Đồ án ứng dụng của đồ thị để giải các bài toán giao thông vận tải trong tin học

Đồ thị có trọng số trên các cạnh có thể sử dụng để giải các bài toán như: Tìm đường di ngắn nhất giữa hai thành phố trong mạng giao thông, giải các bài toán về lập lịch, thời khoá biểu v

1

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 4

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VÀ NGÔN NGỮ 4

LẬP TRÌNH DELPHI 4

1.1 Giới thiệu đề tài 4

1.2 Ngôn ngữ lập trình Delphi 5

1.2.1 Giới thiệu ngôn ngữ lập trình Delphi 5

1.2.2 DELPHI và WIN32 API 6

1.2.3 Các thành phần điều khiển chủa Windows 7

1.2.4 Ngôn ngữ Object Pascal 11

CHƯƠNG 2 17

ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒ THỊ 17

2.1 Đồ thị 17

2.1.1 Định nghĩa đồ thị 17

2.1.2 Các loại đồ thị 18

2.1.3 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị 19

2.1.4 Các dạng biểu diễn của đồ thị 24

2.2 Số ổn định và tô màu đồ thị 30

2.2.1 Số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị 30

2.2.2 Tô màu đồ thị 36

2.3 Chu trình, đường đi Euler và Hamilton trong đồ thị 41

2.3.1 Chu trình và đường đi Euler 41

2.3.2 Chu trình và đường đi Hamilton 43

2.4 Đường đi ngắn nhất trong đồ thị 45

2.4.1 Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có trọng số 45

2.4.2 Đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số 46

2.4.3 Ví dụ ứng dụng 52

CHƯƠNG 3 57

ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN VẬN CHUYỂN CHO 57

CÔNG TY TNHH BẢO SƠN 57

3.1 Công ty TNHH Bảo Sơn 57

3.1.1 Giới thiệu Công ty TNHH Bảo Sơn 57

3.1.2 Tầm quan trọng của bài toán tính cước phí vận chuyển cho Công ty TNHH Bảo Sơn 57

3.2 Bài toán tính cước phí vận chuyển 58

3.2.1 Phát biểu bài toán 58

3.2.2 Phân tích bài toán 58

3.3 Kết quả 59

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại, những tư tưởng của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ XVIII bởi nhà bác học lỗi lạc người Thuỵ Sỹ Lenhard Eurle Chính ông là người

đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về các cái cầu ở thành phố Konigsberg

Đồ thị được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau Chẳng hạn, đồ thị có thể sử dụng để xác định các mạch vòng trong vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta có thể xác định hai máy tính trong mạng có thể trao đổi thông tin được với nhau hay không nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính Đồ thị có trọng số trên các cạnh có thể sử dụng để giải các bài toán như: Tìm đường

di ngắn nhất giữa hai thành phố trong mạng giao thông, giải các bài toán về lập lịch, thời khoá biểu và phân bố tần số cho các trạm phát thanh truyền hình …

Lý thuyết đồ thị là một nhánh quan trọng của của toán học tổ hợp đã được nghiên cứu sâu sắc trong hàng trăm năm Nhiều tính chất quan trọng và hữu ích của đồ thị đã được chứng minh, nhưng vẫn còn rất nhiều vấn đề khó chưa giải quyết xong Ở đề tài này với mục đích tìm hiểu vấn đề cơ bản của lý thuyết đồ thị

và đi sâu tìm hiểu một số thuật toán trên đồ thị và cài đặt bằng ngôn ngữ lập trình Delphi

Trong thời gian làm đồ án mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng do kiến thức của bản than có hạn, ngôn ngữ lập trình phải tự tìm hiểu, nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đánh giá và chỉ bảo của các thầy cô giáo để đề tài của em được hoàn thiện hơn Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.S Bùi Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn giúp em hoàn thành đồ án này

Em xin chân thành cảm ơn !

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VÀ NGÔN NGỮ

LẬP TRÌNH DELPHI

1.1 Giới thiệu đề tài

"Ứng dụng của đồ thị trong Tin học" là đề tài mang tính nghiên cứu lý

thuyết, có tầm quan trọng và có ý nghĩa thiết thực cao Khái niệm đồ thị ở đây khác với những đồ thị thông thường đã biết, đây là một lĩnh vực về lý thuyết đồ thị nghiên cứu những cấu trúc mang tính rời rạc là một bộ phận quan trọng của Toán học rời rạc

Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ thuật và đã được nghiên cứu nhiều với khối lượng kiến thức khá đồ sộ Đề tài được thực hiện trước tiên sẽ đề cập tới những vấn đề chủ yếu của Lý thuyết đồ thị, sau đó tuỳ từng nội dung cũng sẽ xoay quanh tới những ứng dụng của đồ thị trong Tin học, giải quyết các bài toán trong Tin học như xác định xem hai máy tính trong mạng

có thể truyền tin được hay không nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính, hay là bài toán nối mạng máy tính sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất hoặc việc khắc phục những gói tin bị truyền sai nhờ các giải thuật đã nghiên cứu về đồ thị Có những ứng dụng của đồ thị không đi trực tiếp vào các lĩnh vực trong Tin học, ví dụ như bài toán lập lịch trong công tác hành chính, xác định đường đi ngắn nhất giữa hai điểm nút giao thông, ta cũng xem đó là ứng dụng một cách gián tiếp trong Tin học vì nếu được mô hình tốt những bài toán đó bằng đồ thị thì sẽ giải quyết chúng dễ dàng bằng máy tính, hoặc là về chơi cờ Ca rô tuy chỉ là môn chơi về trí tuệ nhưng đồ thị cũng hỗ trợ tốt cho nhưng ai muốn lập trình chơi cờ Ca rô trên máy tính khi đã mô hình được các thế cờ bằng đồ thị

Trong các ứng dụng thực tế, Bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của một đồ thị liên thông có một ý nghĩa to lớn Có thể dẫn về bài toán như vậy nhiều bài toán thực tế quan trọng Ví dụ, Bài toán chọn một hành trình tiết kiệm nhất (theo tiêu chuẩn khoảng cách hoặc thời gian hoặc chi phí) trên một mạng

pháp tiết kiệm nhất để đưa một hệ động lực từ trạng thái xuất phát đến một trạng thái đích, Bài toán lập lịch thi công các công đoạn trong một công trình thi công lớn, v.v… Hiện nay có nhiều phương pháp để giải các bài toán như vậy Thế nhưng thông thường, các thuật toán được xây dựng dựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị tỏ ra là các thuật toán có hiệu quả cao nhất Trong đề tài này em nghiên cứu

và cài đặt một bài toán như vậy - "Bài toán Vận tải " Từ bài toán này em đi vào

ứng dụng cụ thể trong việc lập dự án đấu thầu vận chuyển cho Công ty TNHH Bảo Sơn

1.2 Ngôn ngữ lập trình Delphi

1.2.1 Giới thiệu ngôn ngữ lập trình Delphi

Delphi có tiền thân là ngôn ngữ lập trình Pascal (thật sự từ ngôn ngữ hướng đối tượng Object Pascal) Pascal là một ngôn ngữ rõ ràng mạch lạc thường được dùng trong công việc nghiên cứu giảng dạy hơn là dùng viết những ứng dụng chuyên nghiệp như hệ điều hành hay các chương trình thương mại cao cấp Nhưng Delphi thì hoàn toàn mới Delphi đã đưa ra ngôn ngữ Pascal trưởng thành lên rất nhiều, có lẽ phải gọi là ngôn ngữ Delphi thì đúng hơn Để làm việc bằng Delphi phải học và nắm bắt thêm rất nhiều từ khoá và kỹ thuật mới, nhất là khái niệm lập trình hướng đối tượng Với môi trường phát triển Delphi, hầu như bạn

có thể kiến tạo bất kỳ chương trình ứng dụng Windows nào từ những tập tin thực thi EXE, thư viện liên kết động DLL, ứng dụng OLE, thành phần ActiveX đến các ứng dụng WEB trên mạng Internet, các ứng dụng giao diện đồ hoạ, các ứng dụng về truy xuất cơ sở dữ liệu client – server, tích hợp những công nghệ hiện đại như JAVA, CORBA, NIDAS … Nhìn chung với các ứng dụng chuyên nghiệp đòi hỏi thời gian phát triển nhanh và có tính chuyên môn cao thì Delphi là một lựa chọn tốt nhất Kết hợp khả năng truy xuất cấp thấp của C cộng với tận dụng những chức năng cao cấp của hệ điều hành, Delphi xứng đáng để các lập trình viên đầu tư vào nó

1.2.2 DELPHI và WIN32 API

Delphi đã dành cho các nhà lập trình gần như toàn bộ khả năng điều khiển

hệ điều hành Windows thông qua các thành phần đối tượng mà không cần phải quan tâm đền các hàm Win32 API Bạn có thể thay đổi bộ mặt cũng như cách hàm xử của chương trình thông qua những phương thức hay thuộc tính của đối tượng

Để xây dựng nên hệ điều hành Windows và giúp các nhà phát triển viết ứng dụng cho Windows, Microsoft đã cất công tạo nên thư viện API (Appication Programming Interface) còn gọi là Giao tiếp lập trình ứng dụng Đây là tập hợp các lời gọi hàm cấp cao giúp các chương trình có thể tương tác với Windows (bản thân Windows cũng được thiết kế trên những hàm API này) Bạn hãy hình dung các lời gọi hàm cấp thấp BIOS đã được Microsoft đưa vào hệ điều hành DOS dưới hình thức các chức năng của ngắt (Interrupt) 21h giúp lập trình viên trên DOS đơn giản hoá các công việc thâm nhập sâu vào BIOS tận dụng được những chức năng của hệ điều hành DOS thì với Win32 API cũng có ý nghĩa tương tự như vậy, các hàm API giúp bạn đơn giản hoá công việc lập trình trên Windows

Khi lập trình trên DOS với những ngôn ngữ như Pascal, C bạn ít khi phải vận đụng đến ngắt 21h hay các ngắt của BIOS bởi các trình biên dịch cấp cao này

đã đóng gói hầu hết những chức năng của hệ điều hành dưới dạng các thư viện (như stdio.lib trong C hay unit crt trong Pascal chẳng hạn), lập trình viên thực sự

sử dụng ngắt 21h của DOS hay các ngắt của BIOS khi muốn thực hiện những thao tác đặc biệt mà hệ điều hành DOS của Microsoft không cung cấp hoặc không công bố

Lập trình trên môi trường Windows thật sự phức tạp hơn hơn trên môi trường DOS nhưng cũng cực kỳ đơn giản nếu bạn sử dụng các công cụ phát triển trực quan như Visual Basic, Delphi, PowerBuilder, C++ Builder Visual C++ Thật sự các nhà phát triển tạo ra những công cụ này cũng đã phải làm việc rất nhiều với các hàm API và đóng gói chúng dưới dạng các thư viện hay đối tượng

để những lập trình viên khác sử dụng Vì một lý do nào đó thường những công cụ

phát triển này cũng không thể đưa ra hay đóng gói đầy đủ các chức năng của Windows API Nhiều và còn nhiều lý do nữa để bạn sử dụng WIN32 API như là một công cụ tốt nhất dùng mở tung mọi cánh cửa Windows từ bất kỳ môi trường phát triển ứng dụng Windows nào khác không riêng gì môi trường phát triển Delphi

1.2.3 Các thành phần điều khiển chủa Windows

a Nút nhấn (Button)

Nút nhấn được Delphi đặt trong lớp đối tượng TButton, tình huống thường

được sử dụng nhất là là OnClick Khi người dùng Click chuột vào nút nhấn, tình

huống này sẽ được gọi để phản ứng lại bằng một tác vụ nào đó

b Nhãn (Lable)

Nhãn là thành phần đơn giản nhất trong thư viện VCL Đối tượng nhãn chỉ dùng để trình bày một chuỗi văn bản thông thường, nhằm mục đích mô tả thêm thông tin cho các đối tượng khác Nhãn cũng có thể được dùng để đưa kết quả ra màn hình dưới dạng chuỗi

Trong Delphi, nhãn được đặt trong lớp đối tượng có tên là TLable Thuộc tính thường được sử dụng nhất của nhãn là:

Caption thể hiện nội dung nhãn

Font định font chữ, kiểu chữ cho nhãn

Transparent cho phép màu nền của nhãn trùng với màu nền của Form

c Ô đánh dấu

Ô đánh dấu hay cũng gọi là CheckBox cho phép người dùng chọn hay bỏ chọn một yêu cầu nào đó

Checkbox được Delphi đặt trong lớp TCheckBox Thuộc tính thường được sử

dụng nhất của CheckBox là Checked mang kiểu Boolean Nếu Checked = True, ô đánh dấu đang ở trạng thái chọn Nếu Checked = False, người dùng đã bỏ chọn ô

đánh dấu Khi ô đánh dấu được kích chuột để yêu cầu thay đổi trạng thái, tình

huống OnClick sẽ phát sinh

d Ô chọn (RadioButton)

Không như ô đánh dấu CheckBox được chọn riêng lẻ, các ô chọn (Radio) thường đi chung với nhau và mỗi lần chỉ được thể hiện trạng thái

Ô chọn Radio được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TRadioButton

Thuộc tính thường được sử dụng nhất của ô chọn là Checked mang kiểu Boolean Nếu Checked = True, ô chọn đang ở trong trạng thái được chọn Nếu Checked =

False, người dùng đã bỏ chọn ở ô hiện hành để chuyển sang chọn ô khác Khi ô

chọn Radio được kích chuột để yêu cầu thay đổi trạng thái, tình huống OnClick

sẽ phát sinh

e Ô văn bản (EditBox)

Ô văn bản là thành phần nhập dữ liệu đơn giản nhất dùng giao diện đồ hoạ,

nó cho phép nhập vào một chuỗi văn bản, chỉnh sửa, di chuyển con nháy để soạn thảo bằng các phím mũi tên Ô văn bản chỉ cho phép nhập một dòng văn bản duy nhất

Ô văn bản được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TEdit Thuộc tính

thường được sử dụng nhất của ô văn bản là thuộc tính text Nó trả về một chuỗi,

cho biết nội dung dữ liệu mà người dùng nhập vào Mỗi khi dữ liệu hay nội dung

của thuộc tính text thay đổi, tình huống OnChange sẽ được gọi

f Vùng văn bản (Memo)

Vùng văn bản Memo cho phép nhập vào cùng lúc nhiều dòng dữ liệu Có thể dùng Memo để tạo chương trình soạn thảo văn bản hay dùng để xuất ra một chuỗi văn bản

Vùng văn bản được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TMemo Thuộc

tính thường được sử dụng nhất của Memo là thuộc tính Lines Thuộc tính Lines có

kiểu String, được dùng để quản lý danh sách các dòng dữ liệu mà Memo đang có

Để đơn giản, Memo cung cấp thuộc tính Text là một chuỗi bao gồm tất cả các

dòng trong Memo cộng lại, mỗi dòng cách nhau bởi ký tự 10 và 13 Tình huống

thường được sử dụng nhất của Memo là tình huống OnChange, tình huống này

được gọi khi người dùng thay đổi hoặc thêm dữ liệu vào Memo

g Danh sách (ListBox)

Danh sách chứa một danh sách mục chọn, mỗi mục chọn thường được thể hiện là một chuỗi ListBox cho phép chọn mỗi lần một hay nhiều mục cùng lúc Danh sách được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TlistBox Thuộc tính thường được sử dụng nhất của danh sách là:

Items Dùng để thêm bớt các mục chọn vào danh sách

ItemIndex Cho biết hoặc thiết lập mục chọn hiện hành

Selected Kiểm tra xem một mục chọn trong danh sách có được chọn hay không MultiSelect Cho phép danh sách được chọn đồng thời nhiều mục

Sorted Tự động sắp xếp các mục chọn theo thứ tự ABC

Các tình huống mà ListBox thường phát sinh là:

OnClick Khi người dùng kích chuột vào mục chọn

OnDblClick Khi người dùng kích đôi chuột vào một mục chọn

OnKeyPress Khi người dùng nhấn phím để chọn một mục

OnKeyDown/ OnKeyUp Xử lý khi người dùng nhấn và nhả phím

ItemIndex Lấy về hoặc thiết lập mục chọn hiện hành cho ComboBox

Sorted Cho phép sắp xếp các mục chọn trong danh sách theo thứ tự ABC Style Chọn các kiểu ComboBox mở rộng

Tình huống mà Litsbox thường phát sinh là tình huống OnChange, được gọi

khi nội dung của mục chọn hiện hành bị thay đổi

i Thanh trượt (Scrollbar)

Thanh trượt gồm mũi tên ở hai đầu và một thanh trượt đặt giữa để xác định vị trí Khoảng cách giữa hai thanh trượt và vị trí định vị được biểu hiện bằng các

thuộc tính min, max, position Khi nhấn phím mũi tên, PageUp, PageDown hoặc kích chuột vào hai đầu thanh trượt sẽ làm cho vị trí nút trượt di chuyển dần đến hai bên

Thanh trượt được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TScrollbar

Thuộc tính thường được sử dụng nhất của thanh trượt Scrollbar là:

Min Thể hiện giới hạn dưới của thanh trượt

Max Thể hiện giới hạn trên của thanh trượt

Position Cho biết hoặc đặt lại vị trí hiện hành của nút trượt

Kind Cho phép đặt thanh trượt đứng hoặc ngang

SmallChange Bước nhảy cho thanh trượt khi phím mũi tên được nhấn

PageSize Bước nhảy cho thanh trượt khi PageUp/PageDown được nhấn

Tình huống mà thanh trượt Scrollbar thường phát sinh là OnChange, nó được

gọi khi vị trí của nút trượt thay đổi

j Nhóm các ô chọn (RadioGroup)

RadioGroup là đối tượng giúp cho việc gom các nút chọn có cùng một chức năng lại với nhau thành một nhóm duy nhất Thành phần này được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TRadioGroup

Thuộc tính thường được sử dụng nhất của thành phần này là:

Items Các ô chọn RadioButton gắn trong nhóm

ItemIndex Nút Radio đang được chọn

Caption Tiêu đề của nhóm ô chọn

Column Phân cột cho các ô chọn

Tình huống mà nhóm ô chọn thường phát sinh là OnClick, nó được gọi khi

người dùng kích chuột vào một trong các ô chọn trong nhóm

k Nhóm các đối tượng (GroupBox)

Có thể sử dụng nhóm chứa các đối tượng mang tên GroupBox để phân loại đối tượng theo chủ đề Thành phần này được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TGroupBox

Tương tự TRadioGroup, TGroupBox cũng dùng thuộc tính Caption để thể hiện tiêu đề cho nhóm TGroupBox cũng cung cấp các tình huống như OnClick,

OnMouseUp, OnMouseDown … nhưng hầu như rất ít khi dùng đến chúng, nó

thường chỉ được dùng với mục đích gom các đối tượng lại với nhau theo chủ đề

Nó đóng vai trò như một vật chứa

l Bảng chứa (Panel)

Bảng chứa dùng để gom, nhóm các đối tượng con lại với nhau Thành phần bảng chứa Panel được Delphi đặt trong lớp đối tượng có tên là TPanel

Các thuộc tính thường được sử dụng nhất của Panel là:

Align Canh lề cho bảng chứa

BevelInner Đường viền trong

BevelOuter Đường viền ngoài

BevelWidth Độ dày của đường viền

Visibled Cho phép bảng chứa hiển thị hoặc không

1.2.4 Ngôn ngữ Object Pascal

1.2.4.1 Các kiểu dữ liệu đơn giản

Delphi phát triển thêm các kiểu dữ liệu sau:

d Kiểu Ký tự

1.2.4.2 Các kiểu dữ liệu cấu trúc

a Mảng (Array)

Mảng dựng để biểu diễn một tập hợp các phần tử có cùng kiểu dữ liệu Mỗi phần tử của mảng được truy xuất theo một chỉ số duy nhất

 Cú pháp xây dựng mảng tĩnh:

Trong đó: indexType là một tập các số có kiểu thứ tự dựng làm chỉ số mảng baseType là kiểu sẽ được áp dụng cho các phần tử mảng

 Cú pháp xây dựng mảng động:

Trong khai báo mảng động, số phần tử của mảng chưa được chỉ định Muốn

sử dụng mảng cần phải chỉ định rõ cần chính xác bao nhiêu phần tử để chương trình cấp phát bằng lệnh sau:

Setlength(Name, Value_1, …, Value_n);

Trong đó, Name là tên mảng, Value là số lượng phần tử cần được cấp phát theo mỗi chiều của mảng

Để giải phóng vùng nhớ cấp phát cho mảng động ta gọi lệnh gán như sau:

Name := nil;

Chỉ số của các phần tử trong mảng được đánh số bắt đầu từ 0

b Kiểu Record

Kiểu Record là một tập hợp gồm nhiều phần tử có các kiểu khác nhau hợp lại

Mỗi phần tử trong cấu trúc bản ghi được gọi là trường

Cú pháp khai báo bản ghi:

Type recordTypeName = Record

Kiểu miền con của một kiểu rời rạc là một miền trị của kiểu rời rạc đó

Cú pháp khai báo kiểu miền con:

d Kiểu tập hợp (Set type)

Kiểu miền con là một tập các giá trị có cùng kiểu thứ tự Mỗi biến kiểu tập hợp có thể chứa nhiều phần tử của tập hợp Tập hợp chỉ chứa được tối đa 256 phần tử, bao gồm cả tập hợp rỗng

Cú pháp khai báo: Set of baseType;

Trong đó baseType là kiểu thứ tự bất kỳ có số phần tử không quá 256

1.2.4.3 Các cấu lệnh cấu trúc

Dạng 1:

If expression then statement;

Trong đó, expression là một biểu thức logic Nếu expression trả về giá trị đúng thì lệnh statement được thực hiện, nếu không chương trình sẽ chuyển điều

khiển xuống dòng lệnh kế tiếp

caseList n : statement n;

End;

Trong đó, selectorExpression là một biểu thức có kết quả mang kiểu thứ tự integer hay char caseList i là các điều kiện so khớp với selectorExpression Giá trị chứa trong các danh sách caseList i phải là duy nhất bên trong lệnh

Với cú pháp trên, khi lệnh case thực thi, phải có ít nhất một lệnh statement được

gọi vì trong trường hợp xấu nhất là khi biểu thức selectorExpression không thoả

mãn các điều kiện của caseList thì lệnh statement t của mệnh đề else sẽ được gọi

c Lệnh REPEAT

Repeat

Statement 1;

statement n;

Until expression;

Trong đó, expression là một biểu thức so sánh trả về giá trị đúng hoặc sai

Câu lệnh Repeat sẽ thực thi từng lệnh satement bên trong khối Sau khi thực hiện lệnh cuối cùng, biểu thức expression trong mệnh đề Until sẽ được kiểm tra Nếu

expression trả về giá trị TRUE, lệnh Repeat sẽ ngừng thực thi, điều khiển

chương trình sẽ thoát ra khỏi vòng lặp Nếu expression trả về giá trị FALSE ,

điều khiển chương trình sẽ nhảy về đầu vòng lặp Repeat, tiếp tục thực hiện lại

lệnh đầu tiên

d Lệnh WHILE

While expression Do statement;

Lệnh While tương tự như lệnh Repeat, ngoại trừ biểu thức giá trị điều kiện

lặp được kiểm tra đầu tiên, trước khi bước vào thực hiện các lệnh khác chứa trong vòng lặp

e Lệnh FOR

Dạng 1:

Dạng 2:

Trong đó, counter là một biến, initialValue và finalValue là các biểu thức thể hiện số lần lặp được gán tuần tự cho biến counter Statement là khối lệnh lặp cần

thực hiện

Lệnh For sẽ khởi gán giá trị đầu tiên initialValue cho biến counter, sau đó thực thi lệnh satement Tiếp đến, giá trị của biến counter tăng lên 1 đơn vị đối với dạng 1 và giảm 1 đơn vị đối với dạng 2 Khi counter bằng với biểu thức

finalValue, lệnh statement sẽ được thực thi lần cuối cùng sau đó chấm dứt vòng

lặp, để điều khiển thoát khỏi vòng lặp

Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U  XX Bộ G

= <X, U> được gọi là đồ thị hữu hạn Mỗi phần tử xX gọi là một đỉnh và mỗi phần tử u = (x,y)  U gọi là một cạnh của đồ thị G = <X, U>

Xét một cạnh u U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y  X sao cho u = (x, y), ta nói rằng

x nối với y hoặc x và y thuộc u

- Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh kề nhau

- Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên

- Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến y thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh vào

- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội

Ví dụ: như hình 1.2.b là biểu diễn của một đồ thị vô hướng

* Đồ thị có hướng

Đồ thị G = <X, U> được gọi là đồ thị có hướng nếu tất cả các cạnh e  U

thị mà mọi e = (x, y) X đều là cung

- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x được gọi là đỉnh cô lập

- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo

- Nếu m+(x) + m-(x) = 0 thì đỉnh x được gọi đỉnh là cô lập

- Nếu m+(x) + m-(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo

m(x)m(G)

x

(x)m (x)mm(G)

C

Khi đó m(G) được gọi là bậc của đồ thị có hướng G = <X,U>

Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn

2.1.3.2 Đường đi và chu trình

x X

x

m(x)m(x)

m(x)2m

- Tập đỉnh X = {x1,x2, ,xn}

- Tập cạnh U = {u1,u2, ,um}

Tập hợp các đỉnh kề nhau từ xi đến xj được gọi là 1 đường đi, kí hiệu

xixi1xi2 xj  xiuixi1ui1xi2ui2 ujxj

Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đường đi có thể lặp lại

Độ dài của đường đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đường đi đó

-Chú ý rằng trong đồ thị có hướng, trên một cung uv chẳng hạn thì đường đi chỉ có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngược lại

* Chu trình

Xét một đường đi từ xi - xj Nếu xi xj thì đường đi này được gọi là một chu trình Như vậy chu trình là một đường đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau

Chú ý rằng đường đi trong đồ thị có hướng không được đi ngược chiều mũi tên

- Đường đi (chu trình) được gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một lần

- Đường đi (chu trình) được gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần

Hình 3.1

Ví dụ như ở hình 3.1 ADBE là một đường đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3;

ABCDBE là đường đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB

là một đường đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA

Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đường đi độ dài 0

Xét đồ thị có hướng như hình 2.1 thì ABCB là một đường đi độ dài 3; CBA

không là một đường đi vì không có cung đi từ B đến A

C

D

E

Định lý:

Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 (x  X

| m(x)  2) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình

Chứng minh:

Xét tất cả các đường đi đơn Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đường đi đơn là hữu hạn Chọn một đường đi là dài nhất nào đó ví dụ từ xi1 đến xij +1 (xem hình vẽ dưới đây) Theo giả thiết m(x) 2 nên tồn tại ít nhất một đỉnh xi0 và một cạnh nối đỉnh xi1 và xi0 Đỉnh xi0 thuộc một trong các đỉnh trên đường đi đã chọn chẳng hạn xij vì đường đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu trình trong đường đi

2.1.3.3 Đồ thị liên thông

Cho đồ thị G = <X,U> Hai đỉnh phân biệt x,y X được gọi là liên thông nếu tồn tại một đường đi nối các đỉnh x, y với nhau Đồ thị G được gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông

Ví dụ như hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị, còn đồ thị như hình 3.2 là không liên thông vì không có đường

đi từ A tới D hoặc từ D tới F v.v

x i0

x i1 x i2 x i3 x ij x ij+

Hình 3.3

Ví dụ như đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:

G1 = <X1, U1> với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB}

G2 = <X2, U2> với X2= {D, E} và U2 = {DE}

G3 = <X3, U3> với X3= {F} và U3 = 

Cho đồ thị có hướng G = <X, U>

- G được gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó là liên thông

- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn có

đường đi x - y hoặc đường đi y - x

- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của

G đều có đường đi x - y và đường đi y - x

Hình 3.4

Ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều

đi từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh khác cũng tương tự như vậy H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D) có chiều đi từ D tới A nhưng không có chiều đi từ A tới D H3 là liên thông yếu vì tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi C - B, nhưng đồ thị vô hướng tương ứng là liên thông

2.1.4 Các dạng biểu diễn của đồ thị

2.1.4.1 Biểu diễn hình học của đồ thị

Để có cái nhìn trực quan ta thường biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian Phương pháp biểu diễn như sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đường (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị

Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đó

Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G1 = (X1, U1) và G2 = <X2, U2>

Hai đồ thị này được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X1

vào X2 và từ U1 vào U2 sao cho nếu có cạnh e = (u, v)  U1 tương ứng với cạnh e'

= (u', v') U2 thì cặp đỉnh u, v  X1 cũng là tương ứng cặp đỉnh u', v'  X2

Ta có f : G1  G2

Nếu a, b  X1 kề nhau thì f(a), f(b)  X2 kề nhau

Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G1 và G2 thực chất chỉ

là 1 chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn

Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến như sau:

Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều

Trường hợp riêng như đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng ký

hiệu Cn (n là số đỉnh)

* Đồ thị đầy đủ

phân biệt luôn kề nhau Xem ví dụ như hình 4.4 dưới đây hoặc 1 trường hợp

riêng của đồ thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ

2.1.4.4 Biểu diễn đồ thị trên máy tính

Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng đó Nên việc biểu diễn và lưu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng tâm, phương thức biểu diễn từng loại đồ thị trên máy tính ảnh hưởng đến các giải thuật, phương pháp giải quyết các ứng dụng trên máy tính

có d cạnh nối với nhau Khi cặp đỉnh (xi, xj) không có cạnh nào nối với nhau thị

aij = 0 Ta thấy ma trận kề của đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng

+ Trường hợp G = <X,U> là đồ thị có hướng với X = {x1, x2, ,xn} thì mỗi phần

tử aij của A được xác định như sau: đối với mỗi cặp đỉnh (xi, xj) từ xi đến xj nếu

có d cung thì aij = d Chú ý aji = 0 nếu không có cung nào hướng từ xj đến xi Ma trận kề trong trường hợp này là không đối xứng

Trong 2 trường hợp trên ta chú ý nếu đỉnh xi có một khuyên thì phần tử tương ứng của ma trận kề là aii = 1

Ưu điểm của phương pháp này là dễ dàng xác định được các cặp đỉnh có kề nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh Việc truy cập phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị

Nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó

0 1 0

1 1 0

0 0 2 1

1 2 0 1

0 1 1 1

1

G

M

tích A´A´ ´A = As = (Pij)

Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi được mô hình bằng đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật Ví dụ khi biểu diễn một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đường truyền dự phòng giữa chúng không Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đường đi giữa cặp đỉnh tương ứng với 2 máy đó, nếu số đường đi lớn hơn 1 là đã có đường truyền dự phòng

Hình 4.9

Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G1 và G2 được biểu diễn bằng danh sách cạnh như sau:

Như vậy để lưu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ Nhược điểm của phương pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh

* Danh sách kề

Phương pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng được sử dụng khá phổ biến

và thường hay dùng cho đồ thị có hướng

Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của xi theo thứ

tự các đỉnh trong tập đỉnh X Ta có thể biểu diễn đồ thị như một mảng FIRST, với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi

Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 được biểu diễn bằng danh sách kề như sau:

2.2 Số ổn định và tô màu đồ thị

2.2.1 Số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị

2.2.1.1 Số ổn định trong

Cho đồ thị vô hướng G = <X, U> và A  X

- Tập A gọi là tập ổn định trong của đồ thị nếu hai đỉnh bất kỳ trong A là không kề nhau, tức là không có một cạnh nào của đồ thị chứa hai đỉnh x và y

- Tập A gọi là tập ổn định trong cực đại của đồ thị G nếu:

Cho đồ thị vô hướng G = <X,U> và B X

- Tập B được gọi là tập ổn định ngoài của đồ thị nếu với mỗi phần tử y 

X \ B đều tồn tại x  B sao cho có cạnh nối giữa x và y, B còn được gọi là tập thống trị của đồ thị

- Tập B được gọi là tập ổn định ngoài cực tiểu nếu:

Với đồ thị trên các tập ổn định ngoài cực tiểu là B1 = A1; B2 = A2; B3 = A3;

B4 = A4 Vì các tập này nếu bớt đi 1 trong các phần tử của chúng thì tập còn lại không là tập ổn định ngoài nữa Số ổn đỉnh ngoài của đồ thị này là (G) = 3 Nhân của đồ thị trên là B1, B2, B3, B4 vì các tập này là tập ổn định trong và đồng thời cũng là tập ổn định ngoài

2.2.1.4 Các thuật toán tìm tập ổn định trong cực đại, ổn định ngoài cực tiểu

a) Thuật toán tìm số ổn định trong

- Bước 1: Tìm các tập ổn định trong có 2 phần tử bằng cách xét tất cả tổ hợp

chập 2 của n phần tử (n số các đỉnh), kiểm tra những tập nào mà phần tử của ma trận kề tương ứng bằng 0 thì tập đó là ổn định trong

- Bước 2: Duyệt từng tập có 2 phần tử và bổ sung thêm phần tử thứ 3 và kiểm

tra từng cặp như bước 1, tập nào thoả ta được tập ổn định trong 3 phần tử

+ Duyệt từng tập và bổ sung vào các tập đó thêm 1 phần tử

+ Nếu không có tập nào bổ sung được nữa thì dừng

b) Thuật toán tìm số ổn định ngoài

Xét G = <X,U> với X = {x1, x2, ,xn}

- Bước 1: Xác định các tập (xi) i = 1 n với (xi) = {xi và các đỉnh kề với xi}

- Bước 2: Từ các tập (x1), (x2), , (xn) ta tìm tập B

B = {xk1 , xk2 , , xkm} sao cho (xk1)  (xk2)  (xkm) = X

Khi đó B là tập ổn định ngoài cực tiểu

2.2.1.5 Ứng dụng đồ thị trong lập trình chơi cờ Ca rô

máy tính Cờ carô là loại cờ mà rất nhiều bạn trẻ đặc biệt giới sinh viên học sinh

ưa thích Quy tắc và cách thức chơi đơn giản, nhưng nó thực sự là bài toán tin rất hay, là bài lập trình thể hiện nhiều tư duy thuật toán, cũng như cơ sở về trí tuệ nhân tạo cho việc lập trình trò chơi giữa người và máy

Ta xét ứng dụng của đồ thị phục vụ cho bài toán lập trình trò chơi Carô

Xét một thế cờ Carô như hình 1.2.a

với 0 là vùng trắng, 1 là quân "o" và 2 là quân "x" Nhưng như vậy việc tính toán

sẽ rất khó khăn, ta có thể dùng đồ thị làm cấu trúc dữ liệu cho thế cờ Carô, khi đó việc tính toán sẽ dễ dàng đi và tận dụng những tính chất đã nghiên cứu về đồ thị thì bài toán lập trình trò chơi carô sẽ trở nên thuận lợi hơn nhiều

0 1 0 2

A = 0 0 2 2

0 2 0 0

1 0 0 1