(Luận văn Toán Học) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian

(Luận văn) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian (Luận văn) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian (Luận văn) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian (Luận văn) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian (Luận văn) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian (Luận văn) xây dựng quy trinh tua thuật toán để giải các bài tập hình học không gian

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

"Môn toán là một môn học "công cụ" cung cấp những kiến thức,kỹnăng, phươngpháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mớilàm chủ tậpthể".Hơn nữa, mỗi một môn học đều có một đặc thù riêng và chúng đòihỏi người giáo viêncầnnhận ra những đặc điểmđóđểtìmra phương pháp giảng dạyphù hợp Trong đó, toán học làmộtmôn học gắn liền với cácquytrình, vì thếbêncạnhviệc rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ độngvàsáng tạo cho học sinh, chúng

ta cầnrènluyệncho học sinh các thao tác, cách thức giải quyết vấnđềtheo mộtquytrìnhnhấtđịnh

Xây dựng một sốquytrình tựa thuật toán là một điều kiện để thông qua việcdạyhọccácquytrình trênmàrèn luyện cho học sinh một loại hìnhtưduyquan trọng : tư duythuật toán, mộtyếutố học vấn phổ thông của con người trong thời đạimáytính

Từ khicònngồi trên ghế nhà trường trung học phổ thông, sau đó vớitưcáchlà mộtgiáo sinh kiến tậpsưphạm, quatìmhiểu em biết được việc giải bài toán hình họckhông gian đốivớihọc sinh tương đối khó.Yêucầu trước hết đòi hỏi học sinh phảihiểusâusắc nội dung định nghĩa, định lýtừđólàmcơsởđể xâydựngcho mình nhữngthuật toán để giải bàit ậ p

Là một giáo viên tương lai, em hiểu mình cần phải trao dồi và rèn luyện trình độchuyên môn sâu cũng như bồi dưỡng nâng cao lý luận dạy học, tím ra phương pháphọc tốt phục vụ cho sự nghiệp trồng người sau này

Những lí do trên đã thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: "Xâydựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian"

2 Mục đích nghiênc ứ u

Nhằm hệ thống lại các một số phương pháp giải toán hình không gian cũng như cácthao tác thuật toán Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình học khônggian

3 Nhiệm vụ nghiênc ứ u

- Nhắc lại các kiến thức về thuật toánvàquytrình tựa thuậttoán

- Nhắc lại mục đích, vai trò, ý nghĩa, vị trí và chức năng của bài tậpt o á n

- Tìm hiểu về phương phápdạyhọctìmtòi lời giải bàitoán

- Tóm tắt một số lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11 nângc a o

- Xây dựng mộtsốquytrình tựa thuật toáncụthể để giải các bài tập hình họck h ô n ggian

- Hệ thống và mộtsốbài tập điển hình theochủđề thể tích khối đadiện

- Đề xuất một số giáo án sử dụng việc xây dựngquytrình thuật toán trongdạyh ọ c

- Thực nghiệmsưphạmđểkiểm tratínhkhả thi và hiệu quả của đềt à i

4 Phương pháp nghiênc ứ u

- Phương pháp nghiêncứulí luậndạyhọc toán, đặc biệtlàthuật toán vàquytrình tựa thuậttoán

- Nghiêncứunộidungsách giáo khoa, sáchbàitập và một số sách thamk h ả o

- Phần thực nghiệm đã sử dụng phương pháp trực quan, điều tra và vậndụnglí thuyếtvàodạy họccụ thể Tổng kết kinh nghiệm, đánh giá thốngkêkết quả đạt được trongquá trình thựcn g h i ệ m

5 Đối tượng nghiênc ứ u

Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh thông qua việc xây dựng một sốquy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian

6 Phạm vi nghiênc ứ u

Nghiêncứucác tài liệu vềdạy họcgiải bàit ậ p

Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 và tham khảo các sách bài tập khác

7 Cấu trúcvànội dung luận văn (gồm 3phần)

Phần mở đầu

Phần nội dung

Chương I: Thuật toán và quy trình tựa thuật toán

Chương II: Cơ sở lí luận của dạy học giải bài tập toán

Chương III: Tóm tắt lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11 nâng cao Chương IV: Xây dựng quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian

Chương V: Một số bài tập hình học không gian chọn lọc

Chương VI: Thực nghiệm sư phạm

Phần kết luận

8 Một sốtừ ngữđược viết tắt trong đềtài

Kí hiệu Tên đầy đủ

SGK Sách giáo khoaTHPT Trung học phổ thông

MTĐT máy tính điện tử

B NỘI DUNGChương I: THUẬT TOÁN VÀ QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN

========= ========

1.1 Quytrình

Quy trình làmộttrìnhtựphải tuân theo đểtiếnhành một công việc nào đó Vídụ:Quytrình bốn bước của Polyađểgiải một bài toán,quytrình giải bài toán bằng cách lập phươngt r ì n h ,

Mỗi quy trình có thể chia thành các bước Mỗi bước là một hoạt động nhằmmột mục đích nhất định Mỗi hoạt độngcóthể có nhiều thaot á c

Ví dụ: Hoạt động "Tìm hiểu nội dung bài toán" có các thao tác: Vẽ hình, chọn kíhiệu, phân tích giả thiết, kết luận của bài toán [12]

1.2 Thuậttoán

1.2.1 Khái niệm về thuậtt o á n

Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toántừđơn giản đến phức tạp.Đối với mộtsốbài toán tồn tại nhữngquytắc xác định mô tả qúa trình giải.Từđó ngườitađiđến khái niệm trực giác về thuật toánvàkhái niệmnày đãđược dùng từ lâu, kéo dàisuốtmấynghìn năm trong Toán học.[7,tr.401]

Thuật toán (algorithm) là một cơ sở của Toán học và Tin học được hiểu nhưmộtquytắc mô tả những chỉ dẫnrõràng và chính xácđểngườihay máythực hiện đượcmộtsốhữu hạn thao tắc nhằm đạt được mục đích đặt rahaygiải một lớp bài toán nhấtđịnh.Nhưvậythuậttoán làmộtphương pháp thể hiện lời giải vấnđềbài toán Đây chưaphải là một định nghĩa chính xác mà chỉ làmộtcách phát biểu giúp ta hình dung kháiniệm thuật toán một cáchtrựcgiác.[ 8 , t r 2 0 0 ]

Ở trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toánnhưcộng, trừ, nhân, chia cácsốtự nhiên vàsốhữu tỉ, thuật toántìmước chung lớn nhất của hai

số, bội chung nhỏ nhất của haisố,thuật toán giải phương trình bậc hai dưới

dạngc h u ẩ n … [ 8 , t r 2 0 0 ]

1.2.2 Phương pháp thuật toán (Algôrít) trong dạyhọc

Phương pháp Algôrít được mang tên nhà toán học người Ảrập thời Trungcổ

là Algôríthm, người đầu tiên sáng chế ra một côngtrìnhthuật toántrênbàn tính trong

đó phân đoạn sự tính toán thành từng khâu, từng bước hợp lí theo mộthệt h ố n g

l ô g i c c h ặ t c h ẽ m à s a u nàygọi là những quy trìnhvv

Công trình đó chìm lắng dần theo thời gian, mãi đến đầu thế kỉ XX khi khoahọc - công nghệ có sự phát triển mạnh mẽ, Algôrít được coi là một phươngpháptưduyvà đã thâm nhập vào mọilĩnhvực khoa học, đặc biệtlàcông nghệtinhọc(Algôrít là công cụ chủyếuđểphân đoạn, chia nhánh lậptrìnhtrong các phần mềmcủamáyvitính)

Đến giữa thế kỉ XX, mộtsốnhà giáo dục ởcácnướctiên tiếnđã vận dụng Algôrítnhư là một phương phápcóhiệu quả nhằmthuthập thông tin, xử lí thông tin để giảiquyết các vấn đề phứctạptrongdạyhọc

Như vậy, phương pháp Algôrít trong dạy học là tổng hợp cách thức thiết kế

và thi côngmộthệthống các thao tác hợp lí theo mộttrình tựlôgic chặt chẽ nhằm đạtkết quả tối ưu các nhiệm vụ dạyhọc

Đặc điểm của phương pháp Algôrít là tiến trình bài học được chia nhỏ thànhcác giai đoạn, các bước, các công đoạn giúp người học có thể dễ dàng thực hiện cácnhiệm vụ dạy học

Để giải quyết một nhiệm vụ học tập, người học phải thiết kếvàthi côngmộtquytrình hợp lí, nghĩa là phải "Algôrít hóa" nội dungvàcác thao tác hoạt động trítuệ Nghệ thuậtdạy họclàphải thiết kế được các Algôrít tối ưu (không phức tạp, ít thaotác, có bước đi hợp lí, vừa sức nhưng phát triển tối đa trí tuệ của người học )

Trongquátrình giáo dục - đào tạo, phương pháp Algôrít được ứng dụng phổbiến trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học, trongdạyhọc, trong tự họcvàcả trongcuộc sống đời thường Trongdạyhọc, để phát triển ở mức độ cao năng lựcvàphẩmchất trí tuệ cho người học, vấn đề quan trọnglàphải có phương pháptưduy, tư duy cósắc sảo, năng động, sáng tạo thì tài năng mới bộc lộ và phát triển Vì thế, nghệthuậtdạyhọc là phải biết cáchdạyphương pháp tư duy, tư duy một cách thông minh,độc lập, sáng tạo Phương pháp Algôrít góp phần quan trọng nhằm thực hiệnnhiệmvụđ ó

Tuy nhiên, để thiết kế và thi công, để có thể "Algôrít hóa" một bài học theo

quytrình hợp lí, có hiệu quả, đòi hỏi giáo viên phải có trình độ chuyên môn vànghiệp vụ sư phạm cao để tổ chức và thiết kế Algôrít bài giảng hợp lí và học sinhphải học tập tích cực để có thể thi công nhanh, đúngnhưquytrình và ờ mức độ cao hơn

là có thể tự thiết kế và thi công quy trìnhtựhọc, tựlàmviệc có hiệu quả của cá nhân

1.2.3 Những đặc trưng cơ bản của thuậtt o á n

Các chỉ dẫn trong thuật toán phảicókhả năng thực hiện được trong một thờigian hữu hạn Ví dụ sauđâykhôngthểlàmô tảmộtthuật toán: gán cho x giá trị 1 nếubài toántômàu giải được và cho giá trị 0 nếu bài toántômàu không giải được (Bàitoántômàu khẳng định không cần dùng quá 4 màu để tô các nước trong bản đồ đềhai nước có biên giới chung phảicómàu khác nhau Người ta kiểm chứng trên thực

tế thì đúng nhưng chưatìmđược chứng minh cho bài toánn à y )

c) Tínhdừng

Vớimọibộ dữliệu vàothỏa mãn các điều kiện củadữliệuvào(tức là được lấy ra

từ các tập của dữ liệu vào) thuật toán phải dừng lại saumộtsố hữu hạn bước thựchiện

Việc thực hiện các bước theo một thuật toán phải dừng sau một số hữu hạnbước Thuật toán Euclid tìm UCLN thoả mãn tính dừng vì sau mỗi bước ta thấytổngabgiảm thực sự nhưng không được nhỏ hơn 2 Vì vậy quá trình trên nhấtđịnh phải dừng sau một số hữu hạn bước

Tính xác định, tính khả thi, tính dừng là những tính chất đặc trưng của thuậttoán, bên cạnh đó thuật toán còn có một số tính chất sau:

 Tính phổd ụn g

Thuật toán phải được áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứkhông chỉ được áp dụng cho một số trường hợp của bài toán chứ không chỉ được ápdụng cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó Tuy nhiên, không phải thuật toán nàocũng đảm bảo được yêu cầu đó Đôi khi người ta chỉ xây dựng thuật toán cho mộtdạng đặc trưng của bài toán mà thôi

Tính phổ dụng có nghĩa là một thuật toán có thể đượcápdụng với một lớp cácbài toán với input thay đổi chứ không chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể Thuậttoán Euclid nói trên có thể áp dụng cho bất kỳ cặp hai số tựn h i ê n

 Tính rõ ràng:Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh bạch,c á c

câu lệch được sắp xếp theo thứ tự nhất định

 Tínhk h á c h q u a n : M ộ t t h u ậ t t o á n dùđ ư ợ c v i ế t b ở i n h i ề u n g ư ờ i t r ê n n h i ề u m

áy

tính vẫn phải cho kết quả giống nhau

 Tính có đại lượngvàovà ra:Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng nhận được các

đại lượngvào(Dữliệuvào – Input), các dữ liệuvàothường lấy từ một tập xác định chotrước Sau khi kết thúc một thuật toán bao giờ cũng cho tamộtsố đại lượng ra (Dữliệu ra –O u t p u t )

 Tính hiệu quả của thuật toán:Được đánh giá dựatrêntheo những tiêu chuẩn: Số các

phép tính, thời gian cần thực hiện,mứcđộ khó hiểu…Tùy vàoyêucầu sử dụngmàngười

ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng thuậttoán

 Tính đơn vị:Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải

được mô tả mộtcáchchính xác, chỉcómộtcáchhiểuduynhất, nghĩalàhai phần tử thuộccùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải chocùng kết quả.Vìthếkhi thực hiện thuật toán, chúng ta khôngcầnhiểu ý nghĩa của nhữngthao tác Nhờ tính chất này mà chúng tacóthểsửdụng thiết bịtựđộng để thực hiệnthuậtt o á n

1.2.4 Tưduy thuậtt o á n

Khái niệm thuật toán gắn liền chặt chẽ với tư duy thuật toán Vì thế người

thầy giáo cần có ý thức thông qua việcdạyhọc các quy tắc, phương phápcótính chấtthuật toán trên màrènluyệncho học sinh một loại hình tư duy quan trọng :tưduythuậttoán, mộtyếutố học vấn phổ thôngcủacon người trong thời đại máy tính [8,tr.201].

1.2.5 Sựcần thiết phát triểntưduy thuậttoán

Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý do sauđây:

Thứ nhất, tưduythuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa

trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sựngăn cách giữanhàtrường và xã hội tựđộnghóa Nó giúp học sinh thấy được nền tảng

tự động hóa, cụ thể là nhận thứcrõđặc tính hình thức, thuần túymáymóc của quá trìnhthực hiện thuật toán, đólàcơsởchochuyểngiao một số chức năng của con ngườichomáythựch i ệ n

Thứ hai, tưduythuật toán giúp học sinhlàmquen với cáchlàmviệc trong khi

giải bài bằngmáytính điện tử (MTĐT) Thật vậy, thiết kế thuật toánlàmột khâu rất cơbản của việclậptrình.Tưduy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốtkhâuđ ó

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà

trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinhlãnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho các phép tính trên những tập hợp

số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v

Thứ tư, tưduythật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung

như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa … và hình thành những phẩm chất củangười lao động mới như tính ngăn nắp,kỉluật, tínhphêphán và thói quentựkiểmtra.[ 8 , t r 2 0 1 ]

1.2.6 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán quan hệ chặc chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên

Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:

(1) Thực hiện những thao tác theo mộttrìnhtự xác định phù hợp với thuật toán chotrước

(2) Phân tíchmộthoạt độngthànhnhững thao tác thành phần được thựchiệntheo một trình tự xác định.

(3) Mô tả chính xác một quátrìnhtiến hành một hoạtđ ộ n g

(4) Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đốit ư ợ n g

(5) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việcvàphát hiệnthuật toán tốiư u

Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán Bốn thành phần sau thểhiện khả năng xây dựng thực toán

Việc phát triển tưduythuật toán có thể thực hiện cả khi trực tiếpdạynhữngnộidung Tin học lẫn khidạy họcnhữngnộidung lĩnh vực khác,kểcả những nội dungtruyền thống của giáo dục phổ thông Mặt thứ nhấtlàrõràng và tường minh khiđãcóchủtrương đưatinhọc vào nhà trường Mặt thứ hai – mặt phát triểntưduythuậttoán trong dạy học những nội dung ngoàitinhọc – dễ bị lãng quên bỏqua.Vìvậymụcnàychủyếuhướngvàomặtthứhai trong môn Toán để tránh điều đángtiếcđó

Hiện nay, định nghĩa thuật toán, những tính chấtvànhững hình thức biểu diễnthuật toán … đang được nghiêncứuđể đưa vàodạytường minh trong nhà trường phổthông Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triểntưduythuật toán, chuẩn bịcho việc học tập về MTĐTvàlàm việc với côngcụnày.Tuynhiên, trong trường hợpkhái niệm thuật toánchưađược đưa một cách tường minh vào trong chương trình, tavẫn có thể phát triển ở học sinhtưduythuật toán theo phương hướng rèn luyện cho họnhững khả năng (1) – (5) đã liệt kê những thành tố của phương thứctưduynày.[ 8 , t r 2 0 1 - 2 0 2 ]

Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa làphương tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán

Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:

a) Thực hiện thuậtt o á n

Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác địnhphù hợp với thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số qui tắc toán học thành

Ví dụ thuật toán giải phương trình bậc 2:ax2bxc0

 Thuậttoán

Bước 1: Xác định hệ số a,b,c

Bước 2:Xét hệ số a:

+ Nếua0chuyển sang bước 7

+ Nếua0chuyển sang bước 3

Bước 3:Tínhb2 4ac

+ Nếu0chuyển sang bước 4

+ Nếu0chuyển sang bước 5

+ Nếu0chuyển sang bước 6

Bước 4:Kết luận phương trình vô nghiệm Kết thúc.

Bước 5:Kết luận phương trình có nghiệm kép.

Ví dụ 1:Quy tắc trong xác định góc giữa một đường thẳng và một mặtp h ẳ n g

Bước 1:Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng

Bước 2:Xác định góc của đường thẳng với hình chiếu của nó

Quytắcnàytỏ ra rất hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán : "Một hình chópSABCcóhai mặt bênSABvàSACvuông góc với đáy ĐáyABClà tam giac cân tại đỉnhA,trungtuyếnA D a CạnhSB tạo vớiđáymột gócvà tạo với mặt phẳng SADgóc Xác

định gócvà …"(trích Hướng dẫn ôn tập môn toán, Bộ giáo dục) Theo các bước trên

thì việc xác định góckhông có gì khó khăn, còn với góc , chắc chắn xác định đượchình chiếu củaSBtrên(SAD)chính làSD, dođógócSBD

Ví dụ 2:Quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theocácb ư ớ c :

Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao

tuyến tại một điểm

Bước 3: Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm

Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thểmàbướcnàyhoặc bước kiađãquárõràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được xác định góc theotrìnhtựtrên là cần thiết và sẽ đạt được kết quả Hơn nữa cũng theo trình tựấy,họcsinhcòn biếtlậpluận xác định góc một cáchrõràng, ngắn gọn, góp phần khắc phục nhượcđiềm về cách diễn đạt vốn vẫnlàmột trong những khó khăn đáng kể của học sinhtrong học tập mônt o á n

c) Môtảtuật toán (tường minh hóa thuậttoán)

Để rènluyệncho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình,cầnyêucầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của mình.Giáo viên theo dõi tính chính xác, xác định của những phát biểu như vậyđểt ậ p

c h o h ọ c s i n h h o ạ t đ ộ n g k h á i q u á t h ó a m ộ t q u á trìnhdiễn

ra trên những đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thểhướng dẫn họ đi từ giải phương trình bậc hai cụ thể tới giải phương trình bậchai tổng quát dạngax2bxc0.

Cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng so sánh những thuật toán

x 2  x 12 f (x)

khác nhau ( thực hiện cùng một công việc )vàphát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất vềtiết kiệm thao tác Đó cũnglàyếutố tư duy thuật toán trong những nét đặc trưng của

sự làm việc vớimáytính điện tử.[8,tr.202-204]

d) Khái quát hóa một hoạtđ ộ n g

Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trênn h ữ n gđối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫncác emđitừ việc giải những bài toáncụthể sang giải những bài toán dạng tổng quát,

từ việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hait ổ n g

quát dạng ax2

bxc0 (a0) ; từ việc giải bất phương trình cụ thể

7x sang giải bất phương trình tổng quát dạng g(x); từ giảiphương trình cụ thể như:

5sin 2x-12(sinx- cosx) +12 = 0 sang giải phương trình tổng quát dạng

asinxcosx+b(sinx± cosx) +c=0;từ việc giải phương trình cụ thển h ư

25x5.15x6.9x0sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:

a( f (x)) 2 + bf (x)g(x) + c(g(x)) 2 = 0 ,…

e) Chọn thuật toán tốiư u

Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiệncùngmột côngviệc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rènluyệncho các em ý thức tiết kiệm thaotác khi xâydựngthuật toán, chẳng hạnđểgiải bất phươngtrình:

Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể, giáoviên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đãtrình bày trên

1.2.7 Vịtrí và ý nghĩa của thuậtt o á n

Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đềcậpvà có

vẻ xa lạ Tuy nhiên, sự bắt trướchayhọc hỏi của con ngườitừthời xưa đếnnaychính làthực hiện những thao tác theo một trìnhtựxác địnhphùhợp với một phương pháp tổngquát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong công việc Người ta đãdạynhaunấu một mónănngon hay cắm một lọ hoa đẹp bằng cách chỉ cụ thể bước 1 làm gì,bước 2 phải làm như thế nào,…chính là thực hiện thuật toán, sự thành thạo có được

là do làm nhiều lần theo một công thứccósẵn.Từđó cho thấy sự cần thiết phải cóthuật toán và rèn luyện việc thực hiện thuật toán trong đời sống

Trong quá trình toán học, thuật toán còncómột vị trí và ý nghĩa sâu sắc hơn,quan trọng hơn Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài toántươngtựnhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện,việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên cóhệthống Học tập với thuật toán giúpngười học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương, phát triển năng lựctrí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành nhữngkỹnăng, kỹxảo, linh hoạt, nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống sảy ra trong họctậpmôntoánvàcảđờis ố n g

1.3 Quy trình tựa thuậtt o á n

1.3.1 Kháiniệmvề quy trình tựa thuậttoán

Nhữngquytắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầyđủyêucầu chặtchẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi làquytrình tựa thuậtt o á n

Một quy trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán màquytrình đó chỉtươngtựnhư một thuật toán, Tươngtựở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bướcđểgiảiquyếtmộtvấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết quảduynhất cònqui trình tựa thuật đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trongtưduy thì vấn đề đặt ra đượcgiải quyết Đối với một thuật toánthìcho dù ngườihay máytính thực hiện đều mang lạimột kết quảduynhất.Nhưng đối với một quitrìnhtựa thuật toán thì vấnđềcó khác hơn,

đó làmáy khôngthực hiện được qui trình này Trongchươngt r ì n h t o á n ở t r ư ờ n g p h ổ t h ô n g , h ọ c s i n h đ ã đ ư ợ c h ọ c những q u y trình

t ự a

thuật toán như giải bài toán bằng cách lập phương trình, quy trình xác định vectơtổng của hai vectơ cho trước, quy trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…

Ví dụ 1:Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhaua

vàbcho trước như sau:

Quy trình 1:

Bước 1: Xác định mặt phẳng(Q)chứabvà song song vớia

Bước 2: Xác định hình chiếua'củaatrên mp(Q)

Bước 3: Xác định giao điểmNcủaa'vớib

Bước4:Xác định đường thẳngcquaNvàc(Q)

Quytrìnhgồm4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán vềxác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau chotrước.Tuynhiên, khi vận dụng cácquytrình tựa thuật toán đòi hỏitínhmềm dẻo, linhhoạt của tư duy thì vầnđềđặtramớiđược giải quyết tốtnhất

Quytrìnhtrênsẽ không có ý nghĩagìkhi giải bài toán "ChohìnhlậpphươngABCD.A'B'C'D' Xác định đường vuông góc chung của hai đườngthẳngABv àCC'".Bài toánnàychỉđòihỏi học sinh hiểu được khái niệm đường vuônggóc chung của hai đường thẳng chéo nhau mà khôngcầnđến quy trình đãn ê u

Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh những quy trình đểgiải mộtlớpcác bàit o á n

Sau đây là một quy trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông gócchung của hai đường thẳng chéo nhauavàbcho trước

Quy trình 2:

Bước 1: Xác định mặt phẳng(P)vuông góc với đường thẳnga.

Bước 2: Xác định giao điểmOcủaavới mp(P).Bước

3: Xác định hình chiếub'củablên mp(P).Bước 4:

Xác định hình chiếuHcủaOlênb.

Bước 5: Xác địnhNb

Bươc 6: Xác địnhMa

sao choNH//a.

sao choMN//OH.

Khi đó đường thẳngMNlà đường vuông góc chung củaavàb.

Nếusaubước 3 củaquytrình 2, giáo viên đặt câu hỏi: Trong trườngh ợ p n à o

b'//b? Khi đó có nhận xét gì về hai đường thẳngavàb? Thì ta có một quy

trình khác gồm 3 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳngchéo nhau và vuông góc với nhauavàbcho trước

Quy trình 3:

Bước 1: Xác định mp(P)chứabvà vuông góc vớia.

Bước 2: Xác định giao điểmMcủaavới mp(P).

Bước 3: Xác định hình chiếuNcủaMlênb.

Khi đó đường thẳngMNlà đường vuông góc chung củaavàb.

Từ quy trình trên có thể nói rằng các bước xác định đường vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhauavàblà khá rõ ràng Tuy nhiên việc áp dụng vàocác bài toáncụthể vẫn xuất hiện nhiều khó khăn nên xác định mp(P)chứabv à

song song vớiahay chứaavà song song vớib? Bằng cách nào đểtìmhìnhchiếucủabtrên

mp(P)? Trong những trường hợp đó cần sự giúpđỡcủa giáo viên, đặc biệt là tínhmềm dẻo, linh hoạt trongtưduycủa người làmt o á n

Bài tập vận dụng: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnha Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

d1,d2 Trongđó d1,d2 là hai đườngthẳng chéo nhau lần lượt chứa hai cạnh của hình lập phương

Ví dụ 2:Đối với bài toán kết hợp phương phápdựđoán vàquynạp toánh ọ c ,

với quy trình thực hiện như sau:

Bước 1: Dự đoán kết quả qua xét một số trường hợp cụ thể

Bước 2: Dùng phương pháp quy luật toán học để khẳng định tính đúng đắncủa kết quả đã dự đoán

Bài tập vận dụng:

1) Tính tổngS n135 (2n1)

2) Tìm đạo hàm cấpncủa hàm sốysinx

1.3.2 Các đặc điểm của một quy trình tựa thuậttoán

Mỗi quy trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp xếptheo một trình tự xác định Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể,

có bước là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là một gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc

là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trườnghợp.Thựchiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm dẻo, linh hoạt trongtưduythì kếtquả là vấn đề đặt ra chưa được giảiq u y ế t

Ví dụ 1:Quy trình giải bất phương trình phân thức

Giải bất phương trình phân thứcd ạ n g :

Xét dấu biểu thức ở vế trái (xét dấu tử, mẫu, kết hợp bằng một bảng xét dấu)

2) Dựavàobảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phươngtrình

Ví dụ 2:Quy trình chứng minh một mệnh đề toán học có chứa tham sốn (n)

bằng phương pháp quy nạp toán học cần hướng dẫn học sinh chứng minh hai phần:

Trong chương trình toán trung học phổ thông có nhiều loại toán có phươngpháp giải nhất định, hoặc có thể nêu trình tự các bước giải Đối với những loại toán

đó giáo viên cầnhướngdẫnđểcho học sinh xâydựngphương pháp giải theotrìnhtự từngbướccótínhchất thuật toán Khihọcsinh đã thành thạo phương pháp chung cần chúýrèn luyệntính linh hoạt, sáng tạo khi vậnd ụ n g

1.4 Kết luận chương 1

Chươngđầu tiêncủa luận vănđềcập khái niệm thuật toánvàquytrìnhtựa thuật toán, vịtrí và ý nghĩa của thuật toán giúp cho học sinh có thể giải được những bàitoánt ư ơ n g tựnhau,nhìnth ấy sựtổ ng quátvàghinhớphươngphápmộtcáchtoàn

diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viêntrởlêncóhệ thống Học tập với thuật toángiúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương; phát triển nănglực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,hìnhthành nhữngkỹnăng, kỹxảo, linh hoạt , nhạy bénvàgiải quyết triệt để mọitìnhhuống sảy ra trong họctậpmôntoánvàcảđờis ố n g

Chương II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN

========= ========

2.1 Bàitoánlàgì?

Ở trường trung học phổ thông bài toán vừa là mục đích, vừa là nội dung, vừa

là phương pháp hiệu nghiệm Nó không những cungcấpkiến thức cho học sinh và cảcon đường giành lấy kiến thức mà còn mang lại niềm vui sướng cho sự phát hiện.Ngoài ra nó còngiữvai trò quan trọng trong việc thực hiện mụctiêuđào tạo, trong việchình thành nhân cách của học sinh.Vìvậy,bài toán đặtrasựcầnthiết phảitìmkiếm mộtcách có ý thức phươngtiệnthích hợp để đạt tới mục đích trôngthấyrõr à n g n h ư n g

k h ô n g thểđạtn g a y

Đôi khi bài toáncònđược nhìn nhậnvớimột phương diện khác Chẳng hạn, bàitoán làhệthôngtinxác định bao gồm những điều kiệnvànhữngyêucầu luôn luôn khôngphù hợp, mâu thuẫnvớinhau, dẫn đến nhu cầu phải khắc phục bằng cách biếnđổic h ú n g

2.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trườngphổt h ô n g

Polya cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn sovới một kiến thức thuầntúymà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp.Vìvậycả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta khôngchỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định,màquan trọng hơn nhiều làphảidạycho họ đến một mức độ nào đó là phải nắm vững môn học.Vậythế nào làmuốn nắm vững môn toán?đólà biết giải toán” [25,t r 8 2 ]

2.2.1 Mụcđích

Một trong những mục đíchdạytoán ở trường trung học phổ thông là: Phát triển

ở học sinh những phẩm chất và năng lực trí tuệ, giúp hoc sinh biến những tri thứckhoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ đểnhận thứcvàhành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong họctập hiện nay và sau này Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc

và cóhệthống những kiến thứcvàkĩ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại,phùhợpvới thực tiễnvàcó năng lực vận dụng những kiến thức đóvàon h ữ n g t ì n h

h u ố n g c ụ t h ể , vàođời sống,vàolao động sản xuất,vàoviệc học tậpc á c

bộ môn khoa học khác.

2.2.2 Vaitrò

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệthhiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học học tốt các môn khoa họckhác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói “Mộtkhoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toánhọc” [5,tr.5]

Môn toán cókhảnăngtolớn giúphọcsinh phát triển các năng lực trí tuệ như:phân tích, tồng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…Rèn luyện những phẩmchất, đức tính của người lao độngmớinhư:tínhcẩn thận, chính xác, tínhkỉluật, khoahọc, sángt ạ o …

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh cóthể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học

Trongdạy họctoán, mỗi bàitậptoán học được sử dụng với những dụng ý khácnhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, đểlàmviệc với nội dungmới, để củng cố hoặc kiểmtra,

Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàngnhững chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năngphát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiệncác mục đích dạy học

Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ vàtách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thểtức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điềucănbảnlàbài tập

có vaitròmang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thựchiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạngvàthểhiện định nghĩa, địnhlý,quytắchayphương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trítuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chungvànhững hoạt động ngônngữ Hoạt động của học sinhliênhệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phươngphápdạyhọc, vì vậy vai trò của bài tập toánhọcđược thể hiện cả trên3

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quátrình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.

+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người laođ ộ n g

2.2.3 Ýnghĩa

Ở trường trunghọcphổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củngcố,hệthống hóa kiến thứcvàrèn luyệnkỹnăng,là một hình thức vận dụng kiếnthứcđãhọcvàonhững vấn đề cụ thể,vàothực tế, vào những vấn đề mới, là hình thứctốt nhất để giáoviênkiểm tra vềnănglực, vềmứcđộtiếp thuvàkhả năng vận dụng kiếnthức đãhọccủa họcs i n h

Trên bình diện nội dungdạyhọc, những bài tập toán học là giá mang hoạt độngliênhệvới những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dungđểh o à n

c h ỉ n h haybổ sung cho những trithứcnàođóđãđược trìnhbàytrong phần lý thuyết

Trên bình diện phương phápdạyhọc, bài tập toán học là giá mang hoạtđộngđểngười học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơsởđó thực hiện các mụctiêudạy họckhác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phầntổchức cho họcsinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,tíchcực, chủ độngvàsáng tạođược thực hiện độclậphoặc trong giaolưu

Trong thựctiễndạyhọc, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau vềphương phápdạyhọc: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ,làmviệc với nội dungmới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệtlàvề mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện đểđánh giá mức độ, kết quảdạyvà học, khả năng làm việc độc lập và trìnhđ ộ

pháttriểncủa họcs i n h ,

Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

2.3 Vị trí và chức năng của bài tập toánhọc

2.3.1 Vịtrí của bài tậpt o á n

Qúa trình giải bài tập toán giúp học sinhvậndụng thành thạo kiến thức đã học

và pháthuytính tích cực, sáng tạo Do vậy,dạyhọc giải các bài tập toán có tầm quantrọng đặc biệt trongdạy họct o á n

“Ở trường phổ thông,dạytoánlàdạyhoạt động toán Đối với học sinh có thểxem giải toán là hình thức chủyếucủa hoạt động toán học Cácbàitập toán ở trườngphổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thểthaythế được trong việcgiúp học sinh nắm vững tri thức, pháthuytưduy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụngtoán họcvàothực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiệnđểt h ự c h i ệ n t ố t

c á c n h i ệ m v ụ dạy họctoán ở trường phổ thông Vìvậy, tổ chức có hiệu quảviệcdạygiải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chấtlượngdạytoán”[8,tr.206]

Trong thực tiễndạy họcbài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khácnhau Mỗi bài tập có thể dùng đểtạotiền đề xuất phát để tạo độngcơhọc tập,đểlàmviệcvớinội dung mới, để củng cố để kiểm tra kiến thức,…Tất nhiên, việcdạyđể giảimột bàitậpcụthể thường không chỉ nhằmvàomột ý đơn thuần nào đómàthường baohàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu Giải bàitậptoán là hình thức chủyếutập dượccho học sinh vận dụng kiến thức vàkỹnăngtoán họcvàođời sống và lao động sản xuất.Đồng thời việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinhtựkiểm tramình vềmứcđộ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giảiquyết các vấn đề cụ thể Giải bài tập toán có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tínhcủa ngườilaođộng mới, bồi dưỡng các phương phápsuyluận, phương pháp suy nghĩtìm tòi sángtạo,…

2.3.2 Chức năng của bàitậptoán

Dạyhọctoán là dạng hoạt động toán học,đốivới học sinhcóthểxem việc giảitoán là hình thức chủyếucủa hoạt động toán học Cácbàitoán ở trường phổ thông làmột phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việcgiúp

học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo,ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiệnđểthực hiệntốt các mục đíchdạy họcở trường phổ thông.Vìvậy tổ chứccóhiệu quả việcdạyhọc giảibàitậptoán có vaitròquyết định đối với chất lượngdạyhọct o á n

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sửdụngvới những dụng ý khácnhau Một bàitậpcóthể dùngđểtạo tiềnđềxuất phát,đểgợi độngcơ,đểlàm với nội dungmới, để củng cố ôn tập hoặc kiểm tra,… Tấtnhiên,việc giải một bài tập cụ thể thườngkhông chỉ nhằm vàomộtnội dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý

đồ nhiều mặtnhưđã nêu[8,tr.206]

Mỗi bài tập toáncụthể được đặt ra ở thời điểm nào đócủaquá trình dạyhọcđềuchứa đựng một cách tường minhhaykhôngtường minh những chức năng khác nhau.Những chức năngnàyđều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học Trong môntoán, các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy1 9 8 0 ) :

a) Chức năng dạyh ọ c

Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo

ở các giai đoạn khác nhau của quátrìnhdạyhọc

người viết sách giáo khoa đãcódụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải cónhiệmvụkhám phávàthực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lựcsưphạm và trình độnghệ thuậtdạy họcsưphạm củamình.

Ta hãy minh họa điều vừa trình bày bằng một ví dụ Ở chương 1 sách Hìnhhọc 10 (Văn Như Cương 1990) có bài tập sau "Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Hãy dựng vectơ tổngGAGB Từ đó suy raGAGBGC0"

Bài toán này trước hết nhằm củng cố kĩ năng dựng vectơ tổng theo theo quytắc hình bình hành, củngcốcác tri thức về tính chất trungtuyếntam giác,tínhchất tâmcủa hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng Điều đó thể hiện tườngminh chức năngdạyhọc của bài tậpn à y

Khi dạy giải bài tập này, người giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đếnkết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếuO

là trung điểm của đoạn thẳngABthìOAOB0), biết thay thế tổngGAGBở

đẳng thức phải chứng minhlàGDđ ể đ ư a v ề đ ẳ n g t h ứ cmớiphải chứngminhlàGDGC0, tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồngthờithấyđượcsựthống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tamgiác.Như vậy là khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên

Mặt khác từ sự thống nhất nêutrêngiữa tính chất của một điểmvàtrung điểmcủa đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọngtâmtam giác (ba điểm) gợi lên một ýtưởng khái quát đối với một tứ diệnABCD(bốn điểm), một ngũ giáchaymộtđagiác nóichung có haykhôngmột điểmOsao cho:OAOBOCOD0

Rõ ràng nếuABCDlà hình bình hành thìOchính là tâm của nó Như thế chức năngphát triển của bài toán đã cho được thể hiệnrõràng,luyệntập cho học sinh kĩ năng vậndụng tương tự hóa, kháiquáthóa, phát triển ở học sinh tưduybiện chứng, khả năng dựđoán khoah ọ c …

Ví dụ trên càng làm sáng tỏ thêm rằng các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc nội dung cũng như vào phương pháp khai thác hóalờigiải của nó Điều

đó định hướng việc lựa chọn bài toán của giáo viên, tránh tình trạng ra bài toán cho học sinh một cách tùy hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuầntúy

2.4 Cách tiếp cận một bàit o á n

Thông thường người giải toánhaycó thói quen bắttayvào giải ngay khi đứngtrước một bài toán vì họ dựavàomộtcáchthức đơn giản Chúng tacónhiều phươngpháp tiếp cận bàit o á n

2.4.1 Nhận biết câu hỏi hay bàit o á n

 Bạn có hiểu ngôn từ dùng diễn đạt bài toán không? (có cái bẫy nàok h ô n g ? )

 Bài toán là một dạngđãbiết?

 Cái gì đãcho?

2.4.2 Tìm những ý tưởng liênq u a n

 Bài toán thuộc dạngn à o ?

 Bài toán nào tương tự như bài toánnào?

2.4.3 Giới hạn bàit o á n

 Có thể đơn giản hóa bài toánbởithực hiện một số phép toánk h ô n g ?

 Có chi tiết nào được cho là thừa không?

 Bài toán có thể biến đổi thành một phương trìnhhay môtả hình họck h ô n g ?

2.4.4 Chiến lượcgiải

 Dữ liệu bài toán có thểtổchức thành một mô hìnhk h ô n g ?

 Bài toánnàykhác với các bài toán đã giải trướcđâyở những điểmnào?

 Có thể bổ xung những điều kiện nào để làm bài toán đơngiảnh ơ n ?

2.4.5 Dùng các tài liệu thamk h ả o

 Có bài toán nào tươngtựtrong sách giáo khoakhông?

 Những công thứchayđịnh lí nào sẽ đượcápdụngvàobài toán loạin à y ?

 Sau khi giải một bài toán, nhiều giáo viên và học sinh phát triển nó đến mộtmức cao hơn Nhưvậy,một bài toán sau khi được giải sẽ có giá trị đốivớingườigiải hơn Sauđâylàmộtsố câu hỏi có thể áp dụng cho việc phát triển mộtbàitoán

 Kết quảnàycó thể áp dụngvàomột bài toán tươngtự?

 Trong các điều kiệnnàothì bài toán này giảiđược?Không giảiđ ư ợ c ?

vô nghĩa?

 Có thể tổng kết hóa bài toánnàyk h ô n g ?

 Những lập luận nào đã đượcd ù n g ?

2.5 Giải bài toánlàgì?

Giải bài toán là quá trình tìm cách khắc phục sự không phù hợphaymâu thuẫngiữa các điều kiện và cácyêucầu của bài toán biến đổi chúngđểcuối cùng điđếnsựthống nhất Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp,vìbàitoán làsựkết hợpđadạng nhiều khái niệm, nhiều quanhệtoán học,cầncó sự chọn lọcsáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đềhay nóimột cách khác có thể hiểu giải bàitập toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợpđểđ ạ t t ớ i

m ộ t m ụ c đ í c h c ủ a b à i t o á n Đ ó l à q u á t r ì n h t ì m t ò i

s á n g tạohuyđộng kiến thức, kĩ năng,thủthuật và các phẩm chất của trí tuệđểgiảiquyết bài toánđãc h o

Ngoài ra việc giải bài toán còn dựa trênmốiquanhệchủyếugiữan g ư ờ i g i ả i

và cấu trúc của bài toán trong đó phương tiện của người giải là chủ yếu

Theo Howard Gardner, G Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giảim ộ tbài toán có thể theo các hướngs a u :

-Hướngtổngquát hóa:Hướngnày dựatrên quan điểm tổng hợp, chuyển từ một

tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tậphợp banđ ầ u

-Hướng cụ thể hóa:Hướngnàydựa trên quan điểm phân tích,chuyểnbài toán ban

đầu thành những bài toán thành phần có quanhệlogic với nhau Chuyển tập hợp cácđối tượng trong bài toán ban đầusangmột tập hợp con của nó, rồitừtập con đótìmralời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đãcho

-Hướng chuyểnbàitoán về bài toán trung gian:Khi gặp bài toán phức tạp, học

sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán

đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đangtìmcách giải và xác

địnhhệquả của điều khẳng định kiahayđưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tươngtựhoặc một phần bài toán,từđó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đãcho

Theo G Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu

rõ bài toán, xâydựngmột chương trình giải, thực hiện chương trìnhkhảosát lờigiảiđãtìm được Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó họcsinhnảysinh lòngsaymê, khát vọng giải toán,thunhận và hình thành tri thức mới, đặcbiệt là tiếp cận, phát hiện và sángtạo.

2.6 Yêu cầu đối vớilờigiảibàitoán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hếtcầnnắm vững cácyêuc ầ u

c ủ a l ờ i g i ả i N ó i m ộ t c á c h v ắ n t ắ t , l ờ i g i ả i p h ả i đ ú n g vàtốt.Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưngquácô đọng Để thuận tiện choviệc thực hiện cácyêucầu của lời giải trong quá trìnhdạy họcvàđánh giá học sinh, cóthể cụ thể hoá cácyêucầu, đương nhiên phảichấpnhận nhữngyếutố trùng lặp nhất địnhtrong cácyêucầu chit i ế t

2.6.1 Lời giải không có sailầm

Kết quả đúng, kể cả ở các bước chung gian Kết quả cuối cùng phải là mộtđápsốđúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ, thoã mãn cácyêucầu đềra.Kếtquả các bước chung gian cũng phải đúng.Như vậy,lời giảikhôngthể chứa nhữngsailầmtính toán, vẽ hình, biến đổi biểut h ứ c , …

Yêu cầunàycó ý nghĩa là lời giải không cósaisót về kiến thức toán học, vềphương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả khôngcósai lầm

về ngôn ngữ diễn đạt Giáo viên cần phải rènluyệnchohọcsinh thói quen xem xét kiểmtra lại kết quả giải bài toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệmđối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán Cần giúp học sinh biết kiểm trakết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi củađềbài, xét tính hợp lí củađáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếucóthể, rồi sosách các kếtquảgiải được theo các phương pháp khác nhau Cũng cầnyêucầu học sinhkiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt nhưng kiến thứcđã họcchứ không chỉđơn thuần bằngcáchso sánh với đáp số chosẵn nhưnhiều học sinh vẫnl à m

Chẳng hạn khi giải phương trình x2

11x60m20 (mlà tham số) nếu họcsinhtìmđược hai nghiệm là4mvà15mthì bằng cáchápdụng định lí Vi-et, phải thấy ngay

là sai, vì ở phương trình này các hệ sốa= 1 vàc= - 60m2trái dấu nênh a i

nghiệm phải trái dấu

Chỉranhững sai lầm trong lời giải của học sinhlàcần thiết , song điều quantrọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì "conngười phải biết học ở những sailầmvà những thiếu sót của mình" (Pôlya 1975).Nguyên nhânchủyếuvề mặt kiến thức dẫn đến sai lầmlàhọc sinh nắm không vữngchắc các định nghĩa, định lí,quytắc… Vận dụng chúng một cáchmáymóc, không chú

ý đến điều kiện ấy hạn chế phạm vi tắc dụng củac h ú n g

Ví dụ, với bài toán "Giải phương trìnhtan 3x0" thì lời giải sau đây của học sinh

sinx

là có sai lầm:tan 3x0tan 3x0xk 

Ở đây học sinh đã quên đặt điệu kiệnsinx0

được những giá trị không thích hợp khik= 3. cho phương trình nên không loại

Một ví dụ khác, khi giải bất phương trìnhx2 3thì ngay một số học sinh lớp 10

trung bình thườngđiđến kết quảx  Họđã áp dụng "nguyên văn" cáchgiảiphương trình bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai nên dẫn đến sai lầm

Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khóthấyhơn Chẳng hạn trong Đại sốlớp 10 (Ngô Thúc Lanh…1990) có bài toán "Chứng minh rằng với mỗi số thực không

âm bất kìa, b, cta có bất dẳng thứca 2 +b 2 +c 2ab+bc+ca" mà có học sinh đã giảinhưs a u :

"Từ a2 + b 2 + c 2ab + bc +ca 2(a2 + b 2 + c 2 ) -2(ab + bc + ca)0

2.6.2 Lậpluận phải có căn cứ chínhxác

Lập luận chặt chẽ, đặc biệt là lời giải phải tuân thủ cácyêucầus a u :

+ Luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic

2 2

Yêucầunàyđòihỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phảidựavàocác định nghĩa, định lí,quytắc,côngthức…đã học, đặc biệtphảichú ý đảm bảo thỏamãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí Chẳng hạn khi giảib ấ t

phương trình sau trong đại số lớp 10 (Ngô Thúc Lanh 1990) 1

 1

(x1)(x2) (x3)2Một số học sinh mắc sai lầm khi lập luận rằng theoquytắc so sánh hai phân số có

cùngtửsố, từ bất phương trình đã cho suy ra (x-1)(x-2) < (x+3)2 Nguyên nhân sai lầm

là do học sinh không biết rằngquytắcsosánh hai phân số thực hiện với các phân số

mà tử số và mẫu số đều là số tự nhiên và mẫu số đương nhiên phải khác không.+ Một sai lầm loại khác là đánh tráo luận đề, tức thực chất đã thay đổi mục tiêu củalời giải

Ví dụ, với bài toán "Tìm các giá trị của m để phương trình sin2 x + msinx - m +1=0

có nghiệm", cóhọcsinh giải như sau: Đặtt = sinx, bài toánđưavề tìm các giá trị củamđểphươngtrìnht 2+ mt-m+1=0cónghiệm.Đól à cácgiátrịcủamlàm

cho

m2

4m40m22 hoặcm22

Thật ra, bài toán tương đương với bài toán đã cho phải là:

Tìm các giá trị của m để phương trìnht2mtm10có ít nhất một nghiệm thỏa

mãn điều kiện1t1 Học sinh trên đã phạm sai lầm đánh tráo luận đề khi khôngnói gì đến điều kiện của t

2.6.3 Lời giải phải đầyđủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một khảnăng, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếunghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào

Muốnvậy,cần chú ýtậpcho học sinh trong quá trình giải toán phải luônsuyxét

và tự trả các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còntrường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệtc h ư a ?

Học sinh thường bộclộthiếu sót là không xét đượcđầyđủ các trường hợp, cáckhả năng xảyraởmộttình huống, nhất là các bài toán có tham biến, những bài toán đòihỏi phải biệnl u ậ n …

Vídụ,với bài toán sau trong sách Hình học lớp 10 (Văn Như Cương1990):“Cho vectơAB và một điểmC,hãydựng điểmDsao cho ABCD”, học sinh

thường quên không xét đến trường hợp điểmCthuộc đường thẳng ABn ê n l ờ i g i ả i

10 11

số nhân"

(vì 121120) nên ba số này không thể là các số hạng của một cấp

Lời giảinày không đầyđủ vì chỉmớixét đến khả năng ba số 10,11,12làbas ố hạngliên tiếp của một cấp số nhân Đúng ra taphảixét trường

hợpbasốnàylàbasốhạng nào đó của cùng một cấp số nhân có công bộiqtức là 11=10.q k và 12=10.q m (k, mtự nhiên) rồi từ đó mới tiếp tục lậpluận.

Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu:

 Ngôn ngữ chính xác Đây là mộtyêucầu về giáo dục tiếngmẹđẻ đặtracho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

 Trìnhbàyrõ ràng, đảm bảomỹthuật Yêu cầu này đặt ra đối với cả lờiv ă n ,chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu ) trong lời giải

 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợplýn h ấ t

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộnghaylật ngược vấn đề Tìmđược một lời giải hay củamộtbài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêngcủa bài toán, điều đó làm cho học sinh“cóthể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạocùng niềm vui thắng lợi”(Pôlya –1 9 7 5 )

Nói chungdạyhọcgiải bài tập bao gồm nhiêu vấn đề phong phú, ởđâysẽ đề cậpbavấn đề sau:

 Dạyhọcgiải các bài tập có phương pháp giải nhất định (dạyhọccác algôrit giảitoán)

 Dạyhọccác bàitậpkhông thuộc những loại bài có cách giải nhất định( d ạ y

SVTH: Nguyễn Thị

họctìmtòi lời giải bàit o á n )

 Bồi dưỡng cho học sinh một số phương pháp tìm tòi sángtạoqua việcg i ả itoán

2.7 Dạy học phương pháp tìmtòilờigiảibàitoán

Trong môn toán ở trường trung học phổ thông có rất nhiều bài toán chưa cóhoặc khôngcóthuật toán để giải Đối với những bài toánấy,hãycố gắng hướng dẫnhọc sinh cách suy nghĩ, cáchtìmtòi lời giải.Đâylà cơ hội rất tốt để giáo viêntrangbịcho mình mộtsốtri thức phương pháp - phương pháp giải toán, phương pháptoán họchóa– nhằmrènluyện và phát triển ở họ năng lựctưduykhoahọc Biết đề ra chohọc sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc,phùhợp với trình độ đốitượng và trong chuẩn mực nào đósửdụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý củaJ.Pôlya là thể hiện kinh nghiệmvànăng lực sư phạm của người giáo viên trong quátrình học giải bàitậptoán.Đó lànhững lờikhuyêncủa người có kinh nghiệm giải toánchứ không không phải là những bản chỉ dẫn cótínhchất thuật toán.Tiếp thunhữnglờikhuyênnày,mỗingười có thể thực hiện khác nhau, cả về cách thứclẫnthời gian,đểđiđến kết quả,vàcó thể có người không đi đến kết quả Điều đó nói lêntínhchất khó khănphức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải toán chứ không hềphủ nhận vaitròquan trọng của việcnày.Không có một thuật toán tổng hợp nàođểgiảimọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông quadạyhọc giải một số bài toán cụ thểmàdầndần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trongviệcsuynghĩ,tìmtòi lời giải các bài toán[ 8 , t r 2 1 1 - 2 1 2 ]

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễndạyhọc, có thểnêu lên phương pháp chung để giải bài toángồm4 bước nhưs a u :

 Tìm hiểu đề nội dung của bàit o á n

 Xây dựng chương trìnhg i ả i

 Thựchiện chương trìnhg i ả i

 Kiểm tra và nghiên cứu lờig i ả i

2.7.1 Tìm hiểu nội dung bàit o á n

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bàitoán đó.Vìthế, người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trítòmò, hứng thú củahọc sinhvàgiúp các em hiểu bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán một cách tổngthể để bước đầu hiểu toàn bộ bài toán, tránh vội vàng đi vào ngay các chi tiết.

Tiếp theo phải phân tích bài toán: Cái gì đã cho? Cái gì chưa biết? có mốiquan hệ nào giữa cái phải tìm với cái đã cho?

Chẳng hạn cho bài toán: Biếttan(ab)5vàtan(ab)3, tínhtan 2avàtan 2b

Hãy chú ý xem xét bài toán, chưa nên vội vàng khai triểntan(ab)và

tan(ab)(mặc dù cũng sẽ đi đến kết quả nhưng dài và phức tạp) Ta đã biết tan củatổngabvà của hiệuab, bây giờ phải tínhtancủa2avà 2b Thế thì, góc2 a

này có liên hệ gì với các góc đã choabvàab Điểm mấu chốt đó được khám

phá:2a(ab)(ab) Do đó việc tính tan của góc2ađược đưa lên khai triển

tan[(ab)(ab)]rồi dựa vào giả thiết mà đi đến kết quả phải tìm

Đối với bài toán hình học nói chung phải vẽ hình.Cầnphảiđọc kĩ toàn bộ bàitoán, từ đó tưởng tượngmộtcách khái quát và sơ bộ hình phát thảo có chứa đựngnhững dữ liệu trong đề bài (nhất là đối với các bài toán hình học không gian), sau đóvẫn trong tưởng tượng hãy chọn điểm quan sát thích hợp để biểu diễn hình một cáchtrực quan nhất…Thường sau khi vẽ hình, học sinh sẽ hiểurõbài toán hơn Hình vẽ cầnmang tính tổng quát, ta không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt nào Hình vẽphảirõràng, tránhcónhững nét chập vào nhau, các nétthấy,nét khuất phải vẽđúngquyước Hình vẽ biểu diễncáchình không gian còn phải đảm bảo chính xác theođúng lí thuyết biểu diễn hình qua qua phép chiếu song song, chẳng hạn trung điểmcủa đoạn thẳng, trọngtâmcủa tam giác…phải được bảo toàn trên hình biểu diễn…Nhưvậy,đểbiểu diễn một hình không giantrênmáy mócở một cách vẽ cố địnhmàlênlinh hoạt, tùy theo nội dung đang xem xét màtìmhình vẽ nào đó cótínhtrực quan hơn,

dễ tưởng tượng hơn Chẳng hạn, hình vẽ biểu diễn mộttứdiện vuông,cóthể như trênhình 2.1 hoặc hình 2.2 dướiđ â y :

2

2

A

H H

O C

t a dểdàng liên tưởng đến các trường hợp tươngtự

Chẳng hạn, với hình biểu diển tứ diên vuông nói trên, ta kí hiệu đỉnh củatamdiện O làvuông, chữ không phải là AhayB để dể dàng nhận thức được một vàitínhchất vàcách chứng minh tương tự như tính chất liên quan đến hìnhchiếuH của O trên mặtphẳng(ABC)

SOABSABC.SHAB

Sau khi chứng minh đượcđẳngthức nàyđốivới các trường hợpcònlại chỉ cần viết

tươngtự(chú ý thayOở vế trái bằngHở vế phải)cụthểl à :

kinh nghiệm mà liên quan đến bài toán Phảitựhỏi xemcógiải bài toán nào tương tựchưa Biến đổi bài toánđể đưavề những bài toán đơn giản hơn,haynhững bàitoáncóliên quan đơngiảnhơn Xem điều gì sẽ xảy ra khi điều kiện đã cho thayđổi,dựđoán kếtquả.

Người giải tìm ra chiến lược giải nhờ nhận ra cấu trúc của bài toán Phải xácđịnh dữ kiện đã biết, điều kiện, biến số chọn một mô hình biểu diễn yếu tố của bàitoán bằng kí hiệu và dùng mô hình này để tìm lời giải của bài toán

Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toánđãcho thành nhiều bài toán đơn giảnhơn, phảihuyđộngkiếnthức (định nghĩa, định lí,quytắc…) có liên quan đến nhữngkhái niệm, những quan hệ trongđềtoán,rồilựa chọn trong số đó những kiến thức gầngũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xemmộtvài khả năng, kể

cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tươngtựhoặc bài toán khái quát hóa của bàitoán đãc h o …

Ví dụ cho bài toán: Chứng minh rằng ba cạnh a, b,c của một tam giác bất kì thỏamãn bất đẳng thứca2b2c22(abbcca)

Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác Hãy huy động những định

lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

a2b2c22bc

Tương tự ta có: b2a2c22bcc2a

2

b2 2ab

2

Cộng theo từng vế và giản ước ta sẽ đi đến điều ta phải chứng minh

Hãy tiếp tục thử với (2),vìnếu được thì tasẽcó thêm một cách giải khác, bằng khôngthì cũng là một bước tập luyện Nếu bình phương hai vế của (2) và xét tương tự haicạnh còn lại rồi ước lượng thì lại được một đẳng thức hiển nhiên (nhưng không phải

là điều kiện cần chứng minh):a2b2c2(abbcca)

Thửchọn phép biến đổi khác: Để xuất hiệnbìnhphương của mỗi cạnh, hãy nhân hai

vế của (2)vớia tađ ư ợ c :

Hãy tìm cách biến đổi tương đương công thức này: Ba tam giácOAB,ABCvàHABcùng

có chung một cạnh làABnên đểtìmsự liên hệ giữa diện tích của chúng ta xemABlàcạnhđáychungcủa ba tam giác Kéo dàiCHcắtABởD, ta nhậnthấyOD,CHvàHDlần lượt

là đường cao củabatam giác nói trên.VìThế công thức phải chứng minh trên tươngđươngv ớ i

1AB.OD1AB.CD .1AB.HD Hay OD2

Đẳng thức này chính là một hệ thức lượng đã biết trong tam giác vuôngCOD

Việc tìm tòi lời giải bài toán nhiều khi đạt được bằng cách xét một bài toán tương

tự, đặc biệt là khi giải một bài toán hình học không gian Ví dụ, cần phải chứngminh công thức thể tích của một tứ diện:V1S.r

3tpTrong đó

S là diện tích toàn phần vàrlà bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

Khối tứ diện trong không gian được xem tương tự như hình tam giác trong hình học

phẳng và công thức trên gợi cho ta một công thức tương tự đối với diện tích tamgiác là

giác

Sp.r, trong đóplà nửa chu vi vàrlà bán kính đường tròn nội tiếp tam

Chính việc chứng minh công thức đối với tam giác bằng cách phân tích hình (chiatam giác thành ba tam giác có chung đỉnh là tâm đườngtrònnội tiếp,đáylà các cạnhcủa một tam giác vàbađường cao đều bằngr) gợi ý cho việc tìm tòi cách chứng minhcông thức đối với tứ diện cũng bằng cách tương tự: chia khối tứ diện thành bốnkhốicóchung đỉnh là tâm mặt cầu nội tiếp, đáylàcác mặt của tứ diện vàbađường cao

đều bằngr

2.7.3 Thực hiện chương trìnhg i ả i

Trong một bài toán thì khókhănchủyếulà xâydựngchương trình giải, còn việcthực hiện chương trình chỉ làsắpxếp trìnhbàythành lời giải bàitoán.Tuyk h â u nàykhôngkhó khănlắmđối với học sinh nhưng giáo viên cũng cầnchú ý làm cho học sinh biếtcách trìnhbàylời giải một bài toán đảm bảo đượcnhữngyêucầu nhất định Yêu cầu chủyếucủa lời giải một bài toán làđầyđủ, khôngphạm sai lầm và có cơsở lýluận chặt chẽ Về thực hiệnyêucầunàyhọc sinh thường cóthiếu sót làhaykết luận không có căn cứ, lập luận thiếu chặtchẽ

Tùytừng trường hợp giáo viên cần phân tíchrõnguyên nhân và uốn nắnkịpthờinhững sai sót của học sinh, thỉnh thoảng cần cho học sinh ghi những lời giải mẫumực để dần dần các em biếtcách trìnhbày lời giải các bài toán đảm bảo đượcyêucầunóit r ê n

Ngoài ra lời giải các bài toán cần được trình bày một cách ngắn gọn, nếu hay và độcđáo càng tốt

Một điểm nữa là cần tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại từng bước khi trìnhbàylờigiải để tránh được những sai sót đáng tiếc, nhấtlàtrong làm bài kiểm tra và thi cử

2.7.4 Kiểmtra và nghiên cứu lờig i ả i

Phần sau cùng khi giải một bài toán cần tiến hành những việc sau đây:

Xem xét lại toàn bộ lời giải và thử nghiệm kết quả nếu có thể được, xét các trườnghợp đặc biệt, tổng quát, giới hạn, vẽ hình thật chính xác,…) cần chú ý kiểm tra cả

c a

b

Hình 2.3

c

a b

kết quả và suy luận trong từng bước

Tìm lời giải khác của bài toán Yêu cầu về mặt sư phạm là lời giải bàitoáncàng đơn giản, càng ngắn gọn càng tốt Vì vậy cần tập cho học sinh có thóiquensuy nghĩ tìm các cách giải khác nhau của bài toán để có thể tìm được lời giảihaynhất Khi ra bài tập cần chọn những bài có thể giải được bằng nhiều cách khác

nhau.Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp khi giải từng bài toán là rất cầnthiết để học sinh học được kinh nghiệmvàphương pháp suy luận trong giải toán Chẳng hạn xét bài toán sau trong Hình Học 11 (Văn Như Cương, Phan

VănViện1991):“Cho hai đường thẳngavàbcắt nhau, một đường thẳngccắt cảavàb Có thể kết luận rằng cả ba đường thẳnga,b,ccùng nằm trong một mặt phẳng không?“

Hình 2.4

Học sinh thường thấy ngay trường hợp như trên hình 2.3 và kết luậna,b,cđồng phẳng Hãy chú ý đến trường hợp đặc biệt: đường thẳngcđi qua giao điểm củaavàbtức là có trườnghợpa, b, ckhông đồngp h ẳ n g

Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giảicho một bài toán Mọi cách giải đều dựavàomột số đặc điểm nào đó của các dữ kiện,chonên tìmđược nhiều cách giải là luyệntậpcho học sinh biết cách nhìn nhận mộtvấnđềtheo nhiều khía cạnh khác nhau.Tìmđược nhiều cách giải thì sẽ chọn được cáchgiảihaynhất, đẹpn h ấ t

2.8 Những điểm cần chú ý trong việcdạyhọc giải bài tậpt o á n

2.8.1 Tạo không khí hứng thú trong giờ học giải bài tập

 Học sinhcóthời giansuynghĩ, phân tích thửnghiệm

 Học sinhcóthể tiếp nhận được bàitoán

 Hạn chế sự sợ sệt của họcs i n h

 Hãy kiên nhẫn với những học sinh không giảiđược

2.8.2 Xây dựng và duy trì động cơ của họcsinh

 Nhấn mạnh đến tầm quan trọng của việcdạy họcgiải bài tập toánhọc.

 Cho một vài bài toánmàmỗi emcóthể làmđược

 Cho các bài tập hợp lý và có đủ thời gian cầnthiết

 Tập trungvàomộtvài bàitậpvà giải chúng mộtcáchthông thảvàt r i ệ t đ ể

2.8.3 Giúpchohọcsinhcáchthứclàmtăngsựhiểubiếtvềcáctìnhhuốngcủa

bài toán

 Yêucầucác em đọcđềtoán nhiềulần

 Giúp học sinh phát biểu lạiđềtoánsaocho các điều kiện đượcrõrànghơn

 Giúphọcsinhnhậnracácýchínhvàchiabàitoánthànhnhữngbàitoánconđơn giản hơn

2.8.4 Chú ý tính linh hoạt trong giảit o á n

Đề nghị học sinh thay đổi quan niệm khi gặp khó khăn

 Cho học sinh một số bài toán thiếu dữ kiện, và một số lại dư dữk i ệ n

 Khuyến khích giải toánbằngnhiều cách khácnhau

 Chỉ cho học sinhtựđặt ra nhữngcâuhỏinhư:

Điều gìđãcho?

Điều gì phải tìm? Phải chứngm i n h ?

Những kiến thức nào đã cho có liên quanđếnbài toánnày?

Những bài toán đã biết nào tươngtựvới bàinày?

2.8.5 Nhấn mạnh đến phương pháp giải hơn là đápsố

 Phải dành thời gianluyệntập giải toán thíchđ á n g

 Phát triểnkỹnăng phân tích, tổ chức,vàdiễn đạt bằng cách cho học sinh viết và nói

về cáccáchgiải củah ọ

 Dùng các tình huống của bài toán để khám phá ra những khái niệm,quytắctoánhọc mới

2.9 Kết luận chương 2

Chương thứ hai của luận vănđềcậpđến cơ sở lí luận của việc dạy học.Nhấnmạnh cho

ta biết mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông, đặc biệt là

vị trí và chức năngvà cách tiếp cận một bài toán Đồng thời chương 2 giới

thiệu việc dạy học theo phương pháp tìm tòi lời giải và những điểm cần chú ý trongviệc dạy học môn toán.

Chương III: TÓMTẮTLÍ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNGG I A N

Tập"cơbản" của Ơ-clit gồm 13 cuốn, trong đó có 8 cuốn nói về Hình học.Toàn bộ nội dung môn hình học sơcấpcủa bậc Phổ thông ngàynaylàmộtphần trongtác phẩm đó Công lao tolớncủa Ơ-clit là đã tập hợp những kết quả của nhiều tác giảtrước,sắpxếp lại và chứng minh chặt chẽ Để xây dựng môn Hình học, Ơ- clit đãxuất pháttừ10 tiên đề và địnhđềđược thừa nhận là đúng mà không chứng minh Từđódựavàosuy luận lôgic, ông đã chứng minh các định lík h á c

Như vậy có thể nói Ơ-clit là người đặt nền móng cho phương pháp xây dựngHình học mà ngày nay ta gọi là phương pháp tiên đề

Để trình bày môn Hình học theo phương pháp tiên đề, người ta làm nhưs a u :

1) Không định nghĩa một số khái niệm như: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, điểmnằm giữa hai điểm, độ dà đoạn thẳng, độ lớn của góc,…Các khái niệmnhưvậy gọi làcác khái niệm cơ bản Các khái niệm khác sẽ được định nghĩa dựavàonhững kháiniệm cơ bản Chẳng hạn sự bằng nhau của các tam giác được định nghĩa dựavàosựbằng nhau của các đoạn thẳngvàsự bằng nhau của cácgóc

2) Nêu ra một số mệnh đề được thừa nhận là đúngmàkhông chứng minh.C á c