SKKN hệ THỐNG các DẠNG bài tập THƯỜNG gặp của CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các bài toán phương pháp toạ độ trong không gian trong chương trình lớp 12 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa đựng nhiều tính tư duy log

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Các bài toán phương pháp toạ độ trong không gian trong chương trình lớp 12 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa đựng nhiều tính tư duy logic phù hợp nhiều đối tượng học sinh từ Trung bình cho đến học sinh Khá giỏi Để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu…

Hơn nữa, các bài toán phương pháp tọa độ không gian luôn có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng Do đó, tôi hệ thống các dạng bài toán thường gặp

để giúp các em ôn tập và rèn luyện chương này dễ dàng hơn

Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức Trung bình khá (một số ít là HSG) Do đó, chuyên đề này chỉ được viết ở mức độ tư duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ đến khó, hệ thống một số dạng bài toán thường gặp để học sinh tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ, giúp các em không nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này

và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề Qua đó các em có thể hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT và bài thi ĐHCĐ

Nội dung của SKKN này gồm:

I Lý do chọn đề tài

II Nội dung:

1 Cơ sở lý thuyết

2 Các bài tập có lời giải, bài tập rèn luyện

III Hiệu quả đề tài

IV Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng

V Tài liệu tham khảo

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I CÔNG THỨC- TÍNH CHẤT TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM:

Cho ar (x ; y ;z ), b1 1 1 r (x ; y ;z )2 2 2 và số thực k

Cho A(x ; y ;z ), BA A A (x ; y ;z ), C(x ; y ;z ), D(x ; y ;z )B B B C C C D D D Khi đó:

1 Tồng, hiệu hai vectơ: ar  br (x1x ; y2 1y ;z2 1z )2

2 Hai vectơ bằng nhau:

3 Tích vectơ với một số thực: kar (kx ;ky ;kz )1 1 1

7 Tích vô hướng của hai vectơ:

* a.b | a | | b | cos(a, b)r r  r r r r * a.br r x x1 2 y y1 2 z z1 2

8 Trung điểm I của đoạn AB: I (xA xB;yA yB;zA zB)

11 Hình chiếu của điểm M x( 0;y z0; 0)lên các trục và các mặt phẳng tọa độ:

a) M1 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox thì M (x ;0;0)1 0

M2 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy thì M (0; y ;0)2 0

M3 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz thì M (0;0;z )3 0

b) M1’ là hình chiếu vuông góc của M lên mp (Oxy) thì '

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN M3’là hình chiếu vuông góc của M lên mp (Oxz) thì '

3.2 Thể tích: * Hình hộp: VABCD.A ' B ' C ' D '  AB,AD AA'

uuur uuur uuur

* Tứ diện: VABCD 1 AB, AC AD

uuur uuur uuur

3.3 Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:

* a, b,cr r r đồng phẳng  a, b cr r r 0

* A, B, C, D đồng phẳng AB, AC ADuuur uuur uuur 0

* A, B, C, D tạo thành tứ diện ABCD AB, AC ADuuur uuur uuur 0

III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

1 Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Định nghĩa: Cho (), véctơ nr 0r gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mp() nếu nr nằm trên đường thẳng vuông góc với (), kí hiệu nr ( )

Chú ý:

* Một mp có vô số VTPT

* Nếu nr là VTPT của () thì kn (kr 0) cũng là VTPT của ()

* Một mp hoàn toàn được xác định khi biết trước một điểm và một VTPT

2 Phương trình mặt phẳng:

2.1 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n = (A;B;C)uuur   0 uur làm

2.2 Ta khai triển, rút gọn phương trình (1) và đặt D = -Ax - By - Cz0 0 0ta được phương trình:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương trình (2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

Khi đó mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n = (A;B;C)uuur

2.3 Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có 2 vectơ a = (a ;a ;a ); b = (b ;b ;b )uur 1 2 3 uur 1 2 3 nằm trên hoặc song song với mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: n =uuur  a , b uur uur

Ta áp dụng công thức phương trình (1) để lập phương trình mặt phẳng

2.4 Mặt phẳng (ABC) có VTPT n =uuur AB, ACuuur uuur

2.5 Các phương trình mặt phẳng dạng đặc biệt:

a) Mặt phẳng Oxy; Oxz; Oyz có phương trình lần lượt là: z = 0; y = 0; x = 0

b) Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy hoặc Oxz hoặc Oyz có dạng phương trình lần lượt là: z + D = 0 hoặc y + D = 0 hoặc x + D = 0

c) Mặt phẳng chứa các trục Ox hoặc Oy hoặc Oz có dạng phương trình lần lượt là:

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:

Cho hai mặt phẳng: (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 a) Nếu 1 1

1 Véctơ chỉ phương của đường thẳng:

Định nghĩa: Cho đường thẳng () Véctơ a r  ( a a1    ; 2; a3)  0 r được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng () nếu và chỉ nếu giá của a r song song hoặc trùng với đường thẳng ()

2 Phương trình đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng () đi qua M(x ; y ;z )0 0 0 và có VTCP a r  ( a a1    ; 2 ; a3)  0 r có phương

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

(4) (ĐK: A B C1: 1: 1 A B C2: 2: 2)

Khi đó hai véctơ 1 1 1 1

thẳng () có VTCP:      uura uur uuurn1 n2

4) Điểm M thuộc đường thẳng () thì M(x0a t ; y1  0 a t ; z2   0 a t)3

5) Nếu đường thẳng () vuông góc với mặt phẳng ( ) thì đường thẳng () nhận VTPT của mặt phẳng ( ) làm VTCP của nó

6) Nếu mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng () thì mặt phẳng ( ) nhận VTCP của đường thẳng () làm VTPT của nó

VI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

Cho hai đường thẳng (d): 00 12  

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2) Hai đường thẳng (d)  (d')     &



  



uur uuuruura uuuuuuura'

Ta xét phương trình: A(x0  a t)1  B(y0  a t)2  C(z0  a t)3   D 0 (5)

1) Nếu pt (5) có 1 nghiệm duy nhất t = t0 thì đường thẳng (d) cắt mp (P) tại 1 điểm có tọa độ: I(x0  a t ; y1 0 0  a t ;z2 0 0  a t )3 0

2) Nếu pt (5) có dạng: 0.t = k (k0) tức là pt (5) vô nghiệm thì (d) song song mp (P) 3) Nếu pt (5) có dạng: 0.t = 0 tức là pt (5) có vô số nghiệm thì (d) nằm trên mp (P)

VIII GÓC:

1 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng  : 00 12  

Không cùng phương Không cùng phương

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

=

2 Góc giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có VTPT  uuurn1 = (A ; B ;C )1 1 1 và mặt phẳng (Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có VTPT  uuurn2 = (A ;B ;C )2 2 2 Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai VTPT của hai mp đó:

2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, Phương trình mp (P): Ax + By + Cz + D1 = 0,

Phương trình mp (Q): Ax + By + Cz + D2 = 0 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:

3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm M0(x0;y0;z0) và đường thẳng   đi qua điểm M(x1;y1;z1) có VTCP  uura

Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng   :  

, a a

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng:   đi qua điểm M(x0;y0;z0) có VTCP a uur

  ' đi qua điểm M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP  uuura'4.1 Nếu hai đường thẳng   ' và   ' chéo nhau:

Khoảng cách giữa hai đt   và   ' :  ' 

, ' ', '

4.2 Nếu hai đường thẳng   và   ' song song:

Khoảng cách giữa hai đt   và   ' : là khoảng cách từ điểm M’ trên   ' đến đ thẳng   :

 

, a a

MM'

=

d (4) Hay khoảng cách từ M    đến đt   ' :  ' 

, ''

a) Phương trình chính tắc của mặt cầu:

Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R có phương trình chính tắc

  2  2 2 2

x - a + y - b + z - c = R (1) b) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

x + y + z - 2ax - 2by - 2cz + a +b + c -R = 0Đặt d = a2

- Nếu mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R thì pt mặt cầu: x2 + y2 + z2 = R2

- Điều kiện cần và đủ để pt (2) là pt mặt cầu: a2 + b2+ c2 - d > 0

3 Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P) Gọi h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P)

 Khi h > r : (P) không có điểm chung với mặt cầu S(O ; r)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 Khi h = r : (P) tiếp xúc với S(O ; r) tại H Khi đó (P) được gọi là tiếp diện và H là tiếp điểm

 Khi h < r : Giao tuyến của (P) và S(O ; r) là đường tròn C(H ; r’) tâm H, bán kính

r' = r - h

 Khi h = 0 thì (P) được gọi là mặt phẳng kính Khi đó r lớn

nhất và C(H ; r) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu

 Tóm lại: Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P) Gọi

H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) và h là khoảng cách từ O đến (P)

 h > r : (P)  S(O, r) = 

 h = r : (P)  S(O, r) = {H}

 h < r : (P)  S(O, r) = C(H ; r’)

III Giao của mặt cầu với đường thẳng và tiếp tuyến của mặt cầu:

Cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O ; r) theo giao tuyến là đường tròn C(O ; r) và đường thẳng  trên mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng  và h là khoảng cách từ O đến đường thẳng 

 Khi d > r: ()  (S) = 

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 Khi d = r: ()  (S) = H Với H: được gọi là tiếp điểm

(): được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

 Khi d < r: ()  (S) = {M ; N}

XI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN:

1 Bài tập về tọa độ:

Bài 1: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a b,

trong mỗi trường hợp sau:

b) Tìm tọa độ trong tâm G của ABC

c) Tính chu vi và diện tích tam giác đó

Giải a) Ta có: ABuuur  ( 1; 0;1); ACuuur (1;1;1)

·

2 2 2 2 2 2 0

uuur uuur

Ta có: BAuuur (1; 0; 1); BC uuur (2;1; 0)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

·

2 2 2 2 2 2 0

uuur uuur

Ta có: CAuuur    ( 1; 1; 1); CBuuur   ( 2; 1; 0)

·

2 2 2 2 2 2 0

uuur uuur

b) Trọng tâm G của ΔABC:

A B C G

A B C G

A B C G

Bài 3: Tìm điểm M trên trục Ox, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vậy ba vectơ , ,a b cuur ur ur không đồng phẳng

2 Bài tập cơ bản về phương trình mặt phẵng:

Bài 1: Hãy xác định VTPT của mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 4 = 0 và một điểm M là điểm

trên (P)

Giải VTPT của mặt phẳng (P):nur  (2; 

a) Đường thẳng (d1) có VTCP uuur1  ( 1; và đi qua điểm M1(2;4;-5)

b) Đường thẳng (d2) có VTCP uuur2   (2; và đi qua điểm M2(0;1;-2)

c) Đường thẳng (d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Đường thẳng (d3) đi qua điểm M3(0;4;1)

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua M(-1 ; 2 ; 4) và vuông góc với nr  (2;  

Giải Mặt phẳng (P) qua M(-1 ; 2 ; 4) và vuông góc với nr  (2;   nên (P) nhận

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Giải Mặt phẳng (Q) qua N(-1 ; 1 ; 0) và vuông góc với đường thẳng AB nên (Q) nhận

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN nên (P) qua I(1 ; 2 ; 0) và (P) nhận

Mặt phẳng () qua M(1; –3; 1) và song song với mp() nên () nhận n ur (2; 1;   làm

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Nên () nhận nuur MN, kuuuur uur  (4; làm VTPT

Pt (): 4(x – 7) + 2(y – 2) + 0(z + 3) = 0  4x + 2y – 32 = 0

Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 2x – z + 1 = 0 và (Q): x + y – z + 2 = 0

Giải Mặt phẳng (P) có VTPT nuurP     (2 ; 0 ; 1)

nên () nhận nur u , AMuur uuuurd     (2 ; 2 ; 2) làm VTPT

Đường thẳng (d2) có VTCP uuur2     (1;1; 2) và qua M2(2 ;-1 ; 0)

1 2

u , u ( 5 ; 1; 3)

uur uur      Mặt phẳng () chứa (d )1 và song song với (d )2 nên () qua điểm M1(0 ; 1;-2) và () nhận nur u , uuur uur1 2     ( 5 ; 1; 3) làm VTPT

Pt (): -5(x – 0) – 1(y – 1) – 3(z + 2) = 0  -5x – y – 3z – 5 = 0

Ta thấy M2(2 ;-1 ; 0) không thuộc mặt phẳng ()

Vậy (): -5x – y – 3z – 5 = 0 là mặt phẳng cần xác định

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

3 Bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng:

Bài 1: Trong không gian Oxyz Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của

đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:

a) (d) qua điểm M(2; 1; 3) và có chỉ phương là u=(3; -1; -2)

b) (d) qua điểm M(1;0;3) và song song đường thẳng AB biết A(-1;-1;2) và B(-1;-2;0) c) (d) đi qua hai điểm M(-2;0;1) và N(1;1-1)

t y

t x

2 3 1

3 2 tR 

+ Phương trình chính tắc của (d):

2

3 1

1 3

t y x

2 3

1

tR 

+ Không có phương trình chính tắc

c) (d) qua hai điểm M(-2;0;1) và N(1;1-1) nên (d) nhận MNuuuuur   (3; làm VTCP

+ Phương trình tham số của

x 2 3t (d) : y t

Bài 2: Trong không gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng (d) biết:

a) (d) đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc với (): x + 2y – 3z + 1 = 0

b) (d) đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)

c) (d) đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)

d) (d) đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)

Giải

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN a) Mp(): x + 2y – 3z + 1 = 0 có VTPT nuur    (1;

Đthẳng (d) qua M(2; 3; 1) và vuông góc với () nên (d) nhận nuur    (1; làm VTCP

t y

t x

3 1

2 3

2

tR 

b) Mp(Oxy) có pt: z = 0 nên có VTPT kuur  (0; 

Đthẳng (d) qua M(2;-3;1) và vuông góc với (Oxy) nên (d) nhận kuur  (0;  làm VTCP

1 3

Bài 3: Trong không gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng (d) biết:

a) (d) đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với (d’):

t y

t x

3 1

2 3

2

tR 

b) (d) đi qua điểm M(-1;2;3) và song song với (d’):

4 2

1 3

) 1 ( 0 1 3

2

z y x

z y x

d) (d) đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox

Giải a) Đường thẳng (d’) có VTCP u'uur    (1;

Đthẳng (d) qua M(2; 2; -1) và song song (d’) nên (d) nhận u'uur    (1; làm VTCP

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

t y

t x

3 1

2 2

t y

t x

4 3

2 2

3 1

uur uur uur

= (5; -7 ; -11) Đthẳng (d) qua M(0; 2;1) và song song (d’) nên (d) nhận u'uur = (5; -7 ; -11) làm VTCP

t y

t x

11 1

7 2

Bài 4: Trong không gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng (d) biết:

a) (d) đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:

(P): 2x + 3y - 2z + 1 = 0 và (Q): x – 3y + z - 2 = 0

b) (d) đi qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:

(P): 3x + 2y - 4z + 1 = 0 và mặt phẳng (Oxy)

Giải a) Ta có: Mặt phẳng (P) có VTPT nuuurP   (2;

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Đthẳng (d) qua M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q)

nên (d) có vectơ chỉ phương u d    n , n P Q  

uur uur uur

t y

t x

9 5

4 1

3 3

Đthẳng (d) qua M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Oxy)

nên (d) có vectơ chỉ phương uuurd n , kuur uurP  = (2; -3 ; 0)

2 2

z

t y

t x

tR 

Bài 5: Trong không gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng (d) biết:

a) (d) qua M(2; -3; 4) và vuông góc với d1:

t y

t x

2 1 3

3 2

và d2:

3

35

) ( 0 2 2 3

Q z

y x

P z

y x

Giải a) Đường thẳng (d1) có VTCP uuur1    ( 3;

Đthẳng (d) qua M(2;-3;4) và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d1)

nên (d) có vectơ chỉ phương uuurd u , uuur uuur1 2 = (-7; 13 ; -17)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

t y

t x

17 4

13 3

7 2

u', j

ur ur = (7; 0 ; 7)

Đthẳng (d) qua M(1;2;3) và vuông góc với 2 đường thẳng (d’), trục Oy

nên (d) có vectơ chỉ phương uuurd u', jur ur = (7; 0 ; 7) cùng phương với ur 1; 0;1

t x

3 2

1

tR 

Bài 6: Trong không gian Oxyz Viết phương đường thẳng (d) biết:

a) (d) đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với

d’:

4

3 3

1 2

x

b) d đi qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với

t y

t x

2 4 2

3 1 tR 

Giải a) Ta có: Mặt phẳng (P) có VTPT nuuurP   (3;

Đường thẳng (d’) có VTCP u'uur   (2 ;P

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

t y

t x

13

10 3

11 2

y

t x

3 3 1

2 2

tR 

Bài 7: Trong không gian Oxyz Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) là giao tuyến

của hai mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và (Q): 2x – 3y +z +3 = 0

Giải Mặt phẳng (P) có VTPT nuuurP   (1;

2

0 1

z y x

z y x

t y

t x

5 1

4 tR 

Nhận xét: Bài toán trên bản chất là bài toán chuyển từ phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng phương trình tham số

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

t y

t x

2 4 3

3 2 tR  và (d2):

2 1

1 3

Đường thẳng (d2) có VTCP uuur2     (3 ;1; 2) và qua M2(4 ;-1 ; 0)

uuuuuuurcuøng phöông uur

khoâng cuøng phöôngVậy (d1) song song (d2)

b) Do (d1)//(d2) và d cách đều (d1), (d2)  vectơ chỉ phương của (d) là uur     (3 ;1; 2)Gọi I trung điểm của M1M2  I(3; -2; 2)(d)

t y

t x

2 2 2

3 3 tR 

Bài 9: Trong không gian Oxyz Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 3; 3)

vuông góc với d1:

1

2 3

4 1

t y x

1 2

3 ( t là tham số)

t y

t x

7 3

4 3

5 2

tR 

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau:

d1:

1

5 3

1 2

2 3

x

Viết phương trình tham số của đường thẳng d là đường vuông góc chung của d1 và d2

Gọi (P) chứa d và d1  Vectơ pháp tuyến của (P) là nP=[u1,u]=(-14; 14; -14)

Hay Vectơ pháp tuyến của (P) là nP = (-1; 1; -1) Điểm M(1; -1; 5)  (P)

 phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0

0 7

z y x

z y x

( là phương trình tổng quát của d )

t y

t x

5 3 2 1

4 3 22

t y

t x

3 1

3 2 trên mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 = 0