Kế hoạch học tập hợp lý :sẽ giúp bạn tiết kiệm được thời gian, công sức và có kết quả học tập tốt nhất. Sau khi nghe giảng, bạn cần thu xếp học bài trong thời gian sớm nhất có thể. Bạn cần đọc, tìm hiểu kỹ sách giáo khoa, sau đó làm bài tập áp dụng. Khi đã hiểu rõ vấn đề mới làm phần bài tập nâng cao. Việc thu xếp thời gian học bài sớm sau khi nghe giảng sẽ giúp tri nhớ bạn mau chóng tiếp thu bài, đỡ tốn nhiều thời gian hơn là bỏ bẵng 1 thời gian sau đó bạn mới học lại. Như vậy bạn rất dễ quên, kiến thức được khôi phục lại khó khăn hơn. Đối với môn học nào cũng vậy, không nên cố nhớ những điểu không hiểu, đặc biệt với môn Toán, bạn càng phải tránh học lan man, amatơ như vậy bạn sẽ khó có thể vận dụng linh hoạt vào bài tập, câu hỏi cụ thể được. Chỉ có thể hiểu rõ thì tự động sẽ nhớ dễ dàng. Tránh tình trạng nước dến chân mới nhảy” thì bạn cần phải phân chia thời gian hợp lý cho môn Toán nói riêng và các môn học nói chung.
Trang 21.21 Phương trình vi phân 6
1.22 Các kí hiệu dùng trong luận văn 7
2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình chỉnh hóa Cahn-Hilliard 8 2.1 Giới thiệu 8
2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 10
2.2.1 Định lí 1 10
2.2.2 Định lí 2 15
2.2.3 Lưu ý 1 18
2.2.4 Lưu ý 2 18
3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình chỉnh hóa Sobolev 20 3.1 Giới thiệu 20
3.2 Nghiệm yếu 23
3.2.1 Bổ đề 1 23
3.2.2 Định lí 24
3.2.3 Mệnh đề 1 25
3.2.4 Bổ đề 2 26
3.2.5 Mệnh đề 2 26
3.2.6 Mệnh đề 3 27
3.2.7 Bổ đề 3 27
3.2.8 Hệ quả 29
Trang 31 Kiến thức chuẩn bị.
1.1 Không gian Lp.
Cho (Ω, S, µ) là một không gian độ đo, trong đó Ω là một tập con mở củakhông gian Euclide n chiều Rn, S là σ đại số trên tập đo được Lebesgue và µ là độ đoLebesgue Cho 16 p 6 ∞, ta định nghĩa không gian Lp như sau
Với 1 6 p < ∞, ta định nghĩa như sau
Lp = {f : f là hàm đo được vàR
Ω|f (x)|pdµ(x) < ∞} và
k f kp=
hR
Ω|f (x)|pdµ(x)
ip1
=
hR
Ω|f |pdµ
i
Với p = ∞, ta định nghĩa,
L∞ = {f : f là hàm đo được và |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi, k > 0} và
k f k∞= inf {k > 0 : |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Ω}
1.2 Không gian Hilbert.
Giả sử H là không gian vectơ Tích vô hướng (u, v) là dạng song tuyến tính từ
H × H vào R, đối xứng, xác định dươngh(u, u) ≤ 0 ∀u ∈ H và (u, u) > 0 nếu u 6= 0i.Nhắc lại rằng tích vô hướng thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy - Schwart:
|(u, v)| ≤ (u, u)12.(v, v)12, với mọi u, v ∈ H
Ta cũng nhắc lại rằng |u| = (u, u)12 là một chuẩn Thực vậy:
|u + v|2 = |u|2+ |v|2+ 2(u, v) ≤ |u|2+ |v|2 + 2|u||v|
Cuối cùng là "đẳng thức hình bình hành":
]] |a+b2 |2+ |a−b2 |2 = 12|a|2+ |b|2 với mọi a, b ∈ H
∗ Định nghĩa: Không gian Hilbert là không gian vectơ H trang bị một tích vô hướng(u, v) và không gian này đầy đủ đối với chuẩn (u, v)12
∗ Ví dụ cơ bản: L2(Ω) trang bị tích vô hướng
(u, v) = RΩu(x)v(x)dx là không gian Hilbert
Không gian Sobolev H1 là không gian Hilbert "theo mô hình" L2(Ω)
Trang 4Trong đó, α = (α1, , αn) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ nguyên không
âm, |α| = α1+ + αn, Dαf = ∂∂α1+ +αnα1 f
x1 ∂xnαn Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đềutrong Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k
1.4 Không gian đối ngẫu.
Cho V là một không gian định chuẩn Không gian L(V, R) các phiếm hàm liêntục trên V với chuẩn
||Λ|| = sup
||x||≤1||Λx||, Λ ∈ L(V, R)được gọi là không gian đối ngẫu của V , kí hiệu là V0
xn →w x, nếu và chỉ nếu với mọi x∗ ∈ V0, hx∗, xni → hx∗, xi khi n → ∞ Khi xn → xđối với topo sinh bởi chuẩn , ta gọi là hội tụ mạnh hay ngắn gọn là hội tụ, kí hiệu
||xn− x|| → 0
1.7 Định lý Banach - Alaoglu - Bourbaki.
Tập hợp BV0 = {f ∈ V0; ||f || ≤ 1} compact đối với topo yếu τV,V0
1.8 Hệ quả Định lý Banach - Alaoglu - Bourbaki.
Cho X là không gian Banach phản xạ Nếu dãy xn bị chặn thì tồn tại x ∈ X
và tồn tại dãy con xnk sao cho dãy con xnk hội tụ về x trong X
Trang 5f dx +
Z b 0
f−1dx,trong đó f−1 là hàm ngược Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = f (a)
Hệ quả 1 Nếu 1 < p < ∞, thì với mọi a, b ≥ 0, ta có:
Hệ quả 2 (Bất đẳng thức Peter Paul) Với > 0, ta có:
Trang 61.12 Ánh xạ Lipschitz.
Môt hàm ϕ : A → Rm, A ∈ Rn được gọi là L-Lipschitz, ∃L > 0 nếu
|ϕ(a) − ϕ(b)| ≤ L|a − b|
với mọi cặp điểm a, b ∈ A Ta cũng nói ánh xạ L-Lipschitz nếu như L-Lipschitz
1.13 Ánh xạ Lipschitz địa phương.
Một hàm ϕ : X → Y, trong đó X, Y là không gian Banach với k · kX và k · kY
Khi đó, ϕ được gọi là Lipschittz địa phương nếu như với mọi B(O, R) ⊂ X và u, v ∈B(O, R) tồn tại LR > 0 sao cho k ϕ(u) − ϕ(v) kY ≤ LRk u − v kX
1.14 Định lý Picard cho không gian Banach.
Lấy O ⊆ V là một tập con mở của không gian Banach V, ta đặt Φ : O 7→ V là mộtánh xạ liên tục Lipschitz địa phương Khi đó, với bất kì u0 ∈ O, tồn tại T > 0 sao chophương trình vi phân thường:
du
dt = Φ(u), u|t=0= u0 ∈ O,
có duy nhất nghiệm u ∈ C1((−T, T ); O)
1.15 Nghiệm nối dài trong không gian Banach.
Lấy O ⊂ V là một tập con mở của không gian Banach V, ta đặt Φ : O 7→ V là mộttoán tử liên tục Lipschitz địa phương Khi đó, với bất kì u0 ∈ C1([0, T ); O) thì phươngtrình vi phân thường:
du
dt = Φ(u), u|t=0= u0 ∈ O,tồn tại nghiệm toàn cục T = ∞ hoặc T < ∞ thì nghiệm u(t) không thuộc O khi
t → ∞trở thành tập mở khi t → T
1.16 Định lý Agmon - Douglis - Nirenberg.
Giả sử Ω thuộc lớp C2 với Γ bị chặn Cho 1 < p < ∞ Khi đó với mọi ϕ ∈ Lp(Ω) tồntại u ∈ W2,p∩ W02,p(Ω) là nghiệm duy nhất của phương trình −∆u + u = ϕ trên Ω).Hơn nữa, nếu Ω thuộc lớp Cm+2, nếu ϕ ∈ Wm,p(Ω), với m là số nguyên và m ≥ 1 thì
u ∈ Wm+2,p(Ω) và k u kWm+2,p≤ C k ϕ kWm,p
1.17 Bất đẳng thức Poincare.
Ta giả sử rằng Ω là một tập mở bị chặn Khi đó, tồn tại một hằng số C (phụ thuộcvào Ω và p) sao cho
Trang 7kukLp ≤ C(p, N )k∇ukLp, ∀u ∈ W01,p(Ω), (1 ≤ p < ∞)Đặc biệt, biểu thức k∇ukL p là một chuẩn trên W01,p(Ω) tương đương với chuẩn kukW1,p,trên H01(Ω) biểu thức RΩ∇u∇v là tích vộ hướng sinh ra chuẩn k∇ukL2 tương đươngvới chuẩn kukH1.
Ví dụ: Nếu u ∈ H1
0(Ω) thì
||u||L2 (Ω) ≤ C||∇u||L2 (Ω);Khi đó kí hiệu
Mệnh đề dưới đây sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của các kết quả
Mệnh đề 1 Lấy V là không gian Banach phản xạ tách được với không gian đối ngẫu
là V0, lấy H là không gian Hilbert tách được thỏa;
(i) V ⊂ H ⊂ V0
(ii) V là được nhúng liên tục vào H và trù mật trong H
Khi đó, với bất kì p ∈ (1, ∞) không gian
Z := {u|u ∈ Lp((0, T ); V ), ut∈ Lq((0, T ); V0)},trong đó 1p +1q = 1; nhúng liên tục trong C([0, T ]; H)
1.19 Không gian Sobolev.
Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn, có biên ∂Ω trơn Khi đó với số nguyên
r > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa không gian Sobolev như sau:
Wr,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω)|Dαu ∈ Lp(Ω), |α| ≤ r}
Trong đó:
Wr,p(Ω) là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp(Ω) có đạo hàm suy rộng đến r cũngthuộc Lp(Ω) và D(Ω) là không gian của tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compacttrong Ω thì trù mật trong Lp(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞
Trang 81.20 Định lý nhúng Sobolev.
Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn, có biên ∂Ω là một đa tập thuộc lớp C1 và r làmột số nguyên, p ∈ [1, ∞) ta có:
a) Nếu rp < n, thì Wr,p(Ω) ⊂ Lt(Ω) với t = n−rpnp Phép nhúng từ Wr,p(Ω) vào
Lt(Ω) liên tục và phép nhúng từ Wr,p(Ω) vào Lq(Ω) compắc với mọi q ∈ [1, t)
b) Nếu 0 < m < r − np < m + 1, không gian Wr,p(Ω) bị nhúng liên tục (lầnlượt compắc liên tục) vào Cm,α(Ω) với α = r − np − m (lần lượt vào Cm,β(Ω) với mọi
β ∈ [0, α)), ở đây Cm,β(Ω) là không gian các hàm số thực f có các đạo hàm Djf vàtrên Cm,β(Ω) ta chọn chuẩn
h) Nếu p > n, khi đó W1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω) với mọi t ∈ [p, +∞)
1.21 Phương trình vi phân.
Phương trinh vi phân là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm
y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó Nói cách khác, một phương trình chứa đạohàm hoặc vi phân của hàm cần tim được gọi là phương trình vi phân
∗ Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm một biến số thì phương trình đóđược gọi là phương trình vi phân thường
Trang 91.22 Các kí hiệu dùng trong luận văn.
HE2(Ω) =
u ∈ H2(Ω)
Trang 10
2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình chỉnh hóa Cahn-Hilliard.
2.1 Giới thiệu
Xét phương trình Cahn - Hilliard
ut(x, t) + γuxxxx(x, t) = ϕ(u(x, t))xx, 0 < x < L , 0 < t (2.1a)
ϕ(u(x, t)) = u3(x, t) − u(x, t) (2.1b)Trong đó γ > 0 là hằng số xuất hiện ở các nghiên cứu về pha phân lớp trong cácgiải pháp về làm lạnh như thủy tinh, hỗn hợp polymer; Xem Cahn - Hilliard [1958],Novick - Cohen và Segel [1984], Novick - Cohen [1985]
Ta có (2.1) là phương trình của định luật bảo toàn khối lượng với thông lượng
J = − [ϕ(u(x, t)) − γ uxx(x, t)]x (2.2)Một cách rõ ràng, các điểm tới hạn của phương trình Landau - Ginzburg dạngnăng lượng tự do có dạng
Z L 0
Φ(u(x, t)) + 1
với xấp xỉ các điều kiện biên là các nghiệm ổn định của phương trình (2.1) Xem Carr,Gurtin và Slemrod [1984] cho các nghiên cứu của (2.3) với γ nhỏ và sự ràng buộc củakhối lượng hạn chế
M = 1L
Z L 0
Phương trình (2.1) thỏa mãn bởi điều kiện biên có thông lượng 0
−ϕ(u(x, t))x+ γuxxx(x, t)|x=0,L= 0 (2.5a)
là điều kiện biên cho (2.3) ∂u(x, t)
∂ν = 0 (2.5b)
là điều kiện đầu u(x, 0) = u0(x, t), 0 < x < L (2.5c)
do (2.5b) và (2.1b) ta có thể thay thế (2.5a) bởi uxxx(x, t)|x=0,L= 0 (2.5d)Nghiệm của (2.1) và (2.5) thỏa
ddt
Z L 0
u(x, t)dx =
Z L 0
ut(x, t)dx =
Z L 0
−∂J
∂xdx = 0
Trang 11Ta lưu ý từ (2.1) và (2.2) thì ut(x, t) = −γ uxxxx(x, t) + ϕ(u(x, t))xx = −∂J∂x và do đókhối lượng tổng là hằng số,
M = 1L
Z L 0
u(x, t)dx = 1
L
Z L 0
u0((x, t))dx, t > 0 (2.6)Phương trình (2.1) đã được nghiên cứu trong các dạng khác với mục đích tạo
ra không gian yếu tố hình thành Cohen - Murray [1981] phát triển điều này trong
mô hình sinh thái như là một sự khái quát của sự khuếch tán Fickian Hazewinkel,Kaashoek và Leynse [1985] chỉ ra rằng phương trình này như là dạng đặc biệt của môhình về sự khô hạn của dòng sông bởi Thom
Ta xem xét sự tồn tại nghiệm toàn cục trong thời gian hữu hạn đối với bài toángiá trị biên đầu (2.1) và (2.5) Chúng ta cũng mở rộng các kết quả trên đối với bàitoán nhiều chiều
u(x, 0) = u0(x, t), x ∈ Ω (2.7c)trong đó Γ là hàm trơn của miền bị chặn Ω trong Rn(n ≤ 3) và ∂ν∂ là đạo hàm ngoàitại Γ Các định lí tồn tại toàn cục được chứng minh trong phần 3
Xuyên suốt luận văn này, ta sử dụng kí hiệu QT thay cho Ω × (0, T ) Các chuẩncủa L∞(Ω), L2(Ω) và Hs(Ω) được kí hiệu bởi ||.||∞, ||.|| và ||.||s, nửa chuẩn ||Dsv(·, t)||được kí hiệu bởi |v(·, t)|s
Z L 0
v(x, t)dx
2
, n = 1(2.9a)C(Ω)|v(·, t)|21+
Trang 12Ω∇(v(x, t)∇v(x, t))dx = − Ω∆v(x, t).v(x, t)dx ≤ ||∆v(·, t)||L2.||v(·, t)||L2
2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục
Trong phần này, ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình bài toánbiên giá trị đầu
ut(x, t) + γuxxxx(x, t) = ϕ(u(x, t))xx , 0 < x < L, 0 < t < T, Ω = (0, L) (2.12a)
ϕ(u(x, t)) = u3(x, t) − u(x, t) (2.13)với γ > 0 Ta dễ dàng chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm theo biến thời gian Điềuquan trọng là ta áp dụng phát biểu của Picard để chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên [0, T ]
ta cần đưa ra một ước lượng tiền nghiệm cho u(x, t)
2.2.1 Định lí 1
Cho u0(x, t) ∈ HE2(Ω) và T > 0, tồn tại nghiệm duy nhất trong H4,1(QT) Hơn nữa,nếu u0(x, t) ∈ H6(Ω) ∩ HE2(Ω) và u0xx(x, t) ∈ HE2(Ω) thì nghiệm này là nghiệm cổ điển.Chứng minh Nhân phương trình (2.12a) cho u(x, t) ta được
u(x, t).ut(x, t) + γu(x, t).uxxxx(x, t) = u(x, t).ϕ(u(x, t))xx
và lấy tích phân theo x hay ta còn nói là lấy tích phân trên miền Ω = (0, L), ta được:
Trang 13= − Ωϕ0(u(x, t))u2x(x, t)dxnên ta có được (2.14)
Để đánh giá (2.14) ta lấy đạo hàm (2.13) theo u(x, t) ta có:
Từ (2.16b) suy ra
12
d
dtku(·, t)k2+γ
2kuxx(·, t)k2 ≤ 1
γku(·, t)k2 (2.16c)Khi đó từ (2.16c) ta có được:
12
Do bất đẳng thức Gronwall và từ (2.16d)-(2.16e) suy ra được:
ku((·, t))k2 ≤ ||u0(·, t)||2eTγ, 0 ≤ t ≤ T, (2.17a)
Z t 0
Z L 0
Φ(u(x, t)) + γ
2u
2
Trang 14Do (2.12a) và (2.12b) ta có:
ut(x, t) = [ϕ(u(x, t)) − γuxx(x, t)]xx.Khi đó,
dF
dt =
ddt
Z L 0
Φ(u(x, t)) + γ
2u
2
x(x, t)
dx
⇒ dF
dt =
Z L 0
Φ0(u(x, t)).ut(x, t) + 2.γ
2ux(x, t).uxt(x, t)
dxDùng phương pháp tích phân từng phần hai lần ta có
Z L 0
γux(x, t).uxt(x, t)dx =
Z L 0
γuxx(x, t).ut(x, t)dxNên
dF
dt =
Z L 0
ϕ(u(x, t)).ut(x, t) − γuxx(x, t).ut(x, t)
dx
=
Z L 0
hϕ(u(x, t)) − γuxx(x, t)
i.ut(x, t)dx
=
Z L 0
hϕ(u(x, t)) − γuxx(x, t)
i
hϕ(u(x, t)) − γuxx(x, t)
i
xxdx
= −
Z L 0
hϕ(u(x, t)) − γuxx(x, t)
(Φ(u0(x, t)) + γ
2u
2 0x(x, t)dx (2.21)
Ta nhắc lại hệ quả của bất đẳng thức Young (bất đẳng thức Peter Paul) như sau
ab ≤ ap+ Cbq
Để đánh giá u2(x, t), ta chọn a = u2(x, t) và b = 1; để đánh giá cho |u3(·, t)|, ta chọn
a = |u3(·, t)| và b = 1 Khi đó, theo bất đẳng thức Peter Paul ta được
u2(x, t) ≤ u4(x, t) + C1 và |u3(·, t)| ≤ u4(x, t) + C2 (2.22)Kết hợp với (2.17a), (2.18b) và (2.21), ta có:
≤ F (0) + C1+ C2
≤ F (0) + C3,
Trang 15γ
2||ux(·, t)||2 ≤ C3+ F (0) = C (2.23)
⇒ ux(x, t) ∈ L2mặt khác từ
RL
0 Φu(x, t) ≤ C
⇒ u(x, t) ∈ L2
Theo định nghĩa của không gian H1(Ω) nên ta có u(x, t) ∈ H1(Ω)
Do định lí nhúng Sobolev, H1 L∞, (2.17a)-(2.23) suy ra
||u(·, t)||∞≤ C0, ∀t ∈ [0, T ] (2.24)Tiếp theo, ta nhân phương trình (2.12a) cho uxxxx(x, t) và lấy tích phân theo x, tađược:
ϕ(u(x, t))xxuxxxx(x, t)dx (2.25)Lưu ý,
ϕ(u(x, t))xx = ϕ0(u(x, t))uxx(x, t) + ϕ00u2x(x, t)
= (3u2(x, t) − 1)uxx(x, t) + 6u(x, t).u2x(x, t) (2.26)Bởi bất đẳng thức Nirenberg (2.10a)-(2.10b), ta chọn
p = ∞, m = 4, r = q = 2, j = 1, khi đó với 1 ≤ p ≤ ∞, ta được: a = 38 Suy ra
||ux(·, t)||∞ ≤ C(||uxxxx(·, t)||38||u(·, t)||58 + ||u(·, t)||), (2.27)
≤ CT.||ux(·, t)||∞.||ux(·, t)||.||uxxxx(·, t)||
ϕ0(u(x, t)).uxx(x, t).uxxxx(x, t)dx
+
Z L 0
ϕ00(u(x, t)).u2x(x, t).uxxxx(x, t)dx