skkn hướng dẫn học sinh sử dụng bảng biến thiên trong việc giải phương trình, bất phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: ĐỖ THỊ HƯNG Lĩnh vực nghiên cứu: Có đính kèm: Các sản phẩm k

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị : Trường THPT Xuân Thọ

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: ĐỖ THỊ HƯNG Lĩnh vực nghiên cứu:

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2012 - 2103

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Thọ

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2006

- Chuyên ngành đào tạo: sư phạm Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy và chủ nhiệm

Số năm có kinh nghiệm: 06

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

BM02-LLKHSKKN

Tên SKKN: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Giải phương trình, bất phương trình là bài toán thường xuyên gặp trong các kì thi, nhất là thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Đây là dạng toán gây rất nhiều khó khăn cho học sinh, đặc biệt là những phương trình, bất phương trình có chứa tham số Với chương trình cải cách hiện nay đã giảm tải một số phần như định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, thì việc giải các phương trình, bất phương trình lại càng làm học sinh vất vả hơn Nhằm giúp các em lớp 12 tìm ra những cách giải tối ưu và đơn giản, tôi đã tập trung khai thác chuyên đề hướng dẫn học sinh vận dụng bảng biến thiên trong giải phương trình, bất phương trình bằng việc ứng dụng tính đơn điệu

và GTLN – GTNN của hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về phương trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất nhanh

chóng, ngắn gọn và đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Hướng dẫn học sinh sử dụng bảng biến thiên trong việc giải phương trình, bất phương trình”

PHẦN II: TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Việc giải phương trình, bất phương trình bằng những phép biến đổi tương đương thông thường thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng giải bằng ứng dụng tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dựa vào bảng biến thiên thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh lại lúng túng trong lời giải, dẫn đến sai kết quả

Hơn nữa, từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã giảm tải, do đó khi gặp các bài toán về phương trình, bất phương trình có điều kiện liên quan đến việc áp dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì học sinh rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào

Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai đồ thị hàm số ở hai vế của phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số Nhưng thay vì phải vẽ toàn bộ cả hai đồ thị của hai hàm số sẽ tốn nhiều thời gian, đó là chưa kể đến việc nhiều đồ thị các em không biết cách vẽ, thì phương pháp lập bảng biến thiên, sau đó vận dụng kết quả trên bảng biến thiên để giải phương trình, bất phương trình có điều kiện cho trước sẽ dễ dàng hơn rất nhiểu, đó là nội dung chính của đề tài này

Đề tài được viết bao gồm 4 nội dung chính sau:

II NỘI DUNG:

Giải: Điều kiện : 1 3

x x

32y’

Bài toán 2 : Giải phương trình: 4x 1 4x2  1 1

Nhận xét: Tương tự như bài toán trên, bước đầu đa số các em sẽ nghĩ ngay tới việc bình phương hai vế để giải, tuy nhiên nếu bình phương dẫn tới một phương trình bậc cao sẽ gây nhiều khó khăn cho học sinh

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

x , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là

nghiệm duy nhất Ta thấy 1

1

-

+

+

( )4

2

2 33

Vấn đề đặt ra là giải phương trình còn lại sẽ rất phức tạp

Do dó ta sẽ giải phương trình trên theo cách sau:

Bài tập tự luyện : Giải phương trình 36x 1 8x34x1

2 VẬN DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ:

Trong các phương trình chứa tham số, thường là các bài toán tìm m (hoặc biện luận theo m) để phương trình thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước, thì phương pháp hàm số trong việc vận dụng bảng biến thiên là hữu hiệu hơn cả Để vận dụng được phương pháp này trước hết học sinh cần phải hiểu và vận dụng tốt một số kiến thức có liên quan sau đây: Cho hàm số y f x( ) xác định trên D, có

đồ thị là (C) Đường thẳng y = g(m) có đồ thị là (d) Xuất phát từ bài toán liên

quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị của (C) và (d) biện luận số nghiệm của phương trình f x( )g m( )

Ta có số nghiệm của phương trình f x( )g m( )chính là số giao điểm của (C) và (d) Do đó ta biến đổi phương trình về dạng : f x( )g m( )

Nhận xét : Việc hướng dẫn học sinh cách tìm điều kiện của ẩn mới t như ở trên, sau này nếu gặp các bài toán mà đặt ẩn phụ là một biểu thức cồng kềnh, phức tạp thì các em cũng dễ dàng tìm được điều kiện của ẩn mới theo ẩn cũ

Bài toán 2: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân

    có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0

Dùng phương pháp hàm số , vận dụng vào bảng biến thiên thì bài toán này sẽ được giải quyết một cách nhanh chóng

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 3: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 m x2 1 (*)

Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:

2

31

x

m x

x y x

x y x

2

1

0

92



sai nghiệm của phương trình Do đó việc tìm giới hạn hàm số là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

m Số giao điểm của (C) và (d) Nghiệm của (*)

1

   hoặc m 10 1 Nghiệm duy nhất

       Khi đó, phương trình (1) trở thành 2

Phương trình đã cho có nghiệm   1 x 1 khi và chỉ khi phương trình

2

22

2

04

42

t

t t

f t

t t

Tìm m để (C m)cắt Ox tại ba điểm phân biệt thỏa mãn x1 0 x2 x3

Nhận xét: Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm của (C m)và Ox là một phương trình bậc 3 không nhẩm được nghiệm, nên học sinh sẽ rất khó khăn nếu muốn phân tích thành nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai Trường hợp này dùng phương pháp hàm số, sau đó sử dụng bảng biến thiên là hiệu quả nhất

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm 3 2

x không phải là nghiệm) Đặt

13

1

Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của (C m)với trục Ox, và cũng là hoành

độ giao điểm của đường thẳng y = 2m với đồ thị (C): y = g(x)

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra f (x) = 0 có nghiệm thỏa mãn x1  0 x2 x3

Qua cách giải bài toán này mở đường cho các dạng toán về câu hỏi phụ trong

khảo sát hàm số mà học sinh thường gặp trong các kì thi cao đẳng, đại học như sau:

Bài toán 8: Tìm m để hàm số 1 3   2   2

3

y  x  m x  m xm  có cực trị tại hai điểm x1,x2 và thoả mãn x1 < -1 < x2

 

52

x  không phải là nghiệm của (*)) Đặt

2) Tìm m để phương trình: msin2x2(3m2)sinx4m 3 0 có nghiệm

3) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

4 2x 2x2 64  x 2 6 x m K A2008

x  m x m  có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn – 1 < x1 < x2.

-52y’

+

+

III/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN:

Bài toán 1: Giải bất phương trình: x 5 2x 3 9

Nhận xét : Khi giải dạng bất phương trình này, thuông thường học sinh sẽ sử dụng phương pháp đặt điều kiện, bình phương hai vế Ở đây tôi xin trình bày cả hai cách giải để học sinh lựa chọn và so sánh sự tối ưu của hai cách giải

Giải :Cách 1: Điều kiện 3

3

113

11

479

x x

x x

Bài toán 2: Giải bất phương trình sau: 415 x 42 x 1 (*)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ

phương trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn Vì vậy ta vận dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều

Bài tập tự luyện: Giải các bất phương trình sau:

Bài toán 1: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình (2) có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x0;1 3 t [1;2]

Bài toán 2: Tìm m để các bất phương trình:

1) (m1)x24x  m 2 0 (*) nghiệm đúng với mọi x

2) (3m1)12x (2 m)6x 3x 0 (**) thỏa mãn với mọi x > 0

3) 3 x 6 x (3x)(6x) m nghiệm đúng với mọi   x [ 3;6]

(m1)x 4x   m 2 0 m x(    1) x 4x2

2

2 2

2

-12

Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình (**) thỏa mãn với mọi x > 0

Nhận xét: Khi lập bảng biến thiên cần nhấn mạnh học sinh chú ý tìm giới hạn hàm

số, để tránh hiểu lầm dẫn đến sai kết quả bài toán

3) Tìm m để 3 x 6 x (3x)(6x) m nghiệm đúng với mọi

Dựa vào bảng biến thiên:   x  3;6 t 3;3 2

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:

Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm điều kiện của t là không thể bỏ qua

và không được làm sai Việc tìm điều kiện của t như trên thực chất là việc tìm tập giá trị của hàm số f x( ) trên tập xác định của phương trình đã cho

Bài tập tự luyện: Tìm m để các bất phương trình :

2

mx x y

14

0

11

f x

x x

2 -3

Bảng biến thiên: x  -1 1 

f x + 0 - 0 +

f x  2 0

0 -2 Dựa vào bảng biến thiên ta có minf x  2; m axf x 2

2) Bài toán trên còn cho ta thấy phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, dựa trên bảng biến thiên không chỉ được vận dụng cho giải phương trình, bất phương trình, mà còn có thể vận dụng tốt trong các bài toán giải hệ phương trình,

hệ bất phương trình Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu có hạn nên tôi không trình bày trong đề tài này

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :

Trong năm học 2011 – 2012, tôi được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12 với chuyên đề giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Với việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng thành thạo bảng biến thiên trong việc giải phương trình, bất phương trình, các em đã rất hứng thú khi tiếp cận dạng toán này

Và trong năm học 2012 – 2013 này, với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp

12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ, sử dụng thành thạo bảng biến thiên để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong

nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất phương trình

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Hiện nay sách giáo khoa hiện hành đã giảm tải khá nhiều nội dung, nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học vẫn có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số Đề tài này là một tài liệu nhỏ phần nào giúp cho các

em học sinh trường THPT Xuân Thọ rèn luyện kĩ năng giải một số phương trình, bất phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số, để các

em tự tin hơn chuẩn bị tham dự các kì thi cao đẳng, đại học sắp tới

Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì khả năng có hạn nên tài liệu chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô đi trước, các bạn đồng nghiệp và độc giả để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà

trường Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa 10, 11, 12 – Nhà xuất bản giáo dục - 2008

2 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán – Trần Phương – Nhà xuất bản Hà Nội – 2002

3 Bài tập tự luận Phương trình , hệ phương trình, bất phương trình đại số điển hình – Trần Thị Vân Anh – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội - 2009

4 Một số đề - đáp án thi tuyển sinh đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục và đào tạo

5 Một số tài liệu trên Internet

NGƯỜI THỰC HIỆN

Đỗ Thị Hưng

Xuân Thọ, ngày tháng năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2012 - 2013

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Họ và tên tác giả: ĐỖ THỊ HƯNG Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Tổ Toán – Tin trường THPT Xuân Thọ

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  -Phương pháp dạy học bộ môn: ………….

- Phương pháp giáo dục  -Lĩnh vực khác: ………  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)

- Có giải pháp hoàn toàn mới 

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)