Khoa học Bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

19 3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23 3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.. Nhưng trong luận văn này chỉ tập chung vào việc

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MINH

BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MINH

BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Mã số:60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên 5

1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính 10

1.2.1 Chứng khoán phái sinh 10

1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá 12

2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ 13 2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ 14

2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ 17

2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu Âu trong thị trường đầy đủ 19

3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23 3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình 23

3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian các chiến lược đầu tư 25

3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 26

3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 26

3.3 Tính đóng củaGT(Θ)và phân tích F¨llmer-Schweizer 28

3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 28

3.3.2 Bổ đề 3.3.2 30

3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 31

3.3.4 Hệ quả 3.3.4 32

3.3.5 Hệ quả 3.3.5 33

3.3.6 Bổ đề 3.3.6 34

3.4 Mô tả chiến lược tối ưu 36

3.4.1 Định lí 3.3.7 37

3.4.2 Hệ quả 3.4.9 41

3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro 41

3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance tất định 43

3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ 44

3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian 47

3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên 50

Lời nói đầu

Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quan

trọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng Trong thị trường

đầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịch

duy nhất Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược

để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó

Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau Nhưng trong luận văn này

chỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình

phương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộ

bình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục Mục tiêu chính

là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặc

không đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này

Cho X là nửa martingale có dạngX = X0+ M +R

dhM iˆλ.Quá trìnhcân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là K =ˆ RˆλtrdhM iˆλvà

Θlà không gian các quá trình khả đoánϑsao cho tích phân ngẫu nhiên

G(ϑ) = R

ϑdX là nửa martingale bình phương khả tích Cho hằng số

c ∈R và biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình

phương trung bìnhξ(c)làm cực tiểu khoảng cách trongL2giữaH − cvà

không gianGT(Θ) Trong tài chính, sử dụng chiến lượcξ(c)để xấp xỉ cho

tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạn

chế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θkhông gian các chiến lược

đầu tư NếuKˆ là bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản

cho tính đóng của không gianGT(Θ)trongL2(P )và sự tồn tại phân tích

F¨llmer-Schweizer của H Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện

thì ta có thể mô tả được chiến lược tối ưu bình phương trung bình dướidạng công thức liên hệ ngược và trong luận văn cũng đưa ra một số ví

dụ có thể dễ dàng so sánh các trường hợp với giả thiết khác nhau Khi cóthêm điều kiện thì có khẳng định rằng độ đo martingale tối ưu phương sai

và độ đo martingale nhỏ nhất là trùng nhau Trong số những ví dụ đưa rađiều giả sử này được thỏa mãn, qua đó ta cũng chỉ ra lỗi điển hình nếuKˆTkhông tất định và bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không được sinh

ra bởi X

Luận văn có cấu trúc 3 chương :Chương 1: Bao gồm sơ lược các kiến thức nền tảng của giải tích ngẫunhiên và toán tài chính

Chương 2: Giới thiệu về định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ ápdụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản

Chương 3 : Phần chính của luận văn đưa ra việc định giá và bảo hộtrong thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn rấttận tình của TS Nguyễn Thịnh Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắcthầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy các chuyên

đề cao học đã tạo dựng cho tác giả một kiến thức nền tảng và thầy côtrong tổ Xác Suất Thống Kê của khoa Toán-Cơ-Tin đã giúp đỡ và tạođiều kiện để tác giả bảo vệ luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, độngviên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn

Do trình độ tác giả và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quýbạn đọc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ điểm qua một số kiến thức cơ sở về giải tích ngẫu nhiên

và một số khái niệm của toán tài chính được sử dụng trong luận văn

nhiên

Định nghĩa 1.1 Martingale

Giả sử(Ω,A, P )là không gian xác suất Quá trìnhX = {Xt,At, t ∈R}

được gọi là một martingale (trên ,dưới) đối với(At, t ∈R)nếu thỏa mãn

3 điều kiện sau:

1.X = {Xt,At, t ∈R}là quá trình thích nghi với bộ lọcAt(tức làXtlà

At−đo được)

2.E|Xt| < ∞ với mọi t ∈R

3.Với mọit ≥ s (t, s ∈R) E(Xt/As) = Xs (E(Xt/As) ≤ Xs ; E(Xt/As) ≥

Xs) P − h.c.c

Định nghĩa 1.2 Martingale địa phương

Quá trình ngẫu nhiên{Xt, At, t ≥ 0}được gọi là martingale địa phương

nếu tồn tại dãy thời điểm Markov(τn)đối với(At)sao cho

Định lý 1.1 Burkholder-David-GundyGiả sử {Mi,Ai, 0 ≤ i ≤ N }là một martingale, 1 < p < ∞và d0 =

M0, di= Mi+1− Mi, 0 = i < · · · < n = N Khi đó tồn tại các hằng số

C1, C2chỉ phụ thuộc p không phụ thuộc dãydi, i = 1, , N.sao cho

C1||

q[M ]N||p≤ ||MN||p≤ C2||

q[M ]N||p.Định lý 1.2 Girsanov

ChoYtlà một quá trình Ito có vi phân ngẫu nhiên như sau:

dYt= a(t, ω)dt + dWt, t ≤ T ≤ ∞, Y0= 0trong đó hệ số dịch chuyểna(t, ω)thỏa mãn điều kiện Novikov

Với xác suất mới Q này thì Yt trở thành một martingale đối với họ

2

Zt 0

đạo hàm riênggt, gx, gxxliên tục

Khi đóYt= g(t, Xt)là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là:

ChoW (t, ω) = (W1(t, ω), , Wm(t, ω))là chuyển động Brown m-chiều

X(t, ω) = (X1(t, ω), , Xn(t, ω))và dX = hdt + f dW là một vi phân

ngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h là các hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả

đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ω) Giả sử g(t, x) =

(g1(t, x), , gp(t, x))là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục R+×Rn→R+

Khi đó quá trìnhY (t, ω) = g(t, Xt)là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà

thành phần thứ k làYkđược cho bởi

2X

i,j

∂2gk

∂xi∂xj(t, X)dXidXj,

trong các biểu thứcdXidXjthìdWidWj= σijdt, dtdWi= dtdWj= 0.Định nghĩa 1.4 Nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫunhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng

dXt= a(t, Xt)dt + b(t, Xt)dWt

hoặc tương đương

Xt= X0+

Zt 0a(s, Xs)ds +

Z t 0b(s, Xs)dWs.Nghiệm mạnh của phương trình trên là quá trìnhXtliên tục thích nghivớiAtsao cho

P

Z T 0

|a(t, Xt(ω))|dt < ∞

= 1,

E

Z T 0

Khi đó phương trình vi phân

dXt= a(t, Xt)dt + b(t, Xt)dWt, 0 ≤ t ≤ T, X0= Z

có nghiệm duy nhấtXtthuộcNT( lớp các hàm ngẫu nhiênf : [0, T ]×Ω →

R đo được, thích nghi đối vớiAtvà RT

0 E|f (t, ω)|2dt

< ∞)

Định nghĩa 1.5 Độ đo martingale nhỏ nhất

Cho độ đo martingalePˆ ≈P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất

nếuP (A) = P (A), ∀A ∈ Fˆ 0và mọi martingale bình phương khả tích bất

kì trực giao mạnh với martingale tùy ý cố địnhM ∈ MtheoP cũng là

martingale theoPˆtức là :

L ∈ M2 và hL, M i = 0 ⇒L là martingale theoP ˆ

(vớiM; M2tương ứng là các không gian martingale khả tích; bình phương

khả tích.)

Định nghĩa 1.6 Độ đo tối ưu phương sai

Độ đo có dấu Q trên (Ω, F )được gọi là độ đoΘ−martingale có dấu

Kí hiệu P là tập tất cả độ đoΘ−martingale có dấu và

D=

D = dQdP

2

− 1với mọiQ ∈P(Θ) Nếu eP là tối ưu phương sai thì kí hiệud P e

dP=De.Định nghĩa 1.7 Quá trình mũ martingale địa phương

Cho M là liên tục, martingale địa phương giá trị thực Khi đó mũ

martin-gale địa phươngE(M )là quá trình

Xt= Et(M ) = exp(Mt−1

2hM it).

VàXtlà nghiệm duy nhất của phương trìnhdXt= XtdMt, X0= 1.Nếuγ ∈ L(M )thì nghiệmXtcủa phương trìnhdXt= γtXtdMtđược chobởiXt= X0Et(γ • M ) Nếu W là chuyển động Brown nhận giá trị trong

Rdvàγ ∈ L(W )thì nghiệm của phương trìnhdXt= γtXtdWtđược chobởi

Xt= X0Et(γ • W ) = X0exp(−1

2

Z t 0

||γs||2

ds +

Z t 0

γsdWs)

1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính

1.2.1 Chứng khoán phái sinhĐịnh nghĩa 1.8 Quyền mua cổ phần

Là loại chứng khoán do công ty cổ phần phát hành kèm theo đợt pháthành cổ phiếu thường bổ sung và được phát hành cho cổ đông hiện hànhsau đó chúng có thể được đem ra giao dịch

Ví dụ 1.1 Công ty A muốn huy động thêm vốn nên đã phát hành thêm

cổ phiếu cho các cổ đông, các cổ đông này được nhận các quyền mua cổphần, các cổ đông này nếu không mua cổ phiếu có thể nhường lại cho ngườikhác bằng cách bán quyền mua cổ phần của mình

Định nghĩa 1.9 Hợp đồng kì hạn

Là một thỏa thuận trong đó một người mua một người bán chấp thuậnmột giao dịch hàng hóa với khối lượng xác định tại một thời điểm xác địnhtrong tương lai với một mức giá được ấn định vào ngày hôm nay

Định nghĩa 1.10 Hợp đồng tương lai

Là cam kết mua hoặc bán các loại chứng khoán, nhóm chứng khoán hoặcchỉ số chứng khoán nhất định với một số lượng nhất định và mức giá nhấtđịnh vào ngày xác định trước trong tương lai

Định nghĩa 1.11 Quyền lựa chọn

Là quyền được ghi trong hợp đồng cho phép người mua lựa chọn quyền

mua hoặc quyền bán một số lượng chứng khoán được xác định trước trong

khoảng thời gian nhất định với một mức giá được xác định trước Quyền

lựa chọn là một bản hợp đồng mang tính thỏa thuận nhưng ràng buộc về

mặt pháp lý trong đó có tham gia của người mua, người viết và cơ quan

quản lý

Định nghĩa 1.12 Quyền chọn mua

Là một hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được

quyền mua một khối lượng hàng hóa nhất định tại một mức giá xác định

trong một thời hạn nhất định Bên được quyền mua phải trả cho bên còn

lại một khoản được gọi là giá quyền mua Và khi kết thúc hợp đồng người

có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng

Ví dụ 1.2 Một người định mua cổ phiếu của công ty A nhưng vì một lí

do nào đó anh ta chưa muốn mua ngay nên đã đến ngân hàng mua một số

quyền chọn mua rằng anh ta có thể mua một số lượng cổ phiếu nhất định

của công ty A với mức giá là X vào ngày cố định T đã thỏa thuận Đến

ngày T người mua có thể không cần thực hiện hợp đồng và chấp nhận mất

tiền mua quyền mua

Định nghĩa 1.13 Quyền chọn bán

Là hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyền

bán một khối lượng nhất định hàng hóa tại một mức giá xác định trong

một thời hạn nhất định Người mua quyền chọn bán phải trả cho người

bán quyền một khoản tiền được gọi là giá quyền hoặc phí quyền Và khi

kết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp

đồng

1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giáĐịnh nghĩa 1.14 Một phương án đầu tư tự tài trợφ ∈ Φđược gọi làmột cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giáVt(φ)của phương án đầu

tư đó thỏa mãn :(i)P (V0(φ) = 0) = 1(ii)P (VT(φ) ≥ 0) = 1(iii)P (VT(φ) > 0) > 0

T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng

Định nghĩa 1.15 Ta nói thị trườngM = (S, Φ)là một thị trường không

có cơ hội chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợnào trongΦcó độ chênh thị giá

Định nghĩa 1.16 Chiến lược đầu tư đáp ứngChiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạnXT tại thờiđiểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợφsao choVT(φ) = XT.tức là giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trịđáo hạnXT đã định trước và ghi trong hợp đồng Quá trình giáVT(φ)củaphương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng

Một bài toán đặt ra là định giá cho các sản phẩm phái sinh như thếnào ? và sau khi các sản phẩm này được mua bán thì phải bảo hộ chúngnhư thế nào? Luận văn này nghiên cứu một số cách tiếp cận toán họcchặt chẽ để có thể định giá và bảo hộ các sản phẩm phái sinh này

Chương 2

Định giá và bảo hộ trong thị trường

đầy đủ

Trong chương này ta sẽ đi tìm hiểu việc định giá và đưa ra chiến lược

bảo hộ giá cho quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ

Định nghĩa 2.1 Thị trường đầy đủ

Một thị trườngM được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh

X đều đạt được trong M tức là đều có phương án đầu tư đáp ứng được

phái sinh đó, hay nói một cách tương đương nếu với mọi biến ngẫu nhiên

X đo được đối vớiFT thì tồn tại ít nhất một quá trình khả đoánφ ∈ Φ

sao choVT(φ) = XT.(XT là giá đáo hạn của chứng khoán được ghi trong

hợp đồng vàVT(φ)là quá trình giá đầu tư bởi chiến lượcφ)

Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường Vì với

tính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá

bằng phương pháp độ chênh thị giá

Định nghĩa 2.2 Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cách

duy nhất trong thị trườngM nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất

đối với X

Ví dụ 2.1 Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ

Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa

mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:

dSt= µStdt + σStdBt,vớiµ,σlà những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thịtrường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi mộtchiến lược tự tài trợ Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau

2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ

Cho(Ω, F , P )là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định Cho

F = {Ft; 0 ≤ t ≤ T }là một bộ lọc vớiF0chứaΩvà những tập có độ đo

Kí hiệuL(Z) = {H = (H1, H2, , Hd) = {Ht, 0 ≤ t ≤ T } khả tích đối với Z}Một chiến lược giao dịch đáp ứng là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán

Φ = (Φ0, , Φd) = {Φt, 0 ≤ t ≤ T }sao cho:

i)(Φ1, , Φd) ∈ L(Z),ii)V∗(Φ) ≥ 0trong đóV∗(Φ) = βΦX = βPd

k=0ΦkXk,iii)V∗(Φ) = V∗

0(Φ) + G∗(Φ)trong đó

G∗(Φ) =

ZΦdZ =

t mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k được

giữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t,V∗(Φ)là quá trình giá chiết khấu mô

tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư vàG∗(Φ)mô tả quá trình lãi chiết

khấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư Trong đó (ii)

nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trị

của phương án đầu tư âm (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trị

của phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêm

hoặc bớt vốn Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vào

việc chọn độ đo quy chiếu

Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương Một

quyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ sao

cho V∗

T(ψ) = βTS Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu

E∗βTS < ∞ Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệ

giữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng

Định lý 2.1 Các mệnh đề sau là tương đương:

(a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đoP∗

(b) Mỗi martingaleMt được biểu diễn dưới dạng

Mt= M0+

Zt 0HdZ vớiH ∈ L(Z)

(c)P có duy nhất một phần tử

Chứng minh (a) ⇒ (b)Cho M là một martingale tuỳ ý Từ martingale

bất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do

vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương ĐặtS = X MT khi

đó tồn tại chiến lược đáp ứngΦsao choVT∗(Φ) = MT Hơn nữa theo địnhnghĩa chiến lược đáp ứng, martingaleV∗

(b) ⇒ (a)Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý Định nghĩa một

độ đo martingale M bằng cách đặtMt = E∗(βTS|Ft)và choH ∈ L(Z)sao choMt = M0+Rt

0HdZ đặtΦ1= H1, , Φd = Hdtrong đóΦ0=

M0+RHdZ − HZ.Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với V∗

Me(Z)là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trongM (Z) Ta có kết quả :

Q ∈ Me(Z)nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q

Hệ quả của nó làQ ∈ Me(Z)nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b)được thỏa mãn

(b) ⇒ (c)NếuP∗∈ Me(Z)thì không thể tồn tạiQ ∈ M (Z)với Q tươngđương vớiP∗

(c) ⇒ (b)Ta chỉ raP∗∈ Me(Z) Thật vậy giả sử ngược lại Khi đó tồntại α ∈ (0, 1)vàQ0, Q00∈ M (Z)sao choP∗= αQ0+ (1 − α)Q00.Ta có

Q0≤ P∗/αvà chỉ ra Z là martingale theoQ0tương tự choQ00do đó Z làmartingale theoQβ= βQ0+ (1 − β)Q00với mỗiβ ∈ (0, 1) TừQβ tươngđương vớiP∗với mọiβ ∈ (0, 1)tức làQβ∈P với mọiβ ∈ (0, 1) Nhưngđiều này là mâu thuẫn doP có duy nhất một phần tử

Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ

2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy

đủ

Chiến lược giao dịchΦ = (K, H)được gọi là chiến lược giao dịch tự tài

trợ nếu nó thỏa mãn :

dVt(Φ) = KtdBt+ HtdXt

chiến lượcΦđược hiểu như liên tục tự cân bằng các danh mục đầu tư mà

không rút vốn hoặc thêm vốn vào

Ta có một chiến lược giao dịch tự tài trợ được gọi là đáp ứng quyền

phái sinh h nếuVT(Φ) = hvà quá trình giá chiết khấuVX 0

t (Φ)làPX 0−martingale tức là

Chứng minh ĐặtMt= EPX0[h/X0|Ft]choΦ = (K, H)là một chiến lược

giao dịch và đặtVt= Vt(Φ).Khi đóΦđáp ứng h nếu và chỉ nếu

Kt+ HtXtX0= VtX0= Mt với t ∈ [0, T ]

Ta cần xác địnhHtvới điều kiện tự tài trợ choΦlàdVX 0

t = HtdXX 0

t tứcdạng tích phânVX 0

Mt= M0+

Z t 0

Js/(σXX 0

s )dXX 0

s = Mt= V0+

Z t 0

HsdXX 0

s , với mọi t ∈ [0, T ].Suy ra

M0= V0, Hs= Js/(σXsX0), Ks= Ms− HsXsX0.Khi đóMt= M0+Rt

0HsdXX 0

s Sau đây ta sẽ chỉ raΦlà một chiến lược giao dịch tức làK ∈ L(X0)và

H ∈ L(X)

TừdXt = Xt(µdt + σdWt)chúng ta thu đượcduX(s) = µXsds(uX(s)

là compensator của X ) và dhXis = σ2X2

sds Quá trình khả đoánJ ∈L(WX 0

)thoả mãn

Z T 0

Suy raJ ∈ L(X0)theo tính liên tục của M suy raK ∈ L(X0).Vậy ta

có chiến lược giao dịchΦthoả mãnVX 0

t (Φ) = Mt, t ∈ [0, T ].Hơn nữa với

t = T suy raVT(Φ) = X0 MT= h.Phần còn lại ta sẽ chỉ ra chiến lượcΦlà tự tài trợ

Vậy ta có điều phải chứng minh

Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là:Φs=(Ms− HsXX 0

s ;dVsX0

dX X0 s

)Xét trong trường hợp rời rạc ta cóH = ∆VtX0

∆X X0 t

Điều này sẽ được minhhọa bởi ví dụ mục sau đây

2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu

Âu trong thị trường đầy đủ

Xét mô hình Black-Scholes đơn giản được cho bởi phương trình vi phân

ngẫu nhiên tuyến tính sau:

dXt= µXtdt + σXtdBt,vớiµ,σlà những hằng số và B là chuyển động Brown hình học

Giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là một

trường hợp của thị trường đầy đủ GọiV0là giá của quyền chọn vào thời

điểm t=0 Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồng

quyền chọn như sau :

d2= d1− σ√T Sau đây ta sẽ đi xây dựng công thức trên

Thật vậy, ta cóV0được tính theo công thức

V0= e−rTE[(XT− S)+]

trong đóXT là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T và S là giá thực

thi hợp đồng tại thời điểm T NếuXT ≥ Sthì lợi nhuận làXT− S ≥ 0

nhà đầu tư sẽ mua quyền chọn với giá thực thi S NếuXT< Sthì nhà đầu

tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua Lợi nhuận

Ta tính giá trị trung bình của nó bởi kì vọng toán E[(XT− S)+]giá

cả trên thị trường thường thay đổi theo một hệ số là hàm mũeγtcủa thời

gian, nhà đầu tư xem rằng giá Quyền Chọn Mua có thể bị chiết khấu vớitốc độ r nên giá trị thực sự của Quyền Chọn Mua thời điểm hiện tại t =

VìBTlà một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai T nên ta cóthể đặtBT =√T Ztrong đó Z là biến ngẫu nhiên chuẩnN (0, 1)khi đó

Do đó

V0=e

−rT

√2π

Z ∞ a

Đặtd2= −avàd1= −a + σ√T thì

d1= 1

σ√T

ln(X0

Đây là công thức Black-Scholes để định giáV0Quyền Chọn Mua kiểu

châu Âu tại thời điểm 0 trên cơ sở giá cổ phiếu Xt tuân theo mô hình

Black-Scholes

Nếu thời điểm đáo hạn là T, còn thời điểm ban đầu là t thì giá chứng

khoán ban đầu sẽ làXtcòn khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn

sẽ làT − tkhi đó công thức Black-Scholes sẽ là

Vt= XtΦ(d1) − Se−r(T −t)Φ(d2)

d1= 1

σp(T − t)

ln(Xt

S) + (r +

σ2

2)(T − t)vàd2= d1− σq(T − t)

Giá của một Quyền Chọn Mua châu Âu có liên hệ với giá của một

Quyền Chọn Bán châu Âu Giả sử ta mua một cổ phiếu với giáXtvà bán

một Quyền Chọn Mua với giáCt(thời hạn và giá thực thi là tùy ý) Quyền

Chọn Mua Lo rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giảm ta mua một Quyền

Chọn Bán với giá Pt với cùng một thời hạn và giá thực thi như Quyền

Chọn Mua Như vậy giá của vị thế ngày hôm nay là:Xt+ Pt− Ct

Gọi giá thực thi chung của Quyền Bán và Quyền Mua là S Khi đó giá

của vị thế vào ngày đáo hạn sẽ như thế nào?

NếuXt ≥ Sthì giá đó bằngS Ta đem giao cổ phiếu cho người mua

còn Quyền Bán không có giá trị

NếuXt < S thì giá đó cũng vẫn bằng S Ta đem giao cố phiếu cho

người bán Quyền Bán còn quyền mua thì không có giá trị

Vậy dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của ta là như nhau và

bằngS Vì ta ở vào một vị thế tất định, nên suy ra:

(Xt+ Pt− Ct)erτ = S

trong đó r là lãi xuất không rủi ro ;τ = T − t Nếu chọnt = 0thìτ = T

do đó

Ct− Pt= Xt− e−rτSgọi là hệ thức cặp đôi Mua-Bán

Ta cóPt= Ct− Xt+ e−rτSTính C bằng công thức Black-Scholes ta được

Pt= XtΦ(d1) − e−rτSΦ(d2) − Xt+ e−rτS

VìΦ(d1) + Φ(−d1) = 1vàΦ(d2) + Φ(−d2) = 1nên ta có

Pt= −XtΦ(−d1) + e−rτSΦ(−d2)

Là công thức Black-Scholes với Quyền Chọn Bán

Sau đây ta sẽ minh họa việc bảo hộ tài sản phái sinh bởi một chiến lượcđầu tư vào cổ phiếu:

Giá cổ phiếu của công ty cổ phần nhựa và môi trường xanh An Phát có mã

là AAA trong sàn giao dịch HOSE từ ngày 15/7/2010 đến ngày 24/9/2010như sau:

48.7 46.5 46.3 45.2 45.1 45.1 46 45.1 46.1 45

49 50.5 48.8 49.2 50 48 49 47 45.1 44.4

42 44.5 46.7 47.2 44.5 47.7 50.3 53.3 56.8 55.858.5 62.4 70.8 75.6 80 83.2 89 85 91 90.391.7 91 91.8 91.4 90.4 84.4 78.7 73.2 68.1 63.4

Ta cần bảo hộ cho 1000 quyền mua cổ phiếu của công ty này với giá thựcthi là 48.7 vào ngày đáo hạn là 24/9/2010 Giả sử giá cổ phiếu của AAA

là thỏa mãn thị trường đầy đủ, tuân theo mô hình Black-Scholes đơn giản

Ta ước lượng các tham số của phương trình Black-Scholes theo công thức:

Chương 3

Định giá và bảo hộ trong thị trường

không đầy đủ

3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực

tiểu bình phương trung bình

Trong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sản

phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất Tuy nhiên

trong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh không

được đáp ứng một cách chính xác mà chỉ được xấp xỉ bởi việc dùng chiến

lược đầu tư đáp ứng theo nghĩa bình phương trung bình nhỏ nhất Trong

chương này sẽ đi nghiên cứu về chiến lược đầu tư đó

Trước hết chúng ta làm rõ hơn về nghĩa của bảo hộ bình phương trung

bình ChoXlà quá trình ngẫu nhiên liên tục mô tả giá chiết khấu của một

cổ phiếu trong thị trường tài chính với điều kiện không có độ chênh thị

giá.Xphải là nửa martingale, giả sử nó có dạngX = X0+ M +R

dhM iˆλvới quá trình khả đoánλˆvà chúng ta gọiK :=ˆ RλˆtrdhM iˆλlà quá trình

cân bằng bình phương trung bình của X Nếu martingale địa phương

ˆ

Z := E (−RλdM )ˆ là dương thực sự (điều này là hiển nhiên vớiX liên

tục) và là một martingale chính qui thì đặt d ˆdPP := ˆZT xác định một độ đo

xác suấtPˆtương đương vớiP được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất của

X Độ đo này sẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong phần chứng minh

Quyền phái sinh là một biến ngẫu nhiênH bình phương khả tíchFT đo

được Nó mô phỏng giá phải trả của một sản phẩm phái sinh mà ta quantâm Một chiến lượcϑlà quá trình khả đoán sao cho tích phân ngẫu nhiên

Gt(ϑ) :=Rt

0ϑdXxác định tốt và là một nửa martingale khả tích.Thực vậy,Gt(ϑ)mô tả tiền lãi giao dịch được tạo ra bởi chiến lược đầu

tư tự tài trợ tương ứngϑvàH − c − GT(ϑ)là tổng tài sản thâm hụt củangười bảo hộ bắt đầu với vốn ban đầu làc Sử dụng chiến lượcϑvà tàikhoản ngẫu nhiên phải trả làH vào ngày đáo hạnT Việc bảo hộ bìnhphương trung bình nghĩa là tìm lời giải của bài toán tối ưu sau:

minE[(H − c − GT(ϑ))2]trên tất cả các chiến lượcϑ (3.1)nghiệm của bài toán sẽ được kí hiệu làξ(c)nếu nó tồn tại

Trong phần sau chúng ta sẽ chỉ rõ những điều kiện củaX, định nghĩakhông gianΘchiến lược giao dịch và tìm hiểu kĩ về bài toán bảo hộ giátrị bình phương trung bình Từ mục3.3ta giả sử quá trình cân bằng bìnhphương trung bìnhKˆ bị chặn và liên tục.Ta cũng chứng minh rằng khônggianGT(Θ)là đóng trongL2(P )và mỗiH ∈ L2(P )nhận một phân tích

F¨llmer- Schweizer là

H = H0+

Z T 0

ξsHdXs+ LHT.vớiH0∈R; ξH∈ Θvà martingale bình phương khả tíchLHtrực giaomạnh vớiMnhững kết quả này thực sự rất nổi tiếng, nhưng đòi hỏi thêmbởi tính liên tục củaKˆ Tính đóng củaGT(Θ)dĩ nhiên bảo đảm rằng bàitoán(3.1)quả thực có nghiệm với mọiH; c Hơn thế nữa tính bị chặn củaˆ

Kdẫn tớiZˆT∈ L2(P )và do đó có phân tích F¨llmer- Schweizer là:

ˆ

ZT= E[ ˆZ2] − E[ ˆZTLˆT] +Z T

0

ˆsdXs+ ˆLT.Trong mục 3.4 chúng ta chỉ ra rằng vớiH ∈ L2+ε(P ), nghiệmξ(c)của(3.1)được cho bởi dạng công thức liên hệ ngược

ξt(c)= ξtH− ˆt

ˆ

E[ ˆZT/Ft](H0+

Z t 0

ξsHdXs+ LHt − c −

Zt 0

ξ(c)s dXs)vớiXliên tục,Kˆ bị chặn và

ˆ

LT= 0trong phân tích F¨llmer- Schweizer củaZˆT. (3.2)

Sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ về hai định nghĩa quan trọng

3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và

không gian các chiến lược đầu tư

Cho(Ω, F,P)là một không gian xác suất với bộ lọcF = (Ft)0≤t≤Tthỏa

mãn điều kiện đủ và liên tục phải, ở đóT ∈ [0, ∞)cố định Tất cả quá

trình xem xét được biểu thị bởit ∈ [0; T ]

ChoXlà nửa martingale liên tục phải và có giới hạn trái(RCLL)nhận

λtrsσsˆλsdBs=Zt

0ˆ

λtrsdhM iˆλs< ∞

P − h.c.c với t ∈ [0; T ],giữ nguyên tính liên tục củaKˆ và gọi nó là quátrình cân bằng bình phương trung bình ( MVT) củaX

3.2.1 Định nghĩa 3.2.1Cho quá trình liên tục phải giới hạn tráiY, kí hiệuY∗là quá trình

Yt∗:= sups∈[0;t]

| Ys| , 0 ≤ t ≤ T,

kí hiệuR2(P )không gian quá trình Y thích nghi RCLL sao cho

kY kR2 (P ):= kYT∗kL2 (P )< ∞

3.2.2 Định nghĩa 3.2.2Chop>1, Lp(M )không gian tất cả quá trình khả đoán nhận giá trịtrong Rdsao cho

T)

ϑtr

sγsdBs)

L p (P )

=

Z

ϑtrdA

T L p (P )

< ∞.Đặt