skkn phương pháp tìm lời giải cho bài toán bằng cách lập phương trình

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy trong chương trình đại số lớp 8, lớp 9 dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là dạng toán tương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN



Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN BẰNG CÁCH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Bùi Thị Thủy

2 Ngày tháng năm sinh: 20/9/1976

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: Tổ 14 - Khu 10 - Tân Phú - Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01652793569

6 Fax: ………… E-mail: buithuydtnt@gmail.com

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Đại học sư phạm

- Năm nhận bằng: 2005

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS

- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ Giúp học sinh lớp 7 hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản trong

quá trình học hình học

+ Giúp học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn

bậc hai

+ Một vài kinh nghiệm giúp học sinh yếu, kém học tốt môn Toán

+ Phương pháp giải một số dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong

đại số 7

+ Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP

PHƯƠNG TRÌNH

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy trong chương trình đại

số lớp 8, lớp 9 dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là dạng toán tương đối khó với học sinh Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có liên hệ thực tế cao đồng thời có sự đan xen của nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, hoá học, vật lý

Trong nhiều bài toán lại có các dữ liệu ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để dẫn đến phương trình

Mặt khác, loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế Chính vì thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế Do

đó khi giải học sinh thương mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn Hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên hệ ràng buộc của thực tế Mặt khác kĩ năng phân tích, tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu Với lí do đó

mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này Ngoài ra, cũng có thể do quá trình giảng dạy của giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát hoá cách giải mỗi dạng Chính vì thế, giải bài toán bằng lập phương trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học Vì vậy nhiệm vụ của người giáo viên không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người giáo viên phải dạy học sinh cách suy nghĩ

để tìm lời giải bài tập

Để giúp các em học sinh sau khi học hết chương trình toán THCS có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, nắm chắc

và biết cách giải dạng toán này Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng Khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán Tạo cho học sinh lòng tự tin, say mê, sáng tạo, không còn ngại, còn sợ đối với việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, cho các em thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn trong cuộc sống Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với mọi đối tượng học sinh Qua sự trao đổi, học hỏi kinh nghiệm các đồng nghiệp nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập của học sinh đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: Phương pháp tìm lời giải cho bài toán bằng cách lập phương trình ” trong phạm vi chương trình của lớp 8 và lớp 9

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Như đã nói ở trên “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là bài toán có lời văn, với loại toán này vấn đề đặt ra trước hết là phải lập được phương trình từ

những dữ kiện mà bài toán đã cho thông qua tìm lời giải, sau đó mới là cách giải phương trình để tìm nghiệm thoả mãn yêu cầu của đề bài

Giải bài toán bằng cách lập phương trình thường có các bước giải sau:

Bước 1: Lập phương trình:

- Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn

- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn

- Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời

* Những khó khăn đối với học sinh:

- Ở các bước trên thì bước 1 là bước quan trong nhất vì lập được phương trình phù hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán Đây chính là khâu khó nhất đối với học sinh và những khó khăn thường gặp đó là:

+ Không biết tóm tắt bài toán để đưa bài toán từ nội dung thực tế về bài toán mang nội dung toán học, đặc biệt khó khăn hơn nữa với học sinh dân tộc thiểu số

tư duy chậm, đôi lúc còn chưa hiểu hết ngôn từ phổ thông nên nên khả năng diễn đạt ngôn ngữ còn có những hạn chế nhất định, không xác định được đại lượng nào phải tìm, đại lượng nào đã cho

+ Không biết cách chọn ẩn, điều kiện của ẩn sao cho phù hợp

+ Không biết biểu diễn và lập luận mối liên hệ của ẩn theo các dữ kiện của bài toán Không xác định được tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được

Những lí do trên dẫn đến học sinh không thể lập được phương trình

- Ở bước 2 thông thường học sinh không giải được phương trình mà lí do cơ bản là học sinh chưa phân dạng được phương trình để áp dụng cách giải tương ứng với phương trình, hoặc học sinh không biết cách giải phương trình

- Đối với bước 3 học sinh thường gặp khó khăn là:

+ Không chú trọng khâu thử nghiệm của phương trình với các dữ kiện của bài toán và điều kiện của ẩn

+ Không biết lập luận: Chọn câu trả lời, các yếu tố có phù hợp với điều kiện thực tế không?

* Những thiếu sót mà giáo viên hay mắc phải khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải với dạng toán này:

+ Chưa định hướng cho học sinh cách chọn ẩn và mối liên hệ theo ẩn

+ Không định hướng cho học sinh được dạng bài toán và phân loại kèm theo cách giải

+ Chưa diễn đạt rõ ràng để học sinh khai thác bài toán

Các giải pháp đưa ra trong nội dung sáng kiến kinh nghiệm là giải pháp thay

thế một phần giải pháp đã có

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1 Giải pháp 1: Các yêu cầu để giải một bài toán bằng cách lập phương trình

* Để có thể giải đúng, nhanh thì cả giáo viên và học sinh cần chú ý:

+ Đọc kĩ đề bài toán và tóm tắt bài toán để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển đổi đơn vị nếu cần

+ Thường chọn trực tiếp đại lượng phải tìm là ẩn, chú ý điều kiện của ẩn sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán và thực tế

+ Kiểm tra xem đại lượng nào đã biết, đại lượng nào phải chọn ẩn, đại lượng nào phải biểu thị thông qua ẩn và qua đại lượng đã biết Mối liên hệ này được thể hiện bởi sự so sánh bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp mấy lần )

+ Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương trình đã học để tìm nghiệm của phương trình

+ Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình với điều kiện của bài toán và với thực tế để trả lời

1.1) Các giai đoạn giải một bài toán

- Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán

- Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình Tức là chọn

ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn

- Giai đoạn 3: Lập phương trình Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình

- Giai đoạn 4: Giải phương trình Biến đổi tương đương để đưa phương trình

đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được.Vận dụng các kĩ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình

- Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định câu trả lời của bài toán Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không? Sau đó trả lời bài toán

- Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải Phần này thường để mở rộng cho học sinh khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác bằng cách: Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

1.2) Các yêu cầu giải một bài toán

Mặc dù đã có quy tắc chung để giải loại toán này Song người giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài boán bằng cách lập phương trình cần cho

a) Hiểu được nội dung bài toán:

Để bài giải của học sinh không sai sót, trước hết người giáo viên phải phân tích cho học sinh hiểu bài toán vì nếu hiểu sai đề bài thì sẽ trả lời sai Học sinh cần hiểu rõ mục đích của các công việc đang làm, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn; rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn

và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã hợp lý chưa

b) Lời giải phải có lập luận

Trong quá trình giải các bước phải có lập luận có logic chặt chẽ với nhau Xác định ẩn khéo léo Mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm bật lên được ý phải đi tìm Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài mà lập phương trình Từ đó tìm được các giá trị của ẩn Muốn vậy cần cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện, có thể thoả mãn được điều kiện hay không, điều kiện có đủ để xác định được ẩn không? Từ đó xây dựng hướng đi, xây dựng được cách giải

c) Lời giải phải mang tính toàn diện

Hướng dẫn học sinh không bỏ sót chi tiết nào, không được thừa cũng không được thiếu, hướng dẫn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ chưa? Kết quả bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Cần cho học sinh hiểu rằng kết quả của bài toán tìm được phải phù hợp với cái chung, với thực tế trong trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn còn đúng

d) Lời giải phải đơn giản

Lời giải ngoài việc phải đảm bảo ba yêu cầu nói trên cần phải chọn cách làm đơn giản mà đa số học sinh đều hiểu và có thể tự làm lại được

e) Trình bày lời giải phải ngắn gọn và khoa học

Khoa học ở đây là môi quan hệ giữa các bước giải của bài toán phải logic, chặt chẽ với nhau, các bước sau tiếp nối các bước trước và được suy ra từ bước trước, đã được kiểm nghiệm và chứng minh là đúng hoặc những điều đó đã được biết từ trước

f) Lời giải phải rõ ràng

Các bước giải phải không được chồng chéo lên nhau, hoặc phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác Muốn vậy cần hướng dẫn cho học sinh có thòi quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai

Sau khi vận dụng giải pháp 1 tôi nhận thấy đa số các em nắm tốt các yêu cầu của giải bài toán bằng cách lập phương trình cụ thể:

%

Lời giải phải

có lập luận

%

Lời giải phải mang tính toàn diện

%

Trình bày lời giải phải ngắn gọn và khoa học

%

Lời giải phải

rõ ràng %

Nhữn

g lưu

ý khác

2) Dạng toán liên quan đến số học

3) Dạng toán về công việc (“làm chung-làm riêng”, “vòi nước chảy”)

4) Dạng toán về năng suất lao động (“sớm –muộn”, “trước-sau”)

5) Dạng toán về tỷ lệ chia phần (“thêm-bớt”, “tăng-giảm”)

6) Dạng toán liên quan đến hình học

7) Dạng toán có nội dung Vật lý, Hoá học

+ Quãng đường đi

Lưu ý phải thống nhất đơn vị

- Chọn ẩn và điều kiện ràng buộc cho ẩn

- Tuỳ theo từng nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác và tìm lời giải như sau:

b) Bài toán minh hoạ

Bài toán 1: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ

10 km Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2 giờ Biết vận tốc của ca nô kém vận tốc của ô tô 17 km/h Tính vận tốc của ca nô?

* Hướng dẫn giải: Hướng dẫn học sinh biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết vào trong bảng:

Phương trình lập được

10 3

1 3 ) 17 (

Theo đề bài thì đường sông ngắn hơn đường bộ là 10 km ta có phương trình: 2(x + 17) - x

3

1

3 = 10  6(x + 17) – 10x = 30  6x + 102 – 10x = 30

 x = 18 (TMĐK)

Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h

Cách 2: Gọi ẩn gián tiếp

Gọi quãng đường sông dài là: x (km), x > 0

17 10

3 2

 x x

10

3 2

 x x

 x = 60 (TMĐK)

Vậy vận tốc của ca nô là: 18

10

60

* Hướng dẫn cách tìm lời giải

+ Nếu gọi quãng đường từ nhà ra Thị trấn là x (km), ta có thể hướng dẫn học sinh theo bảng sau:

30x  x

+ Lời giải: Gọi quãng đường cần tìm là x (km), x > 0

Thời gian dự định đi với vận tốc 10 km/h là:

10

x

(h)

Thời gian đi 1

3 quãng đường đầu là: x

Thời gian đi 2

3 quãng đường sau là: x

2

30x  x =

10

x  3x + 4x + 30 = 9x  x = 15(TMĐK)

Vậy quãng đường từ nhà ra thị trấn dài 15 km

Bài toán 3: Bài 47/Trang 59 (SGK toán 9 tập 2)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên

là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của mỗi người

Bài toán 4: Bài 52 /Trang 60 (SGK toán 9 tập 2)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h

Bài toán 5: Bài 43/Trang 58 (SGK toán 9 tập 2)

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn Khi

về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi

Tóm lại: Trong dạng toán chuyển động có ba đại lượng đó là quãng đường,

vận tốc, thời gian, chắc chắn có một đại lượng biết trước, một đại lượng chọn ẩn, đại lượng còn lại biểu thị thông qua ẩn và đại lượng đã biết Giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được mối quan hệ giữa ba đại lượng trên liên hệ với nhau bởi công thức: S = v.t

Trong quá trình chọn ẩn nếu là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì điều kiện của ẩn là luôn dương Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì lập phương trình: Thời gian dự định + thời gian đến chậm = thời gian thực tế Nếu chuyển động trên một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau

2.2.2) Dạng toán liên quan đến số học

a) Phương pháp giải

- Những lưu ý khi giải các bài tập:

+ Viết chữ số tự nhiện đã cho dưới dạng luỹ thừa của 10:

0 0 1 1 1

1 0

+ số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2 (b  N)

- Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường như sau:

Các trường hợp

Số thứ nhất (hàng

chục)

Số thứ hai (hàng đơn vị) Mối liên hệ Ban đầu

Về sau

Phương trình lập được

b) Bài toán minh hoạ

Bài toán 1: Một số tự nhiên có hai chữ số Tổng các chữ số của nó bằng 16 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18 Tìm số

Số thứ hai (hàng đơn vị) Mối liên hệ

Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9

Do đó số phải tìm là 79

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn ẩn là chữ số hàng đơn vị

* Khai thác: Có thể thay đổi dự kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, khi đó ta cũng có cách giải tương tự

Bài toán 2: Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục gấp ba lần chữ số hàng đơn vị khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số đã cho là

x

1công việc và tỉ số

x

1chính là năng suất lao động trong một ngày(giờ, phút…)

- Có thể hướng dẫn học sinh lập bảng sau:

Bảng 1:

Các trường hợp

Thời gian xong một công việc

Năng suất công việc

Mối liên hệ (tổng khối lượng công việc Theo dự

b) Bài toán minh hoạ

Bài toán 1: Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc

Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi người thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó

+ Hướng dẫn giải: Nếu gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là: x giờ (x >0)

Khi đó: Trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc? (

Vậy trong 1 giờ hai người cùng làm được bao nhiêu phần công việc? (

Trong 1 giờ cả hai người làm được:

Vậy một mình người thứ hai làm xong toàn bộ công việc hết 15 giờ

Bài toán 2: Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm

xong công trình Nếu làm riêng thì đội I là lâu hơn đội II là 5 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm mất bao lâu?

+ Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi số ngày đội I làm một mình xong công việc là: x (ngày), x > 5

Số ngày đội II làm một mình xong công việc là: x - 5 (ngày)

Trong 1 ngày: Đội I làm được:

Vậy đội I là riêng hết 15 ngày, đội II làm riêng hết 10 ngày

Cách 2: Gọi số ngày đội II làm một mình xong công việc là: x (ngày), x > 0

Ta có bảng sau:

Số đội

Giải phương trình ta được; x = 10 (nhận), x = -3 (loại)

Đối với bài toán này nếu quên không đặt điều kiện cho ẩn hoặc không so sánh kết quả với điệu kiện của ẩn thì không loại được nghiệm của phương trình, khi đó trả lời bài toán sẽ sai

* Chú ý: Ở dạng toán này học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị

qua đơn vị quy ước Từ đó lập phương trình và giải phương trình

2.2.4) Dạng toán về năng suất lao động: (“sớm- muộn”, “trước-sau”)

a) Phương pháp giải

+ Tiến hành chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

+ Đối với dạng toán về diện tích lập bảng như sau:

Năng suất công việc

Thời gian thực hiện (tổng khối lượng công việc) Theo dự định Đội 1

Đội 2 Theo thực tế Đội 1

Đội 2 Phương trình lập được

b) Bài toán minh hoạ