skkn một số bài TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG gặp TRONG CHƯƠNG TRÌNH môn TOÁN THPT

I.LÝ DO CHON ĐỀ TÀI Các bài toán về sự tiếp xúc ,điển hình là bài toán tiếp tuyến luôn là vấn đề thời sự trong chương trình toán phổ thông .Đặc biệt nó thường xuyên xuất hiện trong các đ

I.LÝ DO CHON ĐỀ TÀI

Các bài toán về sự tiếp xúc ,điển hình là bài toán tiếp tuyến luôn là vấn đề thời sự trong chương trình toán phổ thông Đặc biệt nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT , tuyển sinh vào đại học và cao đẳng Trước đây để giải bài toán tiếp xúc của

2 đồ thị (C): y = f(x) và(C’) : y = g(x), ta thường sử dụng phương pháp nghiệm bội ,nghiệm kép.Theo quan điểm mới, để tìm điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị (C) và (C’) ta thường sử dụng phương pháp đạo hàm, đó là giải HPT :

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x







Tuy nhiên rất nhiều bài toán mà việc giải hệ gặp không ít khó khăn Nên tôi đưa ra một số phương pháp giải các dạng toán tiếp tuyến thường gặp,đặc biệt là Kĩ thuật giải một số bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm phân thức để giải quyết được vấn đề nói trên

II.MỤC ĐÍCH

- Giúp học sinh củng cố kiến thức cơ bản về các bài toán tiếp tuyến trong chương trình toán THPT

- Cung cấp cho học sinh kỹ thuật giải bài toán tiếp tuyến theo phương pháp mới

III.GIỚI HẠN

Tài liệu này chỉ giới thiệu những bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong chương

trình toán THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Trường THPT Tam Phước

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT

Người thực hiện: Trần Thị Thanh Hương Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2011 -2012

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I Thông tin chung về cá nhân

1 Họ và tên : TRẦN THỊ THANH HƯƠNG

2 Sinh ngày : 22 – 12 – 1977

3 Địa chỉ : Số 16 – khu 2000 - trường Sĩ Quan Lục Quân II

4 Điện thoại : 0613.529.104

5 Chức vụ : P Hiệu Trưởng

II Trình độ đào tạo :

1 Học vị : Thạc Sỹ

2 Năm nhận bằng : 2012

3 Chuyên ngành đào tạo : Toán Giải Tích

III Kinh nghiệm khoa học :

1 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy môn toán

2 Số năm kinh nghiệm : 13

3 các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

- những lỗi học sinh thường gặp trong chương trình môn toán THPT

- Phương pháp giải toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

- Kinh nghiệm quản lý tổ chuyên môn

IV.NỘI DUNG:

MỘT SỐ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT

A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

1-Hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong ( C )

- Hàm số y = g(x) có đồ thị là đường thẳng d

Khi ( C ) tiếp xúc với d tại điểm có hoành độ xo thì d được gọi là tiếp tuyến của ( C ) Điểm tiếp xúc được gọi là tiếp điểm

2-Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số đó tại điểm Mo(xo , f(xo) )

3-Hai hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C1)

y = g(x) có đồ thị là ( C2 )

Tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình : ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x





 có nghiệm

Và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của 2 đường cong đó

4-Đường thẳng x = xo không bao giờ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(xo)

B CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP:

1.BÀI TOÁN 1:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x o ,f(x o ) )

(Ở bài toán này khi đọc đề phải lưu ý chữ “ Tại” ý nói điểm M thuộc đồ thị hàm số

y = f(x)

* Dạng 1:

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm là xo

+ Phương pháp : tính f(xo) và f’(xo) rồi thay chúng vào phương trình :

y = f’(xo) (x-xo) + f(xo)

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành thì ta hiển

nhiên có hoành độ tiếp điểm là xo = 0

* Dạng 2:

Viết phương trình tiếp điểm của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung dộ tiếp điểm là yo

+ Phương pháp : giải phương trình ẩn x sau đây để tìm hoành độ xo của tiếp điểm

f(x) = yo

sau khi tìm được xo thì công việc còn lại trở về bài toán 1

Chú ý :

1) Phương trình f(xo = yo có thể có nhiều hơn 1 nghiệm với mỗi nghiệm ta có 1 tiếp điểm tương ứng

Ví dụ : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

1

x y x





 biết hoành độ tiếp điểm là xo =0

Giải:

xo = 0 => y(xo ) = y(0) = -1

Kí hiệu A ( 0,-1)

F(x)

C

B d

' 2 2

( 1)

y

x





y’(0) = 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A(0,-1) là :

y = 2(x-0) -1

 y = 2x -1

Ví dụ : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x2 biết tung độ tiếp điểm là yo = 2

Giải :

yo = 2 => x o 2 2

 xo = 2

kí hiệu A(2,2) : ' 1

y

x



 ;

1 ' 4

y  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(2,2) là :

1 ( 2) 2 4

y x 

y x

2) Bài Toán 2:

Viết PTTT của đồ thị y = f(x) ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

+ Phương pháp giải :

- Cách 1:

Bước 1: giải pt f’(x) = k tìm xo => tìm f(xo)

Bước 2 : PTTT tại A(xo,f(xo) ) có dạng

Y = k(x-xo ) + f(xo)

- Cách 2:

Bước 1 : Gọi (d) là đường thẳng có hệ số góc k PT đường thẳng d có dạng:

Y= kx + b

Bước 2 : do d là tiếp tuyến nên ta có hệ phương trình

( )

'( )

f x kx b

f x k

 



(Đây là hệ 2 ẩn x và b)

Giải hệ tìm b và thế vào PT (d) để viết tiếp tuyến

Chú ý :

1) Đường thẳng ( d) : y = kx + b thì k gọi là hệ số góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và

phần phía trên của đường thẳng

2) Cho ( d1 ) : y = k1x + b

Cho ( d2 ) : y = k2x + b

d1 // d2  k1 = k2

d1  d2  k1.k2 = -1

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = x4

+ 2x2 -1 ( C )

Viết PTTT của ( c ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 3

8

y x

Giải : y’ = 4x3

+ 4x

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 3

8

y  x

  nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8 ,suy ra : y’ = 8  4x3

+ 4x -8 = 0  4(x-1)(x2 + x + 2) = 0  x = 1

 y = 0

Ký hiệu A(1,0)

Vậy PTTT của ( C ) là : y = 2(4x – 3)

Ví dụ 2:

Cho C : y = x3 – 6x2 +9x -3

Viết PTTT với C có phương của đương thẳng d : y = -3x + 2 (song song hoặc trùng d)

Giải : do tiếp tuyến ( ) của C có phương của d : y = -3x + 2

Nên có dạng : y = -3x + b

Ta có hệ Pt :

2





Từ (2) ta có x = 2 thế vào (1) có b = 5

Vậy PTTT cần tìm là : y = -3x + 5

Ví dụ 3 : cho P : y = x2

– 2x +3 Viết PTTT của P biết tiếp tuyến tạo với trục hoành

1 góc 45o

Giải : y’ = 2x -2 ,gọi k là hệ số góc tiếp tuyến

TH1 : phần phía trên của tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc 45o

ta có k = tan 45o = 1

Nên 2x -2 = 1 => 3

2

x => 9

4

y

PTTT tại A(3

2,

9

4)

y x 

4

y x

TH2 : Phần phía trên của tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc 135o

Ta có k = tan 135o = -1

Nên 2x – 2 = -1  1

2

x => 9

4

y

PTTT Tại điểm B(1

2,

9

4)

Có dạng: 1( 1) 9

y  x 

4

y  x

3) Bài toán số 3 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(xM,yM)

Chú ý :

a) ta có thể thay chữ “qua “ bằng “kẻ từ” hoặc “ xuất phát từ”

b) ta không cần quan tâm đến việc điểm M có thuộc đồ thị hàm số hay không

c) tiếp tuyến qua điểm có thể không tiếp tuyến nào hoặc nhiều hơn 1 tiếp tuyến

+ Phương pháp giải :

- Cách 1 : gọi hoành độ tiếp điểm là xo Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình

Y = f’(xo) (x-xo) + f(xo)

y

x

45o

y

x

135o

Do tiếp tuyến đi qua điểm M (xM,yM) nên

YM – f’(xo) (x-xo) + f (xo) Giải tìm xo => tìm f(xo) ,f’(xo) rồi viết PTTT

- Cách 2 : gọi đường thẳng đi qua M có dạng y = kx –kxo + yo (d)

Để d tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) thì hệ Pt : ( )

'( )

o o

f x kx kx y

f x k





Có nghiệm.Đây là HPT hai ẩn x và k Giải k thế vào d để có PTTT

Ví dụ 1: cho P : y = x2

viết PTTT cho P biết tiếp tuyến xuất phát từ A(0,-1)

Giải:

Đặt f(x) = x2

và goi Mo là điểm thuộc P với hoành độ xo Khi đó tọa độ của điểm Mo là (xo,f(xo) ) hay (xo ,xo2 )

Cách 1 : Ta có y’ = 2x PTTT của P tại điểm Mo là y = 2xo(x-xo) + xo2

 y = 2xo x – xo2

tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0,-1) nên ta có : -1 = 2xo 0 + xo2  xo = 1 hoặc xo = - 1 + với xo =1 => f(xo) = 1 ,f’(xo) = 2

nên PTTT cần tìm là y = y= 2(x-1) +1  y = 2x – 1

+ với xo = -1 => f(xo) = 1 ,f’(xo) = -2

nên PTTT cần tìm là y = -2 (x+1 ) +1  y = -2x-1

Vậy có 2 tiếp tuyến của ( P) đi qua A với các phương trình tương ứng là :

y    x

Cách 2: PTĐT (d) qua A (0,-1) với hệ số góc k là : y = kx-1

Để (d ) tiếp xúc với P thì HPT

2

1(1)

x kx

x k







(P) Y=-2x-1

Y=2x-1

y

x

Có nghiệm Thế (2) vào (1) ta có Pt : x2

= 2x2 -1

 x2

= 1  x =1

+ Với x = 1 => k= 2

x = -1 => k= -2

Vậy ta có PTTT là : y  2x 1

*Ví dụ 2:

chứng minh đường thẳng d : y = px + q là tiếp tuyến của parapol y = ax2

+ bx + c khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm

ax2 + bx + c = px + q (1) có nghiệm kép

Giải : (1)  ax2

+ (b-p)x + c-q = 0 (1)

Có nghiệm kép tức là : 2

(b p) 4 (a c q) 0

Thật vậy để d tiếp xúc với ( C ) thì HPT :

2

2ax+b=p(4)

bx c px q





Có nghiệm

Giả sử x = xo là nghiệm của hệ trên Khi đó vì a # 0 nên từ (4) ta có xo =

2

p b a



Thay vào (3) ta được :

2 2

Từ đó suy ra : (b-p)2

– 4a(c-q) = 0 Vậy phương trình (3) có nghiệm kép

Đảo lại nếu phương trình (3) có nghiệm kép xo thì

2

o

p b x

a





Hiển nhiên x = xo cũng là nghiệm của (4) Vậy hệ Pt trên có nghiệm Do đó đường thẳng là tiếp tuyến của ( P)

Chú ý : Ta có thể áp dụng điều khẳng dịnh trong ví dụ 3 để xét sự tiếp xúc của đường thảng

và parabol

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,-2) và tiếp xúc với

parabol y = x2 -2x

Giải: phương trình đường thẳng đi qua A(1,-2) và có hệ số góc k là:

Y = k(x-1) – 2 (d)

Cách 1 :(d) tiếp xúc với P khi HPT :

2

x x kx k



 





2

2

0

2

x

k

x

k

 







 

  





Vậy tiếp tuyến là : y = 2x – 4 và y = -2x

Cách 2 : để ( d ) tiếp xúc với P thì Pt hoành độ giao điểm :

X2 -2x = kx – k- 2 có nghiệm kép

 x2

– (k+2)x + k +2 có nghiệm kép Điều kiện :  0

 k2

– 4 = 0  k =2 hoặc k = -2

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y = 2x -4 và y = -2x

Ví dụ 4: Viết Pt các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

1

x x y

x

 



 Biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(-1,-3)

Giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k

Phương trình dường thẳng d có dạng : y = k(x+1) +3

Để d là tiếp tuyến của (H) thì HPT :

2

2

2

( 1) 3(1) 1

(2) ( 1)

x

k x





Có nghiệm

Thế( 2) vào (1 ) ta có:

2 2

2

( 1) 3

x

 x = 0 thế vào 2 ta có k = 1

Vậy PTTT là y = x – 2

Ví dụ 5: Chứng minh đồ thị hàm số

2

5 1

x x y

x

  



 Không có bất kì tiếp tuyến nào đi qua điểm A(-1,3)

Giải : đường thẳng đi qua A có hệ số góc k có dạng y-3 = k(x+1)

 y = kx +k +3

HPT

2

2 2

5

3(1) 1

(2) ( 1)

x x

kx k x

k x



  



Thế (2) vào (1) ta có Pt vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua điểm A

4) Bài toán số 4 :Viết PTTT chung của đồ thị hàm số y= f(x) và y = g(x)

+)phương pháp giải :

Cách 1: ta sẽ tìm hoành độ xo của điểm Mo ,x1 của M1 sao cho đường thẳng MoM1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) tại Mo và với đò thị y = g(x) tại M1 Muốn vậy ta kết luận như sau

PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại Mo(xo,f(xo) )là:

Y = f’(xo)(x-xo) + f(xo) hay y = x.f’(xo) + f(xo)- xo.f’(xo)

PTTT của đồ thị hàm số y = g(x) tại điểm M1(x1,f(x1)) là

Y = g’(x1)(x-x1)+ g(x1) hay y = x.g’(x1) + g(x1) – x1.g’(x1)

Để MoM1 là tiếp tuyến chung của 2 đồ thị hàm số đã cho thì điều kiện cần và đủ là:

Hệ I

'( ) '( )

'( ) ( )o '( ) ( )

f x g x

x f x f x x g x g x







Giải hệ I ta tìm được x0o và x1 từ đó tìm được PTTT chung

Cách 2: gọi đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số y = f(x) và y =

g(x) Tại các điểm tương ứng là Mo và M1 ,ta phải tìm a và b từ HPT

Hệ II

0

1

( )

'( )

( )

'( )

o

f x ax

f x a

g x ax b

g x a











Ví dụ : Tìm PTTT chung của đồ thị hai hàm số y = f(x) = x2

và y = g(x) = x2- 2x +2

4

y x

Giải :

Gọi Mo(xo,xo2) và M1(x1,x12 – 2 x1 + 2 ) là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung phải tìm : Theo (I) ta có

1

o







Giải hệ này ta được 0 1, 1 3

x  x 

Nên PTTT chung cần tìm là : 1

4

y x

C Một số bài toán tiếp tuyến thường gặp trong các đề thi tuyển sinh Đại Học

và Cao Đẳng :

Các bài toán về sự tiếp xúc ,điển hình là bài toán tiếp tuyến luôn là vấn đề thời sự trong chương trình toán phổ thông Đặc biệt nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT , tuyển sinh vào đại học và cao đẳng Trước đây để giải bài toán tiếp xúc của

2 đồ thị (C): y = f(x) và(C’) : y = g(x), ta thường sử dụng phương pháp nghiệm bội ,nghiệm kép.Theo quan điểm mới, để tìm điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị (C) và (C’) ta thường sử dụng phương pháp đạo hàm , đó là giải HPT :

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x







Tuy nhiên rất nhiều bài toán mà việc giải hệ gặp không ít khó khăn Nên tôi đưa ra Kĩ thuật giải có thể giải quyết được vấn đề nói trên

Ví dụ 1 : cho hàm số:

2

1

x x a y

x

 



 Tùy theo a hãy viết các PTTT của đồ thị hàm số kẻ từ góc tọa độ

Giải : đường thẳng( d) vơi hệ số góc k đi qua gốc tọa độ O(0,0) có phương trình y = kx

(d)là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

2

(1) 1

( 1)

a

x

a

k x









hệ này tương đương

1 1(3)

1

1

a

x

a

x





trừ 2 vế của (3) cho( 4) ta được

1

k



kết hợp với( 2)ta có

Kết hợp với(2 )ta có 2

( 1) 1

4

k

k

k a



 







( 1)( 1 4 ) 0

k





  



Suy ra PTTT cần tìm là y = (1-4a)x

Ví dụ 2 :

Cho đường cong C:

2

1

x x y

x

 



 Tìm các điểm trên mp toạ độ kẻ được 2 tiếp tuyến tới( C) và 2 tiếp tuyến vuông góc

Giải : đường thẳng với hệ số góc k đi qua M(a,b) có phương trình y = k(x-a) +b

Đường thẳng này là tiếp tuyến của( C) khi và chỉ khi HPT sau có nghiệm:

2

1

1 1

( 1)

x

k k x









Hệ này tương đương với :

1

1 1

( 1)

x

x









Lấy (3 ) trừ (4 )theo vế ta được:

k a b

x

 





Kết hợp với( 2 )ta được

2

1

(1 )

2

k

k









<=> 1 2 2 2

k









Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) khi và chỉ khi hệ trên có 2 nghiệm phân biêtk

k1,k2 và k1.k2 = -1

2

2

1 0

4

1 ( 1)

a

b

a

  





 





<=> 2 2

1

1 0

a

a b





   



   



Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I(1,0) bán kính bằng 2 bỏ đi 4 điểm là giao điểm của các đường thẳng x = 1 và –x + y +1 = 0 với đường tròn đó là A(1,2) B(1,-2) , (1 2, 2)

C  , D(1 2, 2)

2.Các bài toán tiếp tuyến thường gặp trong các đề thi đại học ,cao đẳng

Bài 1: Tìm trên Oy những điểm có thể kẻ ít nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Giải : gọi I(0,a)

PT đường thẳng (d)qua I (0 , a) có hệ số góc là k có dạng y = kx +a

Để từ I kẻ được ít nhất một tiếp tuyến thì HPT :

2

2

2

(1) ( 1)

(2) ( 1)

kx a x

k x









Thế 2 vào 1 ta có

2

1

x







Để I có ít nhất một nghiệm thì PT (* ) phải có ít nhất 1 nghiệm khác 1

TH1 : a = 0 thay vào (1) ta có -8x + 4 = 0

TH2:

2

0 ' 0

a

 

 





<=> 0

4

a a





 

 Vậy a4 thoã mãn điều kiện bài toán

2

1

x x y

x

 





Bài 2:

Cho hàm số : y = x3

– 3 x2 + 2 có đồ thị (C) Tìm trên y = 2 những điểm a) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tới (C)

b) kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau

Giải :

Gọi A(a,2) đường thẳng y = 2

Đường thẳng (d) qua A có hệ số góc là k có PT : y = kx – ka +2

Để d tiếp xúc với C thì HPT :

2







Có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta có

x3 – 3x2

+ 2 = (3x2 – 6x )x - (3x2 – 6x ) a +2  x( -2x2 + 3(a +1) x – 6a ) = 0

x





   



Đặt g(x) = -2x2

+ 3(a +1) x – 6a a) để từ A có 2 nghiệm phân biệt ,trong đó 1 nghiệm bằng 0 hoặc nghiệm kép khác 0

TH1 :

2







<=>

1 ( , ) (3, )

0 3

0

a

a a

    



 



TH2 :



3

1

3 0

a

a a

a

 







 







 0, , 31

3

a  

b) với x =0 => k = 0 => PTTT là y = 2

Ta nhận thấy y = 2 là đường thẳng song song với trục Ox nên không có tiếp tuyếnếp tuyến nào của đồ thị( C)vuông góc với đường thẳng y = 2

Vậy để tưd A kẻ đến (C) 3 tiếp tiếp tuyến trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì

PT (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 khác 0 và (3x12 - 6 x1)(3x22 - 6x2) = -1

Điều kiện:

(0) 0

0

g

 



