S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski vµo gi¶i to¸n cùc trÞ ®¹i sè A Lý do chän ®Ò tµi: §èi víi häc sinh THCS Khi nãi ®Õn to¸n BÊt ®¼ng thøc, BÊt ph¬ng tr×nh th× ®ã lµ mét lo¹i to¸n khã. Lµ mét gi¸o viªn t«i nghÜ nªn lµm thÕ nµo ®Ó HS høng thó häc tËp, ham mª gi¶i to¸n, kh«ng ch¸n n¶n khi gÆp bµi to¸n khã, lµm thÕ nµo ®Ó HS biÕt ph©n tÝch, tæng hîp, suy luËn,...vv ®Ó t×m ra ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i phï hîp. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y gi¸o viªn cÇn ph¶i biÕt vËn dông ®óng quy luËt: “ Tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p; mäi bµi to¸n khã ®Òu b¾t nguån tõ bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n”. V× vËy khi ®a vµo mét d¹ng to¸n th× ph¶i dùa vµo c¬ së néi dung lý thuyÕt phï hîp víi tr×nh ®é tiÕp thu cña HS. Th«ng qua mét hÖ thèng bµi tËp rÌn luyÖn cho HS nÒ nÕp lµm viÖc khoa häc, häc tËp tÝch cùc, chñ ®éng s¸ng t¹o vµ c¸c thao t¸c t duy cÇn thiÕt. Trong bµi viÕt nµy t«i chØ muèn ®Ò cËp ®Õn mét khÝa c¹nh nhá lµ vËn dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ®Ó t×m cùc trÞ dµnh båi dìng HS kh¸ giái cho HS líp 8, 9 cña bËc THCS. B Néi dung: I Lý thuyÕt vËn dông: 1.BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ¸p dông cho hai bé sè (a, b) vµ (x, y) : (a2+ b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1) B»ng kiÕn thøc HS ®• häc ë líp 8 c¸c em chøng minh ®îc BÊt ®¼ng thøc nµy: (1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy a2y2 2abxy + b2x2 0 (ay – bx)2 0 (2) (2) lu«n lu«n ®óng (1) ®óng DÊu “ =’’ xÈy ra ay = bx (x, y 0) BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cã ®Æc ®iÓm kh¸c víi bÊt ®¼ng thøc C«si ë chç hai bé sè kh«ng ®ßi hái ph¶i d¬ng, ¸p dông réng h¬n, tuy nhiªn ®èi víi tõng bµi to¸n cô thÓ mµ ¸p dông cho thÝch hîp. 2.BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ¸p dông cho hai bé ba sè (a, b, c)vµ(x, y, z) : (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz )2 DÊu “ =’’ xÈy ra (x, y, z 0) Cã khi ngêi ta viÕt bÊt ®¼ng thøc ë d¹ng : tuú theo tõng lóc vËn dông Më réng ¸p dông cho hai bé n sè (a1,a2, a3, ...., an) vµ ( b1, b2, b3,...., bn): (a1,2a22, a32, ...., an2) . ( b1,2 b22, b32..., bn2) 2 (a1b1+a2b2+…+anbn)2 DÊu “ =’’ xÈy ra II Bµi tËp vËn dông: §Ó häc sinh vËn dông ®îc lý thuyÕt thµnh th¹o vµ dÇn dÇn t¹o nªn kü n¨ng kü x¶o cho häc sinh th× gi¸o viªn cÇn ®a ra mét hÖ thèng bµi tËp hîp lý. Bµi tËp 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x + y Biết x2 + y2 = 4 Mấu chốt của việc vận dụng Bunhiacốpski là ở chỗ nào ? Là việc tim ra hai bộ số thich hợp Áp dụng Bunhiacôpski cho hai bộ số (1;1) và (x; y) ta cã : P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12).(x2+ y2) Nh vËy ta cã thÓ biÕt ®îc P2 nhá h¬n hoÆc b»ng mét h»ng sè vµ ta cã thÓ dÔ dµng t×m ®îc GTNN vµ GTLN cña P DÊu “ =’’ xÈy ra VËy P max = P main= §Ó ®a häc sinh ®i ®Õn d¹ng tæng qu¸t ta ®i vµo bµi tËp sau: Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc: S = x +2y biÕt: x2 + 4y2 = 2 ë ®©y bµi tËp nµy: nÕu ®Æt 2y = Y th× hoµn toµn gièng ë bµi tËp 1. Tõ ®ã häc sinh biÕt chän hai bé sè nh thÕ nµo th× thÝch hîp cho nh÷ng d¹ng bµi tËp nh thÕ nµy. Nh vËy khi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski th× mÊu chèt lµ chän ra ®îc hai bé sè {ai} vµ {bj} cho thÝch hîp víi bµi to¸n cô thÓ. Th«ng qua mét sè bµi tËp cô thÓ tõ ®ã gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh t×m ra nh÷ng d¹ng chung ®Ó ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i tæng hîp ®îc mét sè d¹ng chung nh sau: I D¹ng 1: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc cã d¹ng: M = a.f(x) + b.g(y) biÕt f2(x) + g2(y) k2 (Nh ë bµi tËp 1 vµ bµi tËp 2) Ph¬ng ph¸p gi¶i: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (a; b) vµ (f(x); g(y)) ta cã: M2 = a.f(x) + b.g(y)2 (a2 + b2). f2(x) + g2(y) M2 (a2 + b2). k2 k. DÊu “ = “ xÈy ra Mét sè vÝ dô ¸p dông : Bµi tËp 1.1: T×m GTNN cña biÓu thøc : A = 4x2 + 3y2 7 c¸ch x¸c ®Þnh a, b ®Ó ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski vµo d¹ng 1 nh thÕ nµo? C¸c c¸ch x¸c ®Þnh a, b: 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trong ®ã f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2 4x + 3y = 2.2x + Khi ®ã ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè A (2 ; ) vµ (2x ; ta cã : A 2= (4x + 3y) 2 22 +( )2. (2x)2 + 3y2 A 2 7.7 |A| 7 DÊu “ = “ xÈy ra A min = 7 Amax = 7 x = y = 1 Bµi tËp 1.2: T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: B = 3x – 2y biÕt: 2x2 + 3y2 = 6 Nh ®Çu bµi viÕt t«i ®• tr×nh bµy, viÖc vËn dung BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ph¶i biÕt c¸ch chän lùa cÆp sè (a;b) vµ (f(x); g(y)) mét c¸ch khÐo lÐo; häc sinh ph¶i biÕt huy ®éng vèn kiÕn thøc ®• häc mét c¸ch linh ho¹t. ë ®©y ph¶i biÕn ®æi B = 3x – 2y vÒ d¹ng a.f(x)+ b.g(y) 2x2 + 3y2 = B = Chän: (a;b) = ; (f(x); g(y)) = B2 = (3x – 2y) 2 B2 DÊu “ =xÈy ra Bmax= 35 vµ Bmin= 35 vµ Tõ nh÷ng vÝ dô nh bµi tËp 1.1, bµi tËp 1.2 ta t×m ra ch¸ch gi¶i tæng qu¸t cña d¹ng : T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc d¹ng : P = ax = by biÕt : c2x2 + d2y2 = k2 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ Ta cã : P2 mk2 trong ®ã : m= (C¸c bµi tËp t¬ng tù ta cã thÓ thay a, b, c, d, k bëi c¸c sè thùc bÊt k× kh¸c 0) Bµi tËp 1.3 : Cho x, y tho¶ m•n 2x2 + 3y2 = 12. TÝnh GTNN, GTLN cña biÓu thøc B = 5x + 4y Bµi tËp 1.4 : Cho x, y tho¶ m•n 3x2 + y2 = 4 TÝnh GTNN, GTLN cña biÓu thøc N = x + y Bµi tËp 1.5 : T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: M = 2x – 5y – 6 biÕt x2 + y2 = 2 HD: øng dông nh d¹ng 1: t×m GTLN, GTNN cña 2x – 3y sau ®ã t×m GTLN, GTNN cña M Bµi tËp 1.6 : Cho x, y tho¶ m•n (x1)2 + (2y1)2 = 8 T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc : P = x+ 2y ë bµi tËp nµy ta ¸p dông d¹ng 1 nh thÕ nµo? HD : Tõ (x1)2 + (2y1)2 = 8 ta nghÜ ®Õn ¸p dông d¹ng 1 Cho f(x) = x1 ; g(y) = 2y 1 Muèn t×m a, b ph¶i biÕn ®æi nh thÕ nµo ? P = x + 2y = a.(x1) + b.(2y – 1) P = 1.(x1) + 1.(2y – 1) + 2 P – 2 = 1.(x1) + 1.(2y – 1) Nh vËy ®Ó t×m ®îc GTNN, GTLN cña P ta ph¶i t×m GTNN, GTLN cña P – 2 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (1 ; 1) vµ (x – 1 ; 2y – 1) ta cã : (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 (12 + 12). (x – 1)2 + (2y – 1)2 (P – 2)2 2.8 = 16 (P – 2)2 = 16 hoÆc Bµi tËp t¬ng tù : a) T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: M = 3x + 2y BiÕt : (3x – 1)2 + (2y – 2)2 = 14 b) Cho x, y lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m•n : x2 + y2 2(x + y) T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: N = 2x + y HD : x2 + y2 2(x + y) x2 – 2x + y2 – 2y 0 x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 2 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 2 Chó ý ta cã thÓ më réng d¹ng 1 nh sau : T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc cã d¹ng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) +... BiÕt r»ng :f2(x) + g2(y) + h2(z) k (k lµ h»ng sè d¬ng) VÝ dô: Cho x, y, z tho¶ m•n: x2 + y2 + z2 = 2 T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc M = 3x + 2y + z HD : Hoµn toµn t¬ng tù ta ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé : (3 ; 2 ; 1) vµ (x, y, z) C©u hái ®Æt ra ngîc l¹i liÖu cho biÕt a.f(x) + b.g(y) cÇn t×m GTNN cña biÓu thøc d¹ng f2(x) + g2(y) th× ta t×m nh thÕ nµo? II D¹ng 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng A = f2(x) + g2(y) biÕt r»ng : a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b lµ h»ng sè) Qua vÝ dô BT1.2; tõ ®ã ta rót ra ph¬ng ph¸p gi¶i chung. Ph¬ng ph¸p gi¶i: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (a; b) vµ (f(x); g(y)) ta cã : a.f(x) + b.g(y)2 (a2 + b2). f2(x) + g2(y) Hay k2 (a2 + b2) A DÊu “ =”xÈy ra Mét sè vÝ dô ¸p dông : Bµi tËp 2.1 Cho x, y tho¶ m•n 3x4y=5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M=x2+y2 §©y lµ mét bµi tËp cã thÓ ¸p dông trùc tiÕp ngay ë d¹ng 2. ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (3;4) vµ (x;y) ta cã: (3x4y)2 32+(4)2 (x2+y2) 52 25 . M M 1. DÊu “ = “ xÈy ra x = vµ y = VËy Mmin = 1 x = vµ y = Bµi tËp 2.2 Cho 2 sè x ;y tho¶ m•n 3x+8y=11. T×m GTNN cña biÓu thøc: N =4x2 + 5y2. §Ó vËn dông d¹ng 2 ta biÕn ®æi: N = X¸c ®Þnh a, b sao cho: 3x+ 8y = a. 2x + b.y = ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : DÊu “ = “ xÈy ra Tõ bµi tËp 2.1; 2.2 ta cã thÓ ra cho häc sinh nhiÒu bµi tËp ®Ó tù luyÖn ë d¹ng 2 ta chØ cÇn thay ®æi c¸c bé sè Bµi tËp 2.3: T×m GTNN cña biÓu thøc: P = 3x2 + 5y2 biÕt x + y = 2 Bµi tËp 2.4: Cho x, y lµ nh÷ng sè tho¶ m•n 5x 3y = 4 T×m GTNN, cña biÓu thøc : P = 2009+4x2 + 5y2 HD: ®Ó t×m GTNN cña P th× ®Çu tiªn t×m GTNN cña 4x2 + 5y2 ®Ó sö dông d¹ng 2, nhiÒu khi ph¶i tù ph¸t hiÖn lîng a.f(x) + b.g(y) = k VÝ dô : T×m GT bÐ nhÊt cña biÓu thøc : A = ( 3x – 2y + 1)2+ ( 6x + 4y + 3) 2 Trong bµi nµy ta nhËn thÊy : 2(3x – 2y + 1) + ( 6 + 4y + 3) =1 lµ mét h»ng sè ®Ó vËn dông d¹ng 2 ta chän f(x, y) = 3x 2y 1 ; g(x, y) = 6x + 4y + 3 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (2 ; 1) vµ (3x2y1 ;6x+4y+3) ta cã : 2(3x2y1)+(6x=4y+3)2 (22+12).A 1 5.A A Amin= 15x2= 10y + 4 x= y + Bµi tËp tù gi¶i: Bµi tËp 2.5: T×m GTNN cña biÓu thøc: A = ( 3x – 4y + 1)2 + ( x y + 3)2 HD: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (2; 5) vµ (3x – 4y +1); ( x y + 3) Nh vËy viÖc t×m bé sè vµ lîng k lµ vÊn ®Ò mÊu chèt, vµ kh«ng ph¶i lóc nµo ; k còng lµ nh÷ng h»ng sè VÝ dô: Bµi tËp 2.6: T×m GTNN cña biÓu thøc: A = víi 0 < x < 3 HD: §Ó ý ta thÊy: víi 0 < x < 3 th× : A = Lóc nµy ta cã thÓ vËn dông víi f = g = Cßn chän k, , b»ng bao nhiªu? , ph¶i tho¶ m•n ®iÒu kiÖn g×? kh«ng ®æi Chó ý: vµ Tõ ®ã chän: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : A ………… Hoµn toµn t¬ng tù ta cã thÓ gi¶i nh÷ng bµi d¹ng : T×m GTNN cña A = m, n, a, b, c lµ nh÷ng h»ng sè d¬ng vµ Tõ ®©y ta cã thÓ më réng d¹ng 2 cho trêng hîp c¸c biÓu thøc nhiÒu biÕn víi hai bé sè t¬ng øng Bµi tËp 2.7: T×m GTNN cña A + 3x2 + 2y2 + z BiÕt x + y + z =2 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ a cã : (x + y + z )2 A A DÊu “ =’’ xÈy ra Bµi tËp 2.8: Cho x, y, z, t cã tæng b»ng 3. T×m GTNN cña x2 + y2 + z2 + t2 HD:¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (1; 1; 1; 1)vµ (x; y; z; t) Bµi tËp 2.9 : Cho x, y, z lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m•n : 2x + 4y + 5z =11. T×m GTNN cña A = HD : Ta chän bé ba sè lµ T¹i sao ta l¹i chän ®îc nh vËy ? Ta nhËn thÊy : x, y, z > 0 th× A = 2x + 4y + 5z =k = 11 th× ; ; tho¶ m•n 2x + 4y + 5z = ®Ó ý ®Õn mèi liªn hÖ gi÷a 2x + 4y + 5z vµ biÓu thøc A ®ã lµ : Tõ ®ã ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè ta cã : vµ ta cã : A.11 112 A 11 DÊu “ =’’ xÈy ra x= y = z = 1 III. D¹ng III: T×m GTLN cña biÓu thøc cã d¹ng: A = + Víi ; ; k lµ c¸c h»ng sè; f(x) 0; g(x) 0; f(x) + g(x) = k2 Nªu ph¬ng ph¸p gi¶i chung nh thÕ nµo? Chän bé hai sè nh thÕ nµo cho thÝch hîp? Ph¬ng ph¸p gi¶i: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè ( ) vµ ( ) ta cã: A 2 A2 |A| k. DÊu “ = “ xÈy ra Mét sè vÝ dô ¸p dông : Bµi tËp 3.1: T×m GTLN cña biÓu thøc A = víi 4 x 8 So s¸nh trong d¹ng 1: bé ( ) ë ®©y lµ (1; 1) f(x) = x – 4; g(x) = 8 x f(x) + g(x) = 4 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ( )ta cã : A 2 =( )2 (12 = + 12).(x 4 + 8 x) A2 = 2.4 =8 A = DÊu “ = “ xÈy ra x=6 VËy Amax = x = 6 Tõ d¹ng 1 vµ bµi tËp 1.1. Häc sinh cã thÓ t×m ra vµ tù ®Æt ra c¸c bµi tËp t¬ng tù ®Ó gi¶i. TÊt nhiªn kh«ng ph¶i bao giê c¸c bµi tËp ®Òu ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski trùc tiÕp, vµ chän hai bé sè thÝch hîp mét c¸ch dÔ dµng ta ®i vµo vÝ dô phøc t¹p h¬n mét chót, còng hoµn toµn nh vÝ dô 1 ®Æt bµi to¸n lµ T×m GTLN cña biÓu thøc: A = §èi víi häc sinh c¸c em cã thÓ chän ngay ®îc hai bé sè (3; 8) vµ ( ; §Ó phøc t¹p h¬n mét chót cã thÓ ®a 3 vµ 8 vµo trong c¨n A = Nhng ®èi víi lo¹i bµi tËp nµy th× lîng k 2 hoµn toµn x¸c ®Þnh ®îc dÔ dµng, cã nh÷ng khi lîng k2 = f(x) +g(x) cha râ; mµ f(x) + g(x) = h(x) th× c¸ch chän hai bé sè ®ã sÏ nh thÕ nµo ®Ó ®a vÒ d¹ng 3 Bµi tËp 3.2: T×m GTLN cña biÓu thøc: P = Víi 2 x 3 Trong biÓu thøc nµy nÕu chän hai bé sè (1; 1) vµ ( ) th× f(x) + g(x) = 6x 12 +15 5x = 3 + x Cha xuÊt hiÖn d¹ng k2 , vËy ta ph¶i lµm thÕ nµo? H•y ®Ó ý ; Nh vËy ta ®• hoµn toµn ®a vÒ d¹ng 1 cho hai bé sè: vµ ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ta cã : P2 = P 2 11 P DÊu “ =’’ xÈy ra Hoµn toµn t¬ng tù nh vËy häc sinh cã thÓ gi¶i nhanh, gän vµ tù ra ®îc nh÷ng bµi tËp nh vËy ®Ó gi¶i VÝ dô: Bµi tËp 3.3: T×m GTLN cña P = víi 3 x 5 HD: P = ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ Ta cã d¹ng tæng qu¸t : Bµi tËp 3.4 : T×m GTLN cña biÓu thøc ( xÐt trong ®iÒu kiÖn biÓu thøc cã nghÜa) B = vµ Ph¬ng ph¸p : B = ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : B2 DÊu “ =’’ xÈy ra Chó ý: cã thÓ vËn dông s¸ng t¹o d¹ng nµy trong trêng hîp kh«ng ph¶i lµ h»ng sè kh«ng? VÝ dô: T×m GTLN cña biÓu thøc: P = víi 0 x 4 NÕu ¸p dông d¹ng 1 th× f(x) + g(x) ®ang thay ®æi theo x. §Ó ý chóng ta thÊy r»ng: víi 0 x 4 th× : Tõ ®ã ta ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : P2 = P2 24 P DÊu “ =’’xÈy ra Pmax= Chó ý: NÕu chän bé sè vµ th× ph¬ng tr×nh víi 0 < x < 4 v« nghiÖm Bµi tËp tù gi¶i: Bµi tËp 3.5: T×m GTLN cña biÓu thøc a) M = b) N = Bµi tËp 3.6: T×m GTLN cña biÓu thøc: a) A = b) B = C KÕt qu¶: ViÖc giíi thiÖu øng dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ®Ó gi¶i to¸n cùc trÞ ®¹i sè, thªm cho häc sinh mét ph¬ng ph¸p gi¶i cho häc sinh; kÝch thÝch vµ g©y høng thó cho häc sinh. Ngoµi ra häc sinh cßn linh ho¹t vËn dông gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh; chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Häc sinh tù m×nh ®a ra c¸c bµi tËp ®Ó gi¶i, t¨ng tÝnh s¸ng t¹o, tù häc. ViÖc ®a ra hÖ thèng c¸c bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã, n©ng cao dÇn, gióp cho c¸c em n¾m bµi mét c¸ch dÔ dµng. 100% häc sinh kh¸ giái ®Òu cã thÓ gi¶i ®îc c¸c d¹ng ®• nªu vµ nh÷ng d¹ng phøc t¹p h¬n. D Bµi häc kinh nghiÖm: §Ó bµi d¹y cã hiÖu qu¶ cao gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu kü c¸c tµi liÖu, t×m ra c¸c bµi tËp cã ®Æc ®iÓm chung ®Ó ph©n d¹ng chung, ph¬ng ph¸p gi¶i chung cho mçi d¹ng, gióp häc sinh hiÓu s©u, hiÓu réng vÊn ®Ò h¬n. Gi¸o viªn cÇn ph¶i t×m híng khai th¸c mçi bµi to¸n nh»m gióp häc sinh høng thó häc tËp, kh¬i dËy tÝnh s¸ng t¹o, ®éc lËp trong tõng bµi to¸n cô thÓ. DiÔn Ch©u, th¸ng 42209 Ngêi viÕt: NguyÔn ThÞ Hoan Mai
Trang 1Sáng kiến kinh nghiệm: áp dụng Bất đẳng thức
Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số
A- Lý do chọn đề tài:
Đối với học sinh THCS Khi nói đến toán Bất đẳng thức, Bất phơng trình thì đó là một loại toán khó Là một giáo viên tôi nghĩ nên làm thế nào để
HS hứng thú học tập, ham mê giải toán, không chán nản khi gặp bài toán khó, làm thế nào để HS biết phân tích, tổng hợp, suy luận, vv để tìm ra
đ-ợc phơng pháp giải phù hợp Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải biết vận dụng đúng quy luật: “ Từ đơn giản đến phức tạp; mọi bài toán khó đều bắt nguồn từ bài toán đơn giản hơn” Vì vậy khi đa vào một dạng toán thì phải dựa vào cơ sở nội dung lý thuyết phù hợp với trình độ tiếp thu của HS Thông qua một hệ thống bài tập rèn luyện cho HS nề nếp làm việc khoa học, học tập tích cực, chủ động sáng tạo và các thao tác t duy cần thiết
Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến một khía cạnh nhỏ là vận dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski để tìm cực trị dành bồi dỡng HS khá giỏi cho HS lớp 8, 9 của bậc THCS
B-Nội dung:
I/ Lý thuyết vận dụng:
1.Bất đẳng thức Bunhiacôpski áp dụng cho hai bộ số (a, b) và (x, y) :
(a2+ b2).(x2+ y2) ≥ ( ax + by)2 (1)
Bằng kiến thức HS đã học ở lớp 8 các em chứng minh đợc Bất đẳng thức này:
(1) ⇔ a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 ≥ a2 x2+ b2y2+ 2abxy
⇔ a2y2 - 2abxy + b2x2 ≥ 0
⇔ (ay – bx)2 ≥ 0 (2)
(2) luôn luôn đúng ⇒ (1) đúng
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔ ay = bx ⇔
y
b x
a
= (x, y ≠0)
Bất đẳng thức Bunhiacôpski có đặc điểm khác với bất đẳng thức Côsi ở chỗ hai bộ số không đòi hỏi phải dơng, áp dụng rộng hơn, tuy nhiên đối với từng bài toán cụ thể mà áp dụng cho thích hợp
Trang 22.Bất đẳng thức Bunhiacôpski
áp dụng cho hai bộ ba số (a, b, c)và(x, y, z) :
(a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
x
c y
b x
a = = (x, y, z ≠0)
Có khi ngời ta viết bất đẳng thức ở dạng :
ax+by+cz ≤ (a2 +b2 +c2 )(x2 +y2 +z2 )
tuỳ theo từng lúc vận dụng
* Mở rộng áp dụng cho hai bộ n số
(a1,a2, a3, , an) và ( b1, b2, b3, , bn):
(a1,2a2 , a3 , , an ) ( b1,2 b2 , b3 , bn ) 2 ≥ (a1b1+a2b2+ +a… nbn)2
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
n
n
b
a b
a b
a = = = 2
2 1 1
II/ Bài tập vận dụng:
Để học sinh vận dụng đợc lý thuyết thành thạo và dần dần tạo nên kỹ năng
kỹ xảo cho học sinh thì giáo viên cần đa ra một hệ thống bài tập hợp lý
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
P = x + y Biết x2 + y2 = 4
Mấu chốt của việc vận dụng Bunhiacốpski l à ở chỗ n o ? L vià à ệc tim ra hai bộ số thich hợp
Áp dụng Bunhiacụpski cho hai bộ số (1;1) v (x; y) ta có : à
P2 = (1.x + 1.y)2 ≤ (12+ 12).(x2+ y2)
Nh vậy ta có thể biết đợc P2 nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số và ta có thể dễ dàng tìm đợc GTNN và GTLN của P
P ≤ 2 4 ⇔ − 8 ≤P ≤ 8
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
= +
=
4
2
2 y x
y x
⇔ x = y = ± 2
Vậy P max = 8 ⇔ x= y= 2
P main= − 8 ⇔ x= y = − 2
Để đa học sinh đi đến dạng tổng quát ta đi vào bài tập sau:
Bài tập 2: Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
S = x +2y biết: x2 + 4y2 = 2
ở đây bài tập này: nếu đặt 2y = Y thì hoàn toàn giống ở bài tập 1 Từ đó học sinh biết chọn hai bộ số nh thế nào thì thích hợp cho những dạng bài tập nh thế này
Nh vậy khi giải bài toán bằng cách áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski thì
Trang 3thể Thông qua một số bài tập cụ thể từ đó giáo viên có thể hớng dẫn học sinh tìm ra những dạng chung để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski
Trong quá trình giảng dạy tôi tổng hợp đợc một số dạng chung nh sau:
I/ Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức có dạng:
M = a.f(x) + b.g(y) biết f2(x) + g2(y) ≤ k2 (Nh ở bài tập 1 và bài tập 2)
*Phơng pháp giải:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (a; b) và (f(x); g(y)) ta có:
M2 = [a.f(x) + b.g(y)]2 ≤ (a2 + b2) [ f2(x) + g2(y)]
M2 ≤ (a2 + b2) k2
M ≤ k a2 +b2
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔
= +
=
2 2
2 ( ) ( )
) ( ) (
k y g x f
b
y g a
x f
Một số ví dụ áp dụng :
Bài tập 1.1: Tìm GTNN của biểu thức :
A = 4x2 + 3y2 ≤ 7
cách xác định a, b để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào dạng 1 nh thế nào?
Các cách xác định a, b:
4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trong đó f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2
⇒ 4x + 3y = 2.2x + 3 3y
Khi đó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski
cho hai bộ số A (2 ; 3) và (2x ; 3y) ta có :
A 2= (4x + 3y) 2 ≤ [22 +( 3)2] [(2x)2 + 3y2]
A 2 ≤ 7.7 ⇔ |A| ≤ 7
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔
=
= +
3
3 2 2
7 3
4 2 2
y x
y x
Trang 4A min = - 7 ⇔ 1
7 3
−
= +
=
y x y
x
y x
Amax = 7 ⇔ x = y = 1
Bài tập 1.2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:
B = 3x – 2y biết: 2x2 + 3y2 = 6
Nh đầu bài viết tôi đã trình bày, việc vận dung Bất đẳng thức Bunhiacôpski phải biết cách chọn lựa cặp số (a;b) và (f(x); g(y)) một cách khéo léo; học sinh phải biết huy động vốn kiến thức đã học một cách linh hoạt
ở đây phải biến đổi B = 3x – 2y về dạng a.f(x)+ b.g(y)
2x2 + 3y2 = ( ) ( )2 2
3
2 y
3
2 2
2
3 2
−
+
=
−
Chọn:
3
2
; 2
3
; (f(x); g(y)) =(x 2 ;y 3 )
−
+
3 2
3
2 2
3
y x
≤ (2 2 3 2)
3
4 2
9
y
x +
3
4 2
9
+
⇒ B2 ≤ 6 35
6
35
Dấu “ ="xẩy ra ⇔
= +
−
=
6 3 2
3 2 3 2
3 2
2
x
y x
Bmax= 35 ⇔
35
9
=
35
4
−
=
y
Bmin= -35 ⇔
35
9
−
=
35
4
=
y
Từ những ví dụ nh bài tập 1.1, bài tập 1.2 ta tìm ra chách giải tổng quát của dạng :
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng : P = ax = by biết : c2x2 + d2y2 = k2
d
b c
a
; và (cx;dy)
Ta có : P2 ≤ mk2 trong đó : m=
+
d
b c
a
Trang 5(Các bài tập tơng tự ta có thể thay a, b, c, d, k bởi các số thực bất kì khác 0)
Bài tập 1.3 :
Cho x, y thoả mãn 2x2 + 3y2 = 12
Tính GTNN, GTLN của biểu thức B = 5x + 4y
Bài tập 1.4 :
Cho x, y thoả mãn 3x2 + y2 = 4 Tính GTNN, GTLN của biểu thức N = -x +
2
1
y
Bài tập 1.5 :
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 2x – 5y – 6 biết x2 + y2 = 2
HD: ứng dụng nh dạng 1: tìm GTLN, GTNN của 2x – 3y
sau đó tìm GTLN, GTNN của M
Bài tập 1.6 :
Cho x, y thoả mãn (x-1)2 + (2y-1)2 = 8 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức : P = x+ 2y
ở bài tập này ta áp dụng dạng 1 nh thế nào?
HD : Từ (x-1)2 + (2y-1)2 = 8 ta nghĩ đến áp dụng dạng 1
Cho f(x) = x-1 ; g(y) = 2y -1
Muốn tìm a, b phải biến đổi nh thế nào ?
P = x + 2y = a.(x-1) + b.(2y – 1)
P = 1.(x-1) + 1.(2y – 1) + 2
P – 2 = 1.(x-1) + 1.(2y – 1)
Nh vậy để tìm đợc GTNN, GTLN của P ta phải tìm GTNN, GTLN của P – 2
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (1 ; 1) và (x – 1 ; 2y – 1)
ta có : (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 ≤ (12 + 12) [(x – 1)2 + (2y – 1)2]
(P – 2)2 ≤ 2.8 = 16
(P – 2)2 = 16 ⇔
=
− +
−
−
=
−
8 ) 1 2 ( ) 1 (
1 2 1
2
x
y x
⇔
=
=
2 3
3
y
x
hoặc
−
=
−
=
2 1
1
y x
Bài tập t ơng tự :
a) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 3x + 2y
Biết : (3x – 1)2 + (2y – 2)2 = 14
b) Cho x, y là những số dơng thoả mãn : x2 + y2 ≤ 2(x + y)
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: N = 2x + y
HD : x2 + y2 ≤ 2(x + y)
Trang 6⇒ x2 – 2x + y2 – 2y ≤ 0
⇒ x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1≤ 2
⇒ (x – 1) 2 + (y – 1) 2 ≤ 2
* Chú ý ta có thể mở rộng dạng 1 nh sau :
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) + Biết rằng :f2(x) + g2(y) + h2(z) ≤ k (k là hằng số dơng)
Ví dụ:
Cho x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 2
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức M = 3x + 2y + z
HD : Hoàn toàn tơng tự ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ : (3 ; 2 ; 1) và (x, y, z)
Câu hỏi đặt ra ngợc lại liệu cho biết a.f(x) + b.g(y) cần tìm GTNN của biểu thức dạng f2(x) + g2(y) thì ta tìm nh thế nào?
II/ Dạng 2 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng A = f2(x) + g2(y) biết rằng : a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b là hằng số)
Qua ví dụ BT1.2; từ đó ta rút ra phơng pháp giải chung
*Phơng pháp giải:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (a; b) và (f(x); g(y)) ta có : [a.f(x) + b.g(y)]2 ≤ (a2 + b2) [ f2(x) + g2(y)]
Hay k2 ≤ (a2 + b2) ⇒ A ≥ 2 2 2
b a
k
+
Dấu “ =”xẩy ra ⇔
=
= +
b
y
g
a
x
f
k y g
b
x
f
a
)
(
)
(
) (
.
)
(
.
⇒
+
=
2
) ( ) (
b a
k b
y g b a
x f a
⇒
+
=
+
=
2 2
2 2
) (
)
(
b a
k b y g
b a
k a x f
Một số ví dụ áp dụng :
Bài tập 2.1
Cho x, y thoả mãn 3x-4y=5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2
Đây là một bài tập có thể áp dụng trực tiếp ngay ở dạng 2
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (3;-4) và (x;y) ta có:
Trang 7(3x-4y)2 ≤ [ 32+(-4)2] (x2+y2)
52 ≤ 25 M
⇒ M ≥ 1
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔
=
−
=
5 4 3
4 3
y x
y x
⇔
25
5 16
4 9
3x− y =
⇒
5
1
9
3x = ⇒ x =
5
3
và y = 5
4
−
Vậy Mmin = 1 ⇔ x =
5
3
và y = 5
4
−
Bài tập 2.2
Cho 2 số x ;y thoả mãn 3x+8y=11
Tìm GTNN của biểu thức: N =4x2 + 5y2
Để vận dụng dạng 2 ta biến đổi: N = ( 2x) 2 + ( 5y) 2
Xác định a, b sao cho:
3x+ 8y = a 2x + b.y 5
5
8 2
2
3
y x
−
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số −5
8
; 2
3
và (2 y x; 5)
ta có :
y x y
x
5
64 4
9 8
3
5 2
5
8 2
3 8
3
2
2 2
2 2
2
+
≤
−
− +
≤
−
301
20 11
20
301
11 2 ≤ N ⇒ N ≥ 2
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔
=
−
−
=
11 8 3
5 8 5 2
3 2
y x y x
Trang 8Từ bài tập 2.1; 2.2 ta có thể ra cho học sinh nhiều bài tập để tự luyện ở dạng
2 ta chỉ cần thay đổi các bộ số
Bài tập 2.3:
Tìm GTNN của biểu thức: P = 3x2 + 5y2 biết x + y = 2
Bài tập 2.4:
Cho x, y là những số thoả mãn 5x - 3y = 4 Tìm GTNN, của biểu thức : P = 2009+4x2 + 5y2 HD: để tìm GTNN của P thì đầu tiên tìm GTNN của 4x2 + 5y2
để sử dụng dạng 2, nhiều khi phải tự phát hiện lợng a.f(x) + b.g(y) = k
Ví dụ : Tìm GT bé nhất của biểu thức :
A = ( 3x – 2y + 1)2+ ( -6x + 4y + 3) 2
Trong bài này ta nhận thấy :
2(3x – 2y + 1) + ( -6 + 4y + 3) =1 là một hằng số để vận dụng dạng 2 ta chọn
;
1
;
2 =
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
(2 ; 1) và (3x-2y-1 ;-6x+4y+3) ta có :
[2(3x-2y-1)+(-6x=4y+3)]2 ≤ (22+12).A
1 ≤5.A ⇒ A ≥
5 1
Amin=
5
2
1 2 3
+ +
−
=
−
−
y x y
x
⇔ 15x2= 10y + 4 ⇔ x=
3
2
y +
15 4
Bài tập tự giải:
Bài tập 2.5: Tìm GTNN của biểu thức:
A = ( 3x – 4y + 1)2 + (
5
6
x -
5
8
y + 3)2
HD: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
(2; -5) và [(3x – 4y +1); (
5
6
x -
5
8
y + 3)]
Nh vậy việc tìm bộ số ( α ; β )và lợng k là vấn đề mấu chốt, và không phải lúc
nào ( α ; β ); k cũng là những hằng số
Ví dụ:
Bài tập 2.6:
Tìm GTNN của biểu thức:
Trang 9A =
x x
1 3
3
+
− với 0 < x < 3
HD: Để ý ta thấy: với 0 < x < 3 thì : A =
2 2
1 3
3
+
3
3
x
1
Còn chọn k, α ,β bằng bao nhiêu? α ,β phải thoả mãn điều kiện gì?
k x
−
1 3
3
β
3
−x x x x và ( 3 −x) 2 + ( x) 2 = 3
Từ đó chọn:
1 3
;
;
3 − = = +
α
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
)
;
3
( −x x và −x x
1
; 3
3
ta có :
( x x)
x x
x x
x
−
≤
+
−
1 3
3
1 3
3
3
) 1 3 ( + 2
…………
Hoàn toàn tơng tự ta có thể giải những bài dạng :
Tìm GTNN của A =
d cx
n bx a
m
−
+
−
m, n, a, b, c là những hằng số dơng và
b
a x c
d < <
Từ đây ta có thể mở rộng dạng 2 cho trờng hợp các biểu thức nhiều biến với hai
bộ số tơng ứng
Bài tập 2.7:
Tìm GTNN của A + 3x2 + 2y2 + z Biết x + y + z =2
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
1
;
2
1
;
3
1
và ( )3x; 2y; 2a có :
2
1 3
1
+ +
Trang 10⇒ A ≥ 11
24 6
5 1
4
=
⇒ A ≥
11 24
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
= + +
=
=
1 2 1 2 3 1 3
z y x
z y x
⇔
= + +
=
=
1
2 3
z y x
z y x
⇔
11
6
; 11
3
; 11
2 = =
x
Bài tập 2.8: Cho x, y, z, t có tổng bằng 3
Tìm GTNN của x 2 + y 2 + z 2 + t 2
HD:áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (1; 1; 1; 1)và (x; y; z; t)
Bài tập 2.9 : Cho x, y, z là những số dơng thoả mãn : 2x + 4y + 5z =11
Tìm GTNN của A =
z y x
5 4 2
+ +
HD : Ta chọn bộ ba số ( α ; β ; γ )là ( 2x; 4y; 5z)
Tại sao ta lại chọn đợc nh vậy ?
Ta nhận thấy : x, y, z > 0 thì A =
2 2
2
5 4
2
=
+
x y
x
2x + 4y + 5z =k = 11 thì α ;β ;γ thoả mãn
2x + 4y + 5z =
2
5 4
2 β γ
y x
để ý đến mối liên hệ giữa 2x + 4y + 5z và biểu thức A đó là :
5 4 2
5 5
4 4
2
z
z y
y x
x
Từ đó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ta có :
z y x
5
;
4
;
2
và ( 2x; 4y; 5z) ta có :
2
11
5 5
4 4
2 2 5
4 2 5 4
+ +
≥ + +
z
z y
y x
x z
y x z y
x
⇒ A.11 ≥ 112 ⇒ A ≥ 11
Trang 11Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
>
= + +
=
=
0 , ,
11 5 4 2
5 :
5 4
:
4 2
: 2
z y x
z y x
z z
y y
x x
⇔ x= y = z = 1
III Dạng III:
Tìm GTLN của biểu thức có dạng:
A = α f (x) +β g (x)
Với α ;β ; k là các hằng số; f(x) ≥ 0; g(x) ≥0; f(x) + g(x) = k2
Nêu phơng pháp giải chung nh thế nào?
Chọn bộ hai số nh thế nào cho thích hợp?
*Phơng pháp giải:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (α ; β ) và ( f(x) ; (gx)
)
ta có:
A 2 ≤ (α 2 + β 2) [f(x) +g(x)]
A2 ≤ (α + 2 β 2).k2
|A| ≤ k α + 2 β 2
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔
≥
≥
= +
=
0 ) (
; 0 ) (
) ( ) (
) ( )
(
2
x g x
f
k x g x f
x g x
f
β
α
⇔ (2) (2) 2 2 2
β
α +
=
b
x g a
x f
Một số ví dụ áp dụng :
Bài tập 3.1:
Tìm GTLN của biểu thức A = x− 4 + 8 −x với 4 ≤ x ≤ 8
So sánh trong dạng 1: bộ(α ; β ) ở đây là (1; 1)
f(x) = x – 4; g(x) = 8 - x
f(x) + g(x) = 4
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
( )1 ; 1 ) và ( f(x) ; (gx))ta có :
A 2 =( x− 4 + 8 −x)2 ≤ (1 2 = + 1 2 ).(x - 4 + 8 - x)
Trang 12A2 = ≤ 2.4 =8
A = x− 4 + 8 −x ≤ 8
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔
≤
≤
−
=
−
8 4
8 4
x
x
≤
≤
−
=
−
8 4
8 4
x
x x
⇔ x=6
Vậy Amax = 8 ⇔ x = 6
Từ dạng 1 và bài tập 1.1 Học sinh có thể tìm ra và tự đặt ra các bài tập tơng tự
để giải Tất nhiên không phải bao giờ các bài tập đều áp dụng Bất đẳng thức
Bunhiacôpski trực tiếp, và chọn hai bộ số thích hợp một cách dễ dàng ta đi vào
ví dụ phức tạp hơn một chút, cũng hoàn toàn nh ví dụ 1 đặt bài toán là
Tìm GTLN của biểu thức: A =3 x− 4 + 8 8 −x
Đối với học sinh các em có thể chọn ngay đợc hai bộ số
(3; 8) và ( x− 4 ; x− 8;
Để phức tạp hơn một chút có thể đa 3 và 8 vào trong căn
A = 9x− 36 + 512 − 64x
Nhng đối với loại bài tập này thì lợng k 2 hoàn toàn xác định đợc dễ dàng, có những khi lợng k2 = f(x) +g(x) cha rõ; mà f(x) + g(x) = h(x) thì cách chọn hai
bộ số đó sẽ nh thế nào để đa về dạng 3
Bài tập 3.2: Tìm GTLN của biểu thức:
P = 6x− 12 + 15 − 5x Với 2 ≤ x ≤ 3
Trong biểu thức này nếu chọn hai bộ số (1; 1) và ( f(x) ; g(x) )
thì f(x) + g(x) = 6x -12 +15 -5x = 3 + x
Cha xuất hiện dạng k2 , vậy ta phải làm thế nào?
- Hãy để ý 6x− 12 = 6 x− 2; 15 − 5x = 5 3 −x
Nh vậy ta đã hoàn toàn đa về dạng 1 cho hai bộ số:( 6 ; 5 ) và ( x− 2 ; 3 −x)
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
P2 =( 6x− 12 + 15 − 5x)2 ≤ ( 6 + 5 ).(x− 2 + 3 −x)
P 2 ≤ 11
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
1
28 5
3 6
2 3
2
5
3 6
2
=
⇔
−
=
−
⇔
≤
≤
−
=
−
x x x
x
x x
Hoàn toàn tơng tự nh vậy học sinh có thể giải nhanh, gọn và tự ra đợc những bài tập nh vậy để giải
Trang 13Ví dụ:
Bài tập 3.3: Tìm GTLN của P = 3 7x− 21 + 4 15 − 3x với 3 ≤ x ≤ 5
HD: P = 3 7 x− 3 + 4 3 5 −x
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ( 3 7 ; 4 3 ) và ( x− 3 ; 5 −x)
Ta có dạng tổng quát :
Bài tập 3.4 : Tìm GTLN của biểu thức ( xét trong điều kiện biểu thức có nghĩa)
B = α a1x−b1 + β b2 −a2x và
2
2 1
1
a
b a
b
≤
Phơng pháp :
a
b a a
b x
2
2 2 1
1
α
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
(α a1 ; β a2) và
−
a
b a
b x
2
2 1
1 ;
a
b a
b x a a
2
2 1
1 2
2 1
α
Dấu “ =’’ xẩy ra ⇔
≤
≤
−
=
−
2
2 1
2 2 2 1
1 1
b x a b
a
x a b a
a
b x
β α
hằng số không?
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức: P = x( 4 −x) + x( 6 −x) với 0 ≤ x ≤ 4
Nếu áp dụng dạng 1 thì f(x) + g(x) đang thay đổi theo x Để ý chúng ta thấy rằng: với 0 ≤ x ≤ 4 thì :
( ) (x 2 + 4 −x)2 = x+ 4 −x= 4
( ) (x 2 + 6 −x)2 = x+ 6 −x= 6
( x; 6 −x) và( 4 −x; x)ta có :
P2 = ( x 4 −x + 6 −x. x) 2 ≤ (x+ 6 −x)(x+ 4 −x)
P2 ≤ 24
P ≤ 24