập về số phứcvẫn còn nằm chủ yếu trong các cuốn sách tham khảo về Giải tích mà chưa có một tài liệu tham khảochuyên biệt về số phức cùng các dạng toán cơ bản liên quan đến nó Nếu xây dựng một cách hợp lýtài liệu về số phức thì học sinh không những được rèn kỹ năng giải toán mà còn được bồi dưỡngnăng lực tự học

Với những lý do nêu trên, tôi lựa chọn sáng kiến “Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi

dưỡng năng lực tự học cho học sinh” để làm đề tài nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng dạy và

học trong nhà trường phổ thông Đồng thời, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh vàđổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường THPT

2 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một hệ thống bài tập và phân dạng một cách hợp lý các bài toán về sốphức và những nhận xét, đánh giá sau mỗi dạng toán thì sẽ giúp cho người học hiểu rõ và sâu sắc vềnội dung số phức Đồng thời, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh.Bên cạnh đó cũng giúp học sinh được bồi dưỡng năng lực tự học và do đó góp phần nâng cao chấtlượng dạy và học trong nhà trường

3 Mục đích của sáng kiến

Xây dựng hệ thống bài tập về số phức và phân dạng hợp lý các bài tập để từ đó giúp họcsinh biết cách nhận dạng từng bài toán và định hướng cách giải quyết đối với bài toán đó Cũngthông qua các dạng toán đó học sinh thường xuyên được củng cố kiến thức về Đại số, Hình học vàGiải tích Đồng thời, cũng là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong khi giảng dạy nội dung số phức

ở trường phổ thông và là tài liệu để học sinh tự học

4 Phạm vi nghiên cứu

Sáng kiến tập trung nghiên cứu nội dung số phức theo chương trình Chuẩn trong chươngtrình Giải tích 12 ở trường THPT Bên cạnh đó cũng có đề cập đến dạng lượng giác của số phứcmột cách thích hợp

5 Phương pháp nghiên cứu

a) Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu về các tài liệu đề cập đến số phức, đặc biệt là các đề thi tốt nghiệp

THPT, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và đề thi THPT Quốc gia

b) Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu về cách giảng dạy nội dung số phức mà giáo viên thường làm.

Phân tích và làm rõ ưu điểm, nhược điểm của từng cách dạy để từ đó xây dựng tài liệu một cáchhợp lý nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

c) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả và tính

phổ dụng của sáng kiến Đồng thời, cũng nhằm hoàn thiện về mặt nội dung và lý luận trong sáng kiến

6 Những điểm mới và ý nghĩa thực tiễn của sáng kiến

a) Về mặt lý luận:

- Phân dạng một cách hợp lý các bài toán về số phức trong sách giáo khoa, sách bài tập và trong các

đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

- Trong mỗi dạng toán có đưa ra kiến thức cần nắm và phương pháp giải từng dạng toán đó, các ví

dụ minh họa và bài tập đề nghị

- Đề xuất phương án sử dụng tài liệu nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

b) Về mặt thực tiễn:

- Các dạng toán mà sáng kiến đã xây dựng bám sát chuẩn kiến thức, kỹ năng và góp phần nâng caochất lượng dạy và học nội dung số phức

- Rèn luyện tính cẩn thận, sự linh hoạt, tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong giải toán nói riêng

và trong các hoạt động nói chung Đặc biệt là góp phần bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

- Sáng kiến đã phân loại và giải được 50 ví dụ minh họa cho các dạng toán về số phức Nội dungsáng kiến này là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh

7 Cấu trúc của sáng kiến

Sáng kiến gồm 54 trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung của sáng kiến gồm

2 chương và phần phụ lục:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Phụ lục: Bài tập chọn lọc về số phức

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 Cơ sở lý luận

Luật Giáo dục năm 2005 có ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính

tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn

học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng

kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo

ghi rõ về mục tiêu của giáo dục phổ thông: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ,

thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến

thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời .”.

Theo các nhà lý luận thì trong quá trình học ở trường phổ thông, học sinh có thể tiến hànhhoạt động tự học trong những điều kiện, hoàn cảnh khác nhau và dưới nhiều hình thức khác nhau

Có thể nêu lên ba hình thức tự học cơ bản sau đây:

Một là, hoạt động tự học diễn ra nhằm đáp ứng nhu cầu hiểu biết riêng, bổ sung và mở rộng tri thức

ngoài chương trình đào tạo ở ngoài nhà trường phổ thông Người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tựsuy nghĩ, tự xoay sở giải quyết vấn đề, tự rút ra kinh nghiệm và không cần có sự điều khiển củagiáo viên Đó là hình thức tự học ở mức độ cao

Hai là, hoạt động tự học của học sinh diễn ra khi không có sự điều khiển trực tiếp của giáo viên.

Học sinh tự sắp xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự củng cố, tự đào sâu những tri thức

và tự hình thành những kỹ năng, kỹ xảo ở một vấn đề nào đó theo yêu cầu của giáo viên hoặc vấn

đề nào đó nằm trong quy định của chương trình đào tạo của nhà trường

Ba là, hoạt động tự học của học sinh diễn ra dưới sự điều khiển trực tiếp của giáo viên Thày là tác

nhân, hướng dẫn, tổ chức, đạo diễn để trò phát huy những phẩm chất và năng lực vốn có và tiềm ẩncủa mình như: óc quan sát, phân tích, tổng hợp; năng lực khái quát hóa, tương tự hóa; tự tìm ra trithức, hình thành và củng cố các kỹ năng, kỹ xảo mà thày đã định hướng cho hoạt động này

1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.1 Yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng phần số phức

Thời gian dành cho nội dung số phức ở chương trình lớp 12 Chuẩn là 11 tiết trong tổng số

78 tiết Theo tài liệu Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán lớp 12 thì việc giảngdạy nội dung số phức cần giúp học sinh:

a) Về kiến thức:

- Biết dạng đại số của số phức;

- Biết cách biểu diễn hình học của số phức;

- Biết cách tính môđun của số phức, xác định số phức liên hợp;

- Biết khái niệm căn bậc hai của số phức;

- Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực và có nghiệm phức;

b) Về kỹ năng:

- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân và chia số phức;

- Biết cách tính căn bậc hai của số phức;

- Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực;

- Biết tìm các số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

1.2.2 Cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

Qua nghiên cứu đề thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học từ năm 2009 đến năm 2014, và đề thiTHPT Quốc gia năm 2015, tôi nhận thấy đề thi được ra theo cấu trúc dưới đây:

Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Câu 2 (1,0 điểm) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều

biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

Câu 3 (1,0 điểm).

a) Số phức.

b) Phương trình mũ, lôgarit; bất phương trình mũ, lôgarit.

Câu 4 (1,0 điểm) Giới hạn Nguyên hàm, tích phân Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình

Câu 7 (1,0 điểm) Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của

đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Câu 8 (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Câu 9 (1,0 điểm) Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

Câu 10 (1,0 điểm) Bài toán tổng hợp (Ghi chú: thông thường là: bất đẳng thức; giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất; các bài toán liên quan đến tham số; tổ hợp; khai triển nhị thức; ).

1.2.3 Kiến thức cơ bản về số phức

Trong phần này chúng tôi tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản về số phức Những kiến thứcnày về cơ bản đã được trình bày trong sách giáo khoa Bên cạnh đó, một số tính chất của số phứckhông đề cập trong sách giáo khoa nhưng có trong các bài giảng về số phức ở trên lớp

a) Dạng đại số của số phức và các phép toán về số phức.

- Mỗi số có dạng z= +a bi được gọi là số phức, trong đó ,a bÎ ¡ và i2 =- 1

Số thực a được gọi là phần thực (Re z; Re là viết tắt của Real: thực, số thực, phần thực), còn b

được gọi là phần ảo (Im z; Im là viết tắt của Imaginary: ảo, số ảo, phần ảo) của số phức z.

Tập hợp các số phức, kí hiệu là £ (C là chữ cái đầu trong Complex: số phức).

- Số phức z= +a bi a b, ,( Î ¡ là số thuần ảo khi và chỉ khi ) a=0;

 Chú ý: Tính chất e) đôi khi được sử dụng để chứng minh một số phức là số thực hoặc một số

= Û íï =

 Chú ý: Điều kiện để hai số phức bằng nhau thường được vận dụng trong các bài tập về tìm số

phức thỏa mãn điều kiện cho trước nên chúng ta cần nắm vững điều kiện này.

e) Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức z= +x yi x y, ,( Î ¡ được biểu diễn bởi điểm ) M =(x y; ) hoặc bởi vectơ ur=(x y; )

trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Nếu các số phức z z được biểu diễn bởi các điểm ,1, 2 A B trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì số phức

1 2

z + được biểu diễn bởi OA OB z uur uuur+ ; số phức z1- z2 được biểu diễn bởi OA OB BAuur uuur uur- =

Chương 2 XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH

A XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC

Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôi tập trung đề cập đến dạng đại số của số phức và bêncạnh đó có đề cập đến cả dạng lượng giác của số phức Liên quan đến dạng đại số của số phức,chúng tôi đề cập đến một số dạng toán như: Biến đổi số phức; Biểu diễn hình học của số phức; Tìm

số phức thỏa mãn điều kiện cho trước; Số phức với môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất; Bất đẳng thứcliên quan đến môđun của số phức và Số phức và ứng dụng Việc phân dạng các loại toán về số phứcđược căn cứ vào chuẩn kiến thức, kỹ năng và qua tìm hiểu, nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT,

đề thi Đại học, Cao đẳng và đề thi THPT Quốc gia từ năm 2009 đến năm 2015

Trong mỗi dạng toán về số phức, chúng tôi trình bày 3 vấn đề: Kiến thức chuẩn bị; Các ví dụ minhhọa và Bài tập đề nghị Riêng dạng toán Số phức và ứng dụng chúng tôi chỉ minh họa bằng một vài

ví dụ cụ thể Dưới đây, là nội dung chi tiết cho từng dạng toán đó

2.1 DẠNG 1 BIẾN ĐỔI SỐ PHỨC

Trong phần này chúng ta đề cập đến hai loại biến đổi liên quan đến số phức.

- Biến đổi liên quan đến số phức cụ thể: ta sử dụng các phép toán về số phức (phép cộng, phép trừ,

phép nhân, phép chia, phép lũy thừa, ) kết hợp với công thức xác định số phức liên hợp và môđun của số phức để thực hiện phép biến đổi.

- Biến đổi liên quan đến số phức nói chung: ta sử dụng dạng đại số để thực hiện phép biến đổi Tuy

nhiên, đối với dạng này chúng ta thường sử dụng các tính chất của số phức (chẳng hạn như tính chất về số phức liên hợp, tính chất về môđun) để biến đổi mà không cần viết dạng đại số của số phức.

2.1.1 Kiến thức chuẩn bị

Để giải dạng toán này chúng ta cần nắm được các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia các số phức) và các tính chất của số phức (về môđun, về số phức liên hợp) đã được trình bày ở trên Bên cạnh đó, khi làm việc với số phức ta cần tách rõ phần thực và phần ảo của số phức để thuận lợi cho việc xác định số phức liên hợp, tính môđun của số phức và tìm điều kiện cho hai số phức bằng nhau.

24 12

 Nhận xét: - Đối với ý a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép nhân và chia hai số phức là có thể giải

quyết bài toán Tuy nhiên, đối với ý b) vì số mũ cao nên chúng ta cần tính ( )2

1 i + và ( )2

1- i 3 ;

để định hướng cho việc biến đổi.

- Nếu sử dụng dạng lượng giác của số phức thì chúng ta có giải ý b) một cách gọn gàng hơn Các

bạn kiểm chứng điều này xem nhé.

- Tổng quát chúng ta có kết quả: Với kÎ ¥ thì ( )4 2 ( )

 Ví dụ 3 Gọi z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 z2+2z+ = 10 0

Tính giá trị của biểu thức A= 2z1- 3z2 2+3z1- 2z22

 Nhận xét: Trong ví dụ trên chúng ta đã thực hiện thao tác rút gọn từng thành phần trong tổng

trước khi tính tổng đó Việc khai triển biểu thức với số mũ lớn gặp không ít khó khăn Vì vậy, khi gặp biểu thức với số mũ lớn đòi hỏi chúng ta phải linh hoạt và khéo léo trong khâu biến đổi Một cách làm đơn giản nhất là ta tính với số mũ 2, số mũ 3, … để dự đoán được quy luật và từ đó đưa

ì =ï

 Nhận xét: Khi gặp dạng toán này chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi số phức như phép

cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia hai số phức để tách rõ phần thực và phần ảo ở cả hai vế của đẳng thức đã cho Sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, dẫn đến một hệ phương trình hai ẩn số x y, Việc giải quyết hệ phương trình hai ẩn này đòi hỏi chúng ta phải có kỹ năng giải hệ như rút, thế; đặt ẩn phụ; sử dụng tính đơn điệu của hàm số; …

t> nên hàm số f t đồng biến trên khoảng( )

çè ø Do vậy phương trình f t( )= có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng này.7

Mặt khác f( )7 = nên phương trình 7 f t( ) = có nghiệm duy nhất 7 t=7

Vậy log 32( n- 5)+log 23( n+13)= Û7 n= 7

 Nhận xét: - Điểm mấu chốt trong lời giải trên là việc tìm ra số nguyên dương n và khéo léo biến

đổi để tính được giá trị của biểu thức ( )35

 Ví dụ 7 Chứng minh rằng với mọi số phức z z , ta luôn có đẳng thức:1, 2

b) Chứng minh tương tự như a).

 Nhận xét: Trong ví dụ này chúng tôi trình bày lời giải theo cả 2 cách để bạn đọc thấy được ưu

điểm của từng cách Từ đó, có sự lựa chọn linh hoạt và sáng tạo trong giải quyết các bài toán về số phức nói riêng và các bài toán trong toán học nói chung Cách 1 có trong hầu hết các tài liệu tham khảo về Số phức Cách 2 là do tác giả đề xuất.

 Ví dụ 8 (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Cho hai số phức z z bất kỳ Chứng minh rằng 1, 2 z=z z1 2+z z1 2 là một số thực

Cho các số phức z z thỏa mãn các điều kiện 1, 2 z1 = z2 = và 1 z z1 2+ ¹1 0 Chứng minh rằng

Vậy số phức z có phần ảo bằng 0 nên z là số thực.

Cách 2: (Sử dụng các tính chất của số phức: Tác giả sáng kiến đề xuất)

Do 1= z12 =z z1 1 nên 1

1

1

z z

= Tương tự 2

2

1

z z

ưu điểm và nhược điểm của nó Điều quan trọng là chúng ta biết lựa chọn cách giải quyết hợp lý cho từng bài toán, chứ không được rập khuôn máy móc.

 Ví dụ 10 (Trích đề thi thử đại học năm 2011, THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội)

Cho hai số phức z z thỏa mãn các điều kiện 1, 2 z1 = z2 = và 1 z1+z2 = 3 Tính z1- z2 .

 Ví dụ 11 (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Cho hai số phức z z thỏa mãn điều kiện 1, 2 z1 = z2 = và 1 z1+ =z2 3 Tìm số phức 1

2

z z z

 Nhận xét: - Qua các ví dụ trên chúng ta thấy được ưu điểm nổi bật của cách sử dụng các tính

chất của số phức là cho lời giải tương đối gọn gàng Tuy nhiên, trong ví dụ này việc sử dụng các tính chất của số phức tỏ ra không hiệu quả Bạn đọc có thể kiểm chứng điều này Vì vậy, chúng ta cần phải linh hoạt trong việc lựa chọn các phương pháp giải cho một bài toán cụ thể.

- Nếu chúng ta biết được dạng lượng giác của số phức thì sẽ có lời giải ngắn gọn hơn.

- Điểm mấu chốt trong lời giải trên là phải tính được giá trị của bc ad- Một điều rất tự nhiên là chúng ta phải khai thác giả thiết để làm xuất hiện biểu thức đang cần tính Hai biểu thức ac bd+ và

bc ad- có dạng tương tự nhau nên chúng ta kết hợp chúng lại và từ đó có được lời giải nói trên.

- Tổng quát: Với z1 =m z; 2 =n z; 1+z2 = , trong đó p m n p, , là độ dài ba cạnh của một tam giác

 Ví dụ 12 (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Cho các số phức z z z thỏa mãn các điều kiện 1, ,2 3 z1 = z2 = z3 = Chứng minh rằng1

 Nhận xét: Trong ví dụ này, nếu chúng ta sử dụng dạng đại số của số phức để giải thì lời giải bài

toán tương đối phức tạp Lời giải trên đã khai thác triệt để các tính chất của số phức: tính chất về môđun, tính chất về số phức liên hợp.

4) (Bài đăng trên Tạp chí THTT tháng 6 năm 2011)

Cho hai số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1 =3;z2 =4; z1- z2 = 37 Tìm số phức 1

2

z w z

7) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012 trên Vietnam Mathematics Forum)

Chứng minh rằng nếu các số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1+z2 = z1 2 thì z1- z2 = z2 2

8) (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chuyên ĐH Vinh)

Cho các số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1- z2 = z1 = z2 > Hãy tính 0

+

Để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước ta có thể tiến hành

theo các bước sau đây:

Bước 1: Giả sử z= +x yi x y,( , Î ¡ Đặt điều kiện (nếu có).)

Bước 2: Thay z= +x yi vào giả thiết và biến đổi.

Bước 3: Kết hợp với điều kiện (nếu có) để đưa ra kết luận về tập hợp điểm biểu diễn số phức z đó.

Một số phương trình xác định quỹ tích thường gặp:

x=- Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện đã cho là 2 đường thẳng 1

 Ví dụ 17 (Bài đăng trên TC Toán học và Tuổi trẻ số tháng 5/2011)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z sao cho u z 2 3i

 Ví dụ 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

x y

ì =ïï

Û íï

01

x y

ì =ïï

Khi đó hệ thức trên được viết lại thành MF1+MF2 = 6

Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MF1+MF2 = là elip 6 ( )E nhận F F làm hai tiêu điểm và1, 2

 Ví dụ 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

 Ví dụ 22 (Bài đăng trên TC Toán học và Tuổi trẻ số tháng 3/2011)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 2z+ -3 i, biết rằng

 Nhận xét: Trong các ví dụ trước thì chúng ta cần tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z với

điều kiện liên quan đến z Trong ví dụ này, chúng ta cần tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức w

nhưng điều kiện lại liên quan đến z Vì vậy, việc đưa điều kiện liên quan đến z về điều kiện liên

quan đến w là điều rất tự nhiên.

 Ví dụ 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (1+i z) - 2,biết rằng z là số phức thỏa mãn điều kiện z- +3 2i = 2

22

a b x

 Nhận xét: Trong ví dụ này, chúng tôi đã trình bày 2 cách giải Cách 1 mang đậm tính Đại số còn

cách 2 mang đậm tính chất của Số phức Việc trình bày lời giải theo cách 1 có ưu điểm là tiếp cận một cách tự nhiên nhưng nhược điểm là trong nhiều trường hợp việc biến đổi tương đối phức tạp,

dễ nhầm lẫn Cách 2 cho lời giải gọn gàng hơn và chỉ sử dụng những tính chất rất cơ bản về Số phức Lựa chọn cách làm nào là tùy thuộc vào tư duy và thói quen của bạn Lời giải ở cách 2 do tác giả sáng kiến đề xuất còn cách 1 có trong hầu hết các tài liệu tham khảo liên quan đến số phức.

 Ví dụ 24 Giả sử , , ,A B C D lần lượt là các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các số

phức 1- + - -i; 1 i i; 2 ; 2 2- i Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A B C D cùng nằm trên một đường tròn.

cosBAC=- cosBDC hay ·BAC+BDC· =1800 nên tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn hay

bốn điểm , , ,A B C D cùng nằm trên một đường tròn.

 Chú ý: Để chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn chúng ta dựa vào những dấu

hiệu đã học ở lớp 9 như tổng hai góc đối bằng 180 ; hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện0

dưới những góc bằng nhau; tồn tại 1 điểm cách đều bốn điểm đã cho.

 Ví dụ 25 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Gia Viễn B)

Cho hai số phức z z phân biệt và khác 0, thỏa mãn điều kiện 1, 2 2 2

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn một trong các

điều kiện sau:

a) 2iz- 1=2 z+3 b) z2+ + là một số thực.z 1

2) Gọi , , ,A B C D lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 1 2 ;1+ i + 3+ +i;1 3- i;1 2- i trong

mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh rằng bốn điểm , , , A B C D cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi M N lần lượt là các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho số phức , z¹ 0 và1

'

2

i

= Chứng minh rằng OMN là tam giác vuông cân

4) Giả sử z z z là ba nghiệm của phương trình 1, ,2 3 z3- = Gọi , ,1 0 A B C là các điểm trong mặt

phẳng phức lần lượt biểu diễn cho các số phức z z z Chứng minh rằng tam giác 1, ,2 3 ABC là tamgiác đều và nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tim tập hợp điểm biểu diễn các số phức w=2z i- , biết rằng

6) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013, THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình)

a) Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z= -(2 i 5)w+ , biết rằng số1phức w thỏa mãn w- 1 £ 3

b) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức

2 z- 1= - + z z 2

7) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013 trên Hocmai.vn)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức w= + + , biết rằngz 2 i

8) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012 trên Vietnam Mathematics Forum)

Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

(2 z i- ) ( + là số thuần ảo.z)

9) (BT 20 trong SGKGTNC)

Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức (1+i 3)z+ , biết rằng2

z là số phức thỏa mãn z- 1£ 2

10) Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z, biết rằng 22 1

Khi giải phương trình nghiệm phức thường có hai loại dưới đây:

- Phương trình có thể quy về phương trình bậc hai với hệ số thực Lúc này ta giải phương trình

theo công thức đã được đề cập trong SGK.

Nếu là phương trình bậc hai với hệ số phức thì chúng ta cần sử dụng hằng đẳng thức số 1 hoặc số

Đối với các phương trình bậc ba hay bậc bốn chúng ta tìm cách đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải.

- Phương trình không phải là phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức hoặc không quy

về dạng phương trình bậc hai thì chúng ta có thể tiến hành theo các bước dưới đây:

Bước 1: Giả sử z= +x yi x y,( , Î ¡ Đặt điều kiện (nếu có) Lưu ý rằng phải có điều kiện)

,

x yÎ ¡

Bước 2: Thay vào phương trình (hoặc điều kiện) để dẫn đến một phương trình hoặc một hệ phương

trình đại số và tiến hành giải phương trình hoặc hệ phương trình đó để tìm ra x và y.

Bước 3: Kết hợp với điều kiện ban đầu và kết luận về nghiệm của phương trình ban đầu.

D = - =- = nên phương trình có hai nghiệm phức z= +5 2i và z= -5 2i

Cách 2: (Do tác giả sáng kiến đề xuất)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z=2;z= +1 4 ;i z= -1 4i.

 Nhận xét: - Khi giải phương trình bậc ba, bậc bốn với hệ số thực cũng như với hệ số phức,

thông thường chúng ta biến đổi đưa phương trình về dạng bậc hai đã biết cách giải Các cách

thường sử dụng để đưa phương trình bậc cao về phương trình ở dạng bậc nhỏ hơn là đặt ẩn phụ, nhẩm nghiệm để phân tích thành nhân tử Vì vậy, khi gặp phương trình bậc ba hay bậc bốn chúng

ta lưu ý đến hai kỹ năng này.

- Trong ví dụ này tác giả đã đưa ra cách 2 để giải quyết ý a) Với cách giải 1, trong chương trình

Chuẩn không đề cập đến phương trình bậc hai với hệ số phức nên học sinh sẽ lúng túng khi giải phương trình Tuy nhiên, với cách giải 2 dù là phương trình bậc hai với hệ số phức chúng ta cũng hoàn toàn giải được bằng cách tương tự Có thể nói cách thứ 2 áp dụng được cho cả hai trường hợp phương trình bậc hai với hệ số thực và hệ số phức.

 Ví dụ 27 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và z=- +3 i

b) Tương tự, ta thu được hai nghiệm của phương trình là z= +5 2i và z=- +1 3i

 Chú ý: Mặc dù trong chương trình Chuẩn không nghiên cứu cách giải phương trình bậc hai với

hệ số phức nhưng chúng tôi vẫn giới thiệu phương trình bậc hai với hệ số phức Tuy nhiên, cách tiếp cận với các phương trình dạng này chỉ đơn thuần sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ Đây

là những kỹ năng cơ bản và quen thuộc với tất cả các học sinh.

 Ví dụ 28 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

 Nhận xét: - Ở ý a) là phương trình bậc nhất đối với z nên ta tiến hành giải như giải phương

trình bậc nhất trên tập số thực Còn ở ý b) có xuất hiện cả z và z nên ta phải giải theo cách đặt

, ,

z= +x yi x yÎ ¡

 Ví dụ 29 (Bài đăng trên TC Toán học và Tuổi trẻ số tháng 5/2011)

a) Giải phương trình z3- (3- i z) 2- (2- i z) + -16 2i= , biết rằng phương trình có một nghiệm thực.0b) Giải phương trình z3- (2 3- i z) 2+3 1 2( - i z) + = , biết rằng phương trình có một nghiệm9i 0thuần ảo

Lời giải

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z=- 2;z= +2 i z; = -3 2i.

b) Giả sử phương trình đã cho có nghiệm thuần ảo là z=yi y, Î ¡

Thay vào phương trình ta được ( )3 ( )( )2 ( )( )

Vậy các nghiệm của phương trình là z=i z; = -1 i 2;z= +1 i 2

 Nhận xét: - Đối với ý a) chúng ta nhóm các số hạng không liên quan đến i với nhau, các số hạng

liên quan đến i với nhau vì giả thiết cho phương trình có nghiệm thực Nghiệm thực nếu có phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z3- 3z2- 2z + = và 16 0 z2+ -z 2= Giải hệ đó chúng ta tìm0

được nghiệm z=- 2 nên phân tích vế trái của phương trình như trong lời giải.

- Đối với ý b) giả thiết cho phương trình có nghiệm thuần ảo nên chúng ta đi tìm nghiệm thuần ảo

để từ đó phân tích vế trái của phương trình thành dạng tích.

- Đối với các phương trình dạng này mà không có gợi ý phương trình có nghiệm thực hay nghiệm thuần ảo thì chúng ta cũng phải tìm xem phương trình có nghiệm thực, nghiệm thuần ảo không Nếu

có thì phân tích vế trái của phương trình thành dạng tích và giải theo các cách đã được học Còn nếu không tìm được nghiệm thực hay nghiệm thuần ảo thì cần phải khéo léo nhóm các số hạng ở vế trái

để phân tích vế trái thành nhân tử Cách đặt z= +x yi trong tình huống này tương đối phức tạp.

 Ví dụ 30 Tìm các số phức z thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

x

y

ìïï ïïïíï

ïïïî

00

x y

ì =ïï

Û íï =

ïî hoặc

10

x y

ì =ïï

íï =

ïî hoặc

1232

x

y

ìïï ïïïíï

=-ï =ïïïî

hoặc

1232

x

y

ìïï ïïïíï

ï ïïïî

=-

Vậy các số phức cần tìm là 0; 1; 1 3 ; 1 3

b) Giả sử z= +x yi x y, ,( Î ¡ Khi đó ) z2=x2- y2+2xyi.

 Ví dụ 31 (Bài đăng trên TC Toán học và Tuổi trẻ số tháng 5/2011)

Tìm các số phức z thỏa mãn điều kiện z2= +(1 i z) +11i

íï + - =ïî

32

x y

ì =ïï

Û íï =

ïî hoặc

23

x y

ì ïï

 Chú ý: - Ở trong ví dụ này chúng ta không thể tìm ra được số phức cụ thể như những ví dụ trước

đó mà chỉ tìm ra được dạng của số phức mà thôi Nhiều học sinh lúng túng khi gặp phải bài toán dạng này vì cố tìm ra số phức cụ thể Đôi khi, thấy không ra kết quả cụ thể nên bỏ không làm.

- Thực chất đây là một bài toán về tìm tập hợp điểm Có điều đối với bài toán về tìm tập hợp điểm

ta phải kết luận tập hợp điểm là hình gì còn đối với bài toán tìm nghiệm phức thì chúng ta phải chỉ

ra nghiệm của nó có dạng nào.

 Ví dụ 33 (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Tìm các số nguyên x y, sao cho số phức z= +x yi thỏa mãn điều kiện z3= +2 11i

ïïî

Vì x y, là các số nguyên nên t phải là số hữu tỷ Do đó chỉ nhận được t=2

Với t=2 thì y=1;x= (thỏa mãn yêu cầu) Vậy các số nguyên cần tìm là 2 x=2;y= 1

 Ví dụ 34 (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn các điều kiện z 1 1

z i

31

 Chú ý: Khi giải quyết bài toán có nhiều dữ kiện thì chúng ta nên khai thác từng dữ kiện một sau

đó kết hợp lại.

 Ví dụ 35 (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn các điều kiện z = và 1 z z 1

ìï + =ïïï

íï - ïïïî

1434

x

y

ìïï =ïïïíï

ïïïî

3212

hoặc

1232

x

y

ìïï =±

ïïïíï

ï =±

ïïïî

4) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013, THPT Gia Viễn A, Ninh Bình)

a) Cho số phức z thỏa mãn z- 2z= - +3( 1 2i) Tìm phần ảo của số phức z2

b) Tìm số phức z, biết (z+ +1 i) (3 2- i) là số thực và z- (2- i) = 5

5) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013 trên Hocmai.vn)

a) Giải phương trình nghiệm phức: z 25 8 6i

z

b) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z+ -1 2i = + +z 3 4i và z 2i

z i

+ là một số ảo.c) Tìm tất cả các số phức z, biết z z 2

-z+ = d) Tìm tất cả các số phức z, biết ( ) ( ) 2

2 z+ + - = -1 z 1 1 i z

6) (BT 4.48 SBTGTNC) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1 1

3

z z

22

a) iz2- 2 1( - i z) - 4=0 b) z2- (5- i z) + - = 8 i 0

9) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012, THPT Quốc học, Huế)

Tìm môđun của số phức z, biết z có phần thực âm và z3= -z 12i

10) (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Tìm số phức z thỏa mãn z- 3i = -1 i z và z 9

z

- là số thuần ảo

2.4 DẠNG 4 SỐ PHỨC VỚI MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

2.4.1 Kiến thức chuẩn bị

Các bài toán thuộc dạng này thường được chuyển về bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong Đại số Vì vậy, chúng ta cần nắm vững các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thường gặp là: sử dụng bất đẳng thức; sử dụng tính chất hình học; sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình; sử dụng đạo hàm;

a) Một số bất đẳng thức thông dụng.

+) Bất đẳng thức cơ bản: f2( )x ³ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x( )= 0

+) Bất đẳng thức Cauchy: với các số không âm , , a b c , ta luôn có:

2

a b+ ³ ab, đẳng thức xảy ra khi a=b

3

3

a b c+ + ³ abc , đẳng thức xảy ra khi a= =b c

+) Bất đẳng thức Bunhiacovsky: với các số thực , , , , , a b c x y z , ta luôn có:

 Bài toán 1 Cho điểm A, đường thẳng d, trong đó A không thuộc d Điểm M di chuyển trên

d, xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng AM có độ dài nhỏ nhất

Điểm M di chuyển trên d Khi đó đoạn AM nhỏ

nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc

của A trên d

Thật vậy: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A

trên d Khi đó AH £ AM

Dấu đẳng thức xảy ra khi M º H

 Bài toán 2 Cho điểm A và đường tròn ( )C có tâm I và bán kính R, trong đó A nằm ngoàiđường tròn ( )C

Giả sử A nằm ngoài đường tròn ( )C và M là

điểm di động trên đường tròn ( )C Khi đó đoạn

AM lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của

đường thẳng AI với đường tròn ( )C và M nằm

ngoài đoạn AI; đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi

M là giao điểm của đường thẳng AI với đường

tròn ( )C và M nằm trong đoạn AI

Thật vậy: Giả sử đường thẳng IA cắt đường tròn ( )C tại M và 1 M như hình vẽ.2

Với mọi điểm M thuộc đường tròn ( )C , ta có:

+) AM ³ IA IM- =AM1 Dấu bằng xảy ra khi M º M1;

+) MA£ AI+IM =AI+IM2=AM2 Dấu bằng xảy ra khi M º M2.

 Bài toán 3 Cho hai đường tròn C I R và ( ; ) C I R nằm ngoài nhau ( '; ') M và N là hai điểm diđộng lần lượt trên C I R và ( ; ) C I R Xác định vị trí của ( '; ') M và N để đoạn thẳng MN có độ dàinhỏ nhất, lớn nhất

Đường thẳng II' cắt đường tròn (I R; )

tại hai điểm M M ; cắt đường tròn1, 2

(I R tại hai điểm '; ') N 1; N như hình vẽ2

(M N nằm ngoài đoạn 1, 1 II' còn M N2, 2

thuộc đoạn II')

Khi đó đoạn M N có độ dài lớn nhất còn đoạn 1 1 M N có độ dài nhỏ nhất.2 2

Thật vậy: Với mọi điểm MÎ (I R N; ), Î (I R'; '), ta có:

+) MN £ MI+ +II' I N' =M I1 + +II' I N' 1=M N1 1 Dấu bằng xảy ra khi M º M N1; º N1.

+) II'£ IM+MN+NI'Û R M N+ 2 2+R'£ +R MN+R'Û M N2 2 £MN .

Dấu bằng xảy ra khi M º M N2; º N2.

 Bài toán 4 Cho đường thẳng d và đường tròn (I R không giao nhau ; ) M và N lần lượt là haiđiểm di động trên đường thẳng d và đường tròn (I R Xác định vị trí của ; ) M và N sao cho đoạnthẳng MN có độ dài nhỏ nhất