Giải hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ (tác giả nguyễn minh tân)

Giới hạn của đề tài Chỉ nghiên cứu một số bài tập hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi, áp dụng được phương pháp tọa độ vào các bài tập hình học phẳng cho HS theo hướng tích cự

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢNG YÊN

SƠ YẾU LÝ LỊCH

Tác giả: Nguyễn Minh Tân

Chức vụ: Giáo viên môn Toán

Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm

Tên đề tài: GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Đối tượng nghiên cứu

6 Giới hạn của đề tài

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

B Phần nội dung

1 Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học phẳng

2 Hình thành hệ trục tọa độ trong mặt phẳng

3 Các bài toán thường gặp khi sử dụng công cụ tọa độ

II Các ví dụ minh họa

III Kết quả áp dụng đề tài 20

C Kết luận và khuyến nghị 21

ta có thể vận dụng phương pháp tọa độ Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa độ được hình thành qua những công đoạn nào Liệu rằng có thể xác lập được một nguyên tắc chung với các bước thực hiện có trình tự trong việc vận dụng công cụ tọa độ hay không

- Với những lý do trên tôi lựa chọn đề tài: GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG

trong trường THPT Dương Quảng Hàm

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Bằng kinh nghiệm của bản thân tôi cố gắng giải đáp những câu hỏi đã đặt

ra với mong nuốn góp một phần suy nghĩ bé nhỏ của mình để cùng các thầy cô

và các em học sinh có cách nhìn nhiều chiều về một bài toán

- Hình thành lượng kiến thưc thiết yếu, nền tàng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa độ

- Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc tương ứng với mỗi loại hình

- Khám phá, phân tích các bài giải nhằm hoàn thiện kiến thức kiến thức, hiểu các bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc ứng dụng phương pháp tọa độ vào các bài toán hình học phẳng

Nghiên cứu các bài tập hình học phẳng có kiểm chứng bằng phần mềm vẽ hình chuyển động

4 Giả thuyết khoa học

Tổ chức hoạt động dạy học Toán với việc ứng dụng phương pháp tọa độ

sẽ tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông

5 Đối tƣợng nghiên cứu

Các bài toán hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, học sinh giỏi các tỉnh

Đội tuyển học sinh giỏi của trường THPT Dương Quảng Hàm

6 Giới hạn của đề tài

Chỉ nghiên cứu một số bài tập hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi, áp dụng được phương pháp tọa độ vào các bài tập hình học phẳng cho

HS theo hướng tích cực, tự lực, chủ động sáng tạo

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Góp phần làm phong phú phương pháp giải toán cho học sinh phổ thông

Đề tài có thể áp dụng dạy cho đội tuyển học sinh giỏi

+ Chuyển đổi ngôn ngữ từ yếu tố hình học sang ngôn ngữ tọa độ

- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục

- Xác định tọa độ điểm, phương trình các các đường theo hướng hạn chế tới mức thấp nhất việc sử dụng tham số và tính toán cồng kềnh phức tạp, giúp bài toán trở thành đơn giản

+ Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véc tơ và tọa độ như :

- Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc

- Điều kiện để 2 véc tơ cùng phương

- Tính khoảng cách theo tọa độ

- Tính số đo góc

+ Với việc sử dụng phương pháp tọa độ ta đã đại số hóa hình học, biến những quan hệ thuần túy trong hình học sang yếu tố về lượng, chính vì thế cơ hội giải được bài cao hơn, có định hướng hơn, điều này rất quan trọng trong việc giảng dạy

và học tập

+ Ta chọn hệ trục tọa độ Axy, B thuộc tia Ax, chọn AB = 1, A(0;0), B(1; 0) hoặc

chọn hệ trục Ixy với I là trung điểm của AB, B thuộc truc hoành

Tam giác cân, đều

+ Trường hợp tam giác ABC cân tại A ta thường xây dựng hệ trục tọa độ như sau :

Hạ đường cao từ AO của tam giác ABC, O là trung điểm của BC Chọn hệ trục Oxy trong đó O là gốc, đỉnh C thuộc tia Ox, đỉnh A thuộc tia Oy, chuẩn hóa độ dài : đặt OC = c, OA = a từ đó ta tính được tọa độ các đỉnh còn lại

Đường tròn

+ Tâm của đường tròn là gôc O, trục Ox là 1 đường kính, trục Oy là đường kính

vuông góc với Ox tại O, chuẩn hóa bán inh R =1

Các loại hình khác

Tùy từng bài cụ thể ta chọn hệ trục tọa độ cho hợp lý, không nên cứng nhắc trong việc chọn hệ trục, có thể chọn những hệ trục mà chỉ có trục hoành không cần đến trục tung mà ta vẫn giải được bài tập

3 Các bài toán thường gặp khi sử dụng công cụ tọa độ

+ Bài toán về tìm tập hợp điểm

+Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua 1 điểm cố đinh

+Bài toán chứng minh đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định

+Bài toán chứng minh đường thẳng tiếp xúc với 1 đường tròn cố định

+Bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng

+Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc

+Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 ( VMO – 2007 )

Cho ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H vâ G lần lượt

là trực tâm và trọng tâm của ABC Tìm tập hợp điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC

+ Giả sử A( x0; y0) ( đk y0 0) Khi đó tọa

độ trực tâm H là nghiệm của hpt :

+ Vậy tập hợp điểm A là hypebol trừ hai điểm B, C

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính

là đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của BC Tìm tọa độ trực tâm H và trọng tâm G rất đơn giản và thuận lợi từ đó ta tìm được tập hợp điểm A một cách đơn

giản

Ví dụ 2:

Cho ∆ABC có B, C cố định, A thay đổi Tìm tập hợp điểm A sao cho trung điểm của HI nằm trên đường thẳng BC với H, I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

+ Vậy tập hợp điểm A là trừ hai điểm B, C

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính

là đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của BC Khó nhất của bài toán này là tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm tọa độ điểm M trung điểm của HI, điều đó được tìm như sau : , M là trung điểm của HI khi đó ta

Ví dụ 3

Cho ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AO của ABC tại K Gọi H là trực tâm của ABC Tìm tập hợp điểm A, biết rằng HO song song với KC

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính

là đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của BC Tìm tọa độ các đỉnh còn lại rất

đơn giản và thuận lợi từ đó ta tìm được tập hợp điểm A

Ví dụ 4 : ( Đề do Hưng Yên đề nghị - kì thi HSG Duyên hải Bắc Bộ lần 1)

Cho tam giác ABC cố định MNPQ là hình chữ nhật thay đổi sao cho M, N thuộc đường thẳng BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB Tìm tập hợp tâm của các hình chữ nhât MNPQ

Giải :

+ Chọn hệ Oxy sao cho O là chân đường

cao của tam giác ABC, A Oy, B, C

thuộc trục hoành, chiều dương của trục

+ I là trung điểm của QN Do p (0; 1)

 Nếu cân tại A khi đó khi đó tập hợp I thuộc đoạn KO với

Kết luận : Tập hợp tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KJ bỏ hai đầu mút,

với K là trung điểm của đoạn AO, J thuộc BC cụ thể như sau :

+ Nếu C 900 thì J nằm giữa O, B :

+ Nếu B 900 thì J nằm giữa O, C :

+ Nếu B < C < 900 thì J nằm giữa O, B :

+ Nếu C < B < 900 thì J nằm giữa O, C :

Ví dụ 5 :

Trong mặt cho hai điểm A, B cố định, điểm C thay đổi trên nửa mặt phẳng

bờ AB dựng về phía ngoài ∆𝐴𝐵𝐶 các hình vuông ACED, BCFG Chứng minh rằng

DG luôn đi qua một điểm cố định khi C thay đổi

Giải

+ Giả sử AB = 2a ( a > 0 ) Chọn hệ

trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm

cạnh AB, trục Ox trùng với đường

thẳng AB, trục Oy là trung trực của AB

+ Từ giả thiết ta có : A(− a; 0); B(a; 0);

C(m, n ) với đk n > 0;

+ Tìm tọa độ điểm D Đổi hệ trục tọa độ

Oxy sang hệ trục AXY bằng công thức

+ Vậy điểm cố định là điểm H(0; a)

Kết luận : Điểm cố định mà DG đi qua là điểm H, H nằm trên trung trực của AB,

H cách AB một đoạn là a = 𝐴𝐵2

Nhận xét : Bài toán trên sử dụng phương pháp tọa độ rất hiệu quả, trục Ox chính

là đường thẳng AB, trục Oy là trung trực của AB Cái khó là tìm tọa độ các điểm còn lại, tìm tọa độ các điểm còn lại ta vận dụng phép đổi hệ trục tọa độ và dùng

tính chất của phép quay, từ đó ta sẽ tìm được điểm cố định của bài toán

Ví dụ 6 : Cho ∆𝐴𝐵𝐶 cân tại A Xét điểm D trên cạnh AB và điểm E trên cạnh BC sao cho hình chiếu DE trên BC có độ dài 𝐵𝐶2 Chứng minh rằng đường vuông góc với DE tại E luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải

+ Giả sử cạnh BC có độ dài là 2a ( a > 0 ) và

chiều cao AH có độ dài là h ( h > 0 )

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là

trung điểm cạnh BC, trục Ox trùng với

đường thẳng BC, trục Oy là trung trực của

BC Từ giả thiết ta có B(− a; 0); C(a;0);

Ví dụ 7 ( VMO 2008 )

Cho , trung tuyến AD Một đường thẳng d vuông góc với AD Xét M thuộc d Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MC, MB Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng qua M vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M thay đổi trên d

Giải :

+ Không mất tính tổng quát ta xét đường thẳng d vuông góc với AD tại D Chọn hệ trục Dxy như hình vẽ sao cho A(0; a), C(2m;2n), M(2x0,0) Do D là trung điểm của

BC nên B(-2m,- 2n) Từ đó ta có :

AB: (2n + a).x – 2m.y + 2ma = 0

AC: (2n - a).x – 2m.y + 2ma = 0

Đường thẳng qua M vuông góc với PQ có

phương trình :

Khử tham số x0 ta được đường thẳng này luôn đi qua

Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó Tất nhiên, giải pháp tốt nhiều học sinh

nghĩ đến là sử dụng phương pháp tọa độ Tuy nhiên, việc chọn hệ trục tọa độ không tốt, sẽ dẫn đến việc tính toán khá cồng kềnh, vất vả Ý tưởng chọn D làm gốc, A, D nằm trên trục tung là một ý tưởng tốt, sẽ lợi dụng được B, C đối xứng qua gốc, đường thẳng d cùng phương với trục hoành

Ví dụ 8:

Cho hình vuông ABCD E là trung điểm của BC M là điểm di động trên cạnh AB Gọi N, P lần lượt là giao điểm của MD và MC với AE Gọi H là giao điểm của NC và DP I là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng DH với đường thẳng vuông góc với AH tại H Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh

+ Ta thấy H luôn thuộc đường thẳng cố định 4y = 3x D là một điểm cố định và

ID = IH ( vì I thuộc đường trung trực DH ) nên I di động trên Parabol cố định nhận đường thẳng 4y = 3x làm đường chuẩn và D là tiêu điểm )

Nhận xét : Việc sử dụng phương pháp tọa độ ở bài toán này thật đơn giản và rõ

ràng Từ kết quả ta tìm được tập hợp H thuộc đường thẳng cố định (d) 3x – 4y = 0 Mặt khác A thuộc (d) và ID = IH = d(I, (d)), từ đó ta đi đến kết luận bài toán Tuy nhiên việc phát hiện được Parabol không phải dễ dàng khi dùng phương pháp khác, đó là cái hay của phương pháp tọa độ

Ví dụ 9:

Cho tam giác ABC có đường cao CH, I, K là trung điểm của AB, CH Đường thẳng (d) di động luôn song song với AB cắt cạnh AC tại M, cạnh BC tại N Dựng hình chữ nhật MNPQ ( P, Q thuộc đường thẳng AB) J là tâm của hình chữ nhật Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng

Giải:

+ Chọn hệ Hxy sao cho H là chân

đường cao của tam giác ABC, C

Oy, A, B thuộc trục hoành, chiều dương

+ J là trung điểm của MP

+ K là trung điểm của CH

+ I là trung điểm của AB

+ Phương trình KI :

+ Rõ ràng J thuộc đường thẳng KI I, K, J thẳng hàng

Nhận xét : Việc sử dụng phương pháp tọa độ ở bài toán này thật đơn giản và rõ

ràng Sau khi chọn được hệ trục tọa độ ta thấy việc chứng minh bài toán quá đơn giản không hề phức tạp chút nào

Ví dụ 10:

Cho tam giác ABC đều, lấy M tùy ý trên cạnh BC Gọi R là điểm đối xứng của M qua AB P là điểm đối xứng của M qua AC Gọi Q là đỉnh thứ 4 của hình bình hành RMPQ Chứng minh rằng AQ // BC

Giải:

+ Gọi I là trung điểm cạnh BC

+ Chọn hệ trục Ixy, giả sử BC = 2a,

Nhận xét: Việc chọn hệ trục tọa độ và tọa độ hóa bài toán trên rất đơn giản và để

chứng minh AQ // BC ta chỉ việc đi xét tọa độ của 2 véc tơ và là bài toán được chứng minh

Ví dụ 11:

Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A Gọi E và F là các điểm trên đường thẳng qua D sao cho AE ⊥ BE, AF ⊥ CF và E, F không trùng với D Giả sử M và N là các trung điểm tương ứng của BC và EF Chứng minh rằng

+ Chọn hệ trục tọa độ Dxy sao cho C

thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy Ta có

2 ;𝑦+𝑛−2𝑎

2 ); 𝑀𝑁 𝑥+𝑚−𝑐+𝑏

2 + 4𝐴𝑁 𝑀𝑁 = 𝑥 + 𝑚 𝑥 + 𝑏 + 𝑚 − 𝑐 + 𝑦 + 𝑛 𝑦 − 𝑎 + 𝑛 − 𝑎 = 0

+ Vậy AN ⊥ MN ( điều phải chứng minh )

Cách 2:

+ Chọn hệ trục tọa độ Axy với Ax song

song với EF

+Tọa độ C(d+f; ℎ−𝑑𝑓ℎ ) M trung điểm BC Tính 𝐴𝑁 𝑀𝑁 = 0 ( đpcm )

Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó Tất nhiên, giải pháp tốt nhiều học sinh

nghĩ đến là sử dụng phương pháp tọa độ Tuy nhiên, việc chọn hệ trục tọa độ không tốt, sẽ dẫn đến việc tính toán khá cồng kềnh, vất vả

Ví dụ 12 Cho tam giác ABC đều, M là trung điểm của cạnh AC, N là điểm sao

cho 𝐴𝑁 = 1

3𝐴𝐵 Xác định vị trí điểm I trên đường thẳng BC sao cho 𝐼𝑁𝑀 = 900

Giải

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là

trung điểm của BC

+ Giả sử AB = BC = CA = 2a

( a > 0) Tọa độ các điẻm O(0;0),

C(a; 0); B(-a; 0), A(0; 𝑎 3)

15𝐵𝐶

Nhận xét : Với cách giải trên việc sử dụng phương pháp tọa độ cũng rất đơn giản,

việc tìm tọa độ điểm I cũng đơn giản, từ đó ta xác định được vị trí của điểm I

CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Cho ABC gọi M là trung điểm của BC, N là chân đường phân giác của

góc , đường vuông góc với NA tại N cắt đường thẳng AB, AM tại P, Q Gọi O

là giao điểm của đường vuông góc với AB tại P với AN Chứng minh rằng OQ

BC

Bài tập 2: Cho một điểm M nằm tùy ý trên đoạn thẳng AB Dựng các hình vuông

AMCD và MBEF về cùng một phía với AB Các đường tròn tâm P và Q lần lượt

ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại M và N

1 Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N

2 Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định

3 Tìm tập hợp trung điểm của PQ khi M thay đổi

Bài tập 3:Trong ABC góc = 600 D, E, F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC Gọi M là giao điểm của AD và BF Giả sử CDEF là hình thoi Chứng minh rằng DF2 = DM.DA

Bài tập 4:Trong ABC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, D là trung điểm

cạnh AB, E là trọng tâm ACD Chứng minh rằng nếu AB = AC thì IE CD

Bài tập 5: ( VMO năm 2011 )

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) đường kính AB Xét một điểm P di động trên tiếp tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B Đường thẳng PA cắt (O) tại điểm thứ hai C Gọi D là điểm đối xứng với C qua O Đường thẳng PD cắt (O) tại điểm thứ hai E

a Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC và PO cùng đi qua 1 điểm Gọi điểm đó là M

b Xác định vị trí của P sao cho MAB có diện tích lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính của đường tròn (O)

Bài tập 6: ( VMO 2002)

Cho ABC cân với AB = AC Gọi O là một điểm thay đổi trên đường thẳng

BC thỏa mãn tâm O của đường tròn bán kính OA không nhận các đường thẳng AB,

AC làm tiếp tuyến Các đường thẳng AB, AC cắt các đường tròn ở M, N tương

ứng Hãy xác định quĩ tích trực tâm của AMN

Bài tập 7: Cho ABC vuông tại A, các cạnh góc vuông là b, c M là một điểm

thuộc cạnh BC sao cho BC = Chứng minh rằng

Bài tập 8:Cho ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của

H trên AC, M là trung điểm HD Chứng minh rằng AM BD

Bài tập 9: Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC đều Chứng minh rằng

giá trị của MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí của M

Bài tập 10:Trong mặt phẳng cho (O; R) và điểm A cố định, I di chuyển trên đường

tròn (O; R) Đường tròn tâm I luôn đi qua A Chứng minh rằng trục đẳng phương của (O;R) và (I, IA) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài tập 11:Trong mặt phẳng cho 2 điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm M sao

cho