Bài tập điển hình CM hình phẳng OXY Đoàn Trí Dũng

HOT>>>>>>>>>> Bài tập về chứng minh hình học phẳng OXY cực hay của Thầy Đoàn Trí Dũng..........Những bài tập điển hình này sẽ giúp chúng ta rèn luyện tư duy để chứng minh các tính chất trong bài toán về hình học phẳng OXY

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG

Biên soạn: Đoàn Trí Dũng

Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE I là tâm ngoại tiếp Chứng minh rằng:

a) BDEC là tứ giác nội tiếp.

b) IA ^DE

c) IA là trung trực của MN.

d) AM AN

e) A M2 =A N2 =A E A B =A D A C =A H A K

a) Học sinh tự chứng minh

A BC A DE

0

90

c) Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính chất

giữa dây cung và tâm, ta có IA đi qua trung điểm của MN Do

đó IA là trung trực của MN.

d) Vì câu c) nên ta có câu d)

e) A ME 1sdA N, A BM 1sdA M

Như vậy –A ME = –A B M  DA ME ∽ DA B M A M2 =A E A B

Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên AE AB AD AC

Vì BEHK là tứ giác nội tiếp nên AE AB AH AK

Kiến thức cần nhớ:

∑ Khái niệm góc dưới đáy ở tâm phụ với góc nội tiếp chắn cung: –IA C =900 - –A BC

∑ Tam giác đồng dạng chung góc với tỷ số bình phương: DA ME ∽ DA BM A M2 =A E A B

Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AE E trung điểm BD Đường tròn cắt AC tại G.

a) EA EG

b) EG là tiếp tuyến của đường tròn tâm F.

c) EC AD EG AC

a) AGDE nội tiếp nên –AGE = –ADE Mà

b) –EGD = –EAD = –EAB = –DCG Mà

DCG FGC 900 DGF

EGD 900 DGF EG GF

c) –GEC = –GAD  DGEC ∽ DDAC Ta có điều phải chứng minh

H

D

E

I A

M

N

K

G

F D

E

A

Bài 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Các đường cao hạ vuông góc là AD, BK, BE, CF M N P, , là các trung điểm Chứng minh rằng:

a) DE ^A C DF, ^A B

b) MP MN, là các trung trực của DE DF,

c) M là tâm ngoại tiếp tam giác DEF

d) DDEF ∽ DABC

e) K E M, , thẳng hàng

a) –A DE = –A BE = 900 - –BA E = –A CD mà

A CD 900 DA C DE A C

Tương tự ta có DF ^AB b) MP // AC nên MP ^DE Mặt khác P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB nên P nằm trên trung

trực của DE Vậy MP là trung trực của DE Tương tự cho MN

c) Vì câu b) nên có câu c)

d) Ta có –DEF = –A BC,–DFE = –A CB  DDEF ∽ DA BC ( )g g

e) –MEF =900 - –EDF = 900 - –BA C = –A BK = –A EK =1800 - –KEF đpcm

Bài 4: MD và ME vuông góc với AC và BC P và Q lần lượt là trung điểm của AB và DE.

a) BM DE BA EM

b) DA PM ∽ DDQM

c) PQ ^QM

ra BM DE BA EM

b) Từ câu a) ta suy ra A PMD ∽ DDQM c) DA PM ∽ DDQM  DA DM ∽ DPQM  –PQM = –A DM

Vậy PQ ^QM .

Kiến thức cần nhớ: Kỹ thuật co dãn tam giác đồng dạng và kỹ thuật

đổi đỉnh chéo tam giác đồng dạng

Bài 5: Hình vuông ABCD E là điểm bất kỳ trên đoạn BC Đường tròn đường kính AE cắt BD tại F Tiếp

tuyến tại A của đường tròn cắt CD tại G Chứng minh rằng:

a) DFAE vuông cân

b) FA =FE =FC

c) FA G 450 đồng thời AGDF nội tiếp.

d) G F E, , thẳng hàng

e) F là trung điểm GE

H

N

F

K

D

E

M

P

I A

Q D P

A

M

E

a) FABE nội tiếp đường tròn đường kính AE do đó tam giác FAE vuông Lại có –FEA = –FBA =450 do vậy tam giác

FAE vuông cân.

b) Vì F nằm trên trung trực của AC nên FA =FE =FC c) DEA B = DGAD GAE là tam giác vuông cân do đó

FA G 900 FA E 450 – = - – = nên AGDF nội tiếp.

d) AGDF nội tiếp nên –GFA = –GDA =900 Do đó ta có

G F E, , thẳng hàng

e) GAE vuông cân nên ta có đpcm.

Bài 6: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD là đường kính AE kéo dài cắt đường tròn tại K, J là trung

điểm BC G là trọng tâm tam giác ABC

a) BHCD là hình bình hành.

b) A H 2IJ

c) EH EK

d) KA là phân giác góc B K M

e) IH 3IG

a) BH ^A C CD, ^A C BH // CD Tương tự BD // CH do

đó BHCD là hình bình hành.

b) BHCD là hình bình hành cho nên J là trung điểm của HD Do

đó ta có điều phải chứng minh

c) –EBH = –EAC = –EBK Ta có điều phải chứng minh

d) –BKA = –BCA = –AKM Ta có điều phải chứng minh

e) Ta có: A G

A J

2

3 mà J là trung điểm của HD do đó G là trọng tâm tam giác AHD Ta có điều phải chứng minh

Bài 7: Tam giác OAB vuông cân tại O Kẻ đường thẳng bất kỳ qua A cắt OB tại M Kẻ đường thẳng

qua B vuông góc AM tại H cắt đường tròn đường kính OB tại K và cắt OA tại I.

a) IM ^AB

b) OMI là tam giác vuông cân.

c) HO là phân giác góc M HI

d) OKH là tam giác vuông cân.

F

C

A

D

G

B

E

G H

F

E

M I

A

D K

J

a) M là trực tâm tam giác ABI do đó ta có điều phải chứng minh.

b) IM ^AB do đó –MIO =900 - –OA B =450 Ta có điều phải chứng minh

c) OMHI nội tiếp có OM OI nên HO là phân giác góc M HI d) –OHK = –OMI =450 và –OKH = 900 do đó ta có điều phải chứng minh

Bài 8: Tam giác vuông ABC có I là trung điểm của BC Phân giác góc A cắt đường tròn tại D, hạ DE

và DF vuông góc với các cạnh của tam giác.

a) FAED là hình vuông.

b) E I F, , thẳng hàng

a) Vì có ba góc vuông nên DEAF là hình chữ nhật Mặt khác vì

AD là phân giác nên DE DF vì vậy FAED là hình vuông.

b) –EIB = –EDB =900 - –EBD =900 - –DCF = –CDF

CIF

= – do đó ta có điều phải chứng minh

Bài 9: Tam giác ABC cân AD BF CE, , là các đường cao I là trung điểm AH và điểm J thỏa mãn

DJ DB Hạ JK vuông góc với BF G là trung điểm AB.

a) IG ^GD IE, ^ED

b) IGED nội tiếp.

c) JKF là tam giác vuông cân.

d) DK là phân giác góc JDF

a) IG // BH và GD // AC mặt khác BH ^AC GI ^GD

IEH IHE DHC 900 ECD 900 DEC

ta có IE ^ED b) Từ câu a) ta có câu b)

c) B E J F C, , , , cùng nằm trên đường tròn tâm D đường kính BC do

đó –JFK = –JCB = –JBC =450 Ta có điều phải chứng minh d) K và D cùng thuộc trung trực của JF nên ta có điều phải chứng

minh

Bài 10: Hình vuông ABCD N là trung điểm CD Đường tròn đường kính BN cắt AC tại E BE cắt AD

tại M, MN cắt đường tròn tại I.

M

K

H

E

O

A

B

I

E

I

A

D

F

I

K

J

H

G

D A

a) MDNE nội tiếp.

b) BEN là tam giác vuông cân.

c) MF NE BI, , đồng quy tại H.

d) BI BC

e) FEI là tam giác vuông.

a) Học sinh tự chứng minh

b) EBCN là tứ giác nội tiếp nên –EBN = –ECN =450

vậy ta có điều phải chứng minh

c) MF NE BI, , là ba đường cao nên đồng quy

d) –IBN = –NEC = –NBC do đó DIBN = DCBN do

đó ta có điều phải chứng minh

e) –EIB = –ECB = 450,–FIB = –FNE = –FCB = 450

do đó ta có điều phải chứng minh

Bài 11: Tam giác vuông ABC có đường cao AH Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC tại D

và E Gọi M là trung điểm BC.

a) D H E, , thẳng hàng

b) AM ^DE

0 0

180 2

, ,

180 2

Ì

b) A EH 1 A HD 900 HA B A BH

2

A EH 900 MCA 900 MA C

Ta có điều phải chứng minh

Bài 12: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I

Hạ các đường DG DM DJ DK, , , vuông góc với các cạnh tương

ứng Chứng minh rằng:

a) G M J K, , , thẳng hàng

b) JM // EF.

c) IA ^JM

0

90

Ô

ÔÓ do đó G M J, , thẳng hàng Tương tự, ta có được điều phải chứng minh

b) –HJM = –HDM = –HAE = –HFE do đóJM // EF.

H

F I

E

N D

C

M

Q

F E

M

A

H

D

H

I A

G

K

c) FE ^IA  IA JM^

Bài 13: Trực tâm H Gọi M và N là các điểm đối xứng của D qua AB và AC.

a) M F E N, , , thẳng hàng

b) GI // EF.

c) A F D C N, , , , cùng thuộc một đường tròn

d) H là tâm nội tiếp của tam giác DEF.

Ô

chứng minh

b) Học sinh tự chứng minh

c) –DAN = –2 DAI = –2 DFC = –DFN ta có điều phải chứng minh

d) Học sinh tự chứng minh

Bài 14: Hình vuông ABCD E bất kỳ trên BC

Dựng AF vuông góc AE I là trung điểm EF Kẻ

EG // CD EF cắt AD tại J.

a) AECF nội tiếp.

b) AEF là tam giác vuông cân.

c) FA2 FK FC

d) EGFK là hình thoi.

e) EK =BE +DK

f) Tam giác CKE có chu vi bằng nửa chu vi

ABCD.

g) GJK là tam giác vuông cân.

a) Học sinh tự chứng minh

b) DABE = DADF do đó ta có điều phải chứng minh

c) FA2 =FI FE =FK FC

d) –GEI = –KFE = –KEI do đó ta có điều phải chứng minh

e) EK =EG =FK =FD+DK =BE +DK

2

g) Học sinh tự chứng minh

Bài 15: Tâm nội tiếp là I Đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh tại D và E Đường thẳng qua I vuông

H

G

I F

E

A

D

N

M

J

I

B

C E

F

K G

góc AI cắt các cạnh tại F và G BI cắt DE tại H M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) DFIB ∽ DGCI

b) BF CG =IF2 =IG2

c) IHEC nội tiếp.

d) BH ^HC

e) MH // AB.

a) GIC A IC 900 1800 A C 900 B

Ta có điều phải chứng minh

b) Từ câu a) ta có câu b)

điều phải chứng minh

d) Từ câu c) ta có câu d)

e) – = – = do đó ta có điều phải chứng minh

G F

M

D

E I

C

A

B

H