CHUYÊN ĐỀ CÁCH GIẢI QUYẾT CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ KINH NGHIỆM TRÁNH CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TOÁN CỰC TRỊ

1 Đặt vấn đề: Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau: 1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị. 2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức. 3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại. 4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán. 5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. 6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa. Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” . Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD ĐT Quảng Ninh tổ chức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những kinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn. Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất nhiều nhưng nội dung thì trùng nhau. Các sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu và thực hiện. 4. NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các bài tập minh họa Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng. 1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai. 2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng. 3) Các bài tập áp dụng. II) Nội dung cụ thể. PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất của bất đẳng thức Cho a, b, c là các số thực Tính chất 1 Tính chất 2 Tính chất 3 Tính chất bắc cầu Tính chất 4 Tính chất 5 Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau. Tính chất 6 Tính chất 7 Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm Tổng quát: Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau. Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức Tính chất 10 Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số Tính chất 12 b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối   nếu  nếu   . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị. +) Bất đẳng thức Côsi Dạng cơ bản: Cho , khi đó ta có bất đẳng thức . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Dạng tổng quát: Cho các số không âm . Ta có bất đẳng thức với . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng cơ bản: Với là các số thực tuỳ ý ta luôn có . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Dạng tổng quát: Cho hai bộ số , khi đó ta có Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa). PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A. Dạng sai lầm thứ nhất: Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) Bài 1. Cho x, y là hai số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải “có vấn đề”. Từ x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có . Từ x, y > 0 và ta có Do vậy . Dấu “=” xảy ra  x = y . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y. Nhưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì . Dấu “=” xảy ra  x = y, còn Dấu “=” xảy ra  y = 4x. Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết Như vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhưng các dấu “=” không đồng thời xảy ra . Lời giải đúng Từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có Dấu “=” xảy ra  . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt được khi . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết Lời giải sai: Gọi ta có Xét Ta lại có nên (2) Cộng (1) với (2) ta được Min Nhưng với , vậy sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ với , chỉ xảy ra dấu “=” ở (1), còn dấu “=” ở (2) không xảy ra. Thật vậy với thì . Do đó . Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: . Do nên . Min Max Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức “Lời giải đẹp”: Ta thấy không đồng thời bằng 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi và đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Có đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 1. Khi đó nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2 khi . Phải chăng lời giải trên là đúng? Phân tích sai lầm: Lời giải mắc sai lầm ở bước lập luận: đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi và đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Lập luận này chỉ đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại cùng một giá trị của các biến. Rõ ràng ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi x + y = x – y = 0, tức là khi x = y = 0. Lời giải đúng: Biến đổi Đẳng thức xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của là , giá trị này đạt được khi Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Lời giải “băn khoăn”: Ta có Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất. Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục

loại này Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:

1 Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị

2 Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức

3 Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại

4 Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán

5 Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiêncứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hếtgiả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có

6 Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúngchưa

Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạngtoán khó nhưng rất thú vị Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Điều đó cótác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Chính vì thế,chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minhBĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giảicác bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài

“Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần

vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong

Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình”

Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thâncòn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và tròlại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kếtquả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm Tôi đã tìm nhiều biện pháp đểhướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng cácphương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thànhcông bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sailầm Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổchức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảothí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình nhữngkinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìmcực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo

để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách,tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứngthú thực sự với dạng toán này Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệmnày cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâurộng hơn

Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vàophân tích - kinh nghiệm của người làm toán Các tài liệu tham khảo của môn toánTHCS dành cho giáo viên và học sinh có rất nhiều nhưng nội dung thì trùng nhau Cácsách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bàitoán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vàibài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này

có thể tham khảo Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm

thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương

trình THCS để nghiên cứu và thực hiện

4 NỘI DUNG CHÍNH

I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần

Phần 1: Lý thuyết

Phần 2: Các bài tập minh họa

Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng

1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai

2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng.3) Các bài tập áp dụng

II) Nội dung cụ thể.

Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau.

Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức

Dạng cơ bản: Cho a, b 0 , khi đó ta có bất đẳng thức a+ b 2 ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Dạng tổng quát: Cho các số không âm a ,a ,a , ,a1 2 3 n

PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ

A Dạng sai lầm thứ nhất:

Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)

Bài 1 Cho x, y là hai số dương thoả mãn x+ 1 1.

y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y.

Nhưng với x = y thì M = 2039 Vậy sai lầm ở đâu?

Phân tích sai lầm: Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì x y

Lời giải đúng Từ giả thiết ta có

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x+ 3 y biết 2 x + 3 y2 2 5

Lời giải sai: Gọi B = 2 x + 3 y , ta có 2 2 B 5.

2, chỉ xảy ra dấu “=” ở (1), còn dấu “=” ở (2) không

xảy ra Thật vậy với 1

Khi đó b = x+ y + y- x 2  2 = 2 y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0.2

Vậy giá trị nhỏ nhất của F x, y  là 2 khi x = -1

Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.

Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục chưa?

Suy ra D 16  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x+ y- 3 = 0

x = 1x-1 = 0

y = 2y- 2 = 0

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.

Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tínhthuyết phục hơn

Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng

P(x, y) = ax + bxy+ cy + dx+ ey+ h (a, b, c 0)

Cách giải: Biến đổi P x y( , )về một trong hai dạng sau:

Dạng 1: P(x, y) = m.F (x, y) + n.H (x) + g (1)2 2

Dạng 2: P(x, y) = m.F (x, y) + n.K (y) + g (2)2 2

Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x, y)

là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y

y = 2 x-1 = 0

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42 Vậy giá trị lớn nhất của P là 42

Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục như thế nào?

Phân tích sai lầm

Lời giải này đã quên một bước vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi sửdụng BĐT, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức

Hệ trên vô nghiệm nên bất đẳng thức P ≤ 42 không thể trở thành đẳng thức.

Lời giải đúng: Xét hiệu 3 x + y + z - x+ y+ z 2 2 2  2

= 2 x + y + z - 2 xy+ yz+ zx = x- y + y- z + z- x 2  2  2 0 (*)

Từ (*)  x+ y+ z2 3 x + y + z 2 2 2 3.27  x+ y+ z 9 (1)

(đẳng thức xảy ra  x = y = z = 3).

Từ (*) 2(xy+ yz+ zx) 2(x + y + z ) 2 2 2  xy+ yz+ zx x + y + z 2 2 2 27 (2)

Từ (1) và (2)  x+ y+ z+ xy+ yz+ zx 36 Đẳng thức xảy ra  x = y = z = 3.Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 36, giá trị này đạt được  x = y = z = 3

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x+ x

Lời giải sai: Ta có

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+ a x+ b  

A =

x , với x 0, a và b là

các hằng số dương cho trước

Lời giải sai:

Chỉ xảy ra A = 4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và

x = b Như vậy đòi hỏi phải có a = b Nếu a b thì không có được A = 4 ab

Một bạn học sinh đã giải như sau:

Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được

Các bạn có đồng tình với cách giải này không?

25 Đây là sai lầm

thường mắc khi dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mộtbiểu thức Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩacủa dấu “≥” và dấu “≤” Không phải khi nào viết “≥” cũng có thể xảy ra dấu “=”

Ví dụ ta viết 10 ≥ 2 là đúng nhưng không thể có 10 = 2

Lời giải đúng: Biến đổi

     Dấu đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2) và (3) đồng thời xảy ra, tức là a = b = c Vậy

MinP 216

125

  a = b = c > 0.

Bài 5 Cho a, b là hai số dương và x, y, z là các số dương tuỳ ý

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

           

Lời giải của một học sinh: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia có

ay+ bz2 a + b2 2 y + z2 2 và az+ by2 a + b2 2 z + y2 2

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là  2 2

2 a + b xảy ra khi và chỉ khi x = y = z và a = b Nhưng

theo giả thiết a, b là hai số dương tùy ý, nên với a b thì

3M

P = x+ 2 y-1 + x-1 + y- 2 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?

không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy ra Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ việc người giải đã không thực hiện bước 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức ta phải trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?”

Lời giải đúng: Coi x là biến chính để biến đổi như sau:

Bất đẳng thức f x  a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x = x 0

nào đó (x 0 thoả mãn điều kiện của bài toán) đã kết luận biểu thức f x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức f x  không đạt giá trị nhỏ nhất.t giá tr nh nh t.ị nhỏ nhất. ỏ nhất. ất.

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 28 + 3 x- x + 5 + 4 x- x 2 2

Lời giải sai: Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là

   2

28 + 3x- x = 4 + x 7 - x 0, suy ra 28 + 3x- x2 0

Do đó, với   1 x 5 thì P = 28 + 3x- x + 5 + 4 x- x2 2 0, nên P không có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 5 Vậy min P 3 2 khi và chỉ khi x 5.

Bài 2 Tìm m để phương trình x + m+1 x+1 = 0 có tổng bình phương các2  

Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng

bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Phân tích sai lầm:

Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh chưa nắm vững khái

niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng

thức f x a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x x 0nào đó ( x 0 thoả mãn điều kiện của bài toán) thì không thể kết luận được biểu thức f x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức f x  không đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

Lập luận sai khi kh ng đị nhỏ nhất nh “A có t s không ử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu ố không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu i nên A có giá tr l n nh t khi m u ị nhỏ nhất ớn nhất khi mẫu ất ẫu

nh nh t” (ho c ng ỏ nhất ất ược lại) mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương ạt giá trị nhỏ nhất c l i) m ch a à chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương ư đư a ra nh n xét t v m u l các s d ận xét tử và mẫu là các số dương ử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu à chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương ẫu à chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương ố không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu ương ng.

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2 1

Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai khi khẳng định “A có tử số không đổi

nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là

khi x = 0, ta sẽ đi đến kết luận max B 1 x 0

Mắc sai lầm trên là do người làm không nắm vững tính chất của bất đẳng thức,

đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là các số tự nhiênsang hai phân số có tử và mẫu là các bất kì

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét x - 6 x+10 = x- 32  2  1 0nên phân thức

Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì x+12  4 đạt giá trị nhỏ nhất Điều này

xảy ra khi x+12 0 hay x  1 Khi đó giá trị lớn nhất của 1

Sai lầm của lời giải mà bạn học sinh này đưa ra chính là ở bước lập luận “để

biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì x+12  4 đạt giá trị nhỏ nhất” Điều này chỉđúng khi tử và mẫu của P cùng dương mà tử phải là hằng số ở đây mẫu chưa biếtdương hay âm nên không thể lập luận như vậy được

Lời giải đúng: Điều kiện x  ; 1 x  3

Với x  3 hoặc x  1thì P 0, còn với 3 x 1  thì P 0 

Ta thấy khi x = 1+ a với a > 0 thì P = 2 1

a + 4a nên a càng nhỏ thì P càng lớn và lớn

bao nhiêu cũng được, do đó biểu thức P = 2 1

x + 2 x- 3 không có giá trị lớn nhất.

E Dạng sai lầm thứ năm

Nh m t ư ng vai trò c a các bi n trong b i nh nhau nên s p th t các n ủa các biến trong bài như nhau nên sắp thứ tự các ẩn ến trong bài như nhau nên sắp thứ tự các ẩn à chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương ư ắp thứ tự các ẩn ứ tự các ẩn ự các ẩn ẩn

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + +y z

y z x với x, y, z 0.

Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x y z x thì biểu thức A không đổi

nên không mất tính tổng quát, giả sử x y z 0   , suy ra

Tuy kết quả đúng, nhưng xem ra lời giải bất ổn Tại sao vậy?

thành y z+ + ,x

z x y tức là biểu thức không đổi Điều đó cho phép ta được giả sử một trong ba số x; y; z là số lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng không cho phép giả sử

x  y z rồi sử dụng nó làm giả thiết bài toán khi đi chứng minh mà không xét các

trường hợp còn lại Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất ( x ≥ y, x ≥ z) thì vai trò

của y và z lại không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y bởi z và ngược lại ta được

x z y

+ +

z y x , biểu thức này không bằng biểu thức A.

Với lời giải đã đưa ra, thay cho việc sắp thứ tự x  y z, ta chỉ cần giả sử z là

số nhỏ nhất trong ba số x, y, z kết hợp với phần còn lại của lời giải đã trình bày đó tađược lời giải đúng

Ngoài ra ta còn có thể giải bài toán này theo các cách sau:

Thật vậy (1)  xy+ z - yz x z (do x, z 0)2    x- z y- z   0 (2).

Do z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z nên (2) luôn đúng Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3 khi x = y = z.

Bài 2 Cho x, y, z là các số thực lớn hơn - 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Có một lời giải như sau:

Nếu x 0 , ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử thứ ba

giảm Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x   y z 0

Từ đó suy ra P 2  Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 1

Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn chưa? Lời giải của bạn như thế nào?

2 2

1+ y 2

; (2)1+ z+ x 3 và

2

2

1+ z 2

(3)1+ x+ y 3

là không đúng Không thể từ (1) suy ra (2) và (3) bằng phép tương tự vì vai trò củacác biến x; y; z trong P không như nhau

1+ y (1+ y ) 1+ z 2(1+ z )

; 1+ z+ x 2(1+ x ) + (1 z ) 1+ x+ y  2(1+ y ) + (1 x ) 

Bài 1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

4 4 4 2 2 2 2 2 2

Lời giải sai.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

Lời giải trên đã đúng chưa? Nếu chưa, giải thế nào thì đúng?

điều kiện hai vế cùng không âm

Lời giải chưa đúng vì từ b + c - a2 2 2 2 bc b + c - a2 2 22 2 bc2là sai, chẳng hạn

 , nghiệm của hệ phương trình là

x; y = 1+ 2;-1+ 2 ; x; y = 1- 2;-1- 2 (Thoả mãn điều kiện bài ra).      

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A = x- y+ 2 = + 2 = 3.2

Nhưng với x = 6 + 2; y = 6 - 2

2 2 thì có x > y; xy = 6 - 2 = 1

4 và A = 2 2 3.

Tại sao lại như thế?

(hay lớn nhất) của f bằng m mà không chỉ ra m là hằng số

Rõ ràng lời giải sai: Vì A 2 +x- y

2

2 chưa là hằng số Sai lầm ở đây là sai

lầm ở bước 1, đánh giá f  m nhưng m không là hằng số