skkn hướng dẫn học sinh kỹ năng xác định góc trong bài toán tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ

CƠ SỞ LÝ LUẬN: Trong chương trình Toán phổ thông, Hình học không gian được phân phối học ở cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ; góc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: TRƯỜNG THPT XUÂN THỌ

Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH GÓC TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI

CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

Người thực hiện: VÕ THỊ THU HỒNG

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Phương pháp giáo dục 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2012 - 2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: VÕ THỊ THU HỒNG

2 Ngày tháng năm sinh: 17/03/1985

3 Nam, nữ: NỮ

4 Địa chỉ: SUỐI CÁT, XUÂN LỘC, ĐỒNG NAI

5 Điện thoại: 0902024794 E-mail: rose85852004@gmail.com

6 Chức vụ: Giáo viên

7 Đơn vị công tác: TRƯỜNG THPT XUÂN THỌ

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: CỬ NHÂN

- Năm nhận bằng: 2008

- Chuyên ngành đào tạo: TOÁN HỌC

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: nghiên cứu và giảng dạy toán

- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến hình học không gian thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh

Đây là phần luôn có trong cấu trúc đề thi đại học, cao đẳng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT Một lĩnh vực quan trọng của hình học không gian đó là xác định góc, đặc biệt là xác định góc trong bài toán tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích học toán hơn thì các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán

PHẦN 2: TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Trong chương trình Toán phổ thông, Hình học không gian được phân phối học

ở cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm

lớp 12 sẽ được vận dụng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ

Khi giải một bài toán về tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ điều quan trọng

là học sinh cần phải xác định được diện tích đáy và chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ Để làm tốt điều này, đối với những bài toán liên quan đến góc, học sinh cần

phải nắm vững các kiến thức về xác định góc

Vì thế, tôi lựa chọn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh kỹ năng xác định góc trong bài toán tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ” nhằm giúp các em học

sinh rèn luyện kỹ năng xác định góc để các em làm tốt hơn các bài toán về tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ

Chuyên đề này được viết dựa vào Chương I, sách giáo khoa hình học 12 chuẩn, bao gồm 3 nội dung:

 Nội dung 1: Nhắc lại cách xác định góc

 Nội dung 2: Xác định góc trong bài toán tính thể tích khối chóp

 Nội dung 3: Xác định góc trong bài toán tính thể tích khối lăng trụ

II NỘI DUNG:

1 Nhắc lại cách xác định góc

Cách xác định góc:

a) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): là góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d’ với d’ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)

Việc xác định hình chiếu d’ của d lên mặt phẳng (P) với nhiều học sinh còn rất khó khăn, dẫn đến các em sẽ xác định sai góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) Vì thế tôi đã hướng dẫn cho các em thực hiện các bước sau để đi tìm hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) rồi suy ra góc giữa d và (P):

Bước 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Giả sử d cắt (P) tại O

Bước 2: Trên đường thẳng d, tìm điểm A sao cho AH vuông góc với (P) Khi đó:

OH là hình chiếu của OA lên mặt phẳng (P) (OA chính là đường thẳng d)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc AOH·

Chú ý : d cắt (P) tại đâu thì tại đó là đỉnh của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) Các em rất hay sai trong việc ghi đỉnh của góc, đỉnh của góc phải được đặt ở giữa

b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Việc xác định hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) với nhiều học sinh còn rất lúng túng, dẫn đến các em sẽ xác định sai góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) Vì thế tôi đã hướng dẫn cho các em thực hiện các bước sau

để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):

Bước 1: Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

Bước 2: Tìm trong (P) đường thẳng a  d ,

tìm trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b  d

Bước 3: Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc

với giao tuyến tại một điểm

2 Xác định góc trong bài toán tính thể tích khối chóp

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, · 0

60

ACB , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SB cắt (ABC) tại B

Bước 2: Do SAABC nên AB là hình chiếu của SB lên (ABC)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc SBA· Theo đề: · 0

45



SBA

* Cần lưu ý cho các em: ở bước 1, SB cắt (ABC) tại B thì ở bước 3 ta ghi B ở giữa

* Khi xác định được góc · 0

45



SBA thì các em tính được đường cao SA của khối chóp

và khi đó việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn

* Một điều mà học sinh rất hay mắc phải là các em không lí luận để chỉ ra góc nào

là góc giữa SB và (ABC), điều này làm cho các em bị mất điểm trong bài thi

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SC cắt (ABCD) tại C

Bước 2: Do SAABCD nên AC là hình chiếu của

SC lên (ABCD)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA· Theo đề: · 0

60



SCA

* Cần lưu ý cho các em: ở bước 1, SC cắt (ABCD) tại C thì bước 3 ta ghi C ở giữa

* Khi xác định được góc · 0

60



SCA thì các em tính được đường cao SA của khối chóp

và khi đó việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn

* Một điều mà học sinh rất hay mắc phải là các em không lí luận để chỉ ra góc nào

là góc giữa SC và (ABCD), điều này làm cho các em bị mất điểm trong bài thi

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy

một góc bằng 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (ABCD) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SC cắt (ABCD) tại C Bước 2: Do SOABCD nên OC là hình chiếu của SC lên (ABCD)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng SC

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCO· Theo đề: · 0

45



SCO

* Khi xác định được góc · 0

45



SCO thì các em tính được đường cao SO của khối chóp và khi đó việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn

* Một điều mà học sinh rất hay mắc phải là các em không lí luận để chỉ ra góc nào

là góc giữa SC và (ABCD), điều này làm cho các em bị mất điểm trong bài thi

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc

của S trên mặt phẳng ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích của khối chóp SABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

(ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A và KHỐI A1 - NĂM 2012)

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SC cắt (ABC) tại C

Bước 2: Do SHABC nên HC là hình chiếu của SC lên (ABC)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc SCH· Theo đề: · 0

60



SCH

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2,

SA= SB = SC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

(ĐỀ THI CAO ĐẲNG KHỐI A, A1, B, D - NĂM 2012)

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SA cắt (ABC) tại A

Bước 2: Gọi H là trung điểm BC Suy ra:

HA = HB = HC Kết hợp với giả thiết: SA = SB = SC suy ra:



SH BC, V SHA = V SHB = V SHC

SH ABC nên HA là hình chiếu của SA lên (ABC)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là góc SAH· Theo đề: · 0

60



SAH

b) Góc giữa hai mặt phẳng:

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3, BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SBC  ABCBC Bước 2:

* Trong (ABC), ta có: ABBC ( vì ABC vuông tại B)

* Trong (SBC), ta có: SBBC (định lí 3 đường vuông góc)

Bước 3: Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là góc SBA· Theo đề: · 0

60



SBA

* Khi xác định được góc · 0

60



SBA thì các em tính được đường cao SA của khối chóp

và khi đó việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn

* Một điều mà học sinh rất hay mắc phải là các em không lí luận để chỉ ra góc nào

là góc giữa (SBC) và (ABC), điều này làm cho các em bị mất điểm trong bài thi

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh

BC = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SBC  ABCBC Bước 2: Gọi M là trung điểm BC

* Trong (ABC), ta có: AM BC ( vì ABC cân tại B)

* Trong (SBC), ta có: SM BC (định lí 3 đường vuông góc)

Bước 3: Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là góc SMA· Theo đề: · 0

45



SMA

* Khi xác định được góc · 0

45



SMA thì các em tính được đường cao SA của khối chóp

và khi đó việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn

Bài 8: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và

mặt đáy bằng 0

60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa mặt bên (SBC) và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SBC  ABCBC Bước 2: Gọi M là trung điểm BC

* Trong (ABC), ta có: AM BC ( vì ABC đều)

* Trong (SBC), ta có: SMBC (vì SBC cân tại S) Bước 3: Vậy góc giữa mặt bên (SBC) và mặt phẳng (ABC) là góc SMA· Theo đề: · 0

60



SMA

* Khi xác định được góc · 0

60



SMA thì các em tính được đường cao SO của khối chóp và khi đó việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn

Bài 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a;

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M

là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

(ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A - NĂM 2011)

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa mặt phẳng (SBC)

và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SBC  ABCBC Bước 2:

* Trong (ABC), ta có: ABBC ( vì ABC vuông tại B)

* Trong (SBC), ta có: SBBC (định lí 3 đường vuông góc)

Bước 3: Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là góc SBA· Theo đề:

60



SBA

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =

AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I

là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A - NĂM 2009)

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy SBC  ABCDBC Bước 2: theo giả thiết ta suy ra:



Trong (ABCD), kẻ IKBC K BC Khi đó: SK BC (định lí 3 đường vuông góc)

Bước 3: Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là góc SKI· Theo đề:

60



SKI

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp

S.ABM theo a (ĐỀ THI CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D - NĂM 2011)

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) theo các bước nêu trên:

Bước 1: Ta thấy SBC  ABCBC Bước 2: * Trong (ABC), ta có: ABBC ( vì ABC vuông tại B)

* Trong (SBC), ta có: SBBC (định lí 3 đường vuông góc)

Bước 3: Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là góc SBA· Theo đề: · 0

30



SBA

3 Xác định góc trong bài toán tính thể tích khối lăng trụ

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân

tại B với BA = BC = a, biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 Tính thể

tích lăng trụ

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa đường thẳng A / B và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy A/

B cắt (ABC) tại B Bước 2: Do AA' ABC nên AB là hình chiếu của A/

B lên (ABC)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng A/

B và mặt phẳng (ABC) là góc A BA·' Theo đề:

'  60

A BA

Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa cạnh bên A / A và mặt phẳng (ABC) theo các bước

đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy A/

A cắt (ABC) tại A

Bước 2: Do A G' ABC nên AG là hình chiếu

của A /

A lên (ABC)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng A/

A và mặt phẳng (ABC) là góc A AG·' Theo đề: · 0

'  30

A AG

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại

A với AC = a , ACB· = 60o

, biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300

Tính AC' và thể tích lăng trụ

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa cạnh BC' và mặt phẳng (AA'C'C) theo các bước

đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy BC' cắt (AA'C'C) tại C’ Bước 2: Ta có:

ABAC ( vì ABC vuông tại A)

ABAA'( vì ABC A'B'C' là lăng trụ đứng) Suy ra: ABAA C C' ' 

nên AC' là hình chiếu của BC' lên (AA'C'C) Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (AA'C'C) là góc AC B· ' Theo đề:

'  30

AC B

Bài 4: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ

Hướng dẫn học sinh xác định góc giữa cạnh bên CC' và mặt phẳng (ABC) theo các bước đã nêu ở trên:

Bước 1: Ta thấy CC' cắt (ABC) tại C

Bước 2: Từ C' kẻ C H' ABC, suy ra CH là hình chiếu của CC' lên (ABC)

Bước 3: Vậy góc giữa đường thẳng CC' và mặt phẳng (ABC) là góc C CH·' Theo đề:

'  60

C CH