9 phương pháp giải phương trình Logarit, phương trình mũ

9 phương pháp giải phương trình Logarit, phương trình mũ.Ở tài liệu này, các phương pháp giải phương trình mũ, logarit được trình bày với các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Phương pháp 1: Giải phương trình cơ bản Phương Pháp 2: Đưa về cùng cơ số Phương pháp 3: Biến đổi đưa về phương trình tích Phương pháp 4: Logarit hóa, mũ hóa Phương pháp 5: Dùng ẩn phụ Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Phương pháp 8: Phương pháp quan niệm hằng số là ẩn Phương pháp 9: Sử dụng định lý Lagrange

-O0O -

Phương pháp 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

( )

( ) log

f x

a

a  b f x  b ; loga f x( ) b f x( )a b

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 3x2 5x 4 81 ; b) log (32 x4)3

Giải:

a) 3x2 5x 4 81x25x 4 log 813 x2 5x 4 log 33 4

5

x x





  



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 5

b) log (32 x4)3

3

x   x

3 2

log (3x  4) 3 l3x 4 2 3x  4 8 3x12 x 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4

DeThiThu.Net

Phương pháp 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình về dạng a f x( ) a g x( )

- Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

- Nếu cơ số a thay đổi thì

( 1) ( ) ( ) 0

f x g x a

a a

a f x g x





2) Đối với phương trình logarit: biến đổi phương trình về dạng

loga f x( )loga g x( )

( ) 0 ( ) ( )

a

f x

f x g x

 







Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 3x2 5x 4 81 ; b) log (32 x4)3

Giải:

a) 3x2 5x 4 813x2 5x 4 34 x2 5x 4 4

2

x x x x

5

x x





  



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 5

b) ĐK: 3 4 0 4

3

x   x

log (3x  4) 3 log (3x 4) log 2 3x 4 2 3x 4 8 3x12 x 4

DeThiThu.Net

Ví dụ 2 Giải các phương trình:

a) 3x2 x 8 91 3 x ; b) 2x12x12x 28 c) 2.5x23 5.2x23 ; d) 2x213x2 3x212x22

Giải:

a) 3x2 x 8 91 3 x 3x2 x 8 32(1 3 ) x  x2   x 8 2(1 3 ) x

2

x x

3

x x

 



  



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 2 và x = - 3

b) 2x12x12x 282 22 x12x12.2x1 282x1(22   1 2) 28 2x1 4 2x122     x 1 2 x 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3

c)

2 2

2

3

3

2.5 5.2

2

x x

x







x2   3 1 x2    4 x 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 2 và x = 2

d) 2x213x2 3x212x22 2x213.3x21 3x212 23 x21

2x  2 2x  3x  3.3x  2x  (1 2 ) 3x (1 3)

x

2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 3 và x = 3

DeThiThu.Net

Ví dụ 3 Giải các phương trình:

a) lgxlgx2 lg 4x ; b) log2 xlog3xlog4xlog5x

Giải:

b) ĐK: x0

2

lgxlgx lg 4xlgx2lg x lg 4 lg x2lg x lg 4

2

x

x





         



Do x0 nên nghiệm của phương trình là x2

b) ĐK: x0

log xlog xlog xlog xlog xlog 2.log xlog 2.log xlog 2.log x

log x.(1 log 2 log 2 log 2) 0

     log2x  0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Phương pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

a) 12.3x3.15x 5x1 20 ; b) log (32 x4).log2xlog2x

Giải:

a) 12.3x 3.15x5x12012.3x3.3 5x x5.5x 200 3.3 (4 5 ) 5(5x x x 4) 0 (5x 4)(3.3x 5) 0

3

3.3 5 0

x

x

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

DeThiThu.Net

Vậy phương trình đã cho có nghiệm log3 5

3

x  

 

 

b) ĐK: 3 4 0 4

x

x x

 



 

 



log (3x4).log xlog xlog x log (3x  4) 1 0

2

2

log (3 4) 1 0

x x





    



2

2

  

  

  

      

Do 4

3

x nên nghiệm của phương trình là x2

Phương pháp 4: LÔGARIT HÓA, MŨ HÓA

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a)

2

3 2x x 1 ; b) log 2

3 x x 2

Giải:

a) Lấy lô garit hai vế với cơ số 2, ta được

log 3 2x x log 1log 3x log 2x  0 x.log 3x log 20

2

 

 

        

   

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = log 32

b) ĐK: x0 Đặt log2x  t x 2t ta thu được phương trình mũ theo biến t :

 

DeThiThu.Net

3t  2t 2 (*)

Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*) nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà t0 là một nghiệm của (*) nên đó là nghiệm duy nhất của (*)

2 log x 0 x 1

   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Phương pháp 5: DÙNG ẨN PHỤ

Ví dụ 1 Giải phương trình: 22x2 1 9.2x2 x 22x 2 0

Giải: Chia cả 2 vế phương trình cho 22x 2 0 ta được:

2.22x2 2x 9.2x2 x 4 0

Đặt t 2x2 x điều kiện t > 0 Khi đó phương trình tương đương với :

2

2 1

2 2

2 1

2

t t

x

x x t

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1, x = 2

DeThiThu.Net

Ví dụ 2 Giải phương trình: 7 4 3 x 3 2 3 x 2 0

Giải: Nhận xét rằng:

2

Do đó nếu đặt t 2 3 xđiều kiện t > 0, thì: 2 3 x 1

t và

2

Khi đó phương trình tương đương với:

t

t 1 2 3 x 1 x 0

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 3 Giải phương trình: 32x 2x 9 3x 9.2x 0

Giải: Đặt t 3x, điều kiện t > 0 Khi đó phương trình tương đương với:

2 2x 9 9.2x 0

2

x

t

t

Khi đó :

+ Với t 9 3x 9 x 2

2

x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 0

DeThiThu.Net

Ví dụ 4 Giải phương trình: 22x 2x 6 6

Giải: Đặt u 2x, điều kiện u > 0 Khi đó phương trình thành: u2 u 6 6

Đặt v u 6,điều kiện v 6 v2 u 6

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

2

2

6

u v

v u

2

x

u

u

+ Với u + v + 1 = 0 ta được :

2

2

2

2

x

u

u

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x log 32 và x = 2 21 1

2

Phương pháp 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1 Giải phương trình: log7xlog (3 x 2)

Giải: ĐK : x0

DeThiThu.Net

t           

 

Vế trái của (*) là hàm số nghịch biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*)

nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà t2 là một nghiệm của (*)

nên đó là nghiệm duy nhất của (*)

7 log x 2 x 49

   

Vậy phương trình có nghiệm x = 49

Ví dụ 2 Giải phương trình: 1

7

7x 6log (6 5) 1

x

Giải: ĐK : 6 5 0 5

6

x   x

Đặt y 1 log 67 x5 Khi đó, ta có hệ phương trình

7

  

       

      

          

  

Xét hàm số   1

7t 6

f t    t   1 5

' 7 ln 7 6 0,

6

t

f t      t nên f t  là hàm số đồng biến trên 5

; 6

 

  Mà f x  f y  x y Khi đó: 1

x

    Xét hàm số   7 1 6  5

x x

' 7x ln 7 6

g x      1 2

'' 7x ln 7 0

g x    Suy ra,

 

'

g x là hàm số đồng biến trên 5;

6

D 

 , do đó phương trình g x' 0có nhiều nhất một nghiệm Suy ra, phương trình g x 0 nếu có nghiệm thì có nhiều

nhất là hai nghiệm

Nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2

DeThiThu.Net

Ví dụ 3 Giải phương trình: 3x 4x  2 7x (*)

Giải:

Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải của (*) là hàm số nghịch biến nên

phương trình (*) nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà x0 là một

nghiệm của (*) nên đó là nghiệm duy nhất của (*)

Phương pháp 7: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2x21 2 x

Ta có VT 2x2120 1 2 và VP 2 x   2 0 2 Suy ra VT VP, dấu bằng

xảy ra khi x0

Vậy x 0là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 2 Giải phương trình: 1 4 x 2x12x 2x

Giải:

Ta có 1 4 x 2x12x 2x  2 (4x 2.2x  1) 2x 2x

 2 (2x 1)2 2x 2x

2

2 (2x 1) 2 0 2

VT       và VP2x 2x 2 2 2x x  2 Suy ra VTVP, dấu

2x  1 0



 



 

Giải: ĐK : x 0

DeThiThu.Net

Vậy x 0là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Ví dụ 3 Giải phương trình:    2 

log 9 x 1 log x 2x5

Giải:

ĐK :

Ta có :

log 9 1 log 9 2

VT   x   và

  Suy ra VTVP, dấu bằng xảy ra khi

  2

1 0

1

x

x x

 



Vậy x 1là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Phương pháp 8: PHƯƠNG PHÁP QUAN NIỆM HẰNG SỐ LÀ ẨN

Ví dụ 1 Giải phương trình: 16x 4x 1  2x 2  16

Giải:

Ta có 16x 4x 1  2x 2  16  4 2  2 4 4x  x 1  16x  0(*)

Xét phương trình ẩn t sau đây t2  2x t 4x 1  16x  0(**) Giả sử (*) đúng với giá trị

0

x nào đó thì phương trình ẩn t sau có nghiệm t = 4: t2  2x0t 4x0  1  16x0  0

DeThiThu.Net

Biệt thức   0 0 0 0

2

1

2x 4 4x  16x 4.16x 0

Suy ra 4 2 0 4.16 0

2

2

0

2

1 65

4

x

x

n

l











1 65 log

4

2

2 4.16

2



Vậy phương trình đã cho có nghiệm log2 1 65

4

Phương pháp 9: SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE

Giải:

x là một nghiệm của (1), hay ta có:

5x0 4x0 2x0 7x0 5x0 2x0 7x0 4x0(*)

f t  t t trên đoạn  2;4 thì f t( ) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn   Áp dụng định lí lagrange thì có số k 2;4 sao cho

Ví dụ 1 Giải phương trình: 5 x 4 x 2 x 7x (1)

Giả sử 0

DeThiThu.Net

7 0 4 0 5 0 2 0

(4) (2)

f k



f t x t  x t 

x  t  t  

    

 

 

     

        

 

0

0

1

0

3

1

x

x

k

k







 

 



    

  

  

 

 



Thay x0;x1vào (1) ta thấy chúng đều thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x0;x1

DeThiThu.Net