Tiếp cận bất đẳng thức qua các bài toán trong đề thi quốc gia nguyễn đại dương

TI P C N B T Đ NG TH C THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN TRONG Đ THI

v b|i to{n n|y

Đ i v i c{c em thi Y D c An Ninh Công An thì vi c chinh ph c c}u

h i n|y l| đi u c n thi t Chính vì v y c{c em ph i b t đ u ngay t b}y gi

m t c{c nghiêm túc l| có l trình đ có đ y đ ki n th c nh m l|m t t b|ito{n n|y trong đ thi Vi c h n kém nhau - đi m đã có th quy t

đ nh v n đ đ u v| r t c{c tr ng TOP

M c tiêu c a c{c em c n đ t ra l| h c đ v| v n d ng t t không nên

h c qu{ cao siêu nh ng nh qu{ th a thãi B não c a c{c em ph i ho t

đ ng đ c}n b ng t t c c{c môn đ đ t t ng th|nh tích cao nh t ch ko

ph i đ t th|nh tích cao ch môn

D i đ}y l| m t v|i l u c a th y khi b t đ u h c v B t Đ ng Th c

S Bi t đ c và v n d ng đ c b t đ ng th c chính là b t đ ng th c AM-GM (Cauchy, Cosi) và b t đ ng th c Cauchy-Schwarz (Bunyakovski- Cauchy-Schwarz)

S ộ m rậ đ c đi m r i là gì S d ng các đánh giá t ng ng đ

đ m b o đi m r i nh th nào

S Bi t và v n d ng đ c các đánh giá th ng g p nh t các b t đ ng

th c ph quen thu c

đ cao trình bày rậ ràng chi ti t

D I ĐỨỤ TH Ụ T ộG CỦC EỘ L I GI I VÀ CỦCH T DUỤ C A CỦC BÀI TỚỦộ B T Đ ộG TH C TờỚộG CỦC Đ THI CHÍộH TH C

C A B GIỦỚ D C VÀ ĐÀỚ T Ớ

CHÚC CỦC EỘ TI ớ C ộ VÀ Đ ộH H ộG ĐÚộG CHU ộ B CHỚ

KÌ THI

Bài 1: Cho , , x y z là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

Bài 2: Cho , , x y z là các s th c d ng th a mãn xyz 1 Tìm giá tr nh nh t

  Đi u ki n u2v2uv1 b|i to{n u3v33uv5

Ta đã đ a v b|i to{n bi n đ i x ng đ n gi n V| ta có th hi u b|i to{nl| tìm gi{ tr l n nh t c a bi u th c 3 3

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s có c c

đ i trong kho ng 0.4,0.6 v| đ t gi{ tr nh

V y đi m r i c a b|i to{n l| a 1,b c 0 v| c{c

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s

đ n đi u tăng trên  

 

10,

h|m s f t   t2 3t 2 1 2 t đ ng bi n trên  

 

10,3

ét h|m : f t   t2 3t 1 2 t v i      

 

10,3

21

X

F X

X X

 START = 1

 END = 4

 STEP = 0.25

D a v|o b ng gi{ tr trên ta nh n th y h|m

s đ n đi u gi m trên 1,2 v| gi{ tr nh

1.6 1.0845 1.7 1.0698 1.8 1.056 1.9 1.0428

x y

11

21

x y

Bài 6: Cho , , x y z là các s th c th a mãn x y z   0 Tìm giá tr nh nh t c a

bi u th c P3x y 3y z 3z x  6x26y26z2

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2012

PH N T CH

Ta có    0x y z nên s có ít nh t bi n }m nh ng b t đ ng th c v| đi u

ki n đ i x ng nên đi m r i khi có ít nh t hai bi n b ng nhau Do vai tr

bi n nh nhau nên ta gi s x y 2x z    0 z 2x thay v|o P đ c

Do d đo{n gi{ tr nh nh t c a P l| nên ta s đ{nh gi{

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2012

PH N T CH

B|i to{n đ i x ng v| bi n th c nên đi m r i khi có bi n b ng nhau do

Ta s nh p v|o CASIO m t l n n a đ x{c nh n chính x{c gi{ tr 2

V i d đo{n đi m r i khi có bi n b ng nhau ta s đ{nh gi{ đ a v m t

bi n V i bi n s th c thì t t nh t ta rút th đi k m v i đ{nh gi{ luôn đúng

B|i to{n v| đi u ki n đ i x ng theo hai bi n a, b nên đi m r i khi  a b

thay v|o đi u ki n ta đ c đi m r i  a b c

Đi u ki n v| b|i to{n l| c{c bi u th c đ ng c p nên ta h ng đ n đ t n

2 2

3232

y x

2 2

3232

y x

Áp d ng AM-GM:                 

2

22

3

3232

Đ NH H NG T DU

Ta s đ{nh gi{ ti p t c đ đ a b|i to{n v x y Do bi u th c có d ng ph}n

th c nên ta ngh ngay đ n b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

  

2 2

M u s có xy ta v n có th đ{nh gi{ ti p nh ng khoan đ{nh gi{ qu{ nhi u

s d n đ n b|i to{n b ng c d u nên ta rút th xy 3 x y 

8

2 66

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s

đ n đi u tăng h|m s đ t gi{ tr nh

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

2 66

      

3 3

2 66

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s

đ n đi u tăng h|m s đ t gi{ tr nh

ét h|m s     



2 26

2 66

f t

t

7 84 180 02

42 154 02

 

 2 2 2 4 4  2 2 2

22

4.5 0.6119

5 0.5857 5.5 0.5558

X  Đi m r i c a b|i to{n l| a b c   2

0

x y z

x yz x

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2014

PH N T CH

B|i to{n có đi u ki n l| m t bi u th c đ i x ng P không đ i x ng nh ng

đ i x ng theo bi n ,y z do đi u ki n c{c bi n không }m nên ta không thđo{n đi m r i l| y z Ta s xét c{c tr ng h p sau

1 0.4444 1.2 0.4304 1.4 0.3837

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s 1.5 ERROR

đ n đi u gi m trên  

0, 2 Nên h|m s đ t gi{ tr l n nh t khi X 0 suy

ra gi{ tr l n nh t trong tr ng h p n|y  0.4746 khi x 0,y 2 ,z0

TH 2: C đ nh  z 0 x2 y2  2 y 2x2 do b|i to{n đ i x ng theo

1 0.5555 1.2 0.5383 1.4 0.4153

đ i trong kho ng 0.8,1.2 v| h|m s đ t gi{ tr l n nh t t i X 1 Ta ki mtra xem X 1 có ph i l| c c đ i hay không Nh p v|o m{y tính CASIO ta

2

019

2

x y z

Đ n đ}y ta đã đ a b|i to{n v bi n  x y z T đi u ki n b|i to{n ta đ{nh

gi{ đ c    0 x y z 6 nên ta s đ nh h ng ch ng minh h|m s đ t

Đ{nh gi{ c n đi u ki n c min , ,a b c nên không ph h p Đ{nh gi{

đ i x ng v| x y ra khi a b c, 0 v| c{c ho{n v nên ph h p Nh ng v n

đ chính l| mu n s d ng đ{nh gi{ thì ta ph i ch ng minh nó khi đó n u

d ng h|m s thì ph i s d ng đ{nh gi{ v| ph i ch ng minh đ{nh gi{

b ng Cauchy-Schwarz r t d|i v| khó Ta s s d ng c{ch ch ng minh đ{nhgi{ b ng AM-GM r t hay nh sau :

Khi đ{nh gi{ b ng AM-GM thì đ ng th c ch x y ra khi  0b nên đ đ m

b o đ ng th c x y ra khi a ho c b b ng 0 ta nh}n thêm cho a T ng

Đ t        

20

Đi u ki n c a c{c bi n n m trong kho ng ch n nên kh năng đi m r i x y

ra khi có ít nh t m t bi n n m biên Do đi u ki n v| b|i to{n đ i x ng

bi n nên vai tr , ,a b c nh nhau c đ nh       c 1 a b 5 b 5 a thay

2 7 14.527 2.8 14.531

2 14.537

3 14.545

V i gi{ tr trên thì đi m r i c a b|i to{n l| a 3,b2,c1 v| c{c ho{n v

Có gi{ tr n m biên nên ta không c n xét tr ng h p n|o n a

Do đi m r i t i biên nên ta s d ng đ{nh gi{ mi n gi{ tr :

a1b1c  1 0 abc 5 ab bc ca (1) 

a3b3c3 0 abc27 ab bc ca (2)  

Đ n đ}y ta đã th y đ nh h ng ép v tab bc ca  ta c n đ{nh gi{ bi u

th c đ u đ a v ab bc ca   n a l| xong Do đi m r i l| a 1,b2,c3nên không th đ{nh gi{ 2 2 2 2 2 21   2

Ta đ{nh gi{ đi u ki n c a bi n :    

2123

ớh ng Trình tác gi ộguy n Ti n Chinh ộguy n ớhú Khánh

Facebook: https://www.facebook.com/ThayNguyenDaiDuong

Đ khuy n khích tinh th n h c t p c a các em thì th y c ph n th ng sau