Phương pháp tham số hóa (tác giả nguyễn thu phương)

Lý do chọn đề tài Trong các kỳ thi tuyển sinh vào ĐH – CĐ, thi chọn học sinh giỏi hàng năm thì giải các bài toán về phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ phương trình, b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM

- - - - - - -



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA

Môn: Toán

Năm học 2013-2014

SƠ YẾU LÝ LỊCH

Tác giả: Nguyễn Thu Phương

Chức vụ: Giáo viên môn Toán

Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Đối tượng nghiên cứu

6 Giới hạn của đề tài

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

II Phần nội dung

B Nội dung

1 Phương pháp tham số hóa vào giải phương trình vô tỉ 4-10

2 Phương pháp tham số hóa vào giải phương trình lượng giác 11-12

3 Phương pháp tham số hóa vào giải hệ phương trình 12-15

4 Phương pháp tham số hóa vào giải bất đẳng thức 15-17

III Kết luận và khuyến nghị 18

I/ Phần mở đầu 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong các kỳ thi tuyển sinh vào ĐH – CĐ, thi chọn học sinh giỏi hàng năm thì giải các bài toán về phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ phương trình, bất đẳng thức … là một vấn đề khá khó đối với nhiều học sinh phổ thông

Tôi thường băn khoăn có phương pháp nào đủ mạnh để giải được các bài tập dạng trên không Vì vậy tôi suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo và cuối cùng

đúc rút được một phương pháp đó là “ Phương pháp tham số hóa”

Trong bài viết này tôi muốn đưa ra bài học kinh nghiệm của mình để

rèn luyện kỹ năng sử dụng “ Phương pháp tham số hóa”, rèn cách nhìn

để giải một số phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ phương trình, bất đẳng thức hướng sáng tạo để tạo ra phương trình vô tỉ đẹp, hệ phương trình đẹp, bất đẳng thức đẹp

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Áp dụng “ Phương pháp tham số hóa” vào giải một số bài toán về

phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ phương trình, bất đẳng thức

Sáng tạo một số phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số

hệ phương trình, bất đẳng thức

1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Giải được các phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ

phương trình, bất đẳng thức bằng “ Phương pháp tham số hóa”

Tạo ra các bài toán mới

1.4 Giả thiết khoa học

Tổ chức các hoạt động dạy học góp phần đổi mới phương pháp giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông,

1.5 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ phương trình, bất đẳng thức

Học sinh lớp 10, 11, 12 THPT, ôn thi ĐH – CĐ trường THPT Dương Quảng Hàm

1.6 Giới hạn đề tài

Tôi cố gắng phân tích, so sánh, đối chiếu và khái quát hoá một số bài toán về phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, một số hệ phương trình, bất đẳng thức

1.7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài góp phần phong phú về phương pháp dạy học, đổi mới cách tư duy nhằm đẩy mạnh nâng cao chất lượng giáo dục

II/ NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Cách giải phương trình vô tỉ cơ bản :

2

( ) 0 ) ( ) ( )

5 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Hàm số f(t) đồng biến hoặc nghịch biến trên D

Khi đó phương trình f(x) = f(y) với mọi x, y thuộc D  x y

6 Các bất đẳng thức : Côsi, Côsi –Svac, Bunhiacôpski …

B NỘI DUNG

1 Phương pháp tham số hóa vào giải phương trình vô tỉ

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số, phương pháp lượng giác hoá, phương pháp đặt ẩn phụ Đặc biệt phương pháp đặt ẩn phụ, ta đặt ẩn phụ như thế nào đó là cả một vấn đề, sử dụng một ẩn phụ hay hai ẩn phụ cũng là cả một vấn đề Quan trọng hơn đối với người làm toán là phải có cách nhìn, nếu nhìn được phương trình thì sẽ giải quyết bài toán đơn giản hơn Sau đây tôi giới thiệu một lớp các bài tập

sử dụng “ phương pháp tham số hóa ” để giải phương trình vô tỉ

VD1: Giải phương trình :  2  3

2 x 2 5 x 1 Phân tích : ĐK : x ≥ - 1

Ta có : x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)

Một vấn đặt ra là : x2 + 2 có biểu thị được theo (x + 1) và (x2 – x +1) không, và biểu thị như thế nào ?

Thật vậy : Tìm tham số m và n sao cho x2 + 2 = m( x + 1) + n(x2 – x +1) Bằng đồng nhất thức ta có m = 2 và n = 2

Mở rộng vd1: Thay x bởi x + 1 ta được bài toán sau

Giải phương trình sau : 2(x2 + 2x + 3) = 5 3 2

Khái quát hoá ví dụ 1:  ( )g x  x3 1

+ Tìm tham số m và n sao cho: g(x) = m(x+1) + n(x2 – x + 1)

+ Đặt hai ẩn phụ 2

u x  v x   x đưa về phương trình đẳng

cấp bậc 2 đối với hai ẩn u và v

+ Giải pt đẳng cấp bậc 2 hai ẩn u và v và trở lại phép đặt ta được x

VD2: Giải phương trình sau : 2 3

Mở rộng vd2: Thay x bởi x - 1 ta được bài toán sau

Giải phương trình sau : 2x2 + x - 4 = 7 3 2

Giải tương tự như bài 2 ta được t  4 6  x 5 6 ( T/m đk )

Cách 2 : Bình phương hai vế đưa về phương trình tích

Nhận xét : Cách 2 này tưởng đơn giản nhưng việc phân tích thành nhân tử

rất khó khăn và phức tạp

Khái quát hoá ví dụ 2  ( )g x  x31

+ Tìm tham số m và n sao cho: g(x) = m(x -1) + n(x2 + x + 1)

+ Đặt hai ẩn phụ 2

u x  v x   x đưa về phương trình đẳng

cấp bậc 2 đối với hai ẩn u và v

+ Giải pt đẳng cấp bậc 2 hai ẩn u và v và trở lại phép đặt ta được x

Giải phương trình trên được u và v thay trở lại phép đặt ta suy ra x.

Khái quát hoá vd3:  ( )g x  x4x21

Tìm tham số m và n sao cho g(x) = m(x2 - x + 1) + n(x2 + x + 1)

Sau đó làm tương tự khái quát hóa ở vd1 và vd2

+ Nhận xét : Phương trình cho ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng

trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên

Cách 2 : 3 7𝑥2 + 9𝑥 − 4 = 𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 6

↔ 7𝑥3 2 + 9𝑥 − 4− 𝑥 − 1 = 𝑥3 − 4𝑥2 − 6𝑥 + 5

7𝑥3 2 +9𝑥−4 2+ 𝑥+1 7𝑥3 2 +9𝑥−4 + 𝑥+1 2+ 1 = 0 Giải phương trình ta được nghiệm x = 5; 𝑥 = 5−1

2 ; 𝑥 = − 5−1

2 ;

Nhận xét : Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp, với cách này ta phải đoán được

nghiệm, tuy nhiên gặp trường hợp nghiệm vô tỉ rất khó đoán và khó làm đối với học sinh

Cách 3 : Lập phương 2 vế không khả thi vì ra pt bậc 9

Lấy pt(a) + pt(b) ta được t2

+ 3t = x2 + 7x + 10 (c)

Ta viết vế phải của (c) tương tự vế trái của (c) bằng cách tìm tham số m

sao cho x2 + 7x + 10 = ( x + m)2 + 3(x + m) đúng với mọi x Ta cho x = 0

từ đó ta có m = 2; m = - 5, thử lại ta được m = 5

Vậy pt(c) ↔ t2

+ 3t = ( x + 2)2 + 3(x + 2)↔ 𝑡 = 𝑥 + 2

𝑡 = −𝑥 − 5 Giải : 𝑡 = 𝑥 + 2 → 3𝑥 + 8 = 𝑥 + 2 → 𝑥 = 17−12

2 Phương pháp tham số hóa vào giải phương trình lượng giác

VD: Giải phương trình sau : 10sin2x + 5cos2x - 16sinx - 28cosx + 21 = 0 Giải :

PT(1) 20sinxcosx + 5(1 - 2sin2x ) - 16sinx - 28cosx + 21 = 0

- 5sin2x + 10sinxcosx - 8sinx + 14cosx - 13 = 0

 5sin2

x - 2sinx(5cosx - 4) - 14cosx + 13 = 0

Ta thêm tham số m.(sin 2 x + cos 2 x) và – m vào phương trình ta được

(m - 5)sin2x - 2sinx(5cosx - 4) + m.cos2x - 14cosx + 13 - m = 0 (*) ( m ≠ 5 )

Ta có Δ' = (5cosx - 4)2

- ( m - 5).( m.cos2x - 14cosx + 13 - m) Tìm m để Δ' là bình phương của một biểu thức tức là ∆∆′ = 0 → m = 8 pt(*) thành 3sin2x - 2sinx(5cosx - 4) + 8cos2x - 14cosx + 5 = 0 (**)

và Δ' = ( cosx + 1)2

Pt(**) có nghiệm sinx = 1 - 2cosx ; s inx =5 - 4cosx

3 ; Giải phương trình : sinx + 2cosx = 1 và phương trình 3sinx + 4cosx = 5 ta được các họ nghiệm của phương trình lượng giác đã cho

Nhận xét cách làm trên tưởng đơn giản nhưng thực tình rất phức tạp, tôi đã

thử giải nhiều cách nhưng không ra, bản chất của cách làm trên ta khái quát

bài toán sau:

Giải phương trình : Asin2x + Bcos2x + C = asinx + bcosx ( 1)

Cách 1: Thay sin 2 2 .cos2

2 1 2sin

x sinx x cos x x

 2Bsin2x + sinx.( a - 2Acosx ) + bcosx - C - B = 0

Ta thêm tham số m và – m(sin 2

x + cos 2 x) ta được (2B - m)sin2x + sinx.( a - 2Acosx ) - mcos2x + bcosx + m - C - B = 0 (*)

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn sinx

Khi đó m là một nghiệm của phương trình sau :

Sau khi tìm được 1 giá trị của m ta thay vào pt(*) và coi là phương trình

bậc 2 ẩn sinx ta giải ra được nghiệm: sinx = αsinx + βcosx + µ ; sinx = α'sinx + β'cosx + µ'

Giải từng phương trình này ta được họ nghiệm của phương trình lượng giác

ban đầu

Cách 2 : Thay sin 2 2 2.cos

2 2 os 1

x sinx x cos x c x

Cách 3 : Thay sin2x = 2sinxcosx

cos2x = cos2x − sin2x sau đó làm tương tự cách 1

Áp dụng cách giải trên giải phương trình sau

31sin2x + 11cos2x - 2sinx - 44cosx + 9 = 0

3 Phương pháp tham số hóa vào giải hệ phương trình

VD1 : Giải hệ phương trình sau :

) ( 7 3 4

5

5 3

4 5

I y

x y x

y x y x

0 4 5

A y

x

y x

11 ) 4 5 ( 7

8 4 5

5 3

4 5

II y

x y

x y

x

y x y x

y x u v

y x v

u y x u

3

4 5 0

, 3

0 , 4 5

2 2

+ Thay phép đặt vào hệ (II) khi đó hệ (II) thành : 2 2

+ Từ (1) ta có : v = 5 – u thay vào pt (2) và giải pt ta được u = 3; u = 36

 Với u = 36 ( t/m đk u ) thay vào (1) ta có v = - 31 ( loại )

 Với u = 3 ( t/m đk u ) thay vào (1) ta có v = 2 ( t/m đk v )

3

9 5

y

x y

x

y x

1

y x

Nhận xét : Với cách làm trên rất đơn giản nhưng hiệu quả cao Nếu làm

theo cách khác cũng được nhưng rất dài dòng phức tạp và khó hiểu Tôi vận dụng cách trên làm học sinh làm được ngay và sáng tạo rất nhiều hệ tương tự

VD2: Giải hệ phương trình sau 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑥 + 4𝑦 = 4

4 3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑥 + 4𝑦 = 1

Giải : Điều kiện :

2𝑥 − 𝑦 ≥ 05𝑥 + 4𝑦 ≥ 03𝑥 − 2𝑦 ≥ 0

(A) Với điều kiện (A) hpt tương đương với

Hệ pt thành : 2𝑣 = −𝑢 + 𝑣 = 429

13𝑣2+352

13 𝑢2 − 1 Giải hệ ẩn u, v ta được 𝑢 = 1

𝑣 = 3 Trở lại phép đặt ta có 5𝑥 + 4𝑦 = 9 ↔ 2𝑥 − 𝑦 = 1 𝑥 = 1𝑦 = 1 ( thỏa mãn đk (A))

Kết luận : HPT có nghiệm x=1; y =1

VD3: Giải hệ phương trình sau 𝑥 + 𝑦 + 2 + 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 5

3 2𝑥 − 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 + 2 = 1 Giải :

Điều kiện :

𝑥 + 𝑦 + 2 ≥ 02𝑥 + 3𝑦 + 4 ≥ 02𝑥 − 𝑦 ≥ 0 (A) Với điều kiện (A) hpt tương đương với

𝑥 + 𝑦 + 2 + 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 517𝑥 − 10𝑦 − 3 = 2 𝑥 + 𝑦 + 2

Tìm tham số m, n, p sao cho

𝑣 = 3 Trở lại phép đặt ta có 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 9 ↔ 𝑥 + 𝑦 + 2 = 4 𝑥 = 1𝑦 = 1 ( thỏa mãn đk (A)) Kết luận : HPT có nghiệm x=1; y =1

VD4 : Giải hệ phương trình sau :

Vậy ta không thể đặt

2

201

Qua các ví dụ trên ta thấy vai trò to lớn của tham số hóa

4 Phương pháp tham số hóa vào giải bất đẳng thức

VD1 : Cho x, y, z thuộc tập số thưc thoả mãn :

2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 ≤ 33𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 ≥ 4

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ≤ 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T = 3y – 32z

Phân tích:

Tìm tham số m, n, p sao cho :

T = 3y – 21z = m(2x + 3y- 5z) + n(3x+4y-4z) + p(x+y+2z)

Bằng đồng nhất hệ số ta có m = -2; n = 5; p = -11

Vậy T= –2(2x+3y-5z)+5(3x+4y-4z)–11(x+y+2z) ≥ – 6 + 20 – 55 = – 41 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là : – 41

VD2 Cho x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F = 3xy + 5yz + 4xz

Phân tích:

Tìm tham sô m, n, p sao cho :

3xy + 5yz + 4xz = m.x(y+z) + n.y(x+z) + p.z(x+y)

3xy + 5yz + 4xz = ( m + n ).xy + (n + p).yz + (m + p).xz

Đẳng thức xảy ra khi : m + n = 3; n + p = 5; m + p = 4

Giải hệ ta được p = 3; m =1; n =2

Vậy 3xy + 5yz + 4xz = x(y+z) + 2y(x+z) + 3z(x+y)

= x(1 –x) + 2y(1– y) +3z(1–z)

Tìm tham sô m, n, p sao cho:

b.ab + c.bc + a.ca = m.a.(b +c) + n.b.(c + a) + p.c.( a + b)

    Khi đó hiển nhiên (*) luôn đúng Vậy bđt (1) đƣợc

chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = 3

C Kết quả đạt được khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tại trường THPT Dương Quảng Hàm năm học 2013 - 2014

13 (28.2%)

3 (6.6%)

23 (50%)

20 (43.4%)

3 (6.6%)

15 (33.3%)

9 (20%)

13 (28.9%)

25 (55.5%)

7 (15.6%)

17 (37.8%)

11 (24.4%)

12 (26.7%)

23 (51.1%)

10 (22.2%)

0

D Bài học kinh nghiệm

+ Giảng dạy kĩ phần các phần phương trình vô tỉ, hệ phương trình, phương trình cơ bản, bất đẳng thức

+ Chọn bài tập đơn giản vận dụng ngay kiến thức lí thuyết

+ Giáo viên đưa các ví dụ mẫu điển hình chữa chi tiết và lập luận chặt chẽ

+ Giáo viên nên hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán

III/ KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

A Kết luận

- Trong nhiều năm giảng dạy lớp chọn và luyện thi đại học, tôi nhận thấy khi gặp các bài toán dạng không bình thường cần xử lý đưa về dạng đã gặp học sinh thường lúng túng không biết làm cách nào để qui lạ về quen, trông dạng rất quen nhưng học sinh lại không biết bắt đầu từ đâu Khi học

sinh học phương pháp tham số hóa để giải phương trình vô tỉ, hệ phương

trình, bất đẳng thức, phương trình lượng giác đó là một công cụ sắc bén

để nghiên cứu một số phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức Giáo viên cung cấp cho học sinh một cách nhìn, một cách suy nghĩ mới có thể

mở rộng và thu hẹp bài toán

- Học sinh rất hào hứng và tiếp thu tốt phương pháp trên và có thể sáng tạo ra nhiều bài tập tương tự

B Kiến nghị

- Đối với trường THPT Dương Quảng Hàm tổ chức áp dụng sâu rộng các sáng kiến kinh nghiệm vào trong giảng dạy

- Đối với Sở tổ chức báo cáo các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao

để các giáo viên trau rồi kiến thức và học tập nhằm nâng cao chất lượng giáo dục

C Tài liệu tham khảo

+ Sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 ban tự nhiên

+ Đề thi tuyển sinh đại học các năm

+ Tập san báo toán học tuổi trẻ

+ Bộ đề thi tuyển sinh

+ Diễn đàn Toán học trên mạng Internet

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Giáo viên môn TOÁN

Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm

II TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

III NỘI DUNG CAM KẾT

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác Sáng kiến kinh nghiệm này đã áp dụng thành công trong giảng dạy tại trường THPT Dương Quảng Hàm

Văn Giang, ngày 2 tháng 4 năm 2014

Người cam kết

NGUYỄN THU PHƯƠNG

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM

Tổng điểm:……….Xếp loại:………

T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH - HIỆU TRƯỞNG